Estimation de la diffusion thermique dans les plasmas de Tokamak

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Estimation de la diffusion thermique dans les plasmas de

Tokamak

Sarah Mechhoud, Emmanuel Witrant, Luc Dugard, Didier Moreau

To cite this version:

Sarah Mechhoud, Emmanuel Witrant, Luc Dugard, Didier Moreau. Estimation de la diffusion

ther-mique dans les plasmas de Tokamak. CIFA 2012 - 7ème Conférence Internationale Francophone

d’Automatique, Jul 2012, Grenoble, France. pp.n/c. �hal-00782885�

les Plasmas de Tokamak

⋆

SarahMECHHOUD

∗,∗∗

Emmanuel WITRANT

∗

Lu DUGARD

∗

Didier MOREAU

∗∗∗

∗

UJF-Grenoble1/CNRS,Grenoble Image Parole SignalAutomatique (GIPSA-lab), UMR5216,B.P.46,F-38402StMartin d'Hères, Fran e

∗∗

E-mail:sarah.me hhoudgipsa-lab.fr

∗∗∗

CEA, IRFM, F-13108Saint Paul-Lez-Duran e,Fran e

Résumé : Ce travail on ernel'étude du prol de transport de la température des éle trons du plasma. Une approximation numérique basée sur la méthode de Galerkin est proposée. Le oe ient de diusion est estimé grâ e à la proje tion spatiale qui réduit le problème à une dimension nie. Le ltre de Kalman étendu est proposé pour ette identi ation. Le travailest a ompagné par unensemble de simulations et de omparaisonsave des données expérimentales.

Mots lés : Fusion thermonu léaire, formulation variationnelle, méthode de Galerkin, systèmesàparamètresdistribués(SPD),identi ation,ltredeKalmanmixteétendu(FKME)

1. INTRODUCTION

Tout phénomène physique de transport appartient à la lasse des systèmes àparamètresdistribués (SPD). Pour es systèmes, les entrées, les sorties et les paramètres peuventvarieraussibien dansletempsquedansl'espa e. Leur des ription mathématique onsiste en un ensemble d'équationsauxdérivéespartielles(EDP) ave des ondi-tionsauxlimites,mixtesouhomogènes.

Généralement,les oe ientsdel'EDPnesontpas onnus a priori et ont besoin d'être estimés. Plusieurs travaux ontétédédiés à e problème: Jarny(1981),Banks et al. (1985),Pointet al.(1996),IsakovetKindermann(2000), Orlov et Bentsman (2000), ... D'autres études traitent l'identi ationdessystèmesSPDpourlesbesoinsde on-trle:l'obje tifn'estplusd'estimerunparamètremaisles modespropresdusystème,voirGayetRay(1995),Zheng et al.(2002),...

Le tokamak (ou fusion thermonu léaire) appartient à la lassedesSPD,oùdiérentesvariablesdistribuéeset ou-pléesentrentenjeu.

Dans le adre de e travail, nous nous on entrons sur l'étudedutransportdelatempératuredeséle tronsdans le plasma. Ce phénomène est omplexe et ne béné ie pasen ored'unmodèlephysiqueentièrementdéni.Onle dé rit par une EDPparaboliqueoù leterme dediusion est de dépendan e spatio-temporelle. Plusieurs modèles existentpourlades riptionde e oe ient:Erba et al. (1997), Taroni et al. (1994), Erba et al. (1998), Hoang etal.(1998), ha unsuivantson hampd'appli ation(type detokamaketparamètresdeladé harge).Cependant, e oe ientdediusiondépend dugradientdela tempéra-ture, du prol de ourant, du isaillement magnétique, du isaillement de vitesse, et . Ce i a pour onséquen e d'amplierla omplexité duproblèmeenle transformant

⋆

. Ce projet béné ie d'un nan ement partiel fournit par le

enuneEDPparaboliquenonlinéaire.

DansZouetal.(2003)unprolanalytiquedela tempéra-ture des éle trons du plasma a été onçu en supposant les oe ients onstants(dansletempsetdansl'espa e). L'obje tifde ette appro heétaitdefournirune interpré-tationphysiquedupro essus etdeprouverlastabilitédu modèle résultant par rapport à la méthode utilisant la transformée de Fourier rapide (FFT) et la méthode des équilibresénergétiques.

Toutefois, ette appro he est valable uniquement dans les as où lavariationspatiale du oe ient de diusion peut être supposée faible, e qui n'est pas le as général destokamaks.Une autreméthode,égalementanalytique, maisave un oe ientévoluantuniquementdansl'espa e (une fon tion radiale monomiale) a été développée dans Clémençon et al. (2004).Cette étude n'a pas été validée pardesdonnéesexpérimentales.

Dansle présenttravail,nous nousintéressonsd'abordau problèmedetransporten négligeantlespropriétés intrin-sèques du oe ient dediusion ( ouplage non linéaire). Ainsi,uneapproximationnumériqueduprolde tempéra-turedeséle tronsduplasmaparlaméthode deGalerkin modale ontinue(MGMC)estproposée.LaMGMC appar-tientàlafamilledesméthodes desélémentsniset four-nit des approximations susamment lisses (Fairweather (1978),Salsa (2008)). Cettete hniquese base sur la for-mulation variationnelle des problèmes diérentiels. C'est un lassique largementutilisépourlarésolutiondesEDP (exemple:Brezis(2011)).

D'aprèsKopriva(2009),laMGMC donnedebonnes per-forman es ave , entre autres, les systèmes à oe ients variables,lessystèmesàgéométrie ylindriqueetpourles appli ationsquiné essitentune bonnepré ision.

L'appli ationdelaMGMCpermetunedis rétisation spa-tiale de l'EDP du transport, le système de dimension innie est transforméen un système d'état ni. Dans la

se onde partie, nous nous intéressons plus au oe ient dediusiondontl'estimationserabasée surlaséparation des variables par proje tionspatiale. Grâ eà ette te h-nique,lemodèledevientunsystèmelinéaireàparamètres in onnus. Ainsi,unltredeKalmanétendu peut luiêtre appliqué.

L'arti le est organisé omme suit : la deuxième se tion traite de la modélisation du transport de haleur dans le plasma, de l'existen e et l'uni ité de la solutionet du développementdelaMGMC.Leproblèmed'identi ation du oe ientde diusion estétudié entroisièmese tion. LesrésultatsdelaMGMCetdel'identi ationsont om-parésàdesdonnéesexpérimentales.

2. ÉQUATIONS DELATEMPÉRATURE DES

ÉLECTRONS DUPLASMA

Le prol de la température des éle trons du plasma est obtenu àpartirde laloide onservation de l'énergie,qui peut s'é rire en oordonnées ylindriques sous ertaines hypothèses omme:

∂T

∂t

=

2

3

1

r

∂

∂r

(r χ

e

(r, t)

∂T

∂r

) −

1

τ

T (r, t) + S(r, t)

(1) oùT est latempératuredeséle trons(expriméeenunité énergétique:keV),r estla oordonnéeradialelelongde a (rayonmineurdu plasma),t lavariable temporelle,

χ

e

le oe ientdediusion,

τ

leparamètred'amortissement modélisantlespertesd'énergienondiusives(par onve -tion,rayonnement,...)et S letermesour e,donnépar:

S(r, t) =

2

3 n

e

P (r, t)

où

P

est la densité de puissan e absorbée par le plasma à partir du système de hauage extérieur ( hauage ohmique, ondesradio-fréquen es ouparinje tion de fais- eauxneutres).

n

e

est ladensitédeséle tronsduplasma, supposée onstante.

Pourdesraisonsdesimpli itéetdesymétrie,les onditions auxlimiteset la onditioninitialesontlessuivantes:

∂T

∂r

(r = 0, t) = 0 ; T (r = a, t) = 0 ; T (r, t = 0) = 0

(2) Enutilisantlavariablenormalisée

z =

r

a

,lesystèmedé rit parleséquations(1) et(2)devient:































∂T

∂t

=

1

z

∂

∂z

(χ

e

(z, t) z

∂T

∂z

) −

1

τ

T (z, t) + S(z, t)

∂T

∂z

(z = 0, t) = 0 ; T (z = 1, t) = 0 ; T (z, t = 0) = 0

z ∈ Ω; t ∈ [0, t

f

]

(3)

où

Ω

est l'intervalle ouvert ℄0,1[,

t

f

est l'instant nal et

χ

e

(z, t)

est uneformenormaliséede

χ

e

(r, t)

:

χ

e

(z, t) =

2

3 a

2

χ

e

(r, t)

Les équations (1) et (2) montrent que la température des éle trons à l'intérieur du plasma est dénie par une

Ilestànoterqueleparamètre

χ

e

resteunsujetde dis us-sion dans la ommunauté de la fusion thermonu léaire. Toutefois, sa dépendan e, entre autres, au gradient de la température a été prouvée. La prise en ompte de ette propriététransformel'équation (3)enune équation paraboliquenonlinéaire.

L'obje tifde e travailétantl'estimation de e oe ient

χ

e

, on suppose qu'on nedispose a priori d'au une infor-mationle ara térisant.

Dans e qui suit, nousdémontronsl'existen e et l'uni ité delasolutionpourlesystème (3)puisproposonsune ap-proximationnumériquefondéesurlaméthodedeGalerkin modale ontinue(MGMC).

2.1 Existen eetuni itéde la solution

Enpremierlieu,ondénitlesespa esdeHilbertsuivants:

L

2

_{(Ω) = { f :}

R

Ω

f

2

_{∂Ω < ∞}}

H

1

0,{1}

(Ω) = {f ∈ L

2

(Ω) : f |

1

= 0 , ∇f ∈ L

2

(Ω)}

Soit

Xe

l'ensembledénipar:

Xe = {f ∈ L

∞

_{(0 , t}

f

; H

_0,{1}

1

(Ω)) : f (t, x) > c > 0 , ∀t ∈

[0, t

f

], ∀x ∈ Ω)}

L'appli ationde laformulationvariationnelleau système (3)donne:

Z

1

0

∂T

∂t

v(z) dz = −

Z

1

0

χ

e

(z, t)

∂T

∂z

dv

dz

dz

+

1

τ

Z

1

0

T

(z, t) v(z) dz



+

Z

1

0

S(z, t) v(z) dz

(4)

où

v(z)

est unefon tiondetest

∈ H

1

0,

{1}

(Ω)

.

En utilisant le théorème de Lax-Milgram étendu aux équationsévoluantdansletemps(voirFairweather(1978), Salsa (2008)), la ondition né essaire et susante pour l'existen eetl'uni itédelasolutiondel'équation(4)dans l'espa e

L

2

_{(0, t}

f

; H

_0,{1}

1

(Ω))

est :

( χ

e

(z, t) ∈ Xe

τ ∈ R

∗

+

(5)

Ilestànoterqueles onditionsdéniesdans(5) garantis-sent l'existen eet l'uni ité dela solutionpour l'équation (4),qui est pourlesystème initial(3) unesolution varia-tionnelle(diteaussifaible).Enimposantdes onditionsde régularitésur lasolution faible, on arriveainsi à démon-trer l'existen e et l'uni ité de la solution lassique dans

C

1

_{(0, t}

f

; C

2

(Ω))

.

Dansnotre as,il sutque

S ∈ C

0

_{(0, t}

f

; C

0

(Ω))

et

χ

e

∈

C

0

_{(0, t}

f

; C

1

(Ω))

. Ces onditions sont onformesaux ar-a téristiquesphysiquesdelasour e

S

etdu oe ientde diusion

χ

e

.

2.2 Approximation de la solution par la méthode de Galerkinmodale ontinue(MGMC)

•

Choixd'unesuitedefon tionslisses

{ω

k

}

∞

k=1

onsti-tuantunebase orthonormaledans

H

1

0,{1}

(Ω)

1

;

•

Constru tion d'une suite nie de sous-espa es de la

forme:







V

n

= span{ω

1

, ω

2

, ..., ω

n

}

V

n

⊂ V

n+1

et

∪V

n

= H

1

0,{1}

(Ω)

Ainsi, pour un

n

déni, les proje tions respe tives de

T (z, t)

et

v(z)

surl'espa e

V

n

donnent:























T

n

(z, t) =

n

X

k=0

x

k

(t)ω

k

(z)

v

n

(z) =

n

X

k=1

α

k

ω

k

(z)

(6)

En remplaçant (6) dans (4), le problème de résolution de l'EDP(3) seramèneà elui d'unsystème d'équations diérentielles ordinaires (EDO)qu'on peut é riresous la formed'unsystèmelinéairetempsvariant:







˙

X(t) = A(t) X(t) + B(t)

X(0) = 0.

(7) Ave

X(t) = [x

1

(t), x

2

(t), ..., x

n

(t)]

T

(X ∈ R

n

₎

,

A(t)

est unematri esymétriquedéniepar:

A(t) = −













Z

1

0

χ

e

(z, t)ω

′

1

(z)

2

dz

+

1

τ

...

Z

1

0

χ

e

(z, t) ω

1

′

(z) ω

′

n

(z)dz

. . . . . . . . .

Z

1

0

χ

e

(z, t) ω

′

1

(z) ω

′

n

(z)dz ...

Z

1

0

χ

e

(z, t) ω

′

n

(z)

2

dz

+

1

τ













et :

B(t) =















Z

1

0

S(z, t) ω

1

(z)dz

. . .

Z

1

0

S(z, t) ω

n

(z)dz















2.3 Résultatsde simulation

ToreSupra (TS) est ungrandtokamak àaimants supra- ondu teurs, ara térisé parunrayonmajeur

R = 2.4 m

, un rayon mineur

a = 0.72 m

, une se tion ir ulaire, un hamp magnétique toroïdal

B ≤ 2.4 T

et un ourant plasma

I

p

≤ 2 M A

. Dans ettese tion, nous onsidérons la dé harge TS 35109, ave un hauage prin ipalement ohmique.

D'aprèsHoang et al.(1998), dansToreSupra, si la puis-san e d'entrée est de valeur moyenne

P

<5MW et si le hampmagnétiquetoroïdalestsupérieuràun ertainseuil (>1.5T), les modèles de

τ

et du oe ient de diusion normalisé sont donnés par les formules de Taroni (voir

1 . Par exemple les fon tionspropres del'opérateur deLapla e dénisurl'espa e

H

1

0,{1}

(Ω)

(Salsa(2008),Al-Gwaiz(2008)). Taroni etal.(1994)):

τ = 0.0199 R

2

_I

0.98

p

B

0.2

φ

0

n

0.43

e

P

−0.75

.

Et:



















χ

e

(z, t) = α

B

T (z, t)

B

φ

0

a |∇p

e

(z, t)|

p

e

(z, t)

q

2

_{(z, t).}

α

B

= 0.33.

p

e

(z, t) = n

e

T (z, t).

(8) ave

B

φ

0

lavaleurmoyennedu hampmagnétiquetoroïdal au entre du plasma,

I

p

la valeur moyenne du ourant plasma,

p

e

lapressionduplasmaet

q

lefa teurdesé urité. En onsidérant les hypothèses données par Erba et al. (1997),lemodèle(8)de

χ

e

peutêtresimpliépar:

(

χ

e

(z, t) = α

B

a

B

φ

0

∇T (z, t) q

2

_{(z, t).}

α

B

= 0.33.

(9)

Ces formulesontété utilisées pour simulerle prol de la température des éle trons du plasma. Le résultat de la simulationest omparéave eluiissu desmesures. Lapuissan e

S

absorbéeparleplasmaestapproximéepar une distribution gaussiennedontles ara téristiquessont donnéespardesloisd'é helle(voirWitrantetal.(2007)). Les bases de proje tion hoisies sont trigonométriques et tirées de la résolution du problème de Lapla e ave omme onditions aux limites elles dénies dans (2). Le système (7) est résolu en utilisant la routine RK45 de la fon tion ode15s de MATLAB. Il apparaît dans la

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

5

6

x

Te(keV)

Figure1.Comparaisonentre latempérature expérimen-tale (pointillés) et elle du modèle physique (trait ontinu)àt=19s.

Fig. 1 que la MGMC donne une bonne approximation. Pour

x ∈ [0.7, 1]

, lesphénomènes de bord fontintervenir d'autres dynamiques que notre modèle ne prend pas en ompte(voirErbaetal.(1997)).

2.4 Analyse statistique

Comme elaest souventle as, une étude statistique est toujoursplusillustrativequ'une ourbe.En suivantErba et al.(1998),on al ule ladéviation entrele prolprédit

T e

gal

et le prol expérimental

T e

exp

en introduisant les grandeurs

m

et

∆

déniespar:























m =

1

N

X

0.2<x<0.8

(T e − T e

exp

)/T e

exp

∆ =

1

N

X

0.2<x<0.8

[(T e − T e

exp

)/T e

exp

− m]

2

(10)

où

N

est le nombre des points d'é hantillonnage

x

pris dansl'intervalle

[0.2, 0.8]

.

Lesdeux ourbesprésentéesFig.2,montrentquelavaleur maximaledelamoyennedel'erreurrelative

m

nedépasse pas les10%et queson é art-type

∆

maximal est de7%. Ces valeursapparaissenten régime transitoireinitial. En régime établi, on remarque pour

m

et

∆

l'existen e de trois paliers orrespondant à la variation temporelle du termesour e(lapuissan ed'entrée)entroisé helons.Plus latempératureestimportante,plusl'é artentre

T e

gal

et

T e

exp

et don

m

est faible. Ce i est dû prin ipalementà l'estimationqualitativedutermesour e.

4

6

8

10

12

14

16

18

20

−2

0

2

4

6

8

10

t(s)

m(%)

(a)Moyennespatialedel'erreur relative

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

2

3

4

5

6

t(s)

∆

(%)

(b)É art-type

Figure2.Déviationentre

T e

gal

et

T e

exp

3. IDENTIFICATIONDUPARAMÈTRE DE

DIFFUSION

Étantdonnéqu'ilexistedans

L

2

_{(0, t}

f

, L

2

(Ω))

un ensem-ble omplet de polynmes orthonormaux (voir Shima et Nakayama (2010)),

χ

e

(z, t)

peut s'é rire sous la forme suivante:

χ

e

(z, t) =

M

X

k=1

α

k

(t) p

k

(z) = θ

T

(t) P (z).

(11) Ave :







θ

T

(t) = [α

1

(t), α

2

(t), ..., α

M

(t)]

, θ ∈ R

M

P (z)

T

_{= [p}

1

(z), p

2

(z), ..., p

M

(z)]

Lamatri e

A(t)

déniedans lase tion2.2devient:

A(t) = θ

T

_{(t) ⊗}













Z

1

0

P(x)ω

′ 2

1

(x)dx +

1

τ

· · ·

Z

1

0

P

(x)ω

′

1

(x)ω

n

′

(x)dx

. . . . . . . . .

Z

1

0

P(x)ω

′

1

(x) ω

′

n

(x)dx · · ·

Z

1

0

P(x)ω

′ 2

n

(x)dx +

1

τ













(12) On note la matri e qui apparaît dansle deuxième terme de

A(t)

par

P W

(formée prin ipalement des polynmes

de

{p

k

}

et de

{w

k

}

). Le symbole

⊗

est un opérateurde multipli ationspé ialutilisépour ompa terl'é riturede

A(t)

,quipeutsemettre alorssouslaforme:

A(t) = − θ

T

_{(t) ⊗ P W}

(13) Etlesystème(7)devient:







˙

X(t) = A(θ

T

(t)) X(t) + B(t)

X(0) = 0

y(t) = X(t)

(14)

Uneappro hesimilaireaétéutiliséeenpremierparBanks etal.(1985)oùles oe ientsétaientprojetés simultané-mentsurunebasespatialepolynomiale(splines ubiques) etune basetemporelle.Les onditionsné essaires et su-isantes pour la onvergen e de l'estimation d'un système de dimension inniepar un système d'EDOs ont été dé-montréesdans et arti le,maisleproblèmenaldevenait nonlinéaireetl'identi ationsefaisaitenparallèledansle tempset dans l'espa e.L'avantagede notreappro he est d'arriveràunsystèmelinéairetempsvariantuniquement. L'identi ationd'untelsystèmeesteneetplusfa ileque dansle asdessystèmesnonlinéaires.

La formule d'approximation de

T (z, t)

donnée dans (6) permetd'obtenirles oe ientsexpérimentaux

{y

k, exp

}

M

k=1

del'expressionsuivante:

y

k

exp

(t) =

Z

1

0

T

exp

(z, t) ω

k

(x) dx

où

T

exp

(z, t)

est le prol mesuré de la température et

y

exp

= [y

1

exp

, y

2

exp

, ..., y

M

exp

]

T

est la sortie mesurée du système(14).

Laformulationduproblèmed'identi ationdevientainsi: Étantdonnél'entrée

B(t)

,lasortie

y

exp

(t)

etlemodèle d'é-tat(14),l'obje tifestd'estimerleve teurdesparamètres

θ(t)

etpar onséquentdetrouverlaloiinverse

θ = f

−1

_(y)

. Ilfautparailleursnoterquel'étatinitial

y(0)

estdéniet indépendantde

θ(t)

.

Con lusion :

Leproblèmeinitialqui onsistaitàidentierunparamètre distribué d'un système de dimension innie est onverti, grâ e à la méthode de Galerkin et de la proje tion sur des bases appropriées, en un problème d'identi a-tion paramétrique ordinaire (système d'état linéaire à paramètresin onnus). Ainsi, l'appli ationdes te hniques d'identi ationdessystèmesdé ritspardesEDOsdevient possible.

Une fois le problème formulé, l'obje tif est d'estimer

θ

et par onséquent le oe ient de diusion

χ

e

. Une des te hniques lesplus robustes d'identi ation des systèmes linéairesestleltredeKalman.

3.1 Identi ation par le ltre de Kalman mixte étendu (FKME)

Lorsquelesmesuressontbruitées,estimer

θ

dire tementà partirde esdonnéesposeproblème.Leltrede Kalman mixte étendu est dédié à ette problématique. Il permet

d'estimer aussibien lesétatsquelesparamètres,àpartir desentréeset sortiesdusystème.UnltredeKalmanest un observateur d'état basé sur l'ajustement sto hastique des gains de orre tion (Kalman (1960)). C'est un ltre ré ursif qui onvient bien aux appli ations temps réel (WanetNelson(2001)).Les onditionsde onvergen edu ltredeKalmanétendusontdonnéesdansLjung(1979). Lesystème(7)estdis rétisédansletempsparlaméthode d'Euler,puisétendupourin lurelesparamètres:

x

ext

(k + 1) =



X(k + 1)

θ(k + 1)



Ainsi,lesystème(7)dis rétiséétendudevient:



























x

ext

(k + 1) =

(I − dt ∗ θ

T

_⊗

_{P W}

_{) X(k) + dt ∗ B(k)}

θ(k)

!

|

{z

}

f(x(k),θ(k),B(k))

+

r(k)

0

!

y(k) = [I 0] x

ext

(k) + v(k) = g(x(k), θ(k), v(k))

où

dt

estlepasd'é hantillonnage,

r(k)

et

v(k)

sont respe -tivementlebruitd'étatetlebruitd'observation(supposés blan sgaussiens).Leurs matri esde ovarian esont

R

et

V

(respe tivement).

LesétapesduFKMEdonnéesdansWanet Nelson(2001) appliquéesausystème(7)sontlessuivantes:

•

Initialisation:

X(0); ˆ

ˆ

θ(0); Z(0);

•

Prédi tion:



ˆ

x

−

_ext

(k + 1) = f ( ˆ

X

(k), ˆ

θ

T

_{(k), B(k))}

Z

−

(k + 1) = E Z(k)E

T

+ R

•

Estimation:















K(k + 1) = Z

−

(k + 1)C

T

[CZ

−

(k + 1)C

T

+ V ]

−1

ˆ

x

ext

(k + 1) = ˆ

x

−

_ext

(k + 1) + K(k + 1)[y

exp

(k + 1) − C ˆ

x

−

_ext

(k + 1)]

Z(k + 1) = (I − K(k + 1)C)Z

−

(k + 1)

où

x

ˆ

ext

(k)

et

ˆ

x

−

ext

(k)

sont respe tivement l'état étendu estiméetpréditàl'instant

k

,

K

estlegainde orre tion,

Z

et

Z

−

sont les matri es de ovarian e de l'erreur de prédi tion et de l'erreur d'estimation.

E

et

C

sont les matri es d'état du système étendu et des observations. Ellessontdonnéespar:



















E =

∂f

∂x

ext

|

x

ext

C =

∂g

∂x

ext

|

x

ext

3.2 Résultatsde l'identi ation parleFKME

Le hoixd'unebasedeLegendrepourlaproje tionde

χ

e

etl'appli ationdel'algorithmeduFKMEausystème(14) donne des estimations satisfaisantespourles obje tifs de ommande.

Leprolde

χ

e ,estim

présentédanslaFig.3est ompatible ave uneforme deBohm(voirErbaet al.(1998))vériée parla roissan emonotoneaubord(eet de

q

).

Pour quantier la qualité de l'estimation de

χ

e

et

T e

,

on utilise les mêmes variables

m

et

∆

dénies dans la se tion 2.4. Pour

χ

e

, la valeur maximale de la moyenne de l'erreur relative entre le

χ

e, estim

et le

χ

e

du modèle (9)pour

t ∈ [9 s, 17 s]

est de8% alorsquel'é art-typeen moyenne se situe autour de 2% (voir Fig. 4). La Fig. 5 montrequepourl'estimation de

T e

,

m

estde0.01%alors que

∆

nedépassepasles0.02%.

L'apportdel'appli ationduFKMEestvisible,onaméliore nettement l'approximation de

T e

exp

. Toutefois, sur la Fig.3betlaFig.4a,onvoitbienquel'erreursur l'estima-tionde

χ

e

n'estpas ompatibleave ellesurl'estimation de

T

.Ce iprouveque eproblèmed'identi ationn'admet pasdesolutionunique.

(a) Prol spatio-temporel de

χ

estim

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

2

3

4

5

6

t(s)

Xe

_phy

Xe

_JEKF

q

(b)Comparaisonàt=19sentre le

χ

e, mod`

ele

etle

χ

e, estim

.

Figure3.Proldel'estimationdu oe ientdediusion

4

6

8

10

12

14

16

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t(s)

m (%)

(a)Moyennespatialedel'erreur rel-ative

4

6

8

10

12

14

16

0

2

4

6

8

10

t(s)

∆

(%)

(b)É art-type

Figure4.Comparaisonentreleprolde

χ

e

estiméparle FKMEetle

χ

e

donnéparlaloiphysique(9)

4. CONCLUSION

Dans etravail,uneméthoded'approximationdel'EDPde transportdela haleurdanslestokamaksaétéprésentée. Cette approximation est ee tuée ave la méthode de Galerkin quidonne une pré isionsatisfaisante.L'absen e deloisspé iquespourle oe ientdediusion

χ

e

etpour lapuissan eabsorbéeontmotivéàdévelopperpar identi- ation une solutionpossibleà e problème. Cetteétude est fo alisée sur l'estimation du paramètre de diusion,

4

6

8

10

12

14

16

18

20

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

t(s)

m (%)

(a)Moyennespatialedel'erreur rel-ative

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

t(s)

∆

(%)

(b)É art-type

Figure 5.Comparaisonentrelatempérature expérimen-taleet elleestiméeparleFKME

en supposant qu'uneapproximationdu terme sour e est disponible. Laméthodedes proje tions, ombinéeave le ltrede Kalmanmixte étenduapermislare onstru tion du prol de

χ

e

tout en estimant la température. Les re her hesfuturesviserontl'estimation onjointeduterme sour e

S

, du oe ient de diusion

χ

e

et du paramètre d'amortissement

τ

,enrégularisantle ritèreduFKMEan deformulerunproblèmebienposé(pourgarantirl'uni ité delasolution).

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