Algorithme(s) de type Chudnovsky-Chudnovsky pour la multiplication dans les extensions ﬁnies de Fq

(1)

Algorithme(s) de type Chudnovsky-Chudnovsky pour la multiplication dans les extensions finies de F

q

Julia Pieltant Inria Saclay - ˆIle-de-France

Journ´ees C2 25 mars 2014

(2)

Plan

1. Introduction — Position du problème Différentes notions de complexité

Lien avec le problème de la détermination du rang de tenseur Complexité bilinéaire symétrique et asymétrique

2. Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Quelques bornes de complexité bilinéaire Algorithmes de type évalutation-interpolation

3. Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Principe g´en´eral

Application R´esultat principal Bornes th´eoriques

(3)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Diff´erentes notions de complexit´e

Complexit´e de la multiplication dansFqⁿ surFq :

Nombre minimal d’opérations élémentaires dansFq nécessaires pour calculer le produit de deux éléments quelconquesx,yPFqⁿ.

Types d’op´erations :

‚ addition :pα, βq ÞÑα`βo`uα, βPFq,

‚ multiplication scalaire :xiÞÑα¨xi o`uα,xiPFq, etαest une constante,

‚ multiplication non-scalaire ou bilinéaire :pxi,yjq ÞÑxiÿjoùxi,yjPF^q dépendent des élémentsxety deFqⁿ dont on effectue le produit.

Lenombre minimal de multiplications bilinéairesnécessaires pour effectuer le produit de deux éléments quelconques deFqⁿest appelécomplexité bilinéaire de la multiplication dansFqⁿ surFq, et notéeµqpnq.

(4)

‚ multiplication non-scalaire ou bilinéaire :pxi,yjq ÞÑxiÿjoùxi,yjPF^q dépendent des élémentsxety deFqⁿ dont on effectue le produit.

(5)

‚ multiplication non-scalaire ou bilinéaire:pxi,yjq ÞÑxiÿjoùxi,yjPF^q dépendent des élémentsxety deFqⁿ dont on effectue le produit.

(6)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Diff´erentes notions de complexit´e

Analyse des op´ erations d’un produit

SoitB:“ pe1, . . . ,enqune base deFqⁿ surFq. On d´efinit

eiej:“

n

ÿ

k“1

α_i,j,ke_kpour tousi,jP t1, . . . ,nu.

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

yiei deux ´el´ements deFqⁿ, on a

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

α_i,j,k¨x_i¨y_j

˛

‚e_k.

Nombre d’op´erations :

‚ n²multiplications bilin´eaires,

‚ n³multiplications scalaires,

‚ npn´1qpn`1qadditions d’´el´ements deFq.

(7)

Analyse des op´ erations d’un produit

eiej:“

n

ÿ

k“1

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

α_i,j,k¨x_i¨y_j

˛

‚e_k.

npn 1qpn 1qadditions d’´el´ements de .

(8)

Analyse des op´ erations d’un produit

eiej:“

n

ÿ

k“1

Soientx“

n

ÿ

i“1

xiei ety“

n

ÿ

i“1

xy“

n

ÿ

k“1

¨

˝

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

α_i,j,k¨x_i¨y_j

˛

‚e_k.

‚ npn´1qpn`1qadditions d’´el´ements deF^q.

(9)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Lien avec le probl`eme de la d´etermination du rang de tenseur

Soittmletenseur de la multiplicationdansFqⁿ:@x,yPFqⁿ, tmpxbyq “xy.

On considère unedécomposition detmenλtenseurs élémentaires, c-à-d on considère ai,biPF^‹qⁿ etciPFqⁿ tels que tousx,yPFqⁿ, on a

xy“tmpxbyq “

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. (1) Toute expression de type (1) est appeléealgorithme de multiplication bilinéaireU. Sacomplexitéλest notéeµpUq.

Ainsi

µqpnq “min

U µpUq

o`uU parcourt l’ensemble des algorithmes de multiplication bilin´eaire dansFqⁿ surF^q.

(10)

Complexité bilinéaire symétrique et asymétrique

Complexit´ e bilin´ eaire sym´ etrique

Definition

Un algorithme de multiplication bilin´eaire est ditsym´etriques’il admet une expression de la forme :

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci. (2)

pour tousx,yPFqⁿ, avecaiPF^‹qⁿ etciPFqⁿ

On définit alors lacomplexité bilinéaire symétriquede la multiplication dansFqⁿ sur Fq en posant :

µ^sym_q pnq:“ min

U^symµpU^symq

oùU^symparcourt l’ensemble des algorithmes symétriques de multiplication bilinéaire dansFqⁿ surF^q.

Rq. µqpnq ďµ^symq pnq

(11)

Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire

Le cas des extensions de

^!

petit

^"

degr´ e

Th´eor`eme (S. Winograd et H.F. de Groote (1979, 1983))

La complexité bilinéaire de la multiplication dansFqⁿ surFq vérifie µqpnq ě2n´1.

De plus,

µ^sym_q pnq “2n´1 ðñ nď q 2`1.

Th´eor`eme (Shokrollahi (1992)) Si nď1

2pq`1`pqqq, alors

µ^sym_q pnq ď2n o`upqq “

"

2?

q si q est un carr´e parfait, le plus grand entier plus petit que2?

q premier `a q sinon.

(12)

Lien avec les codes lin´ eaires

‚ A tout algorithme de multiplication bilin´` eaire sym´etrique de complexit´eλdansFqⁿ

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq:

Soienta_iPF^‹qⁿ,c_iPFqⁿ t.q. pour tousx,yPFqⁿ,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

On d´efinit le codeC par

C“Imφa

avec

φa: Fqⁿ ÝÑ F^λq

x ÞÝÑ `

a1pxq, . . . ,aλpxq˘

‚ Inversement, les^!supercodes exacts^"sont des codesrλ,nsqenbijectionavec les algorithmes de multiplication bilinéaire symétriques de complexitéλ.

[Shparlinski, Tsfasman, Vl˘adut¸, Curves with many points and multiplication in finite fields, AGCT-91]

(13)

Lien avec les codes lin´ eaires

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq: Soienta_i PF^‹qⁿ,c_iPFqⁿ t.q. pour tousx,yPFqⁿ,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

C“Imφa

avec

x ÞÝÑ `

(14)

Lien avec les codes lin´ eaires

surFq, on peut associer un code lin´eaireC rλ,n,ěnsq: Soienta_i PF^‹qⁿ,c_iPFqⁿ t.q. pour tousx,yPFqⁿ,

xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqaipyqci

C“Imφa

avec

x ÞÝÑ `

[Shparlinski, Tsfasman, Vl˘adut¸, Curves with many points and multiplication in finite fields, AGCT-91]

(15)

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1

Preuve.

Soit un algorithme de complexité bilinéaireλ:“µqpnq, c-à-d soientai,biPF^‹qⁿ,ci PFqⁿ t.q.

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

aipxqbipyqci. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

φa: Fqⁿ ÝÑ F^λq φb: Fqⁿ ÝÑ F^λq

x ÞÝÑ `

y ÞÝÑ pb1pyq, . . . ,bλpyqq

‚ φaetφbsont lin´eaires et injectives, doncCaetCbsont des codes lin´eairesrλ,nsq,

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqⁿ,t.q.xy“0.

Cons´equence.

d_minpCaq ą

„λ 2



ou d_minpC_bq ą

„λ 2



donc

„λ 2



ăλ´n`1 (borne de singleton)

(16)

Borne inf´ erieure

µqpnq ě2n´1 Preuve.

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

a_ipxqb_ipyqc_i.

SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

x ÞÝÑ `

Cons´equence.

d_minpCaq ą

„λ 2



ou d_minpC_bq ą

„λ 2



donc

„λ 2



(17)

Borne inf´ erieure

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

a_ipxqb_ipyqc_i. SoientCa:“ImφaetCb:“Imφb, o`u :

x ÞÝÑ `

Cons´equence.

d_minpCaq ą

„λ 2



ou d_minpC_bq ą

„λ 2



donc

„λ 2



(18)

Borne inf´ erieure

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

x ÞÝÑ `

Cons´equence.

d_minpCaq ą

„λ 2



ou d_minpC_bq ą

„λ 2



donc

„λ 2



(19)

Borne inf´ erieure

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

x ÞÝÑ `

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqⁿ, t.q.xy“0.

Cons´equence.

d_minpCaq ą

„λ 2



ou d_minpC_bq ą

„λ 2



donc

„λ 2



(20)

Borne inf´ erieure

@x,yPFqⁿ, xy“

λ

ÿ

i“1

x ÞÝÑ `

‚ Ca et Cb sont mutuellement intersectants : si pc,˜cq PCaˆCb sont `a supports disjoints, alorsc“0 ou ˜c“0 ; sinonDx,yPFqⁿ, t.q.xy“0.

Cons´equence.

dminpCaq ą

„λ 2



ou dminpCbq ą

„λ 2



donc

„λ 2



(21)

Algorithmes de type ´evalutation-interpolation

Algorithme de Karatsuba

Multiplication de deux polynômes de degré 1, à coefficients dans un corpsF : UpXq “aX`b VpXq “cX`d

But.D´eterminer les coefficientsp0,p1,p2PFdu produitUpXq ¨VpXq “p2X²`p1X`p0.

´Evaluations en 0,1,8:

Up0q “ b Up1q “ a`b Up8q “a

Vp0q “ d Vp1q “ c`d Vp8q “c

On calcule alors

p0“Up0qVp0q, p2“Up8qVp8q, p1“Up1qVp1q ´p0´p2. Complexit´e :3 multiplications bilin´eaires et 4 additions.

Généralisation au produit de deux polynômes de degrén: Complexité :O

´ n^log²^p3q

¯

multiplications bilin´eaires etOpnqadditions.

(22)

Algorithme de Karatsuba

On calcule alors

´ n^log²^p3q

¯

(23)

Algorithme de Karatsuba

On calcule alors

´ n^log²^p3q

¯

(24)

Algorithme de Karatsuba

On calcule alors

´ n^log²^p3q

¯

(25)

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Algorithme de Karatsuba

pour les polynômes de degré 1 ú évaluations surt0,1,8u PP¹pFq

Rappel.

‚ On note P¹pFqqladroite projectivesurFq : P¹pFqq:“

!

px,yq PA²pFqqztp0,0qu )

{∼

où∼est la relation d’équivalence définie par la colinéarité.

‚ C’est une courbe alg´ebrique de genre 0 avecq`1 points rationnels : P¹pFqq “

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

Idée. Généraliser la méthode de Karatsuba en faisant plus d’évaluationssur P¹pFq lorsque|F| ą2.

(26)

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Rappel.

!

{∼

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

Idée. Généraliser la méthode de Karatsuba en faisant plus d’évaluationssur P¹pFq lorsque|F| ą2.

(27)

Un premier pas vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky

Rappel.

!

{∼

! px: 1q

ˇ ˇ ˇxPFq

) Y t8u.

(28)

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qⁿ

(I)

SoitPpXq PFqrXsun polynôme unitaire de degrén, irréductible surFq. Alors

Fqⁿ»FqrXsL`

PpXq˘

et siαest une racine dePpXq, alorsB“ p1, α, α², . . . , α^n´1qest uneFq-base deFqⁿ.

Pour connaˆıtre le produit deux ´el´ementsx,yPFqⁿ t.q.

x“

n´1

ÿ

i“0

aiαⁱ et y“

n´1

ÿ

i“0

biαⁱ il suffit de d´eterminer les coefficients du produit des deux polynˆomes

ApXq “

n´1

ÿ

i“0

aiXⁱ et BpXq “

n´1

ÿ

i“0

biXⁱ car

xy“Apαq ¨Bpαq “ pABqpαq.

(29)

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qⁿ

(I)

SoitPpXq PFqrXsun polynôme unitaire de degrén, irréductible surFq. Alors

Fqⁿ»FqrXsL`

PpXq˘

et siαest une racine dePpXq, alorsB“ p1, α, α², . . . , α^n´1qest uneFq-base deFqⁿ. Pour connaˆıtre le produit deux ´el´ementsx,yPFqⁿ t.q.

x“

n´1

ÿ

i“0

aiαⁱ et y“

n´1

ÿ

i“0

biαⁱ il suffit de d´eterminer les coefficients du produit des deux polynˆomes

ApXq “

n´1

ÿ

i“0

aiXⁱ et BpXq “

n´1

ÿ

i“0

biXⁱ car

xy“Apαq ¨Bpαq “ pABqpαq.

(30)

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qⁿ

(II)

Supposons que #P¹pFqq ědegApXq ¨BpXq `1, i.e.q`1ě2n´1.

On choisitSĎP¹pFqqde cardinal 2n´1.

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS. 2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

3. Par interpolation, on retrouve les coefficients depABqpXq, et donc le produit xy“ pABqpαqdans la baseB.

Complexit´e bilin´eaire :#S“2n´1 multiplications.

Cons´equence.Sinďq

2`1, alorsµqpnq ď2n´1.

(31)

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qⁿ

(II)

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS.

2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

(32)

Multiplication de polynˆ omes et multiplication dans F

qⁿ

(II)

1. On d´etermine les ´evaluationsApwqetBpwqen tous les pointswdeS.

2. On calculepABqpwq “Apwq ¨Bpwq, pour toutwPS.

(33)

Rappel

De plus,

2pq`1`pqqq, alors

"

2?

(34)

Rappel

De plus,

2pq`1`pqqq, alors

"

2?

(35)

Correspondance entre courbes et corps de fonctions

Courbe Corps de fonctions

P¹pFqq Fqpxq,xtranscendant surFq

droite projective corps des fonctions rationnelles C:fpx,yq “0 F“Fqpxqpyqoùfpx,yq “0 courbe algébrique définie surFq avecfpx,Yq PFqpxqrYsirréductible

Exemple.

Courbe elliptique surF3:

E : y²“x³`x²`1 Corps de fonctions elliptiques associ´e :

F“F3px,yq “F3pxqpyq

(36)

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

Th´eor`eme (Waterhouse (1969))

Pour tout q puissance d’un premier, il existe un corps de fonctions elliptiquesF{Fqavec q`1`pqqplaces rationnelles.

´Evaluation-interpolation sur des courbes elliptiques :

‚ droite projective surFq ùcourbe elliptique,

‚ ´evaluations sur lesq`1`pqqpoints rationnels,

‚ Fqⁿ est identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL²où dimL²“2 dimL. Complexité bilinéaire : 2n.

Conclusion.Si 2nďq`1`pqq, alorsµqpnq ď2n.

N.B.C’est une application de l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky.

(37)

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

‚ Fqⁿest identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL²o`u dimL²“2 dimL.

Complexit´e bilin´eaire : 2n.

(38)

Evaluation sur de bonnes courbes elliptiques ´

‚ Fqⁿest identifi´e `aL, un espace de fonctions qui est unFq-ev de dimensionn,

‚ siu,vPLalorsu¨vPL²o`u dimL²“2 dimL.

Complexit´e bilin´eaire : 2n.

(39)

Principe g´en´eral

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

SoitF{Fq un corps de fonctions alg´ebriques d´efini surFq de genreg pour lequel on a

‚ Qune place de degr´en,

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble de N places rationnelles,

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,P_Nu “∅.

Si on a

(i) un morphisme deF^q-espaces vectorielssurjectif EvQ: LpDq ÝÑ FQ»Fqⁿ

f ÞÝÑ fpQq (ii) un morphisme deF^q-espaces vectorielsinjectif

Ev_P: Lp2Dq ÝÑ FP₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆFP_N »F^Nq

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘ alors

µ^sym_q pnq ďN.

Rq.En pratique, il suffit d’avoir

(i) degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Dans ce cas, la complexit´e de l’algorithme est µ^symqpnq ď2n`g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(40)

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

‚ Dun diviseur effectif tel que supppDq X tQ,P1, . . . ,P_Nu “∅. Si on a

f ÞÝÑ `

fpP1q, . . . ,fpPNq˘

alors

µ^sym_q pnq ďN.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(41)

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

f ÞÝÑ `

µ^sym_q pnq ďN.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(42)

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

f ÞÝÑ `

µ^sym_q pnq ďN.

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(43)

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble deNplaces rationnelles,

f ÞÝÑ `

µ^sym_q pnq ďN.

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n,

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(44)

Algorithme de multiplication dans F

qⁿ

‚ P:“ tP1, . . . ,PNuun ensemble deNplaces rationnelles,

f ÞÝÑ `

µ^sym_q pnq ďN.

(i)degpDq “n`g´1 et dimD“n, (ii)Ně2n`2g´1.

Borne de Serre

|N ´ pq ` 1q| ď g “ 2 ?

q ‰

(45)

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

SoitF{Fq² le corps d´efini par : F:“Fq²px,yq o`u y^q`y“x^q`1. Alors gpFq “^qpq´1q₂ et NpFq “q²`1`2gq“q³`1.

Si NpFq ě2n`2gpFq ´1 i.e. nď 1

2pq³´q²`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{F_q2 pour multiplier dansFq²ⁿ.

Exemple.Pourq:“4 : multiplication dans des extensionsF16ⁿ{F16.

On a gpF{F16q “6 et NpF{F16q “65 ; on peut donc d´eterminer un algorithme de multiplication dansF16ⁿ `a partir deF{F16tant quenď27.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µ^sym_q₂ pnq ď

(46)

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

2pq³´q²`q`2q

alors on peut appliquer l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonc- tionsF{F_q2pour multiplier dansFq²ⁿ.

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µ^sym_q₂ pnq ď

(47)

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

2pq³´q²`q`2q

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est :

(48)

Application

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky sur le corps de fonctions Hermitien

2pq³´q²`q`2q

Pournď27, la complexit´e bilin´eaire de l’algorithme obtenu est : µ^sym_q₂ pnq ď2n`5.

(49)

Application

Cas des petites extensions F

16ⁿ

de F

16

6

n

1

2q²`1“9 , // // . // // -

´

evaluations sur P¹pF16q µ^sym

q² pnq “2n´1

pg“0q

“₁

2pq²`1`2qq‰

“12 *

´evaluations sur courbe elliptique d´efinie surF16

avec 2npoints rationnels :µ^sym

q² pnq “2n pg“1q

1

2pq³´q²`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

evaluations sur le corps de fonctions HermitienF{F16

µ^sym

q² pnq “2n`5

pg“6q

(50)

Application

Cas des petites extensions F

16ⁿ

de F

16

6

n

1

2q²`1“9 , // // . // // -

´

q² pnq “2n´1

pg“0q

“₁

2pq²`1`2qq‰

“12 *

1

2pq³´q²`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

µ^sym

q² pnq “2n`5

pg“6q

(51)

Application

Cas des petites extensions F

16ⁿ

de F

16

6

n

1

2q²`1“9 , // // . /

´

evaluations sur P¹pF16q µ^sympnq “2n´1

pg“0q

“₁

2pq²`1`2qq‰

“12 *

1

2pq³´q²`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

µ^sym

q² pnq “2n`5

pg“6q

(52)

Application

Cas des petites extensions F

16ⁿ

de F

16

6

n

1

2q²`1“9 , // // . // // -

´

q² pnq “2n´1

pg“0q

“₁

2pq²`1`2qq‰

“12 *

1

2pq³´q²`q`2q “27 , // // // // // // // // . // // // // // // // // -

´

µ^sym

q² pnq “2n`5

pg“6q

(53)

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky R´esultat principal

L’application de l’algorithme sur unesuite asymptotiquement bonne de corps de fonc- tionsprouve que la complexité bilinéaire de la multiplication dansFqⁿsurFqestlinéaire enn:

Th´eor`eme (Chudnovsky et Chudnovsky (1987))

Soit q“p^r avec p premier, il existe une constante Cq telle que pour tout n, µ^sym_q pnq ďCqn.

Objectifs.

‚ Etablir des bornes th´´ eoriques :

‚ améliorer l’algorithme (évaluations sur des places de degré supérieur, dissymétrisation. . . )

‚ démontrer l’existence de corps de fonctions avec de meilleures propriétés

‚ Construire des algorithmes explicites pour la multiplication dansFqⁿ, pourn choisi.

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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky R´esultat principal

L’application de l’algorithme sur unesuite asymptotiquement bonne de corps de fonc- tionsprouve que la complexité bilinéaire de la multiplication dansFqⁿsurFqestlinéaire enn:

Th´eor`eme (Chudnovsky et Chudnovsky (1987))

Soit q“p^r avec p premier, il existe une constante Cq telle que pour tout n, µ^sym_q pnq ďCqn.

Objectifs.

‚ Etablir des bornes th´´ eoriques :

‚ améliorer l’algorithme (évaluations sur des places de degré supérieur, dissymétrisation. . . )

‚ démontrer l’existence de corps de fonctions avec de meilleures propriétés

‚ Construire des algorithmes explicites pour la multiplication dansFqⁿ, pourn choisi.