Devoir de Contrôle Devoir de Contrôle Devoir de Contrôle Devoir de Contrôle N° N° N° N° 2222 ::::

Devoir contrôle N°

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Devoir contrôle N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 1

La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur

_f

ℝ . On note f la dérivée ' de la fonction f. On sait que :

− la courbe coupe l’axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point C de coordonnées ( ^{− 2 ; 0} ) ^.

− la courbe admet au point B d’abscisse 1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses ;

− l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C .

_f

1) A partir du graphique et des renseignements fournis : a- Déterminer lim f ( x )

x→−∞

et lim f ( x )

x→+∞

. b- Déterminer ^{f '} ( ) ^{0 et f '} ( ) ^{1 .}

2) Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f . ' Déterminer laquelle. (Justifier)

3) Soit g la fonction définie sur IR par ^g ( ) ^{x =} [ ^f ( ) ^x ]

²

^.

a- Exprimer ^g' ( ) ^{x pour x} ∈ ^IR . b- Donner le sens de variation de g . Exercice N°1 :

^{3 points}

^{points points points}

3333

^{ème ème ème ème}

Maths Maths : M Maths Maths

3+1 Date : le 26 / 2 / 2011

Devoir de Contrôle Devoir de Contrôle Devoir de Contrôle

Devoir de Contrôle N° N° N° 2222 :::: N°

Mathématiques Mathématiques Mathématiques Mathématiques

Enseignants : Belkacem Habib Ghadhab Lassad

Durée : 2heures Coefficient : 4

A B

C

C

f

C

1

Courbe Courbe C

₂

Courbe C

₃

0,5 0,75 0,5

0,5

0,75

Devoir contrôle N°

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Devoir contrôle N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 2 On considère la fonction f définie par ( )

1 2 2

2 4

= −

x Cos

x x Sin

f .

1) a – Résoudre dans [ ] ^{0 ,} π l’équation : 2 Cos 2 x − 1 = 0 . b – Résoudre dans [ ] ^{0 ,} π l’inéquation : ^f ( ) ^{x ≥ 0 .}

2) Montrer que pour tous réels a et b différents de + k ; k ∈

2 π

π ℤ ,

( ) ( ) ( )

Cosb Cosa

b a b Sin

Tan a

Tan

= + +

3) Soit  

 

−

∈ , 6 6

π

x π .

a – En utilisant la question2), démontrer que ( ) ^



 



 +

+

 

 



 −

= 3 3

π π Tan x x

Tan x

f .

b – Exprimer 



 



 12

f π en fonction de 



 



 12 5 π

Tan .

c – En déduire que : 3 2

12

5  = +



 



 π

Tan .

R = ( ^{O i j , , r r} ) est un repère orthonormé direct du plan.

OABC est un carré de centre S tel que OA = 2 ,

( ) ^{i ,}

^∧

^{OA ≡ π} ₃ ^{[ ] 2 π et C} ( ^{3 , − 1} ) dans le repère R 1) Déterminer les cordonnées cartésiennes des points A et B

2) Déterminer les cordonnées polaires de chacun des points C, B et S.

3) En déduire la valeur de 



 



 12

Cos π et 



 



 12 Sin π

Dans un plan orienté P , on considère un triangle équilatéral direct ABC. On note I le milieu de [ ] ^BC

Soit



 



=

 ,3

1 π

A

R

r la rotation de centre A et d’angle 3 π ,

et par



 



 −

=

3 , 2

2 π

B

R

r la rotation de centre B et d’angle 3 2 π

− .

Soit D le symétrique de A par rapport à I.

Exercice N° 3:

^{3 points}

^{points points points}

Exercice N° 4:

^{5 points}

^{points points points} Exercice N° 2:

^{4 points}

^{points points points}

0,5 1

0,5

0,75 0,25 1

1

1,25

0,75

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Devoir contrôle N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 3 1) a – Quelle est la nature du quadrilatère ABDC .

b – Montrer que ^r

2

( ) ^{A = D}

2) Soit ^B ' = ^r

2

( ) ^C . Montrer que B est le milieu de [ ] ^{AB . '}

3) On pose f = r

₂

o r

₁⁻¹

.

a – Montrer que S _{( )}

_AB

o S _{( )}

_AI

= r

₁⁻¹

( r

₁⁻¹

est la réciproque de r )

₁

b – Montrer que S _{( )}

_BC

o S _{( )}

_BA

= r

₂

c – En déduire que f est une symétrie centrale dont on précisera le centre.

d – Soit ^M

1

= ^r

1

( ) ^M et ^M

2

= ^r

2

( ) ^M

Montrer que I est le milieu de [ M

1

M

2

] . 4) a – Construire le point E tel que ^r

1

( ) ^{D = E} . b – Montrer que E, C et B sont alignés.

c – En déduire que C est le milieu de [ ] ^{BE .}

Soit la fonction

x m x x x

f

_m

+ 5 +

:

2

a où m un paramètre réel non nul.

On désigne par ζ

_m

la courbe de f dans un repère orthonormé

_m

^{R =} ( ) ^{O , i , j .}

1) a – Montrer que la droite ∆ définie par une équation y = x + 5 est une asymptote à ζ

m

aux voisinages de + ∞ et − ∞ .

b – Etudier les variations de f suivant les valeurs de m .

_m

c – En déduire l’ensemble des réels m tels que f admette un minimum et un

_m

maximum.

2) Soient M et N les points de ζ

_m

correspondants au maximum et au minimum de f .

_m

a – Calculer les coordonnées de M et N en fonction de m .

b – Déterminer l’ensemble de ces points lorsque m varie.

3) Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe

₁

ζ

₁

^. Exercice N° 5:

^{5 points}

^{points points points}

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 1,5 0,5

0,5

0,5

1,5