Thème 3: Équations polynomiales et division de polynômes
3.1 Valeur numérique d’un polynôme
Définition : On appelle valeur numérique d’un polynôme p(x) la valeur que l’on obtient en remplaçant x par un nombre dans ce polynôme.
Par exemple, si p(x) = x
2+ 1, alors p(-3) = 10
Modèle 1 :
valeur numérique d’un polynôme:
Soit le polynôme p( x) = −2 x
2+ 7x − 5. Calculer p(1) et p(-2).
Définition : On appelle zéro d’un polynôme p(x) toute valeur a pour laquelle la valeur numérique du polynôme est nulle, c’est-à-dire p(a) = 0.
Exercice 3.1: a) Soit le polynôme p( x) = 2x
2+ 3x − 5. Calculer p(-1) et p(2).
b) Soit le polynôme p( x) = 3x
3− 4 x
2− 3x + 4 . Calculer p(-1), p(1) et p(2).
c) Soit le polynôme p( x) = −2x
2− 3x + 1.
Calculer p(0), p(1/2) et p(-1/3).
Exercice 3.2: a) Soit le polynôme p( x) = 2x
3+ 7x
2− 7x − 30.
Montrer que x = 2, x = -5/2 et x = -3 sont des zéros de p(x).
b) Soit le polynôme p( x) = 2x
3− 5x
2− 2x + 5.
Montrer que x = 1, x = -1 et x = 5/2 sont des zéros de p(x).
3.2 Divisions de polynômes
Démarche 1 : Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le monôme et on fait la somme algébrique des quotients partiels ainsi obtenus.
Modèle 2 : Effectuer la division de p(x) = 4 x
4+ 9x
3+ 6 x
2par d(x) = 2 x
2.
Exercice 3.3: Effectuer les divisions de p(x) par d(x) dans les cas suivants : a) p(x) = 12x
4– 9x
3+ 36x
2d(x) = 3x
2b) p(x) = 25x
5+ 12x
4– x
2d(x) = 5x c) p(x) = 4x
5– 7x
4+ x
3– 2x
2d(x) = 2x
3Démarche 2 : Pour diviser un polynôme par un diviseur qui est également un polynôme, on les ordonne par rapport à la même lettre, on divise alors le premier terme du polynôme par le premier terme du diviseur pour obtenir le premier terme du quotient. On multiplie alors tout le diviseur par ce premier terme du quotient et on soustrait du polynôme le produit obtenu. On recommence ainsi le procédé jusqu’à ce que l’on ne puisse plus trouver de quotient partiel (sous la forme d’un monôme).
Modèle 3 : Effectuer la division de :
p( x) = 3x
3− 11x
2+ 19x − 12 par d(x) = x − 3
Exercice 3.4: a) Trouver le quotient et le reste de la division des polynômes p(x) = 2 x
3− x
2+ 4 x − 8 par d(x) = x
2− 6 x + 8 . b) Trouver le quotient et le reste de la division des polynômes
p(x) = 6 x
4+ 3x
3− 6 x − 24 par d(x) = 2x
2+ x + 4 . Exercice 3.5: Déterminer le polynôme p(x) tel que le quotient de sa division
par 2x
2+ 1 soit 5x
2– 3x + 1 et le reste de 1 – x
Modèle 4 : égalité fondamentale:
Effectuer la division de :
p(x) = 6 x
4− 4 x
3+ 24 x − 8 par d( x) = 2x
2+ 8 Puis en déduire l’égalité fondamentale
Exercice 3.6: Effectuer les divisions ci-dessous puis écrire les égalités fondamentales :
a) ( 5 x
4+ 2x
3− 3x
2+ 4 x − 6 ) ÷ ( x
2− 3x − 2 )
b) ( 4 x
4− 6x
3+ 2 x
2− 4 x + 7 ) ÷ ( 2 x
2+ 3x − 2 )
c) ( 6 x
5− 4 x
4− 13x
3+ 34 x
2− 21x + 8 ) ÷ ( 2x
3− 5x + 8 )
d) ( x
4+ 4 x
2− 12 ) ÷ ( x
2− 3 )
e) ( 2 x
4+ 4 x
3− 10x
2− 16x + 8 ) ÷ ( 2x − 4 )
f) ( x
3+ 27 ) ÷ ( x + 3 )
3.3 Cas particulier de la division par (x – a)
où a est un nombreDivision par (x – a) Lorsque l’on divise un polynôme p(x) par un polynôme de la forme d(x) = x – a, l’égalité fondamentale s’écrit
p(x) = q( x) ⋅ ( x − a) + r(x) où r(x) est un nombre que l'on note r
"Truc" du reste : • Le reste de la division du polynôme p(x) par (x – a) s'obtient en remplaçant x par a dans le polynôme p(x)
r = p(a) Modèle 5 :
truc du reste:
Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division de p(x) = x
3– x
2– 4 par d(x) = x – 2
Modèle 6 :
truc du reste:
Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division de p(x) = x
3– x – 3 par d(x) = x + 1
Exercice 3.7: a) On considère les 2 polynômes suivants:
p( x) = 4 x
3− 10x
2+ 11x − 5 et d( x) = x − 1 1) Calculer le reste de la division de p(x) par d(x) à l’aide
du truc du reste.
2) Effectuer concrètement la division et comparer les restes obtenus.
3) Écrire l’égalité fondamentale.
4) Le truc du reste est-il vraiment si mystérieux ?
b) Confirmer vos observations avec les 2 polynômes suivants:
p( x) = 9x
4+ x
3− x
2+ x + 2 et d( x) = x + 2
Définition : Le polynôme p(x) est divisible par un polynôme q(x) si le reste de la division vaut zéro.
Ainsi : Le polynôme p(x) est divisible par (x – a) lorsque :
r = p(a) = 0
Modèle 7 : divisibilité:
Le polynôme p(x) = x
3– 8 est-il divisible par d(x) = x – 2 ?
Exercice 3.8: Sans effectuer la division, examiner si p(x) est divisible par d(x):
a) p(x) = 5x
4+ 6 x
3− 5 x
2+ 4 x − 4 d(x) = x + 2 b) p(x) = 2x
4− 5x
3+ 6 x
2− 7x + 4 d(x) = x − 2 c) p(x) = 4 x
3− x
2− 2 x + 1 d(x) = x + 1/2 d) p(x) = 2x
4+ 4 x
3− 10 x
2− 16x + 8 d(x) = x − 2
3.4 La division de polynômes pour résoudre des équations de degré > 2 Modèle 8 :
équations de degré > 2:
Résoudre l’équation 2x
4+ 2x
3– 68x
2– 8x + 240 = 0 sachant
qu’elle admet déjà les solutions x = 2 et x = 5
Exercice 3.9: a) Résoudre l’équation 2x
4– 3x
3– 35x
2– 9x + 45 = 0 sachant qu’elle admet les solutions x = 5 et x = -3
b) Résoudre l’équation x
3– 3x
2+ 2 = 0 sachant qu’elle admet la solution x = 1
c) Factoriser le polynôme p(x) = x
4+ x
3– 7x
2– x + 6, sachant que p(1) = 0 et p(-1) = 0
d) Factoriser le polynôme p(x) = x
4+ 3x
3– 3x
2– 11x – 6, sachant que p(2) = 0 et p(-3) = 0
Modèle 9 :
équations de degré > 2:
Résoudre l’équation x
3– 2x
2– 13x – 10 = 0
Exercice 3.10: Résoudre les équations suivantes :
a) x
3– x
2– 14x + 24 = 0 b) x
3+ 3x
2+ 3x + 1 = 0 c) x
3+ 3x
2= 4 d) x
3– x
2= -2x + 24
Exercice 3.11: Résoudre les équations suivantes :
a) 2x
4– 17x
3+ 19x
2+ 14x = 0
b) 2x
4+ x
3– 8x
2– x + 6 = 0
3.5 La factorisation pour résoudre des équations du 2
èmedegré
Introduction : Cette démarche de factorisation des trinômes a déjà été initiée en 1
èreannée. Il est temps maintenant de consolider ces acquis en mettant la priorité sur:
la vitesse – l'exactitude – l'aisance – …
C'est dans cet esprit qu'il faut considérer les execices de ce paragraphe comme des exercice de drill.
3.5.1 La factorisation par produit remarquable
Exemple : Factoriser les polynômes suivants:
a) -x
2+ 4 b) x
2+ 10x + 25 c) 9x
2– 24x + 16
Exercice 3.12: Factoriser les polynômes suivants:
a) 9x
2– 4 b) x
2+ 16x + 64
c) 2x
2– 8x + 8 d) -x
2+ 36
e) 49 – x
2f) 25x
2+ 30x + 9
g) x
2– 12x + 36 h) x
2– 121
i) 4x
2– 4x + 1 j) x
2+ 2x + 1
3.5.2 La factorisation du trinôme unitaire du type x
2+ bx + c
Exemple : Factoriser:
a) x
2+ 3x – 10 b) x
2– 23x + 126
Exercice 3.13: Factoriser les trinômes unitaires suivants:
a) x
2+ 7x – 18 b) x
2+ x – 6 c) x
2+ 3x – 18 d) x
2+ 3x – 54 e) x
2– 17x – 18 f) x
2– 8x + 7 g) x
2– 10x + 24 h) x
2– 4x – 45 i) x
2– 7x + 12 j) x
2– 10x + 9
Exercice 3.14: Factoriser les trinômes unitaires suivants:
a) x
2+ 9x + 14 b) x
2– 3x – 18
c) x
2+ 3x – 28 d) x
2+ 5x – 24
e) x
2– 10x + 21 f) x
2– 9x + 18
g) x
2+ x – 12 h) x
2+ 4x – 21
i) x
2– 7x – 8 j) x
2+ 15x + 56
3.5.2 La factorisation du trinôme non unitaire du type ax
2+ bx + c
Exemple : Factoriser:
a) 3x
2– x – 10 b) -6x
2+ 5x + 21
Exercice 3.15: Factoriser les trinômes suivants:
a) 3x
2– 26x – 9 b) 12x
2– 35x + 18 c) 3x
2+ 14x + 15 d) -3x
2– 20x + 7 e) 4x
2– 13x + 10 f) -3x
2+ 17x + 6 g) 6x
2+ 7x + 2 h) 3x
2– 14x + 8 i) 2x
2+ 5x – 12 j) -2x
2+ 7x – 5
Exercice 3.16: Factoriser les trinômes suivants:
a) 4x
2– 16x + 15 b) 5x
2+ 26x – 63
c) -3x
2+ x + 14 d) -6x
2– 7x + 24
e) 6x
2– 17x – 45 f) 3x
2– x – 10
g) -4x
2+ 29x + 24 h) -3x
2+ 24x – 45
i) 4x
2– 3x – 27 j) -3x
2+ x + 30
3.5.2 Un petit mélange de tout…
Exemple : Factoriser:
a) 16x
2+ 48x + 32 b) 16x
2+ 40x + 9 c) 16x
2+ 24x + 9
Exercice 3.17: Factoriser les trinômes suivants:
a) x
2– 6x + 8 b) x
2– 10x + 25 c) x
2+ 5x – 14 d) 10x
2– 28x + 16 e) x
2– 4x – 45 f) 2x
2– 28x + 98 g) x
2+ 2x – 3 h) 4x
2+ 8x + 3 i) -x
2+ 100 j) -6x
2+ 29x – 35
Exercice 3.18: Factoriser les trinômes suivants:
a) x
2– 64 b) 3x
2– 25x + 8
c) x
2– 3x + 2 d) x
2– 25
e) -12x
2+ 25x + 7 f) x
2+ 9x + 18
g) -8x
2– 14x + 15 h) 4x
2– 20x + 25
i) 6x
2– 23x – 18 j) -121x
2+1
3.6 La factorisation pour résoudre des équations du 2
èmedegré
Exemple : Résoudre les équations suivantes:
a) x
2+ 3x – 18 = 0 b) 3x
2= x + 10
Exercice 3.19: Résoudre les équations suivantes:
a) x
2– x – 2 = 0 b) -12x
2– x + 6 = 0 c) 3x
2– 24x + 36 = 0 d) 2x
2– 20x + 42 = 0 e) 2x
2– 16x + 24 = 0 f) x
2= 9
g) x
2– 10x + 24 = 0 h) 5x
2– 37x + 14 = 0 i) x
2+ 6x – 27 = 0 j) -3x
2= -x – 140
Exercice 3.20: Résoudre les équations suivantes:
a) x
2– 17x + 70 = 0 b) 6x
2– 37x + 56 = 0
c) 12x
2– 27x + 6 = 0 d) 10x
2– 5x – 50 = 0
e) x
2+ 3x – 18 = 0 f) 3x
2+ 24x + 48 = 0
g) x
2– 3x – 4 = 0 h) 2x
2– 12x + 16 = 0
i) 12x
2– 52x + 56 = 0 j) x
2+ 5x – 7 = -x
2EXERCICES Option Santé
a nté
a)p(-1) = -6 et p(2) = 9 b)p(-1) = 0, p(1) = 0 et p(2) = 6 ainsi x = -1 et x = 1 sont des zéros de p(x) c)p(0) = 1, p(1/2) = -1 et p(-1/3) = 16/9 a) On a bien p(2) = 0, p(-5/2) = 0 et p(-3) = 0 b) On a bien p(-1) = p(1) = p(5/2) = 0 a)p(x) d(x)=4x2−3x+12b)p(x) d(x)=5x4+12 5x3−1 5x c)p(x) d(x)=2x2−7 2x+1 2−1 x a) quotient q(x) = 2x + 11 et le reste r(x) = 54x – 96 b) quotient q(x) = 3x2 – 6 et le reste r(x) = 0 p(x) = (2x2 + 1)(5x2 – 3x + 1) + (1 – x) = 10x4 – 6x3 + 7x2 – 4x + 2 a)5x4+2x3−3x2+4x−6=x2−3x−2()
5x2+17x+58()
+212x+110()
b)4x4 −6x3 +2x2 −4x+7=2x2 +3x−2()
2x2 −6x+12()
+−52x+31()
c)6x5 −4x4 −13x3 +34x2 −21x+8=2x3 −5x+8()
3x2 −2x+1()
d)x4+4x2−12=x2−3()
x2+7()
+9 e)2x4+4x3−10x2−16x+8=2x−4()
x3+4x2+3x−2()
f)x3 +27=x+3()
x2 −3x+9()
a)1) reste = 0 2) on obtient le même reste 3)p(x)=(x−1)(4x2−6x+5) 4) et si vous remplaciez x par 1 dans l’égalité fondamentale. b) 1) reste = 132 2) on obtient le même reste 3)p(x)=(x+2)(9x3 −17x2 +33x−65)+132 4) et si, à l’aide de l’égalité fondamentale, vous calculiez p(-2)QUELQUES RÉPONSES AUX EXERCI Option Santé 3CSanté – JtJ 2020
Exercice 3.8: a)p(-2) = 0 donc p(x) est bien divisible par d(x) b)p(2) = 6 donc il y a un reste de 6, p(x) n’est pas divisible par d(x) c)p(-1/2) = 5/4 donc p(x) n’est pas divisible par d(x) d)p(2) = 0 donc p(x) est bien divisible par d(x) Exercice 3.9: a) S = {5 ; -3 ; 1 ; -3/2} b) S = {1 ; 2,73 ; -0,73} c)p(x) est donc divisible par (x – 1)·(x + 1). On obtient après division : p(x) = (x – 1)(x + 1)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 1)(x + 3)(x – 2) d)p(x) est donc divisible par (x – 2)·(x + 3). On obtient après division : p(x) = (x – 2)(x + 3)(x2 + 2x + 1) = (x – 2)(x + 3)(x + 1)2 Exercice 3.10: a) (x – 2)(x – 3)(x + 4) = 0 ⇒S = {2 ; 3 ; -4} b) (x + 1)3 = 0 ⇒S = {-1} c) (x – 1)(x + 2)2 = 0 ⇒S = {1 ; -2} d) (x – 3)(x2 + 2x + 8) = 0 ⇒S = {3} Exercice 3.11: a)x(x – 2)(x – 7)(2x + 1) = 0 ⇒S = {0 ; 2 ; 7 ; -1/2} b) (x – 1)(x + 1)(x + 2)(2x – 3) = 0 ⇒S = {1 ; -1 ; -2 ; 3/2} Exercice 3.12: a)(3x + 2) (3x – 2) b)(x + 8)2 c)2(x – 2)2d)(-x + 6) (x + 6) e)(7 + x) (7 – x) f)(5x + 3)2 g)(x – 6)2 h)(x + 11) (x – 11) i)(2x – 1)2j)(x + 1)2 Exercice 3.13: a)(x + 9) (x – 2) b)(x – 2) (x + 3) c)(x – 3) (x + 6) d)(x + 9) (x – 6) e)(x + 1) (x – 18) f)(x – 1) (x – 7) g)(x – 6) (x – 4) h)(x + 5) (x – 9) i)(x – 3) (x – 4) j)(x – 1) (x – 9)
EXERCICES Option Santé
a)(x + 2) (x + 7) b)(x – 6) (x + 3) (x – 4) (x + 7) d)(x – 3) (x + 8) (x – 7) (x – 3) f)(x – 6) (x – 3) (x + 4) (x – 3) h)(x + 7) (x – 3) (x + 1) (x – 8) j)(x + 7) (x + 8) a)(3x + 1) (x – 9) b)(4x – 9) (3x – 2) (3x + 5) (x + 3) d)(x + 7) (-3x + 1) (x – 2) (4x – 5) f)(-x + 6) (3x + 1) (2x + 1) (3x + 2) h)(x – 4) (3x – 2) (x + 4) (2x – 3) j)(x – 1) (-2x + 5) a)(2x – 5) (2x – 3) b)(x + 7) (5x – 9) (x + 2) (-3x + 7) d) (2x – 3) (-3x – 8) (2x – 9) (3x + 5) f) (x – 2) (3x + 5) (4x + 3) (-x + 8) h) (-x + 5) (3x – 9) (x – 3) (4x + 9) j) (x + 3) (-3x + 10) a)(x – 4) (x – 2) b)(x – 5)2 (x – 2) (x + 7) d)(5x – 4) (2x – 4) (x – 9) (x + 5) f)2(x – 7)2 (x – 1) (x + 3) h)(-2x – 3) (-2x – 1) (-x + 10) (x + 10)j)(3x – 7) (-2x + 5) a)(x + 8) (x – 8)b)(x – 8) (3x – 1) (x – 2) (x – 1) d)(x + 5) (x – 5) (-3x + 7) (4x + 1) f)(x + 6) (x + 3) (-2x – 5) (4x – 3) h)(2x – 5) (2x – 5) (2x – 9) (3x + 2) j)(11x – 1) (-11x – 1)
QUELQUES RÉPONSES AUX EXERCI Option Santé 3CSanté – JtJ 2020
Exercice 3.19: a)S = {-1 ; 2} b)S = {-3/4 ; 2/3} c)S = {2 ; 6} d)S = {3 ; 7} e)S = {2 ; 6} f)S = {-3 ; 3} g)S = {4 ; 6} h)S = {7 ; 2/5} i)S = {-9 ; 3} j)S = {-20/3 ; 7} Exercice 3.20: a)S = {7 ; 10} b)S = {8/3 ; 7/2} c)S = {1/4 ; 2} d)S = {-2 ; 5/2} e)S = {-6 ; 3} f)S = {-4} g)S = {-1 ; 4} h)S = {2 ; 4} i)S = {7/3 ; 2} j)S = {-7/2 ; 1}
