A rendre le lundi 26 septembre` 1 / 1
Devoir Maison 02
Probl` eme : racines cinqui` emes de l’unit´ e
On se place dans le planP muni d’un rep`ere orthonormal(O;#»u ,#»v)d’unit´e graphique quatre centim`etres et on noteθ=2π5 et ω=eiθ.Arepr´esente le point d’affixe1 etB le point d’affixeω.
1. (a) Exprimer les racines cinqui`emes de l’unit´e en fonction deω et repr´esenter leurs imagesA,B, C,D et E.
(b) Justifier queABCDEest un pentagone r´egulier.
2. (a) En remarquant que Ω = 1 +ω+ω2+ω3+ω4 est une somme de termes cons´ecutifs d’une suite g´eom´etrique, calculerΩ.
(b) En d´eduire que :
1 +ω+w+ω2+ω2= 0
3. (a) Factorisercos 2xpour toutx∈Ret exprimercos 2xen fonction decosx.
(b) En d´eduire que4 cos2θ+ 2 cosθ−1 = 0.
(c) En d´eduire enfin la valeur exacte decosθpuis celle desinθ.
(d) Propose une m´ethode pour v´erifier les valeurs obtenues decosθ etsinθ`a l’aide de Maple® . (e) Exprimercos 2xen fonction desinxet en d´eduire la valeur exacte desinθ2.
4. (a) Justifier que les droites(CE)et(BA)sont parall`eles si et seulement si le quotient ω−ω1−ω2, dor´enavant not´eϕ, est un nombre r´eel.
(b) Exprimer ϕ en fonction de cosθ et en donner une valeur approch´ee au milli`eme pr`es. Comment interpr´eter ce nombreϕsur la figure ?
ϕest commun´ement appel´e le nombre d’or.
5. (a) Lin´earisersin2xpour toutx∈R.
(b) D´emontrer que AB = 2 sinθ2. En d´eduire la valeur exacte de AB puis une valeur approch´ee au milli`eme pr`es.
(c) Exprimer l’aire deABCDE en fonction de sinθ. En d´eduire la valeur exacte de cette aire puis une valeur approch´ee au milli`eme pr`es.
6. Le «Pentagone» est le quartier g´en´eral du d´epartement de la D´efense des ´Etats-Unis d’Am´erique. Ce bˆatiment est pr´esent´e comme ´etant un pentagone r´egulier d’une surface de 137 000 m`etres carr´es, la longeur de chaque mur externe ´etant de280m`etres (source : wikipedia.org).
Ces r´esultats sont-ils conformes aux calculs pr´ec´edents ?
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
