Devoir de SynthèseDevoir de SynthèseDevoir de SynthèseDevoir de Synthèse N° N° N° N° 2222 ::::

Devoir Devoir Devoir

Devoir Synthès Synthès Synthès Synthèse e e e N° N° N° N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.

1) Soit z un nombre complexe. Le conjugué de iz + 1 est :

a) − iz + 1 b) − i z − 1 c) − i z + 1 2) Le nombre complexe z

₁

= − 2 ( Cos θ + iSin θ ) est égal à :

a) [ 2 , θ + π ] b) [ − 2 , θ ] c)  

 

+ 2 ,

2 θ π

3) Si 6

π est u n argument de z alors un argument de iz

z est :

a) 6 5 π

− b) 2

− π c) 3 2 π

− 4) Si z un nombre complexe tel que z = 2 alors z z + 3 i =

a) 13 b) 5 c)1

Soit u la suite réelle définie par u

₀

= 2 et pour tout n ∈ IN , u

_n+1

= 6 + u

_n

1) Montrer que pour tout n ∈ IN , 0 ≤ u

_n

≤ 3

2) Montrer que la suite u est croissante.

3) Montrer que pour tout 3

3 3 1

,

₁

− ≤ −

∈ IN u

_n+

u

_n

n

4) Montrer que pour tout

n n

u IN

n 3

3 1

, − ≤

∈

5) Déterminer la limite de la suite u .

6) Soit v la suite réelle définie sur IN

^*

par : ∑

=

=

ⁿ

k k

n

u

v n

0

1

a- Montrer que pour tout k IN

_k

u

_{k k}

3 3 1 3

3 1

, − ≤ ≤ +

∈

b- Montrer que pour tout 



 



 − +

+

≤

≤

 

 



 −

− +

∈

^* _{+1 +1}

3 1 1 2

3 3 3

3 1 1 2

3 3 3

,

_{n n n}

n v n

n IN n

n

c- En déduire la limite de la suite v Exercice N°1 :

^{3 points}

^{points points points}

3333

^{ème ème ème ème}

Maths Maths : M Maths Maths

1+2+3 Date : le 03 / 04 / 2011

Devoir de Synthèse Devoir de Synthèse Devoir de Synthèse

Devoir de Synthèse N° N° N° N° 2222 ::::

Mathématiques Mathématiques Mathématiques Mathématiques

Enseignants : Belkacem. H Ghadhab.L – Machta.F

Durée : 3heures Coefficient : 4

Exercice N° 2:

^{5 points}

^{points points points}

Devoir Devoir Devoir

Devoir Synthès Synthès Synthès Synthèse e e e N° N° N° N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 2

Dans le plan complexe ࣪ ࣪ ࣪ ࣪ , muni d'un repère orthonormé direct ( ) ^{O , u , v ,}

On désigne par f l’application qui à tout point M de ࣪ ࣪ ࣪ ࣪ _{, d’affixe z ≠ 2} , associe le point M ' d’affixe z ' par :

' 2

= − z

z iz .

Soit les points A, B et C d’affixes respectives: z

_A

= i et z

_B

= 2 1) Déterminer l’image de A par f .

2) Déterminer l’ensemble des points M tels que z ' = 1 . 3) a – Vérifier que : ( )( ^{z ' − i z − 2} ) ^{= 2 i .}

b – En déduire :

• la valeur de AM ' × BM .

• que ( ) ^π ( ^, ) ^{[ ] 2 π}

' 2 ,

∧

∧

≡ − u BM AM

u . Rappel : ( ) ^{u ,}

^∧

^{AB ≡ arg ( z}

^B

^{− z}

^A

^{) [ ] 2 π}

c – Montrer que si M appartient au cercle _ζ de centre B et de rayon 2, alors le point M ' appartient au cercle ζ ' dont on précisera le centre et le rayon.

d – Soit D un point d’affixe z

_D

= 1 + 3 + i et D ' l’image de D par f.

i. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z

_D

− 1 . ii. Déterminer la valeur de AD ' et une mesure de ( ^{u , AD '} ) ^.

iii. En déduire une construction de D ' .

I – La courbe C ci-contre représente une fonction g

_g

définie sur ] ^{− ∞ , − 1} ] [ ^{∪ 1 , +∞} [ ^{par g} ( ) ^{x = 2 − x}

²

^x

²

^{− 1}

dans un repère orthonormé ( ) ^{O , , i j .}

1) Calculer ^g ( ) ^{2 et g} ( ) ^{− 2 .}

2) Par une lecture graphique : a- Déterminer ^g ( ) ^x

x

lim

→−∞

et ^g ( ) ^x

x

lim

→+∞

b- g est elle dérivable à droite en 1 ? justifier et déterminer

( )

( )

1 lim 2

1

−

−

→ +

x x g

x

.

c- Déterminer le signe de ^g ( ) ^{x pour x ∈} ] ^{− ∞ , − 1} ] [ [ ^{∪ 1 , +∞}

Exercice N° 3:

^{5 points}

^{points points points}

et

Exercice N° 4:

^{7 points}

^{points points points}

Devoir Devoir Devoir

Devoir Synthès Synthès Synthès Synthèse e e e N° N° N° N°2222 de mathématiques de mathématiques de mathématiques de mathématiques 3 II – Soit f la fonction définie sur ] ^{− ∞ , − 1} ] [ ^{∪ 1 , +∞} [ ^par ( ) ^{= 2}

²

^{− 1 − x + 1}

x x x

f

On désigne par C

_f

la courbe représentative de f dans le même repère orthonormé ( ) ^{O , , i j}

1)

a- Etudier la dérivabilité de f à droite en 1 et à gauche en − 1 . Interpréter les résultats.

b- Calculer ^f ( ) ^x

x

lim

→+∞

et ^f ( ) ^x

x

lim

→−∞

. Interpréter les résultats

c- Montrer que la droite _∆ d’équation y = − x + 3 est une asymptote à C

_f

en _{+ ∞} et la droite ∆ ' d’équation y = − x − 1 est une asymptote à C

_f

en − ∞

2)

a- Montrer que pou tout x ∈ ] − ∞ , − 1 [ ] [ ∪ 1 , +∞ on a ( ) ( )

1

' =

2 2

−

x x

x x g

f

b- Déterminer le tableau de variations de f

3) Montrer que le point ^I ( ) ^{0 , 1} est un centre de symétrie de C

_f

4) Construire ∆ , ∆ ' et C

_f

.