Modélisation mathématique et numérique de la combustion de brouillards de gouttes polydispersés

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Modélisation mathématique et numérique de la

combustion de brouillards de gouttes polydispersés

Frédérique Laurent

To cite this version:

Frédérique Laurent. Modélisation mathématique et numérique de la combustion de brouillards de gouttes polydispersés. Mathématiques [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2002. Français. �tel-00185806�

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d’ordre : 122-2002 Année 2002

THÈSE

présentée devant

l’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON 1 pour l’obtention

du DIPLÔME DE DOCTORAT (arrêté du 30 mars 1992)

Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES présentée et soutenue publiquement le 23 septembre 2002

par

Frédérique LAURENT

Modélisation mathématique et numérique de la

combustion de brouillards de gouttes polydispersés

Directeurs de thèse : Marc MASSOT

Vitaly VOLPERT

JURY : MM. V. GIOVANGIGLI Président

S. CORDIER Rapporteur

J.M. ROQUEJOFFRE Rapporteur

L. VERVISCH Rapporteur

C. CHEVERRY

J.F. MAITRE

M. MASSOT Directeur de thèse

P. VILLEDIEU

V. VOLPERT Directeur de thèse

M. LANCE invité

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Remerciements

Je tiens d’abord à remercier Marc Massot, qui a principalement dirigé mes recherches. Par de nom-breuses discussions scientifiques, il a su animer et motiver ce travail. Je lui suis également reconnaissante pour sa disponibilité, pour son enthousiasme communicatif et pour ses conseils.

Merci à Vitaly Volpert pour m’avoir initiée à l’utilisation de méthodes de degré topologique, ainsi que pour les discussions fructueuses que j’ai pu avoir avec lui.

Je remercie particulièrement Vincent Giovangigli de l’intérêt qu’il a porté à mes travaux. Il m’a fait un grand honneur en présidant mon jury de thèse.

Je souhaite exprimer ma reconnaissance et ma gratitude à Messieurs Stéphane Cordier, Jean-Michel Roquejoffre et Luc Vervisch qui ont bien voulu prendre sur leur temps pour être rapporteurs de cette thèse. Toute ma gratitude s’adresse également à Messieurs Christophe Cheverry, Jean-François Maître, Philippe Villedieu, Michel Lance et à Madame Michelle Schatzman qui ont bien voulu faire partie de ce jury.

Certains collègues ont participé aux travaux présentés dans ce manuscrit : l’équipe du Center for Com-bustion Studies de Yale University, et en particulier M.D. Smooke, A. Gomez et V. Santoro pour les compa-raisons expérimentales du chapitre 3 ; Philippe Villedieu de l’ONERA, Centre de Toulouse, pour le cas des sprays denses, chapitre 4. Je les en remercie.

Je tiens à remercier Jean-François Maître pour les discussions que nous avons eu et pour ses conseils, concernant la partie analyse numérique. Je regrette qu’il n’ait pu assister à ma soutenance.

Merci à Mohand Moussaoui qui m’a orientée vers ce sujet, lorsque je cherchais mon stage de DEA. Je le remercie également du soutien qu’il m’a accordé ensuite.

Je remercie le CNRS pour avoir financé ma thèse en m’accordant une Bourse de Docteur Ingénieur. Merci à Magali Ribot, à Claire Borde et aussi à Michaël Belk pour avoir relu certaines parties de ce manuscrit. Merci également à Thierry Dumont pour sa disponibilité, son aide et son efficacité, concernant notamment des problèmes d’informatique.

Merci à mon fiancé, Jérôme, à mon frère, Amaury et à mes parents pour l’aide qu’ils m’ont apporté, notamment le jour de ma soutenance, pour l’organisation du pot. Et un énorme merci à Jérôme qui m’a supportée et soutenue pendant toute ma thèse.

Enfin, je salue chaleureusement tous ceux que j’ai côtoyés pendant ces trois ans au sein du laboratoire de Mathématiques Appliquées de Lyon et notamment les personnels, aussi bien administratifs que scientifiques. En particulier, je remercie Magali Ribot, Adrien Petrov, Thierry Dumont, Stéphane Genieys et les autres, pour la bonne ambiance qu’ils génèrent à Lyon 1 et pour les parties de billard.

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Table des matières

Remerciements 3

Introduction 13

1 Introduction à la modélisation et à la simulation 23

1.1 Mise en équation de la phase gazeuse . . . 25

1.1.1 Équations de bilan . . . 26

1.1.2 Lois de comportement, propriétés de transport . . . 27

1.1.3 Relations thermodynamiques . . . 28

1.1.4 Relations de cinétique chimique . . . 29

1.1.5 Équations des flammes isobares . . . 30

1.2 Modèle cinétique du brouillard de gouttelettes . . . 31

1.2.1 Équation de transport . . . 31

1.2.2 Modèle d’évaporation . . . 32

1.2.3 Modèle de traînée . . . 35

1.2.4 Opérateur de collision menant à la coalescence . . . 35

1.2.5 Opérateur de fragmentation . . . 36

1.2.6 Termes sources . . . 38

1.3 Modèles pour la résolution numérique de la phase liquide . . . 38

1.3.1 Méthodes généralement utilisées . . . 38

1.3.2 Modèles multi-fluides eulériens . . . 40

1.4 Flammes de diffusion à contre-courant . . . 42

1.4.1 Équations stationnaires 2D axisymétriques . . . 43

1.4.2 Transformation de similarité . . . 43

1.4.3 Code utilisé . . . 44

1.5 Discussion du modèle semi-cinétique . . . 48

2 Multi-fluid modeling of laminar poly-disperse spray flames 53 2.1 Introduction . . . 54

2.2 General modeling of the problem . . . 56

2.3 Modeling of the dispersed phase . . . 58

2.3.1 First multi-fluid model: the sectional approach . . . 59

2.3.2 Second multi-fluid model: the sampling . . . 62

2.4 Restrictions associated to the sectional approach . . . 65 7

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8 TABLE DES MATIÈRES

2.4.1 Refinement of the droplet model, history terms . . . 65

2.4.2 A case out of the validity limit . . . 66

2.5 Spray counterflow diffusion flames . . . 68

2.5.1 Modeling . . . 68

2.5.2 Two flames, inlet conditions . . . 69

2.5.3 Numerical Approach . . . 70

2.5.4 Cost, influence of droplet models and validity of the assumptions . . . 72

2.5.5 Results and Discussion . . . 74

2.6 A 1D stationary case with no dynamical effect . . . 78

2.7 Conclusion and perspectives . . . 80

3 Computations and experiments 85 3.1 Introduction . . . 86

3.2 Experimental Technique . . . 88

3.3 General modeling of the coupled two-phase system . . . 89

3.3.1 Modeling of the gaseous phase . . . 89

3.3.2 Modeling of the dispersed phase . . . 90

3.3.3 Droplet model . . . 93

3.4 Numerical methods . . . 94

3.5 Optimal discretization for both multi-fluid models . . . 95

3.5.1 Fundamentals . . . 95

3.5.2 Application to multi-fluid methods . . . 98

3.6 Numerical comparisons . . . 99

3.6.1 A 1D stationary case with pure vaporization . . . 100

3.6.2 Heptane Flames . . . 101

3.6.3 Influence of discretization on a methanol flame model . . . 104

3.6.4 Cost . . . 106

3.7 Comparison with experiments . . . 106

3.8 Conclusion . . . 108

3.9 Acknowledgements . . . 109

4 Eulerian multi-fluid modeling for dense sprays 113 4.1 Introduction . . . 114

4.2 Modeling of the spray at the kinetic level . . . 116

4.2.1 Williams transport equation . . . 116

4.2.2 Coalescence operator . . . 116

4.3 Eulerian Multi-fluid Model . . . 118

4.3.1 Semi-kinetic model . . . 118

4.3.2 Eulerian multi-fluid model . . . 119

4.4 Precalculation of the various coefficients . . . 121

4.4.1 Precalculation of the coalescence collisional integrals : Algorithm . . . 122

4.4.2 Precalculation of the vaporization coefficients and mean drag . . . 125

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TABLE DES MATIÈRES 9

4.5.1 Definition of configuration . . . 126

4.5.2 A reference Lagrangian solver . . . 128

4.5.3 Characteristic computation parameters, reference solution . . . 131

4.5.4 Eulerian solver, computational cost . . . 131

4.5.5 Eulerian results for the monomodal test case . . . 133

4.5.6 Eulerian Results for the bimodal test case . . . 134

4.6 Discussion and Conclusion . . . 136

4.7 Appendix I . . . 139

4.8 Appendix II . . . 140

5 Analyse numérique 143 5.1 Introduction . . . 143

5.2 Modèle cinétique . . . 144

5.3 Analyse Numérique de la méthode sectionnelle . . . 145

5.3.1 Méthode sectionnelle pour la configuration étudiée . . . 146

5.3.2 Ordre du schéma semi-discrétisé . . . 146

5.3.3 Théta-schéma : stabilité et positivité . . . 151

5.3.4 Choix optimal de la discrétisation et de la forme de la distribution dans chaque section153 5.4 Simulations instationnaires de la méthode sectionnelle . . . 154

5.4.1 Configuration et Modèle cinétique . . . 154

5.4.2 Schéma numérique . . . 155

5.4.3 Résultats . . . 156

5.5 Méthodes d’ordre supérieur . . . 160

5.5.1 Méthode à m moments . . . 160

5.7 ANNEXE . . . 167

5.7.1 Introduction . . . 168

5.7.2 Modèle cinétique et méthode multi-fluide Eulérienne pour la configuration étudiée . 169 5.7.3 Ordre du schéma semi-discrétisé . . . 170

5.7.4 Théta-schéma : stabilité et positivité . . . 171

6 Propagation de flammes ; limite d’un Lewis infini 175 6.1 Introduction . . . 175

6.2 Formulation du problème : cas d’une réaction d’ordre n . . . 176

6.3 Degré topologique . . . 178

6.3.1 Opérateurs et espaces . . . 178

6.3.2 Opérateurs linéaires . . . 178

6.3.3 Opérateur propre . . . 180

6.3.4 Existence du degré topologique . . . 180

6.3.5 Système de réaction-diffusion . . . 181

6.3.6 Introduction du système perturbé . . . 182

6.4 Estimations a priori . . . 183

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10 TABLE DES MATIÈRES

6.4.2 Monotonie . . . 185

6.4.3 Estimations . . . 186

6.5 Existence de solution pour le système perturbé . . . 188

6.5.1 Réduction du système transformé . . . 189

6.5.2 Définition du degré topologique . . . 189

6.5.3 Estimations dans l’espace à poids et conclusion . . . 190

6.6 Passages à la limite . . . 194

6.6.1 Résultat préliminaire . . . 194

6.6.2 Existence de solution pour le problème avec diffusion . . . 194

6.6.3 Passage à la diffusion nulle . . . 195

6.7 Généralisation à une chimie complexe . . . 196

6.7.1 Formulation du problème . . . 196

6.7.2 Changement de variables . . . 197

6.7.3 Estimations a priori . . . 198

6.7.4 Existence de solutions pour le système secondaire . . . 199

6.7.5 Passages à la limite . . . 200

6.9 ANNEXE . . . 203

6.9.1 Introduction . . . 204

6.9.2 Estimations a priori . . . 206

6.9.3 Existence de solution du système . . . 207

6.9.4 Passages à la limite . . . 208

7 Propagation of plane polydispersed Spray Flames. 211 7.1 Introduction . . . 212

7.2 Polydispersed spray flame model . . . 213

7.2.1 Polydispersed spray flame . . . 213

7.2.2 Solutions as mono-dimensional traveling waves . . . 216

7.2.3 Use of a Eulerian multi-fluid model for the spray . . . 219

7.2.4 Introducing turbulence and diffusion . . . 220

7.3 Topological degree . . . 222

7.3.1 General reaction-diffusion operator . . . 223

7.3.2 Introduction of a perturbed system . . . 223

7.4 A priori estimates . . . 225

7.4.1 Preliminary lemmas . . . 226

7.4.2 Monotonicity . . . 227

7.4.3 General estimates . . . 229

7.4.4 Behavior of solutions at infinity . . . 232

7.5 Existence result for the system . . . 232

7.5.1 Existence and uniqueness for the transformed system . . . 233

7.5.2 Estimates in the Hölder space . . . 234

7.5.3 Definition of the topological degree . . . 235

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TABLE DES MATIÈRES 11

7.5.5 Conclusion . . . 240

7.6 Limits . . . 241

7.6.1 Limit on the parameter . . . 241

7.6.2 Limit on the parameter . . . 242

7.6.3 Limit on the diffusion coefficient . . . 243

7.6.4 Limit on the number of sections . . . 243

7.8 Acknowledgments . . . 248

8 Conclusions et Perspectives 253 8.1 Conclusions . . . 253

8.2 Perspectives . . . 254

8.2.1 Modélisation des écoulements à inclusions dispersés - Calcul scientifique . . . 254

8.2.2 Analyse numériques . . . 254

8.2.3 Propagation de flammes . . . 254

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Introduction

L’étude des phénomènes de combustion présente un grand intérêt pour la compréhension et l’améliora-tion de nombreuses applical’améliora-tions industrielles comme les moteurs diesels, les fours industriels ou les moteurs fusées. C’est pourquoi de plus en plus de travaux leur sont consacrés, qui permettent déjà une bonne modé-lisation de la combustion des mélanges gazeux que ce soit pour des flammes laminaires ou turbulentes, des flammes de prémélange ou de diffusion (voir par exemple [Gio99a], [SG92], [VP97], [Bou02]). Plus récem-ment, des chercheurs se sont intéressés à des systèmes présentant également une phase liquide sous forme d’inclusions dispersées. Ces systèmes sont importants car, dans la plupart des applications industrielles, le combustible est stocké sous forme condensée et est injecté, dans la chambre de combustion, sous forme d’un brouillard de gouttelettes. La présence de cette phase liquide a une forte influence sur la structure et la dynamique de flamme, ainsi que sur le rendement d’un moteur ou sur la quantité de polluants produits, et ce, même si le brouillard de gouttelettes est dilué, c’est-à-dire, même si la fraction volumique de liquide est

typiquement inférieure à

.

Les phénomènes mis en jeu sur ce type de configuration sont alors complexes : on peut citer, par exemple, l’évaporation des gouttelettes, la traînée, les collisions entre gouttelettes ou leur fragmentation, tous ces phé-nomènes étant couplés entre eux et avec la phase gazeuse et sa turbulence. D’autre part, des phéphé-nomènes instationnaires sont aussi présents, comme des instabilités de combustion dans les réacteurs LPP conçus par SNECMA qui mettent en jeu des flammes gazeuses de prémélange pauvres où un flash-back peut se produire [SNLP02]. Les essais expérimentaux et la simulation numérique apportent une compréhension physique de tous ces phénomènes à une échelle globale et sont les outils de base de la recherche industrielle. Cette com-préhension repose sur une modélisation de l’ensemble des phénomènes élémentaires qui interviennent dans ces configurations réalistes. Il s’agit donc, dans un premier temps, d’isoler ces phénomènes élémentaires, d’en comprendre la physique et d’en donner des modèles pertinents.

Dans un second temps, des asymptotiques peuvent être envisagées pour mieux comprendre le comporte-ment qualitatif du système. Par exemple, l’asymptotique des grandes énergies d’activation a fait l’objet d’une vaste littérature. L’étude mathématique de la structure des équations aux dérivées partielles correspondant au modèle est un préliminaire important de cette étape. Elle permet également d’apporter des informations fondamentales sur la qualité du modèle et sur des schémas numériques adaptés pour le simuler. Ces études qualitatives sont faites sur des modèles les plus simples possibles, qui prennent en compte les principaux aspects physiques. Ainsi, des phénomènes comme la propagation de flammes font l’objet d’études mathéma-tiques. Pour des systèmes simplifiés, sans convection, ces flammes sont décrites par des ondes progressives pour un système de réaction-diffusion avec un modèle thermo-diffusif. L’existence et l’unicité de telles ondes ont déjà été démontrées dans le cas de flammes purement gazeuses en faisant appel à des méthodes de degré topologique (voir par exemple [VVV94], [Gio99b], [BNS83], [Mar85], [Bon95], [BBL93]). Leur stabilité a également été montrée (voir, par exemple [VVV94], [Roq92], [BLS94]). Cependant, ces études

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14 INTRODUCTION

sont peu avancées dans le cas de milieux hétérogènes et notamment sur la propagation de flamme en pré-sence d’un brouillard de gouttes, où seul le cas monodispersé a été abordé [BD02]. La raison principale de cette situation est que les méthodes utilisées dans le cas homogène, comme les méthodes de degré topolo-gique, s’appliquent mal à ce type de configurations, modélisé par un couplage fluide-cinétique. En effet, une dimension supplémentaire de l’espace des phases est alors introduite, celle des tailles de gouttes, dimension selon laquelle aucun phénomène de diffusion n’a lieu, les opérateurs n’étant alors plus elliptiques.

La première étape de ce travail de thèse est donc la modélisation détaillée de phénomènes élémentaires intervenant dans les flammes diphasiques, comme l’évaporation couplée à la dynamique des gouttelettes. Les phénomènes d’atomisation, se produisant en général près des injecteurs, ne sont pas pris en compte dans cette thèse où la phase liquide est supposée dispersée et décrite de manière statistique. Pour ce type de phénomènes, des modèles eulériens ont été développés dans [VBB02]. Afin d’isoler les phénomènes liés à l’évaporation et la traînée des gouttes, on s’intéresse essentiellement à des flammes laminaires. Cependant, le but est bien sûr de généraliser ensuite les modèles au cas de la turbulence [MLB 02], qui fait, parallèlement, l’objet d’études, publiés principalement dans la littérature physique [RV00], [RMV01], [KG97]. Un aspect important de ce type de flamme est la polydispersion du brouillard (c’est-à-dire la coexistence de gouttelettes de tailles différentes) qui influence fortement la structure de flamme lorsqu’on a affaire à un large spectre de tailles de gouttelettes [MKGS98].

La modélisation des brouillards de gouttelettes repose sur une description cinétique sous forme d’une fonction densité de probabilité à chaque instant, dépendant de la position, de la taille, de la vitesse et de la température des gouttelettes. L’évolution du brouillard est alors décrite par une équation de transport, de type Boltzmann, introduite par Williams en 1958 [Wil58]. La méthode la plus souvent utilisée pour résoudre numériquement ce problème est une méthode de discrétisation stochastique lagrangienne. Elle commence avec les travaux de O’Rourke [O’R81] et Dukowicz [Duk80] au début des années 80 et est actuellement utilisée en pratique dans de nombreux codes industriels ou semi-industriels (voir par exemple [AOB89], [Hyl99]). Il s’agit d’une discrétisation numérique, de type particulaire, de l’équation de transport qui permet de résoudre l’évolution du brouillard. Elle pose le problème du couplage entre une méthode eulérienne de description pour la phase gazeuse et une description lagrangienne de la phase dispersée. D’autre part, elle s’avère très coûteuse pour traiter les problèmes instationnaires.

Pour diminuer les coûts de calculs, en particulier pour des problèmes instationnaires et générer des codes implicites et optimisés, des modèles eulériens semblent une solution appropriée. Des méthodes de moments, ou modèles bi-fluides, ont été introduites dans le cadre de la description de la dynamique de particules. Elles peuvent être obtenues, dans le cas dilué, à partir de l’équation de transport. Cependant, dans le cas de brouillards de gouttelettes, l’inertie et donc la dynamique de chaque goutte dépend de manière essentielle de sa taille. Les méthodes de moments sont donc trop imprécises pour décrire une structure de flamme puisque l’on s’en tient à une description “en moyenne” de la granulométrie du brouillard. On peut alors prendre des moments en vitesse et considérer plusieurs échantillons dans l’espace des phases en taille [DS97], mais cela ne permet ni de traiter correctement les interactions des gouttes entre elles, ni de décrire précisément le couplage entre la dynamique du brouillard polydispersé et son évaporation.

L’idée consiste alors à considérer une approche alternative dite multi-fluides eulérienne qui consiste en une méthode de moments pour certaines variables de l’espace des phases, correspondant à la vitesse et la température des gouttes, tandis qu’une discrétisation type volumes finis est introduite pour la variable de taille des gouttes. Elle permet de conserver le maximum d’informations sur la granulométrie du brouillard

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INTRODUCTION 15

tout en préservant l’avantage d’un coût raisonnable des méthodes eulériennes. Elle nous sert également dans des études théorique sur l’existence d’onde progressive décrivant la propagation de flammes diphasiques. Enfin, cette méthode fait l’objet d’études dans le cadre d’un projet “recherche aéronautique sur le superso-nique” [MLB 02] du Réseau de Recherche et d’Innovation Technologique, le but final étant de réaliser des simulations aux grandes échelles de flammes turbulentes instationnaires. Mais les applications possibles ne se limitent pas à la combustion en présence d’un brouillard de gouttes. Elles s’étendent aussi aux domaines de la propulsion solide, comme par exemple les réacteurs d’Ariane V, où des particules d’alumine forment la phase solide dispersée [Hyl99]. Un modèle eulérien, tenant compte des différentes tailles de particules et capable de décrire les interactions entre particules présenterait encore une alternative avantageuse, surtout dans des configurations instationnaires, aux méthodes lagrangiennes actuellement utilisées [Gue01]. Dans le même ordre d’idée, d’autres applications sont en vue, comme l’étude de la formation des planètes dans les disques de turbulence stellaire [Cha00].

Cette thèse est consacrée, tout d’abord, à la mise en place de ces méthodes multi-fluides eulériennes, à leur simulation et leur validation par comparaisons expérimentales et numériques sur des cas test. Il est éga-lement indispensable de réaliser l’analyse numérique de la discrétisation dans l’espace des phases en taille, au moins sur des cas simplifiés ne prenant en compte que l’évaporation, afin d’étendre ce type d’approches à l’ordre élevé. Enfin, ces méthodes permettent des études théoriques sur la propagation de flammes dans les milieux hétérogènes. Détaillons les différentes étapes de ce travail.

Le premier chapitre est une introduction, en français, aux chapitres 2, 3 et 4 qui sont rédigés en anglais, sous forme d’articles publiés ou soumis. Il s’agit de présenter la problématique liée à la modélisation des flammes laminaires diphasiques, problématique qui sera traitée dans les chapitres suivants. On y détaille la modélisation de flammes diphasiques et laminaires, modélisation qui passe par une description précise de chacune des phases. Pour la phase gazeuse, il s’agit de considérer une chimie complexe, un transport détaillé et de décrire les échanges avec le liquide. On utilise donc les équations des flammes isobares [Gio99a], dé-rivées des équations de Navier-Stokes multi-espèces réactif [GM98], [Gio99a] sous l’hypothèse des faibles nombres de Mach, avec des conditions aux limites de pression constante. La phase liquide occupe un volume suffisamment faible pour que son influence sur le gaz soit bien décrite au travers de termes sources ajoutés à ces équations. Les termes décrivant le transport et la chimie sont alors détaillés.

Pour la phase liquide, il importe de bien décrire l’aspect polydispersé du brouillard de gouttes (large spectre de tailles de gouttes) qui influence la structure de flamme [MKGS98], mais aussi de décrire l’évapo-ration, le chauffage et la traînée des gouttes. On donne donc le modèle cinétique, en détaillant des modèles d’évaporation, de traînée, de coalescence et de fragmentation des gouttes. Les termes sources pour la phase gazeuse peuvent alors être évalués. Des modèles lagrangien ou eulérien ont été développés pour résoudre nu-mériquement l’équation cinétique. Cependant, leur coût dans certaines situations ou leur imprécision nous amène à envisager des modèles eulériens plus précis : les méthodes multi-fluides eulériennes dont nous donnons, dans ce chapitre, les grandes lignes.

Une configuration particulière intéressante pour valider expérimentalement mais aussi numériquement ces modèles est la flamme de diffusion à contre-courant stationnaire [MKGS98], [GDS 96]. En effet, celle-ci fait l’objet de mesures expérimentales au Center for Combustion Studies de Yale University. De plus, ce cas se ramène à un cas monodimensionnel et permet des simulations détaillées. On peut ainsi utiliser les méthodes numériques spécialement développées pour la combustion en phase gazeuse avec une chimie

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16 INTRODUCTION

complexe et un transport détaillé (itération pseudo-instationnaire, méthodes de Newton amorties pour les systèmes mal conditionnés, bibliothèques optimisées d’évaluation de coefficients de transport et des taux de production chimique) [SCSG90].

On se consacre ensuite plus particulièrement à la modélisation de la phase liquide et, surtout, de son aspect polydispersé.

Le chapitre 2 est consacré aux modèles multi-fluides eulériens pour la phase liquide. Tambour et al. ont proposé et formalisé un premier modèle complètement eulérien qu’ils ont appelé l’approche sectionnelle [GAT86]. L’idée est de considérer la phase liquide comme un ensemble de milieux continus, les “fluides”, chaque fluide correspondant à une moyenne statistique effectuée entre deux tailles de gouttes fixées, la section. Le fluide est alors gouverné par les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et d’enthalpie. Les calculs des différents termes d’échanges entre sections ou avec le gaz se font alors via le choix de la forme de la fonction de distribution dans chaque section, cette forme étant supposée invariante au cours du calcul. Greenberg et al. [GST93] ont tenté de faire le lien entre cette méthode et la description cinétique du spray. Cependant, ils n’ont jamais mené à terme l’obtention de ces équations multi-fluides à partir de l’approche cinétique, ni identifié les hypothèses sous-jacentes au modèle, ni enfin comparé ce type de modèle aux méthodes classiques d’échantillonnage.

Dans ce deuxième chapitre, nous présentons un cadre rigoureux d’hypothèses permettant l’obtention des équations de conservation de l’approche sectionnelle à partir du modèle cinétique. L’hypothèse importante est qu’en chaque endroit et à chaque instant, les gouttes de même taille sont caractérisée par une seule vitesse et une seule température. On montre, sur un cas test peu réaliste, que cette hypothèse peut être restrictive, l’approche sectionnelle ne permettant alors pas de décrire les couplages entre la dynamique des gouttes et leur évaporation. Dans le domaine d’application de l’approche sectionnelle, des comparaisons numériques avec une méthode eulérienne d’échantillonnage sont réalisées dans le cas réaliste d’une flamme de diffusion à contre-courant.

On constate alors que, si l’on raffine suffisamment la discrétisation de la fonction de distribution des gouttes en terme de taille, les deux méthodes (sectionnelle et échantillonnage) donnent des résultats simi-laires excepté pour le rayon de Sauter moyen (rapport entre le volume moyen et la surface moyenne des gouttes), surestimé par l’approche sectionnelle. Les comparaisons ont alors été effectuées dans le cadre d’un problème plus simple, purement 1D, sans effet dynamique ni thermique. Il s’agit de l’évaporation d’un spray polydispersé dans un gaz chaud, où les gouttes sont injectées à la température de saturation. Alors, la fonction de distribution du spray vérifie une équation d’advection à vitesse constante dans l’espace des phases et on dispose donc d’une solution analytique. On montre que la méthode d’échantillonnage est plus précise que la méthode sectionnelle ; elle génère cependant des oscillations dues intrinsèquement à la repré-sentation d’une fonction continue par une somme de masses de Dirac. D’autre part, il apparaît que le choix de la forme de la fonction de distribution dans chaque section (constante en rayon, surface ou volume) est arbitraire, contrairement à ce qui a été écrit dans [GST93], [Dom01]. Ce point sera traité dans le chapitre 5, grâce à l’analyse numérique de la méthode.

Le chapitre 3 est consacré aux comparaisons expérimentales et à la réduction du nombre de degrés de liberté. En collaboration avec l’équipe du Center for Combustion Studies de Yale University, on propose une amélioration de l’approche sectionnelle permettant une diminution du nombre de variables ainsi que des comparaisons avec les données expérimentales. Cette diminution du nombre de variables est essentielle pour aller vers une application du modèle à des problèmes multi-dimensionnels.

(18)

INTRODUCTION 17

Les comparaisons numériques du chapitre précédent semblent montrer que l’approche sectionnelle dé-crit mal l’évaporation des grosses gouttes. D’autre part, des comparaisons entre l’approche sectionnelle et des mesures expérimentales [GDS 96], [MKGS98] ont déjà été menées sur les flammes de diffusion à contre-courant. Elles montrent que même si la structure de flamme est bien décrite, l’approche section-nelle sous-estime l’évaporation des grosses gouttes par rapport aux mesures expérimentales. Ceci est dû à l’approche sectionnelle elle-même, mais aussi aux faibles statistiques pour la queue de la fonction de distri-bution expérimentale, surtout près du front d’évaporation (il y a peu de grosses gouttes, mais elles apportent chacune une quantité non négligeable de masse).

Dans ce chapitre, le but est donc d’améliorer la description expérimentale, mais aussi la modélisation de la fonction de distribution des gouttes. D’un point de vue expérimental, un effort particulier a été fait sur les mesures afin d’obtenir des statistiques de grande qualité et une information complète sur la fonction de distribution de masse en fonction de la taille des gouttes. Un aspect important de ce travail était de déterminer le comportement de la queue de la fonction de distribution : on constate que la fonction de distribution décroît de manière exponentielle en fonction de la surface des gouttes, à partir d’une certaine taille de goutte. De plus, cette forme reste quasiment la même tout au long de l’évaporation. Cette constatation permet de traiter l’ensemble des tailles de gouttes, sans limite supérieure, évitant ainsi le problème de conditions aux limites, problème qui se pose pour la considération de la coalescence des gouttes (cf chapitre 4). D’autre part, cela permet de bien évaluer la quantité de masse initiale pour chaque section ou chaque groupe de gouttes dans les simulations avec la méthode sectionnelle et la méthode d’échantillonage. On peut alors comparer les simulations aux expériences. Enfin, la connaissance précise du comportement de la fonction de distribution continue permet, pour l’approche sectionnelle, un bon choix de la position des sections et de la forme de la fonction de distribution modélisée. Cela entraîne une réduction significative du nombre d’inconnues (et donc, du temps de calcul) et ce, avec une précision équivalente : on passe de 30 à seulement 6 sections, pour une même précision. Finalement, les comparaisons entre les simulations pour les deux modèles de la phase liquide et les mesures expérimentales donnent d’excellents résultats, ce qui permet de valider les modèles.

Le chapitre 4 est consacré à la généralisation du modèle aux brouillards denses. En effet, dans les pré-cédents chapitres, les brouillards de gouttes considérés sont dilués et on peut négliger les collisions entre les gouttes. Dans les brouillards denses qui voient un différentiel de vitesse raisonnable avec le milieu gazeux environnant, le spectre de taille de gouttes évolue du fait de la coalescence. La modélisation de ces termes fait intervenir de manière cruciale, pour les gouttes qui possèdent une certaine inertie, la vitesse relative des partenaires de collision. Dans une note [MV01] M. Massot et P. Villedieu (ONERA, Centre de Toulouse) justifient, à partir du modèle cinétique, un modèle multi-fluides eulérien qui prend en compte la dépendance des efficacités de collision en la vitesse relative des particules. Cette justification complète du modèle re-pose notamment sur les hypothèses faites dans le chapitre 3 sur la queue de la fonction de distribution du brouillard qui permet de traiter l’ensemble des tailles de gouttes.

Cela suggère une méthode numérique où toutes les intégrales de collision, d’apparition et de disparition par coalescence sont calculées dans un pré-traitement, une fois pour toutes. C’est ce qui est développé dans ce chapitre. Le modèle et le pré-traitement y sont détaillés. De plus, ce genre de méthode multi-fluides eu-lérienne y est comparé aux algorithmes stochastiques lagrangiens utilisés, par exemple, dans les codes de l’ONERA [VH97]. Pour cela, on a réalisé l’algorithme permettant d’effectuer le pré-traitement et implé-menté le modèle avec coalescence dans le code existant. D’autre part, deux cas tests de comparaison ont été définis, sur des configurations de tuyère. Ils permettent de valider la méthode multi-fluides eulérienne dans

(19)

18 INTRODUCTION

le cas de sprays denses. On obtient ainsi, pour la première fois, un modèle eulérien capable de décrire des interactions entre gouttes.

Le chapitre 5 est consacré à l’analyse numérique des méthodes multi-fluides eulériennes. En effet, ces méthodes ont été validées dans des cas particuliers par des comparaisons numériques ou expérimentales dans les chapitres précédents. Le chapitre 3 donne également un moyen de discrétiser la fonction de distribution avec un petit nombre de sections, afin d’avoir une bonne précision à faible coût. Cependant, ni la précision de ces méthodes, ni le choix de la discrétisation suivant la variable de taille des gouttelettes ou la forme de la fonction de distribution dans chaque section n’ont été discutés dans le cas général, lorsque l’on augmente le nombre de sections. C’est pourquoi il était important de réaliser leur analyse numérique.

Un aspect essentiel que doivent décrire les méthodes multi-fluides eulériennes est l’évaporation des gout-telettes : il est important de comprendre comment elle agit sur la masse de fuel en phase vapeur. Pour mieux isoler ses effets, on considère donc la configuration, déjà introduite dans [Dom01] et dans le chapitre 2, d’un écoulement 1D, stationnaire, sans effet dynamique ni thermique : l’évaporation d’un spray poly-dispersé dans un gaz chaud où les gouttelettes sont injectées à la température d’équilibre. L’espace des phases se réduit alors à la position et la taille des gouttes et la fonction de distribution des gouttes vérifie une équation d’advection à vitesse constante dont on connaît une solution analytique. Dans ce cas simplifié, et moyen-nant une hypothèse de régularité de la fonction de distribution, on montre que le schéma correspondant à la méthode sectionnelle est d’ordre 1, moyennant une compatibilité entre la variable (rayon, surface, volume des gouttelettes...) en laquelle la répartition des sections est choisie uniforme et celle en laquelle la fonction de distribution approchée est choisie constante dans chaque section. D’autre part, les conditions CFL né-cessaires à la stabilité du -schéma pour la discrétisation en espace ainsi que la positivité des variables sont précisées. Cette étude nous a permis de conclure que le ’bon choix’ de discrétisation (meilleur compromis entre précision, stabilité et positivité) est une discrétisation uniforme en surface et une distribution choisie constante en rayon.

Elle nous a ensuite menés à définir d’autres méthodes multi-fluides eulériennes d’ordre plus élevé, qui conservent les avantages de l’approche sectionnelle. Le principe est alors de considérer non plus directement la densité massique pour chaque section, mais des moments en surface pour chaque section. La fonction de distribution du spray est alors approchée à partir de ces moments (elle est prise polynômiale dans chaque section) et la masse est calculée à partir de cette distribution approchée. Dans le cas d’une fonction de distri-bution régulière, on aboutit à des méthodes d’ordres arbitrairement élevés, toujours dans une configuration 1D sans effet dynamique ni thermique. On s’intéresse alors plus particulièrement à la méthode d’ordre 2. Il s’agit de l’adapter de sorte qu’elle respecte le principe du maximum discret.

Cette analyse nous permet de considérer la propagation de flammes en présence d’un spray polydispersé. Cette configuration est décrite par un système de réaction-diffusion pour un modèle thermo-diffusif du gaz, couplé au modèle cinétique du spray, le couplage s’effectuant au travers d’un terme source de combustible dans les équations du gaz et au travers du terme d’évaporation dans l’équation du liquide. Les flammes qui se propagent sont alors décrites par des ondes progressives du système complet. L’existence de telles ondes a été démontrée dans le cas purement gazeux, dans [BNS83] pour une chimie simple, dans [VVV94] pour un système de réactions irréversibles, formant un graphe ouvert et dans [Gio99b] pour une chimie complexe formée de réactions réversibles et avec un transport détaillé. Les démonstrations utilisent des méthodes de degré topologique : le degré de Leray-Schauder pour [BNS83] et [Gio99b] ou un degré topologique pour des opérateurs elliptiques dans des domaines non bornés dans [VVV94].

(20)

INTRODUCTION 19

Cependant, ces méthodes s’adaptent mal au cas diphasique. En effet, le système obtenu est un couplage d’équations différentielles ordinaires pour la phase gazeuse avec une équation aux dérivées partielles pour la phase liquide, à cause de la présence de la variable de taille des gouttes. Une discrétisation par une méthode multi-fluides eulérienne permet de résoudre ce problème puisque l’on passe d’une équation au dérivées partielles à un système dynamique d’équations différentielles ordinaires. Mais, à cause de l’absence de diffusion de la phase liquide, les opérateurs ne sont pas elliptiques. L’idée est alors de rajouter une diffusion que l’on fait tendre ensuite vers 0.

Avant d’étudier la propagations de flammes diphasiques, une première étape, traitée dans la chapitre 6, est le passage à la limite d’une diffusion nulle, sur une configuration plus simple de flamme gazeuse. On rejoint alors des études sur les ondes progressives dans des milieux condensés [LL96]. Un problème qui se pose dans ces conditions est la continuité de l’onde lors de ce passage à la limite.

On commence par démontrer une nouvelle fois l’existence d’ondes pour le système avec diffusion en utilisant une nouvelle méthode, basée sur un ajout de petits termes et sur la définition du degré topologique pour des opérateurs elliptiques dans des domaines non bornés [VVC99]. D’autre part, on montre que l’on peut passer à la limite quand le coefficient de diffusion tend vers 0 et qu’on obtient ainsi une solution pour le système sans diffusion faisant aussi le lien entre les ondes progressives des deux types de systèmes.

Le chapitre 7 est alors consacré à la démonstration l’existence de la propagation de flammes planes, en présence d’un brouillard de gouttes polydispersé. Pour éviter les problèmes liés au nombre infini de taille de gouttelettes, on introduit une discrétisation de la fonction de distribution : une méthode multi-fluides eulérienne. On a vu au chapitre 5 que cette méthode est d’ordre 1 et l’on pourra ainsi passer à la limite sur le nombre de sections pour retrouver le modèle cinétique.

Les méthodes utilisées sont alors les mêmes que dans le chapitre précédent : on introduit une diffusion sur les gouttelettes (qui peut s’interpréter comme une légère agitation due à de la turbulence), on ajoute des petits termes supplémentaires bien choisis et on utilise une méthode de degré topologique. Ainsi, dans le

cas d’un nombre de Lewis supérieur à

où

est un réel non négatif lié à la forme de la fraction de vapeur saturante et à la température des gaz froids, on montre l’existence d’ondes. Ce résultat ouvre sur des perspectives d’études de propriétés qualitatives de telles flammes, comme des études de stabilité. Il amène également à des études asymptotiques, dans la limite des hautes énergies d’activation.

Les travaux présentés dans ce mémoire ont été menés dans le cadre de cinq projets financés :

– Bonus Qualité Recherche de l’Université Claude Bernard Lyon 1 2001-2002 (“Modélisation des milieux ré-actifs : Interaction des Mathématiques avec Biologie, Chimie et Physique” ; coordonnateur scientifique : M. Massot ; responsables scientifiques : S. Génieys, M. Massot et V. Volpert)

– Abondement ANVAR (“Modélisation des Milieux réactifs : Interaction des Mathématiques avec Chimie et Phy-sique” ; responsable : M. Massot),

– Projet Supersonique 2001-2003 (Second Appel à Proposition “Recherche aéronautique sur le supersonique”, Réseau de Recherche et d’Innovation Technologique, Ministère de la Recherche ; responsable : M. Massot), – Projet Jeunes CNRS (responsables : M. Massot et V. Volpert) “Modélisation mathématique et numérique des

milieux réactifs” (1999-2001),

– Bourse OTAN (Collaborative Research Grant CRG972212, project coordinator : M. Massot, 1998-2001) ras-semblant le "Center for Combustion Studies" de Yale University, USA, le Centre de Math. Appli. de l’Ecole Polytechnique et MAPLY sur le sujet “Laminar spray diffusion flames : Modelling, Computations and Experi-ments”.

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(24)

Chapitre 1

Introduction à la modélisation et à la

simulation de flammes diphasiques

laminaires

Dans la plupart des applications industrielles de la combustion, comme les moteurs diesels, les fours industriels ou les moteurs fusée, les combustibles sont stockés sous forme condensée et sont injectés dans la chambre de combustion, sous forme d’un brouillard de gouttelettes (appelé aussi spray). Le milieu est alors constitué d’une phase gazeuse continue (la phase porteuse) dans laquelle se trouve une phase liquide discontinue formée de gouttelettes (la phase dispersée). Ceci est encore vrai dans le cadre des particules d’alumine dans les Boosters de la fusée Ariane [Hyl99] où le spray est constitué de particules de tailles très différentes et où la coalescence des particules joue un rôle important dans la modélisation de la flaque d’alumine dans le fond du Booster.

Un aspect fondamental de ce type d’écoulement est que la fraction volumique

de la phase liquide est très petite, sans que sa fraction massique soit négligeable. En effet, pour les hydrocarbures par exemple, la masse volumique de la phase liquide étant très grande par rapport à celle du gaz (avec un rapport d’environ

), même lorsqu’on se trouve aux proportions stœchiométriques, le volume occupé par le gaz est bien plus

important que celui de la phase liquide. La valeur de

définit les différents types de sprays [O’R81] : par

exemple, s’il est de l’ordre de

, on a affaire à un spray dilué (thin spray) et s’il est de l’ordre de

, on a affaire à un spray dense (thick spray). Dans tous les cas, la présence de cette phase liquide a une forte influence sur la structure de la flamme ou de l’écoulement et doit être prise en compte dans la modélisation. Dans le but de comprendre les paramètres physiques importants pour la description de flammes dipha-siques ou de manière plus générale pour la description d’écoulement diphadipha-siques à inclusions dispersées, nous avons pris le parti de commencer par étudier et modéliser de manière détaillée des écoulements lami-naires. Cela permet d’isoler les difficultés liées à la modélisation de la turbulence dans un premier temps.

L’extension des travaux présentés dans ce mémoire au cas turbulent est en cours [RMV01], [MLB02],

[RM02]. Le cadre des écoulements laminaires reste physiquement très riche : des interactions variées sub-sistent, la plus importante pour les flammes homogènes que nous considérons, étant l’interaction entre gouttes et flammes à travers le processus de vaporisation couplé à la dynamique et au chauffage des gout-telettes. Mais nous voulons aussi pouvoir décrire tant les interactions de gouttes à travers le phénomène de coalescence que leur fragmentation ou l’interaction goutte-paroi, phénomènes dont nous avons

(25)

24 CHAPITRE 1. INTRODUCTION À LA MODÉLISATION ET À LA SIMULATION

ralement des modèles à un niveau cinétique de description. On constate alors qu’un aspect important des brouillards considérés est leur polydispersion, c’est-à-dire la présence d’un large spectre de tailles de goutte, qui influence fortement la structure de flamme [MKGS98]. Cet aspect sera d’autant plus important dans des configurations turbulentes comme on peut le constater dans [ML01]. Finalement, il s’agit de proposer une alternative, de moindre coût en terme de résolution, aux discrétisations particulaires pour des configurations instationnaires qui sont monnaie courante dans les applications industrielles [SNLP02].

Le but de la première partie de ce mémoire se dégage alors clairement. Il s’agit mettre en place un modèle décrivant un mélange gazeux multi-espèces transportant un spray polydispersé avec un modèle eulérien tant pour la phase gazeuse que pour la phase dispersée selon quatre critères : décrire aussi précisément que possible la granulométrie du brouillard, préserver le lien avec le niveau cinétique de description, modéliser les interactions de gouttes et enfin être capable de reproduire des phénomènes instationnaires. L’ensemble de ces travaux représente trois articles publiés ou soumis dans des journaux internationaux qui seront reproduits dans les chapitres 2, 3 et 4. Ce chapitre 1 donne une introduction générale à l’ensemble de ces travaux. Nous reprenons brièvement les problématiques abordées avant d’entrer dans le détail.

On considère les équations de conservation pour un écoulement gazeux multi-espèces réactif [GM98], [Gio99], dans l’approximation des faibles nombres de Mach pour une flamme non confinée avec des condi-tions aux limites de pression constante, ce qui nous mène aux équacondi-tions des flammes isobares [Gio99]. Comme le brouillard de gouttes forme une phase dispersée, le couplage entre les phases se traduit unique-ment par des termes sources décrivant les échanges de masse, de quantité de mouveunique-ment et de chaleur entre les deux phases (voir la Figure 1.1). C’est grâce à une modélisation de la phase liquide que pourront être exprimés ces termes sources.

Equation de transport

T, u, Termes sources provenant du liquide Ecoulement multi−espèces réactif

Equations de Navier−Stokes statistique

Description Eulérienne Système du 1er ordre

Termes sources

Système du second ordre Equations des flammes isobares

Termes sources

spray dilué

Liquide Gaz

Approximation des faibles nombres de Mach Moyennisation

Sectionnel

FIG. 1.1 – Schéma de la mise en équation

Le modèle de base pour le brouillard de gouttelettes est le modèle cinétique : le brouillard est décrit par sa fonction densité de probabilité (aussi appelée fonction de distribution) satisfaisant une équation de type Boltzmann [Wil58], [Wil85]. Cette équation n’est généralement pas résolue directement, ce qui serait trop coûteux et souvent inutile. Différentes méthodes sont possibles. Parmi elles figurent les modèles

(26)

multi-1.1. MISE EN ÉQUATION DE LA PHASE GAZEUSE 25

fluides eulériens : la phase dispersée est décrite comme un ensemble de milieux continus : les “fluides”, chaque “fluide” correspondant à une moyenne statistique entre deux tailles de gouttes fixée (cet intervalle est appelé section, d’où le nom de méthode sectionnelle donné à ce modèle par Tambour et al. qui l’ont introduit [GAT86]). Ce modèle sera dérivé de manière rigoureuse à partir du niveau cinétique dans le chapitre 2 pour les sprays dilués et dans le chapitre 4 pour des sprays denses où la coalescence des gouttes doit être prise en compte. Nous verrons que ce modèle répond aux critères énoncés plus haut.

Afin de valider ce type de modèle, on utilise une réalisation expérimentale d’un type particulier de flamme laminaire : les flammes de diffusion à contre-courant stationnaires. Le dispositif expérimental a été mis au point par A. Gomez et V. Santoro au Center for Combustion Studies de Yale University. Ce cas est intéressant car il se ramène à un cas 1D ; il peut ainsi faire l’objet un ensemble de simulations détaillées et permet d’envisager des comparaisons quantitatives avec des mesures expérimentales. Les comparaisons entre les simulations et les mesures expérimentales sur ce type de flammes et pour des variables significatives sont faites dans le chapitre 3.

Après avoir présenté, dans une première partie, les équations de la phase gazeuse, pour une chimie complexe et un transport détaillé, et sous l’hypothèse des faibles nombres de Mach, on donne le modèle cinétique pour le brouillard de gouttes. Dans une troisième partie, on présente les différents modèles de ré-solution numérique pour la phase liquide et en particulier, les modèles multi-fluides eulériens. On s’intéresse alors au cas particulier des flammes de diffusion à contre-courant stationnaires. Le modèle est détaillé dans la partie 4 et le code dans la partie 5. Cela permet d’introduire le chapitre 3 où sera menée la validation du modèle multi-fluides eulérien par comparaisons avec les mesures expérimentales et la réduction du nombre de degrés de liberté pour décrire la polydispersion en taille des brouillards.

1.1 Mise en équation de la phase gazeuse

On considère une description eulérienne de la phase gazeuse par les équations de Navier-Stokes dans le cadre d’un écoulement multi-espèces réactif de gaz dilués polyatomiques. Ces équations peuvent être formellement dérivées à partir de la théorie cinétique des gaz [Gio99], [EG94], [Mas96]. Elles forment un système mixte hyperbolique parabolique décrivant l’hydrodynamique, des phénomènes complexes de dissipation comme la dissipation visqueuse, la diffusion de masse et de chaleur, et enfin la chimie à travers des termes sources Maxwelliens. La structure mathématique de ce système à été étudiée dans [GM98]. Dans le cas de la présence d’un brouillard de gouttelettes (par brouillard de gouttelettes, on entend une phase dispersée de gouttelettes liquides, c’est-à-dire où la fraction volumique de liquide est petite devant 1), l’interaction avec le liquide apparaît uniquement sous la forme de termes sources ajoutés aux équations. Cette hypothèse est justifiée par le fait que la masse du gaz par unité de volume de gaz est alors pratiquement égale à la masse de gaz par unité de volume total.

Dans le but de modéliser des flammes laminaires non confinées, à pression constante, on utilise les équa-tions des flammes isobares. Celles-ci se déduisent du système précédent dans la limite des faibles nombres de Mach (c’est-à-dire quand la vitesse de l’écoulement est petite par rapport à la vitesse du son). On donne, dans cette section, les équations de Navier-Stokes et le passage aux équations des flammes isobares. D’autre part, les formules donnant ces flux ainsi que les autres relations de transport, les lois de comportement et les relations de cinétique chimiques dans le cas d’une chimie complexe sont détaillées ici et permettent de fermer le problème.

(27)

1.1.1 Équations de bilan

Les équations de bilan pour le gaz traduisent la conservation de la masse totale et de celle de chaque constituant, la conservation de l’impulsion et la conservation de l’énergie, et ce, en tenant compte des échanges entre les phases gaz et liquide.

– Conservation de la masse : (1.1) où désigne le temps,

est la masse volumique,

est la vitesse moyenne de masse et

est le terme d’échange de masse entre les gouttes et le gaz par évaporation.

– Conservation des espèces chimiques :

(1.2) où est la densité de la espèce, sa vitesse de diffusion, sa masse molaire, le taux molaire de production de la espèce,

est le nombre d’espèces et

le terme d’échanges de masse de la

espèce dû à l’évaporation. Soient

la fraction massique et la vitesse hydrodynamique de la

espèce. On a alors les relations suivantes :

! ! ! !

d’où l’on déduit les identités :

! ! ! (1.3)

dites de ‘conservation de la masse’. En anticipant la relation"

entre les taux de productions

massiques, on peut donc noter que les

équations de conservation de masse des espèces chimiques (1.2) sont a priori linéairement dépendantes, leur somme étant nulle à cause de l’équation de conservation de

la masse totale (1.1). Il apparaît donc possible de ne considérer que

fractions massiques comme inconnues et de calculer la fraction massique restante par (1.3a). Mais il est néanmoins possible de considérer

toutes les fractions massiques comme inconnues. Dans cette situation, la relation "

, qui est une conséquence de la définition des fractions massiques, doit être un résultat des calculs. C’est cette dernière solution qui est adoptée.

– Conservation de l’impulsion : # P $! (1.4)

où P est le tenseur des pressions et$

est le terme d’échanges de quantité de mouvement dû à la vapori-sation et à la force de traînée entre les gouttes et le gaz.

(28)

1.1. MISE EN ÉQUATION DE LA PHASE GAZEUSE 27 – Conservation de l’énergie : P ! (1.5)

où est l’énergie interne massique, est le flux de chaleur,

est le terme d’échanges d’enthalpie dû à la vaporisation et aux échanges de chaleur entre la goutte et le gaz et

représente le travail de la force de traînée et l’échange d’énergie cinétique entre les deux phases.

Ce système de lois de conservation est alors fermé par les lois de comportement donnant les flux de diffusion, par la thermodynamique et par la chimie. C’est ce qui va être détaillé dans la suite.

1.1.2 Lois de comportement, propriétés de transport

La loi de comportement utilisée ici est celle des fluides visqueux newtoniens :

P

I

!

où I est le tenseur unité,

est la pression thermodynamique et est le tenseur des contraintes de viscosité

avec : I !

oùest la viscosité de cisaillement.

D’autre part, l’expression du flux de chaleur est la suivante :

! (1.6) où

est le coefficient de conductivité thermique du mélange gazeux. On a négligé ici le flux de chaleur dû au rayonnement et l’effet Dufour, c’est-à-dire la diffusion de la chaleur due au gradient des espèces car celui-ci est toujours très faible.

Enfin, les vitesses de diffusion

peuvent s’écrire [Mas96] :

! (1.7) avec ! où

est la matrice de diffusion multi-espèces,

est la fraction molaire de la

espèce,

est la

force d’orientation de la diffusion de la

espèce. On suppose que l’effet Soret est négligeable dans ce problème.

Ces lois nous permettent de réécrire l’équation de conservation de l’impulsion (1.4) :

# I $ (1.8)

(29)

Pour l’équation de conservation de l’énergie (1.5), si on introduit de plus l’enthalpie

du mélange, on obtient alors l’équation :

(1.9)

Or, on étudie un écoulement où les vitesses sont faibles par rapport à la vitesse du son. Le nombre de Mach M (rapport de la vitesse de l’écoulement sur la vitesse du son dans le mélange gazeux) est donc très petit devant 1. On est alors dans le cadre de l’hypothèse des faibles nombres de Mach. Un développement formel des variables en fonction des puissances du petit paramètre M montre alors [Gio88] que les variations spatiales de la pression sont négligeables, elles sont de l’ordre du nombre de Mach au carré. Ainsi, la pression

peut s’écrire : ! ! où

est indépendant de la variable d’espace et où

est une perturbation ( ).

D’autre part, l’hypothèse des faibles nombres de Mach nous permet de montrer que les termes

et

de (1.9) sont négligeables par rapport aux autres termes de l’équation (ils sont aussi de l’ordre du nombre de Mach au carré). Cette hypothèse nous permet enfin de négliger le terme

si la différence de vitesse entre les gouttes et le gaz est au plus du même ordre de grandeur que la vitesse moyenne du gaz (on

verra dans la suite que c’est le cas) ainsi que le terme de barodiffusion

intervenant dans l’expression

des vitesses de diffusion (1.7). Les deux équations précédentes se réécrivent donc :

# I $! (1.10) et (1.11) Les vitesses de diffusion s’écrivent :

Remarquons que, lorsque la pression est constante, comme c’est le cas pour des configurations stationnaires à faibles nombres de Mach, les bonnes variables thermodynamiques à considérer sont l’enthalpie et la pres-sion et non l’énergie interne et le volume [Gio99].

1.1.3 Relations thermodynamiques

La thermodynamique permet de relier différentes grandeurs thermodynamiques comme

ou aux va-riables d’état, ,

. En premier lieu, on suppose que le gaz est un gaz parfait :

où

est la constante universelle des gaz et est la masse molaire du mélange :

(30)

1.1. MISE EN ÉQUATION DE LA PHASE GAZEUSE 29

L’enthalpie massique du mélange

s’exprime en fonction des enthalpies massiques

des espèces par la relation : ! et

est donnée par :

! où

est l’enthalpie standard de formation de la

espèce et

est la chaleur massique à

pression constante de la

espèce. La chaleur massique à pression constante

du mélange peut s’écrire :

A partir de là, on peut réécrire l’équation de conservation de l’énergie (1.11), en utilisant l’équation de conservation des espèces (1.2) :

! (1.12) où "

est le terme de transfert de température du gaz au liquide du fait que certaines

molécules de l’espèce

passent de l’état liquide à l’état gazeux.

1.1.4 Relations de cinétique chimique

Les relations de la cinétique chimique vont nous donner l’expression des taux de production

.

On considère une cinétique chimique à

réactions élémentaires et

espèces chimiques, qui peut s’écrire :

! où est le symbole de la espèce et et

sont les coefficients stœchiométriques. Ces coefficients

sont des entiers positifs et vérifient les

relations de conservation de la masse :

Le taux de production de la

espèce s’écrit alors :

! où et où

est le taux d’avancement de la

réaction. On en déduit aisément que :

!

(31)

ce qui traduit la conservation de la masse totale.

Le taux d’avancement est la différence entre les taux d’avancement direct et inverse et est donné par :

! où est la concentration de la espèce et et

sont les constantes de vitesse directe et

inverse de la réaction. La constante de vitesse de la

réaction est donnée par la loi d’Arrhénius :

! où

est le facteur pré-exponentiel, l’exposant pré-exponentiel et

l’énergie d’activation de la

réaction. La constante de réaction inverse

est reliée à la constante d’équilibre

par la relation : ! la constante d’équilibre

étant donné par la thermodynamique :

! ! où

est le potentiel chimique de la

espèce et .

On peut remarquer que cette axiomatique thermo-chimique est réaliste. D’autre part, elle donne lieu à des équations bien posées [GM98], [Mas02], [Mas96].

1.1.5 Équations des flammes isobares

On obtient donc finalement, en rassemblant les équations de conservation (1.1), (1.2), (1.10) et (1.12) et en simplifiant (1.2) et (1.10) grâce à l’équation de conservation de la masse (1.1) :

! ! ! I $ !