Algorithme(s) de type Chudnovsky-Chudnovsky pour la multiplication dans les extensions finies de Fq

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Texte intégral

(1)

Algorithme(s) de type Chudnovsky-Chudnovsky pour la multiplication dans les extensions finies de F

q

Julia Pieltant Inria Saclay - ˆIle-de-France

Journ´ees C2 25 mars 2014

(2)

Plan

1. Introduction — Position du probl`eme Diff´erentes notions de complexit´e

Lien avec le probl`eme de la d´etermination du rang de tenseur Complexit´e bilin´eaire sym´etrique et asym´etrique

2. Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

3. Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Principe g´en´eral

Application R´esultat principal Bornes th´eoriques

(3)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Diff´erentes notions de complexit´e

Complexit´e de la multiplication dansFqn surFq :

Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dansFq n´ecessaires pour calculer le produit de deux ´el´ements quelconquesx,yPFqn.

Types d’op´erations :

‚ addition :pα, βq ÞÑα`βo`uα, βPFq,

‚ multiplication scalaire :xiÞÑα¨xi o`uα,xiPFq, etαest une constante,

‚ multiplication non-scalaire ou bilin´eaire :pxi,yjq ÞÑxi¨yjo`uxi,yjPFq d´ependent des ´el´ementsxety deFqn dont on effectue le produit.

Lenombre minimal de multiplications bilin´eairesn´ecessaires pour effectuer le produit de deux ´el´ements quelconques deFqnest appel´ecomplexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq, et not´eeµqpnq.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Diff´erentes notions de complexit´e

Complexit´e de la multiplication dansFqn surFq :

Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dansFq n´ecessaires pour calculer le produit de deux ´el´ements quelconquesx,yPFqn.

Types d’op´erations :

‚ addition :pα, βq ÞÑα`βo`uα, βPFq,

‚ multiplication scalaire :xiÞÑα¨xi o`uα,xiPFq, etαest une constante,

‚ multiplication non-scalaire ou bilin´eaire :pxi,yjq ÞÑxi¨yjo`uxi,yjPFq d´ependent des ´el´ementsxety deFqn dont on effectue le produit.

Lenombre minimal de multiplications bilin´eairesn´ecessaires pour effectuer le produit de deux ´el´ements quelconques deFqnest appel´ecomplexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq, et not´eeµqpnq.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Diff´erentes notions de complexit´e

Complexit´e de la multiplication dansFqn surFq :

Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dansFq n´ecessaires pour calculer le produit de deux ´el´ements quelconquesx,yPFqn.

Types d’op´erations :

‚ addition :pα, βq ÞÑα`βo`uα, βPFq,

‚ multiplication scalaire :xiÞÑα¨xi o`uα,xiPFq, etαest une constante,

‚ multiplication non-scalaire ou bilin´eaire:pxi,yjq ÞÑxi¨yjo`uxi,yjPFq d´ependent des ´el´ementsxety deFqn dont on effectue le produit.

Lenombre minimal de multiplications bilin´eairesn´ecessaires pour effectuer le produit de deux ´el´ements quelconques deFqnest appel´ecomplexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq, et not´eeµqpnq.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Diff´erentes notions de complexit´e

Analyse des op´ erations d’un produit

SoitB:“ pe1, . . . ,enqune base deFqn surFq. On d´efinit

eiej:“

n

ÿ

k“1

αi,j,kekpour tousi,jP t1, . . . ,nu.

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

yiei deux ´el´ements deFqn, on a

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

αi,j,k¨xi¨yj

˛

‚ek.

Nombre d’op´erations :

‚ n2multiplications bilin´eaires,

‚ n3multiplications scalaires,

‚ npn´1qpn`1qadditions d’´el´ements deFq.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Diff´erentes notions de complexit´e

Analyse des op´ erations d’un produit

SoitB:“ pe1, . . . ,enqune base deFqn surFq. On d´efinit

eiej:“

n

ÿ

k“1

αi,j,kekpour tousi,jP t1, . . . ,nu.

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

yiei deux ´el´ements deFqn, on a

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

αi,j,k¨xi¨yj

˛

‚ek.

Nombre d’op´erations :

‚ n2multiplications bilin´eaires,

‚ n3multiplications scalaires,

npn 1qpn 1qadditions d’´el´ements de .

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Diff´erentes notions de complexit´e

Analyse des op´ erations d’un produit

SoitB:“ pe1, . . . ,enqune base deFqn surFq. On d´efinit

eiej:“

n

ÿ

k“1

αi,j,kekpour tousi,jP t1, . . . ,nu.

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

yiei deux ´el´ements deFqn, on a

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

αi,j,k¨xi¨yj

˛

‚ek.

Nombre d’op´erations :

‚ n2multiplications bilin´eaires,

‚ n3multiplications scalaires,

‚ npn´1qpn`1qadditions d’´el´ements deFq.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Lien avec le probl`eme de la d´etermination du rang de tenseur

Soittmletenseur de la multiplicationdansFqn:@x,yPFqn, tmpxbyq “xy.

On consid`ere uned´ecomposition detmenλtenseurs ´el´ementaires, c-`a-d on consid`ere ai,biPFqn etciPFqn tels que tousx,yPFqn, on a

xy“tmpxbyq “

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. (1) Toute expression de type (1) est appel´eealgorithme de multiplication bilin´eaireU. Sacomplexit´eλest not´eeµpUq.

Ainsi

µqpnq “min

U µpUq

o`uU parcourt l’ensemble des algorithmes de multiplication bilin´eaire dansFqn surFq.

(10)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Complexit´e bilin´eaire sym´etrique et asym´etrique

Complexit´ e bilin´ eaire sym´ etrique

Definition

Un algorithme de multiplication bilin´eaire est ditsym´etriques’il admet une expression de la forme :

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci. (2)

pour tousx,yPFqn, avecaiPFqn etciPFqn

On d´efinit alors lacomplexit´e bilin´eaire sym´etriquede la multiplication dansFqn sur Fq en posant :

µsymq pnq:“ min

UsymµpUsymq

o`uUsymparcourt l’ensemble des algorithmes sym´etriques de multiplication bilin´eaire dansFqn surFq.

Rq. µqpnq ďµsymq pnq

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Le cas des extensions de

!

petit

"

degr´ e

Th´eor`eme (S. Winograd et H.F. de Groote (1979, 1983))

La complexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq v´erifie µqpnq ě2n´1.

De plus,

µsymq pnq “2n´1 ðñ nď q 2`1.

Th´eor`eme (Shokrollahi (1992)) Si nď1

2pq`1`pqqq, alors

µsymq pnq ď2n o`upqq “

"

2?

q si q est un carr´e parfait, le plus grand entier plus petit que2?

q premier `a q sinon.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Lien avec les codes lin´ eaires

‚ A tout algorithme de multiplication bilin´` eaire sym´etrique de complexit´eλdansFqn

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq:

SoientaiPFqn,ciPFqn t.q. pour tousx,yPFqn,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

On d´efinit le codeC par

C“Imφa

avec

φa: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

‚ Inversement, les!supercodes exacts"sont des codesrλ,nsqenbijectionavec les algorithmes de multiplication bilin´eaire sym´etriques de complexit´eλ.

[Shparlinski, Tsfasman, Vl˘adut¸, Curves with many points and multiplication in finite fields, AGCT-91]

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Lien avec les codes lin´ eaires

‚ A tout algorithme de multiplication bilin´` eaire sym´etrique de complexit´eλdansFqn

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq: Soientai PFqn,ciPFqn t.q. pour tousx,yPFqn,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

On d´efinit le codeC par

C“Imφa

avec

φa: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

‚ Inversement, les!supercodes exacts"sont des codesrλ,nsqenbijectionavec les algorithmes de multiplication bilin´eaire sym´etriques de complexit´eλ.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Lien avec les codes lin´ eaires

‚ A tout algorithme de multiplication bilin´` eaire sym´etrique de complexit´eλdansFqn

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq: Soientai PFqn,ciPFqn t.q. pour tousx,yPFqn,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

On d´efinit le codeC par

C“Imφa

avec

φa: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

‚ Inversement, les!supercodes exacts"sont des codesrλ,nsqenbijectionavec les algorithmes de multiplication bilin´eaire sym´etriques de complexit´eλ.

[Shparlinski, Tsfasman, Vl˘adut¸, Curves with many points and multiplication in finite fields, AGCT-91]

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1

Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn,t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci.

SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn,t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn,t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn,t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn, t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

Soit un algorithme de complexit´e bilin´eaireλ:“µqpnq, c-`a-d soientai,biPFqn,ci PFqn t.q.

@x,yPFqn, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqn ÝÑ Fλq φb: Fqn ÝÑ Fλq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqn, t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2

ou dminpCbq ą

„λ 2

donc

„λ 2

ăλ´n`1 (borne de singleton)

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Algorithme de Karatsuba

Multiplication de deux polynˆomes de degr´e 1, `a coefficients dans un corpsF : UpXq “aX`b VpXq “cX`d

But.D´eterminer les coefficientsp0,p1,p2PFdu produitUpXq ¨VpXq “p2X2`p1X`p0.

´Evaluations en 0,1,8:

Up0q “ b Up1q “ a`b Up8q “a

Vp0q “ d Vp1q “ c`d Vp8q “c

On calcule alors

p0“Up0qVp0q, p2“Up8qVp8q, p1“Up1qVp1q ´p0´p2. Complexit´e :3 multiplications bilin´eaires et 4 additions.

G´en´eralisation au produit de deux polynˆomes de degr´en: Complexit´e :O

´ nlog2p3q

¯

multiplications bilin´eaires etOpnqadditions.

(22)

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Algorithme de Karatsuba

Multiplication de deux polynˆomes de degr´e 1, `a coefficients dans un corpsF : UpXq “aX`b VpXq “cX`d

But.D´eterminer les coefficientsp0,p1,p2PFdu produitUpXq ¨VpXq “p2X2`p1X`p0.

´Evaluations en 0,1,8:

Up0q “ b Up1q “ a`b Up8q “a

Vp0q “ d Vp1q “ c`d Vp8q “c

On calcule alors

p0“Up0qVp0q, p2“Up8qVp8q, p1“Up1qVp1q ´p0´p2. Complexit´e :3 multiplications bilin´eaires et 4 additions.

G´en´eralisation au produit de deux polynˆomes de degr´en: Complexit´e :O

´ nlog2p3q

¯

multiplications bilin´eaires etOpnqadditions.

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Algorithme de Karatsuba

Multiplication de deux polynˆomes de degr´e 1, `a coefficients dans un corpsF : UpXq “aX`b VpXq “cX`d

But.D´eterminer les coefficientsp0,p1,p2PFdu produitUpXq ¨VpXq “p2X2`p1X`p0.

´Evaluations en 0,1,8:

Up0q “ b Up1q “ a`b Up8q “a

Vp0q “ d Vp1q “ c`d Vp8q “c

On calcule alors

p0“Up0qVp0q, p2“Up8qVp8q, p1“Up1qVp1q ´p0´p2. Complexit´e :3 multiplications bilin´eaires et 4 additions.

G´en´eralisation au produit de deux polynˆomes de degr´en: Complexit´e :O

´ nlog2p3q

¯

multiplications bilin´eaires etOpnqadditions.

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Algorithme de Karatsuba

Multiplication de deux polynˆomes de degr´e 1, `a coefficients dans un corpsF : UpXq “aX`b VpXq “cX`d

But.D´eterminer les coefficientsp0,p1,p2PFdu produitUpXq ¨VpXq “p2X2`p1X`p0.

´Evaluations en 0,1,8:

Up0q “ b Up1q “ a`b Up8q “a

Vp0q “ d Vp1q “ c`d Vp8q “c

On calcule alors

p0“Up0qVp0q, p2“Up8qVp8q, p1“Up1qVp1q ´p0´p2. Complexit´e :3 multiplications bilin´eaires et 4 additions.

G´en´eralisation au produit de deux polynˆomes de degr´en: Complexit´e :O

´ nlog2p3q

¯

multiplications bilin´eaires etOpnqadditions.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithme de Karatsuba

pour les polynˆomes de degr´e 1 ú ´evaluations surt0,1,8u PP1pFq

Rappel.

‚ On note P1pFqqladroite projectivesurFq : P1pFqq:“

!

px,yq PA2pFqqztp0,0qu )

{∼

o`u∼est la relation d’´equivalence d´efinie par la colin´earit´e.

‚ C’est une courbe alg´ebrique de genre 0 avecq`1 points rationnels : P1pFqq “

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

Id´ee. G´en´eraliser la m´ethode de Karatsuba en faisant plus d’´evaluationssur P1pFq lorsque|F| ą2.

(26)

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithme de Karatsuba

pour les polynˆomes de degr´e 1 ú ´evaluations surt0,1,8u PP1pFq

Rappel.

‚ On note P1pFqqladroite projectivesurFq : P1pFqq:“

!

px,yq PA2pFqqztp0,0qu )

{∼

o`u∼est la relation d’´equivalence d´efinie par la colin´earit´e.

‚ C’est une courbe alg´ebrique de genre 0 avecq`1 points rationnels : P1pFqq “

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

Id´ee. G´en´eraliser la m´ethode de Karatsuba en faisant plus d’´evaluationssur P1pFq lorsque|F| ą2.

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithme de Karatsuba

pour les polynˆomes de degr´e 1 ú ´evaluations surt0,1,8u PP1pFq

Rappel.

‚ On note P1pFqqladroite projectivesurFq : P1pFqq:“

!

px,yq PA2pFqqztp0,0qu )

{∼

o`u∼est la relation d’´equivalence d´efinie par la colin´earit´e.

‚ C’est une courbe alg´ebrique de genre 0 avecq`1 points rationnels : P1pFqq “

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qn

(I)

SoitPpXq PFqrXsun polynˆome unitaire de degr´en, irr´eductible surFq. Alors

Fqn»FqrXsL`

PpXq˘

et siαest une racine dePpXq, alorsB“ p1, α, α2, . . . , αn´1qest uneFq-base deFqn.

Pour connaˆıtre le produit deux ´el´ementsx,yPFqn t.q.

x“

n´1

ÿ

i“0

aiαi et y“

n´1

ÿ

i“0

biαi il suffit de d´eterminer les coefficients du produit des deux polynˆomes

ApXq “

n´1

ÿ

i“0

aiXi et BpXq “

n´1

ÿ

i“0

biXi car

xy“Apαq ¨Bpαq “ pABqpαq.

(29)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qn

(I)

SoitPpXq PFqrXsun polynˆome unitaire de degr´en, irr´eductible surFq. Alors

Fqn»FqrXsL`

PpXq˘

et siαest une racine dePpXq, alorsB“ p1, α, α2, . . . , αn´1qest uneFq-base deFqn. Pour connaˆıtre le produit deux ´el´ementsx,yPFqn t.q.

x“

n´1

ÿ

i“0

aiαi et y“

n´1

ÿ

i“0

biαi il suffit de d´eterminer les coefficients du produit des deux polynˆomes

ApXq “

n´1

ÿ

i“0

aiXi et BpXq “

n´1

ÿ

i“0

biXi car

xy“Apαq ¨Bpαq “ pABqpαq.

(30)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qn

(II)

Supposons que #P1pFqq ědegApXq ¨BpXq `1, i.e.q`1ě2n´1.

On choisitSĎP1pFqqde cardinal 2n´1.

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS. 2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

3. Par interpolation, on retrouve les coefficients depABqpXq, et donc le produit xy“ pABqpαqdans la baseB.

Complexit´e bilin´eaire :#S“2n´1 multiplications.

Cons´equence.Sinďq

2`1, alorsµqpnq ď2n´1.

(31)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qn

(II)

Supposons que #P1pFqq ědegApXq ¨BpXq `1, i.e.q`1ě2n´1.

On choisitSĎP1pFqqde cardinal 2n´1.

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS.

2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

3. Par interpolation, on retrouve les coefficients depABqpXq, et donc le produit xy“ pABqpαqdans la baseB.

Complexit´e bilin´eaire :#S“2n´1 multiplications.

Cons´equence.Sinďq

2`1, alorsµqpnq ď2n´1.

(32)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qn

(II)

Supposons que #P1pFqq ědegApXq ¨BpXq `1, i.e.q`1ě2n´1.

On choisitSĎP1pFqqde cardinal 2n´1.

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS.

2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

3. Par interpolation, on retrouve les coefficients depABqpXq, et donc le produit xy“ pABqpαqdans la baseB.

Complexit´e bilin´eaire :#S“2n´1 multiplications.

Cons´equence.Sinďq

2`1, alorsµqpnq ď2n´1.

(33)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Rappel

Th´eor`eme (S. Winograd et H.F. de Groote (1979, 1983))

La complexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq v´erifie µqpnq ě2n´1.

De plus,

µsymq pnq “2n´1 ðñ nď q 2`1.

Th´eor`eme (Shokrollahi (1992)) Si nď1

2pq`1`pqqq, alors

µsymq pnq ď2n o`upqq “

"

2?

q si q est un carr´e parfait, le plus grand entier plus petit que2?

q premier `a q sinon.

(34)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Rappel

Th´eor`eme (S. Winograd et H.F. de Groote (1979, 1983))

La complexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqn surFq v´erifie µqpnq ě2n´1.

De plus,

µsymq pnq “2n´1 ðñ nď q 2`1.

Th´eor`eme (Shokrollahi (1992)) Si nď1

2pq`1`pqqq, alors

µsymq pnq ď2n o`upqq “

"

2?

q si q est un carr´e parfait, le plus grand entier plus petit que2?

q premier `a q sinon.

(35)

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Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Correspondance entre courbes et corps de fonctions

Courbe Corps de fonctions

P1pFqq Fqpxq,xtranscendant surFq

droite projective corps des fonctions rationnelles C:fpx,yq “0 F“Fqpxqpyqo`ufpx,yq “0 courbe alg´ebrique d´efinie surFq avecfpx,Yq PFqpxqrYsirr´eductible

Exemple.

Courbe elliptique surF3:

E : y2“x3`x2`1 Corps de fonctions elliptiques associ´e :

F“F3px,yq “F3pxqpyq

(36)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

Th´eor`eme (Waterhouse (1969))

Pour tout q puissance d’un premier, il existe un corps de fonctions elliptiquesF{Fqavec q`1`pqqplaces rationnelles.

´Evaluation-interpolation sur des courbes elliptiques :

‚ droite projective surFq ùcourbe elliptique,

‚ ´evaluations sur lesq`1`pqqpoints rationnels,

‚ Fqn est identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL2o`u dimL2“2 dimL. Complexit´e bilin´eaire : 2n.

Conclusion.Si 2nďq`1`pqq, alorsµqpnq ď2n.

N.B.C’est une application de l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky.

(37)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

Th´eor`eme (Waterhouse (1969))

Pour tout q puissance d’un premier, il existe un corps de fonctions elliptiquesF{Fqavec q`1`pqqplaces rationnelles.

´Evaluation-interpolation sur des courbes elliptiques :

‚ droite projective surFq ùcourbe elliptique,

‚ ´evaluations sur lesq`1`pqqpoints rationnels,

‚ Fqnest identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL2o`u dimL2“2 dimL.

Complexit´e bilin´eaire : 2n.

Conclusion.Si 2nďq`1`pqq, alorsµqpnq ď2n.

N.B.C’est une application de l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky.

(38)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

Th´eor`eme (Waterhouse (1969))

Pour tout q puissance d’un premier, il existe un corps de fonctions elliptiquesF{Fqavec q`1`pqqplaces rationnelles.

´Evaluation-interpolation sur des courbes elliptiques :

‚ droite projective surFq ùcourbe elliptique,

‚ ´evaluations sur lesq`1`pqqpoints rationnels,

‚ Fqnest identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL2o`u dimL2“2 dimL.

Complexit´e bilin´eaire : 2n.

Conclusion.Si 2nďq`1`pqq, alorsµqpnq ď2n.

N.B.C’est une application de l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky.

(39)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble de N places rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅.

Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i) degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µsymqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(40)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble de N places rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅. Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPN

alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i) degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µsymqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(41)

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Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble de N places rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅. Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i) degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µsymqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(42)

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Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble de N places rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅. Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µsymqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(43)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble deNplaces rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅. Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n,

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(44)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qn

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble deNplaces rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,PNu “∅. Si on a

(i) un morphisme deFq-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqn

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deFq-espaces vectorielsinjectif

EvP: Lp2Dq ÝÑ FP1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFPN »FNq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µsymq pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µsymqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(45)

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Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

SoitF{Fq2 le corps d´efini par : F:“Fq2px,yq o`u yq`y“xq`1. Alors gpFq “qpq´1q2 et NpFq “q2`1`2gq“q3`1.

Si NpFq ě2n`2gpFq ´1 i.e. nď 1

2pq3´q2`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{Fq2 pour multiplier dansFq2n.

Exemple.Pourq:“4 : multiplication dans des extensionsF16n{F16.

On a gpF{F16q “6 et NpF{F16q “65 ; on peut donc d´eterminer un algorithme de multiplication dansF16n `a partir deF{F16tant quenď27.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µsymq2 pnq ď

(46)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

SoitF{Fq2 le corps d´efini par : F:“Fq2px,yq o`u yq`y“xq`1. Alors gpFq “qpq´1q2 et NpFq “q2`1`2gq“q3`1.

Si NpFq ě2n`2gpFq ´1 i.e. nď 1

2pq3´q2`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{Fq2pour multiplier dansFq2n.

Exemple.Pourq:“4 : multiplication dans des extensionsF16n{F16.

On a gpF{F16q “6 et NpF{F16q “65 ; on peut donc d´eterminer un algorithme de multiplication dansF16n `a partir deF{F16tant quenď27.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µsymq2 pnq ď

(47)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

SoitF{Fq2 le corps d´efini par : F:“Fq2px,yq o`u yq`y“xq`1. Alors gpFq “qpq´1q2 et NpFq “q2`1`2gq“q3`1.

Si NpFq ě2n`2gpFq ´1 i.e. nď 1

2pq3´q2`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{Fq2pour multiplier dansFq2n.

Exemple.Pourq:“4 : multiplication dans des extensionsF16n{F16.

On a gpF{F16q “6 et NpF{F16q “65 ; on peut donc d´eterminer un algorithme de multiplication dansF16n `a partir deF{F16tant quenď27.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est :

(48)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

SoitF{Fq2 le corps d´efini par : F:“Fq2px,yq o`u yq`y“xq`1. Alors gpFq “qpq´1q2 et NpFq “q2`1`2gq“q3`1.

Si NpFq ě2n`2gpFq ´1 i.e. nď 1

2pq3´q2`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{Fq2pour multiplier dansFq2n.

Exemple.Pourq:“4 : multiplication dans des extensionsF16n{F16.

On a gpF{F16q “6 et NpF{F16q “65 ; on peut donc d´eterminer un algorithme de multiplication dansF16n `a partir deF{F16tant quenď27.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µsymq2 pnq ď2n`5.

(49)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Cas des petites extensions F

16n

de F

16

6

n

1

2q2`1“9 , // // . // // -

´

evaluations sur P1pF16q µsym

q2 pnq “2n´1

pg“0q

1

2pq2`1`2qq‰

“12 *

´evaluations sur courbe elliptique d´efinie surF16

avec 2npoints rationnels :µsym

q2 pnq “2n pg“1q

1

2pq3´q2`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

evaluations sur le corps de fonctions HermitienF{F16

µsym

q2 pnq “2n`5

pg“6q

(50)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Cas des petites extensions F

16n

de F

16

6

n

1

1

2q2`1“9 , // // . // // -

´

evaluations sur P1pF16q µsym

q2 pnq “2n´1

pg“0q

1

2pq2`1`2qq‰

“12 *

´evaluations sur courbe elliptique d´efinie surF16

avec 2npoints rationnels :µsym

q2 pnq “2n pg“1q

1

2pq3´q2`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

evaluations sur le corps de fonctions HermitienF{F16

µsym

q2 pnq “2n`5

pg“6q

(51)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Cas des petites extensions F

16n

de F

16

6

n

1

2q2`1“9 , // // . /

´

evaluations sur P1pF16q µsympnq “2n´1

pg“0q

1

2pq2`1`2qq‰

“12 *

´evaluations sur courbe elliptique d´efinie surF16

avec 2npoints rationnels :µsym

q2 pnq “2n pg“1q

1

2pq3´q2`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

evaluations sur le corps de fonctions HermitienF{F16

µsym

q2 pnq “2n`5

pg“6q

(52)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Application

Cas des petites extensions F

16n

de F

16

6

n

1

1

2q2`1“9 , // // . // // -

´

evaluations sur P1pF16q µsym

q2 pnq “2n´1

pg“0q

1

2pq2`1`2qq‰

“12 *

´evaluations sur courbe elliptique d´efinie surF16

avec 2npoints rationnels :µsym

q2 pnq “2n pg“1q

1

2pq3´q2`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

evaluations sur le corps de fonctions HermitienF{F16

µsym

q2 pnq “2n`5

pg“6q

(53)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky esultat principal

L’application de l’algorithme sur unesuite asymptotiquement bonne de corps de fonc- tionsprouve que la complexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqnsurFqestlin´eaire enn:

Th´eor`eme (Chudnovsky et Chudnovsky (1987))

Soit q“pr avec p premier, il existe une constante Cq telle que pour tout n, µsymq pnq ďCqn.

Objectifs.

‚ Etablir des bornes th´´ eoriques :

‚ am´eliorer l’algorithme (´evaluations sur des places de degr´e sup´erieur, dissym´etrisation. . . )

‚ d´emontrer l’existence de corps de fonctions avec de meilleures propri´et´es

‚ Construire des algorithmes explicites pour la multiplication dansFqn, pourn choisi.

(54)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky esultat principal

L’application de l’algorithme sur unesuite asymptotiquement bonne de corps de fonc- tionsprouve que la complexit´e bilin´eaire de la multiplication dansFqnsurFqestlin´eaire enn:

Th´eor`eme (Chudnovsky et Chudnovsky (1987))

Soit q“pr avec p premier, il existe une constante Cq telle que pour tout n, µsymq pnq ďCqn.

Objectifs.

‚ Etablir des bornes th´´ eoriques :

‚ am´eliorer l’algorithme (´evaluations sur des places de degr´e sup´erieur, dissym´etrisation. . . )

‚ d´emontrer l’existence de corps de fonctions avec de meilleures propri´et´es

‚ Construire des algorithmes explicites pour la multiplication dansFqn, pourn choisi.

Figure

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Références

Sujets connexes :