Cor. 5: Éolienne Sujet page 33

2.9 Exercices 35

2.9.1 Corrigés

Cor. 5: Éolienne Sujet page 33

Q1.Le solide 1 possède un plan de symétrie (O,#»_x1,#»_z1) , les deux produits d’inertie comportant_y#»₁sont donc nuls.

IA(S1)=

⎛

⎝A₁ 0 −E1

0 B₁ 0

−E1 0 C₁

⎞

⎠ Ax#»1 ,y#»1 ,z#»1

Q2a.Relation entreλ,μet les masses

m_2AG# »

2=m2a·# »_AG

2a+m2b·_AG# » 2b

=m2a·_AG# » 2+_G# »

2G2a

+m2b·_AG# » 2+_G# »

2G_2b

#»_0=m 2a·_G# »

2G_2a+m_2b·_G# » 2G_2b=

λ·m2a+μ·m_2b

·_x#»₂ λ·m2a= −μ·m2b

Q2b.Le solide 2aest modélisé par un cylindre d’axe (A,_x#»_{1), donc}

I_G2a(2a)=

⎛

⎜⎜⎜⎜

⎝ 1

2m2a·R² 0 0

0 m_2a· ^R2₄ +^H2₁₂

0

0 0 m2a· ^R2₄ +^H2₁₂

⎞

⎟⎟⎟⎟

⎠ G2ax#»2 ,#»y2 ,#»z2

Q2c.Le solide 2_best modélisé par une plaque rectangulaire d’épaisseur négligeable, donc

I_G2b(2_b)=

⎛

⎜⎜⎝

m_2b·^a2₁₂^+b2 0 0 0 m_2b·^b₁₂² 0

0 0 m_2b·^a₁₂²

⎞

⎟⎟⎠ G2x#»2 ,#»y2 ,#»z2

Q2d.On déplace, grâce au théorème de Huygens les deux matrices d’inertie en G₂.

I_G2(2_a)=I_G2a(2_a)+m_2a·

⎛

⎝0 0 0

0 λ² 0

0 0 λ²

⎞

⎠

=

⎛

⎜⎜⎜⎜

⎝

12m_2a·R² 0 0

0 m_2a· ^R2₄ +^H2₁₂+λ²

0

0 0 m_2a· ^R2₄ +^H2₁₂+λ²

⎞

⎟⎟⎟⎟

⎠ G2aB2

I_G2(2_b)=I_G2b(2_b)+m_2b·

⎛

⎝0 0 0

0 μ² 0

0 0 μ²

⎞

⎠

=

⎛

⎜⎜⎜⎜

⎝

A_2b=m2b·^a2₁₂^+b2 0 0

0 B_2b=m_2b· ^b₁₂²+μ²

0

0 0 C_2b=m2b· ^a₁₂²+μ²

⎞

⎟⎟⎟⎟

⎠ G2B2

on pose

I_G2(2a)=

⎛

⎝A2a 0 0

0 B2a 0

0 0 B2a

⎞

⎠ G2B2

etI_G2(2_b)=

⎛

⎝A_2b 0 0

0 B_2b 0

0 0 C_2b

⎞

⎠ G2B2

finalement

I_G2(2₎=

⎛

⎝A₂=A_2a+A2b 0 0

0 B₂=B_2a+B2b 0

0 0 C2=B2a+C2b

⎞

⎠ G2B2

Q3.Le point A est un point fixe dans le mouvement de S₁par rapport au répère R₀, on sait alors que

# »

σ_A,S1/R0=I_A1(S₁)·_Ω# » S1/R0.

36 2 Cinétique

En A dans la base#»_x1,#»_y1,#»_z1.

# » σ_A,S1/R0=

⎛

⎝A₁ 0 −E1

0 B₁ 0

−E1 0 C₁

⎞

⎠·

⎛

⎜⎝0 0 α˙

⎞

⎟⎠= −E1·α·˙ _x#»_1+C1·˙α·#»_z1

d’où C_S1

R0= _p# »

S1/R0=#»₀ B

C

# »

σ_A,S1/R0= −E1·α·˙ _x#»_{1+C1·α·˙ z}#»_1A Q4.En A point fixe, on peut écrire

# » δ_A1,S1/R0=

d dt_σ# »

A1,S1/R0

R0= −E1·α·¨ _x#»_1−E1·α˙²_·y#»_{1+C1·α·¨ z}#»₁

# » δ_A1,S1/R0·_z#»_0=C1·α¨

Q5.En G₂, centre d’inertie de S₂on peut écrire

# »

σ_G2,S2/R0=I_A2(S₂)·_Ω# »

S2/R0=I_A2(S₂)·_Ω# » S2/S1+_Ω# »

S1/R0

Le vecteur_Ω# »

S2/R0doit être écrit dans la même base que la matrice d’inertie_x#»_2,#»_y2,z#»_2.

# »

Ω_S2/R0=α·˙ _z#»₁₊˙β·_x#»_{1=α·cosβ·˙} #»_{z2+α·sinβ˙ ·y}#»₂₊β˙·_x#»₂ En G₂dans la base_x#»_2,#»_y2,#»_z2

# » σ_G2,S2/R0=

⎛

⎝A₂ 0 0

0 B₂ 0

0 0 C₂

⎞

⎠·

⎛

⎜⎝

β˙ α·sinβ˙ α·cosβ˙

⎞

⎟⎠=A2·˙β_x#»_{2+B2·α·sinβ˙ ·y}#»_{2+C2·α·cosβ˙} #»_z2

d’où le torseur cinétique C_S2/R0

= _p# »

S2/R0=m2·_V# » G2∈S2/R0

# » σ_G2,S2/R0

G2

=

m2·l·α·˙ _y#»₁

A₂·β˙_x#»_{2+B2·α·sinβ·˙} #»_{y2+C2·α·cosβ˙ z}#»₂

G2 Q6.On a T_{S1,S2}R₀=T_S1R₀+T_S2R₀, avec T_S1R₀=

C_S1 R₀⊗

V_S1

R₀et T_S2R₀= C_S2

R₀⊗ V_S2

R₀, l’énergie cinétique ne dépendant pas du point de calcul, il est judicieux de calculer T_S1R₀=en A et T_S2R₀en G₂.

T_S1/R0= C_S1

R0⊗ V_S1

R0

=

_p# »

S1/R0=#»₀

# »

σ_A,S1/R0= −E1·α·˙ _x#»_{1+C1·α·˙ z}#»₁

A

⊗ α·˙ _z#»₀

#»₀ A

=C1·α˙²

T_S2/R0= C_S2

R₀⊗ V_S2

R₀=

m_2V# » G2∈S2/R0

# » σ_G2,S2/R0

G2

⊗ _Ω# »

S2/R0

# » V_G2∈S2/R0

G2

=

m₂·l·α·˙ #»_y1

A2·β˙#»_{x2+B2·α·sinβ·˙} #»_{y2+C2·α·cosβ˙ z}#»₂

G2

⊗

α·˙ _z#»₀₊β˙·_x#»₁ l·α˙_y#»₁

G2

=A₂·β˙²+B2·α˙²·sin²β· +C2·α˙²·cos²β+m2·l²·α˙²

Cor. 6: Pompe à palettes - cinétique Sujet page 34

Q1.

V_2/1

= _Ω# »

2/1=α·˙ #»_z1

#»₀

O2 Pour le solide 3, on a_Ω# »

3/1=_Ω# » 3/2+_Ω# »

2/1=_Ω# » 2/1et

# » V_E∈3/1=d_O# »

1E dt =d_O# »

1O₂ dt +d_O# »

2D dt +d_DE# »

dt = −d·α·˙ _x#»₂₊λ·˙ #»_{x2+λ·α·˙ y}#»₂ d’où le torseur cinématique en E

V_3/1

=

_Ω# »

3/1=α·˙ _z#»₁

# »

V_E∈3/1= −d·α·˙ _x#»₂₊˙λ·_x#»_2+λ·α·˙ #»_y2

E .

et en G V_3/1

=

_Ω# »

3/1=α·˙ _z#»₁

# »

V_G∈3/1= −d·α·˙ #»_x2+˙λ·_x#»_2+λ−^l 2

·α·˙ #»_y2

G . Q2.On écrit la fermeture géométrique :

# » O₁O₂+_O# »

2D+_DE# »_+EO# »

1=#»_{0→ −e·x}#»_1+d·y#»_2+λ·x#»_2+EO# » 1=#»_{0 .} On pose_O# »

1E=R·cosθ·#»_{x1+R·sinθ·}#»_y1ce qui permet d’écrire :

−e·_x#»_1+d·#»_y2+λ·x#»_{2−R·cosθ·x}#»_{1−R·sinθ·}#»_y1=#»₀

2.9 Exercices 37

d’où l’on déduit les deux équations scalaires projetées sur_x#»_1ety#»_1: −e−d·sinα+λ·cosα+R·cosθ=0

d·cosα+λ·sinα+R·sinθ=0⇒

⎧⎪

⎨

⎪⎩

λ=e·cos(α)±

e²·(cos(α)²−1)−2·e·d·sin(α)+R²−d² tanθ= d·cosα+λ·sinα

−e−d·sinα+λ·cosα Seule la valeur positive deλa un sens technologique.

Q3.O₂est un point fixe dans le repère galiléen, C_2/1

=

#»₀

# »

σ_O2,2/1=I_O2(2/1)·_Ω# » 2/1

O2

=

#»₀

# »

σ_O2,2/1=C2·α·˙ #»_z2

O2 D_2/1

=

#»₀

# »

δ_O2,2/1=C2·α·¨ #»_z2

O2

Q4.Il est judicieux ici d’écrire la matrice en G dans la baseB2.

IG(3)=

⎛

⎜⎜⎝

A3=m3·^h₁₂² 0 0

0 B₃=m3·^l2+h₁₂² 0

0 0 C3=m3·^l₁₂²

⎞

⎟⎟⎠ Gx#»2 ,y#»2 ,z#»2

Q5.

C_3/1

=

m₃·_V# » G∈3/1

# » σG,3/1

G

=

−d·m3·α·˙ _x#»_2+m3·˙λ·#»_x2+m3·λ−^l 2

·α·˙ _y#»₂

# »

σG,3/1=C3·α·˙ #»_z2

G Q6.En G, il suffit de dériver le torseur cinétique.

D_3/1

=

m₃·_Γ# » G∈3/1

# » δG,3/1

G

=

−d·m3·ω²·_y#»_2+m3·¨λ·_x#»_2+m3·λ·ω˙ #»_{y2−m3·λ−}^l 2

·ω²·_x#»_2+m3·˙λ·α·˙ #»_y2

# » δG,3/1=#»₀

G