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Louis Paulot
To cite this version:
Louis Paulot. Théorie M et dualités. Physique mathématique [math-ph]. Université Pierre et Marie
Curie - Paris VI, 2003. Français. �tel-00005254�
Laboratoire de physique théorique de l'É ole normale supérieure
Thèse de do torat de l'université Paris 6 Spé ialité : Physique théorique
présentée par Louis Paulot
pour obtenirle grade de
do teur de l'université Paris 6
Sujet :
Théorie M et dualités
Soutenue le22 septembre 2003 devant lejury omposé de MM Mi hel Duflo
Mar Henneaux rapporteur
Bernard Julia dire teur de thèse Ruben Minasian rapporteur
Table des matières Introdu tion 9 1 Vers la théorie M 13 1.1 Champs eta tions . . . 13 1.1.1 Version lassique . . . 13 1.1.2 Versionquantique . . . 15 1.2 Espa e-temps . . . 16
1.2.1 Espa e-tempset relativité galiléenne . . . 17
1.2.2 Relativité restreinte, groupe de Lorentz . . . 18
1.2.3 Représentationsdu groupe de Poin aré . . . 19
1.2.4 Relativité générale . . . 21
1.2.5 Formes diérentielles . . . 24
1.2.6 A tion d'Einstein . . . 26
1.3 Intera tions de jauge . . . 27
1.3.1 Éle tromagnétisme . . . 27
1.3.2 Généralisationaux autres groupes . . . 29
1.3.3 DualitéSL(2;Z) de l'éle tromagnétisme . . . 30 1.4 Supersymétrie . . . 33 1.4.1 Théorème no-go . . . 33 1.4.2 Algèbre de super-Poin aréD=4 N =1 . . . 35 1.4.3 Extensions . . . 36 1.4.4 États BPS . . . 37
1.4.5 Généralisationaux autres dimensions . . . 38
1.5 Supergravité . . . 38
1.5.1 Supergravité N =1 en quatre dimensions. . . 39
1.5.2 Superespa e . . . 40
1.5.3 Supergravité à11 dimensions . . . 41
1.5.4 Rédu tion dimensionnelle . . . 42
1.5.5 Triangle magique . . . 42
1.6.1 Spe tre BPS des supergravités à 10dimensions . . . . 45
1.6.2 Cordesfermées . . . 46
1.6.3 Supersymétrie sur la feuilled'univers . . . 49
1.6.4 Quanti ationBRST . . . 50
1.6.5 Spe tre des ordes fermées . . . 50
1.6.6 Intera tions . . . 51
1.6.7 Cordesouvertes et D-branes . . . 52
1.6.8 Compa ti ationet T-dualité . . . 54
1.6.9 Théorie M . . . 55
1.7 U-dualité. . . 56
1.8 Retour à quatre dimensions . . . 58
2 Des surfa es de del Pezzo aux supergravités 61 2.1 Extraits de géométrie algébrique. . . 61
2.1.1 Variété proje tive . . . 61
2.1.2 Fais eaux . . . 62
2.1.3 Diviseurs, groupede Pi ard . . . 63
2.1.4 Interse tion sur lessurfa es . . . 64
2.1.5 Classe anonique . . . 65
2.1.6 É latements . . . 66
2.1.7 Fais eauxamples . . . 66
2.1.8 Surfa esde del Pezzo . . . 67
2.1.9 Singularitésde Du Val etsurfa es de del Pezzo normales 69 2.2 Superalgèbres . . . 70
2.2.1 Algèbresde Lieet groupes de Lie . . . 71
2.2.2 Superalgèbres et supergroupes . . . 71
2.2.3 Tore maximal etsystème de ra ines . . . 72
2.2.4 Superalgèbre de Bor herds . . . 72
2.2.5 Groupe de Weyl. . . 74
2.3 Des surfa es de del Pezzo auxsupergravités . . . 74
2.3.1 Exemple de lasupergravitéD =11 . . . 74
2.3.2 Méthode générale . . . 78
2.3.3 Théorie IIB . . . 81
2.3.4 Théorie IIA et ompa ti ations. . . 84
2.4 Trianglemagique . . . 89
2.4.1 Triangle té physique/del Pezzo . . . 89
2.4.2 Symétriedu triangle omplexe . . . 94
2.4.3 Constru tiondu triangle réel. . . 96
2.4.4 Carrémagique . . . 101
2.5.2 Contraintes sur lasurfa e . . . 104
2.5.3 Constru tionde lasurfa e non-normale . . . 106
2.5.4 Quotientdes superalgèbres de type II . . . 109
2.5.5 Un nouveau triangle . . . 109
2.5.6 Se teur de jauge? . . . 111
3 Group manifold et supergravité D=5 N =2 113 3.1 Appro he du group manifold . . . 113
3.1.1 Superespa e etsuper hamps . . . 113
3.1.2 Méthode générale, prin ipe . . . 114
3.1.3 Détermination d'un Lagrangien . . . 117
3.1.4 Algèbres diérentielles libres . . . 118
3.2 SupergravitéD =5 N =2 . . . 120
3.2.1 Contenu en hamps . . . 120
3.2.2 Lagrangien leplus général . . . 123
3.2.3 Contraintes . . . 123
3.2.4 Dérivées totales . . . 125
3.2.5 Solutionsdes équations du mouvement . . . 126
3.2.6 Sort de la 2-forme B . . . 127
Con lusion 129
Remer iements
Arrivéau terme de e travailde thèse, je tiens àremer ier tous eux qui m'ontapporté de l'aide d'une façon ou d'uneautre.
Ma gratitude va d'abord à Bernard Julia, qui a su me transmettre son enthousiasme pour la re her he en physique théoriqueet n'a pas ménagé sa peine lorsque j'avais besoin de son aide.
Je remer ie égalementles membres du laboratoirede physique théorique de l'É ole normale supérieure, et tout parti ulièrement ses deux derniers dire teursJeanIliopoulosetEugèneCremmer,pour m'avoira ueilliausein de elui- i. Ma re onnaissan e s'adresse également à Ni ole Ribet et à tout lese rétariat pour tous lesproblèmes administratifs.
Jedoisbeau oupàtouslesprofesseursquiontsudévelopperàlafoismon intérêt etmes talents en mathématiqueseten physique, de Vin entLaro he et Jean-François Le Flo hen lasses préparatoires jusqu'aux enseignants de l'É olenormale,notammentClaudeDelalande,Jean-Mi helRaimondet Ber-nard Rouleten magistère, eten DEA ÉdouardBrézin etJean Iliopoulosqui m'ontapprisla théoriedes hamps ainsique PaulWindey qui m'a introduit àlathéoriedes ordesetBernardJulia,en oreunefois,pourson oursdense en mathématiques etpointuen physique.
Je ne saurais oublier i i Pierre, Ni olas, Serguei, Dan et Ya ine, qui ont partagélemêmebureauquemoietgrâ eauxquelsilyrégnaituneatmosphère à lafois studieuse et sympathique.
Mer iaussiàMar HenneauxetRuben Minasianquionta eptélatâ he de rapporteurspour ettethèse, ainsiqu'à Mi hel Du o, ChrisPopeetPaul Windey pour leur parti ipationau jury.
Ilmefaudraiten oreremer iertous euxquim'ontapportédel'aidedans mon travail ou au ours des es trois années. Je suis tout parti ulièrement re onnaissant envers ma famille et à mes amis, qui m'ont permis de parler d'autre hose que de physique ou de mathématiques et parfois même de physique oude mathématiques.S'ilne m'estguère possible de iter i i eux à qui je dois sans doute le plus, je ne les oublie pas pour autant. Je me ontenterai d'unemention spé ialeàAgnès, quiaété jusqu'àrelireune thèse à laquelleelle ne omprenait rien.
À tous, eux quej'ai ités omme eux qui sont restés dans l'ombre, Mer i!
Introdu tion
La des riptiondes onstituants élémentaires de lamatière etde leurs in-tera tions est l'un des obje tifs majeurs de la physique, a n de omprendre le fon tionnement du monde physique auniveau le plus fondamental. Ainsi on dé rit aujourd'hui l'univers par des parti ules dont ertaines forment la matière éle trons, quarks, neutrinos... alors que d'autres photons, bosons W, Z, gluons... transmettent des intera tions, pour simpli er(en fait les deux sont fortement imbriqués et il n'y a pas de distin tion laire). Lesintera tions onnues sontaunombre de quatre : lagravitation,qui régit l'attra tionmutuelledes orps,l'éle tromagnétismequidé ritlapropagation de la lumièreet lesintera tions entre les parti ules hargées éle triquement, ainsi que les intera tions faible et forte qui entrent en jeu dans des phéno-mènesplus énergétiques omme laradioa tivitéoula ohésion des nu léons. Le modèle standard de la physique des parti ules rend ompte des trois dernières de es intera tions dans le adre de la théorie quantique, où l'in-tuitiongéométriquehabituelle destraje toiresne rendplus ompte orre te-ment des mouvements des parti ules. Parallèlement, on dispose d'une théo-riegéométrique de la gravitation, la relativitégénérale, où 'est la ourbure de l'espa e qui rend omptedes intera tions gravitationnelles. On se heurte toutefois à un problème majeur : alors que es deux théories sont véri ées expérimentalementet dé rivent orre tement lanature dans leurs domaines devalidité,qui ouvrenttout equenouspouvonsobserveràl'heurea tuelle, onne peut lesin luredansune mêmethéorie, ohérente. Leproblème essen-tielestqu'on nesaitpasquanti erlagravitation,onnetrouvepas deversion ompatible ave le ara tère quantique de la matière. La quête d'une telle théoriequantiquede lagravitation onstitue don l'un des obje tifs majeurs de la re her he en physique théorique.
C'est dans e adre qu'ont été inventées les théories de supergravité, théories de la gravitation possédant la supersymétrie, qui est une symétrie é hangeant bosons et fermions. On a de même introduit de telles théories en dimension supérieure à quatre, elle de l'espa e-temps dans lequel nous
a tions hadroniques les hadrons sont des parti ules omme les protons ou les neutrons des théories de ordes, où les objets fondamentaux sont des ordes se déplaçant dans l'espa e. Alors que es théories se révélèrent in apables de rendre ompte orre tement de l'intera tion forte, omme on l'espérait, oneutla grandesurprisede serendre omptequ'elles ontenaient le ve teur de la gravitation, le graviton. En fait, on avait là, dans ertaines onditions, une théorie quantique de la gravitation... en dimension dix (et né essairementsupersymétrique).
En eet, les théories des ordes ont de très fortes ontraintes, et lesou i de ohéren einterneréduitdrastiquementlalibertéde hoixsurlathéorie,et ladimension del'espa e-temps est ainsiun desparamètres xés. Ilfautalors trouver des mé anismes expliquant l'apparen e du monde, si l'une de es théoriesle dé rit ee tivement. Ce dernier point n'est toujours pas tran hé. Eneetlesthéoriesde ordesétanttrèspeu exibles,onnepeut pasajouter une àune touteslesintera tions ommeonlefait en théoriedes hamps. I i toutest donnéd'entréedejeu,etilfautréussiràtrouverun étatdelathéorie qui orrespondeà equenousvoulons.Cetin onvénientest ependantundes argumentsprin ipauxen faveurde es théories:ilyatrèspeude paramètres libres,et 'est le sou i de ohéren e interne qui est le l ondu teur.
Il existe inq types de théories des ordes supersymétriques. En fait, elles- i sont reliées par e qu'on appelle des dualités : e sont diérentes des riptions d'une même théorie, dans diérentes limites. On suspe te ainsi l'existen e d'unethéorie-mère,la théorieM,théorie quantiquequidonnerait en parti ulier dans une ertaine limite la gravitation en onze dimensions, dans une version supersymétrique. C'est en eet une propriété des théories de super ordes de redonner à basse énergiedes théoriesde supergravité.
Dans le adre de la re her he d'une formulationde ette théorie M, mes travaux ont ainsi porté sur une reformulation de sa limite de supergravité, la supergravité à onze dimensions, des diérentes rédu tions en dimension inférieure de elle- i ainsi que d'autres supergravités, a n d'en faire appa-raître les symétries a hées. On onnaît en eet des groupes de symétries pour es théories groupes de Cremmer-Juliaen supergravité, groupes de U-dualitéen théoriedes ordesmais eux- ipeuventêtre étenduspar l'in-trodu tionde superalgèbres,quipermettentde plusd'exprimerleséquations dumouvementde ertains hampsdes théoriesde manièretrèsgéométrique. Trouverla géométrie sous-tendant la théorieest essentiel pour en mettre au jour toutes les symétries, mais pourrait également permettre de trouver un heminvers laformulationquantiquedelathéorieM,qu'onne onnaît pour le momentque dans quelques limites.
physi-introduits les on epts essentiels du domaine, vient l'exposé de mes travaux. Il sera tout d'abord question de l'extension des groupes de U-dualité par des supergroupes obtenus à partir de superalgèbres de Ka -Moody généra-lisées, de dimension in nie, et de la formulation du se teur bosonique des supergravités dans e adre, à l'ex eption notable de la gravitation. Le der-nier hapitre ontientdes travaux plus an iens, non publiés,où la ondition d'auto-dualité, au lieu d'être imposée à la main, apparaîtautomatiquement dans lathéorie étudiée (lasupergravité minimaleà inqdimensions).
Chapitre 1
Vers la théorie M
Dans e premier hapitre, j'essaie d'introduire les notions utilisées dans les théories physiques a tuelles qui tentent de dé rire la nature au niveau le plus fondamental, en progressant vers elles sur lesquelles mes travaux ont porté, et en insistant sur eux de leurs aspe ts qui seront utiles par la suite. Si le le teur physi ien risque de ne rien apprendre de nouveau dans les premières pages et pour le spé ialiste ette mise en garde vaut pour tout le hapitre espérons qu'elle pourra intéresser par son originalité et permettre de situer es travaux.
1.1 Champs et a tions 1.1.1 Version lassique
Pour modéliser l'univers, en parti ulier la matière et ses intera tions on utiliseenphysique equ'onappelledes hamps:desgrandeursquidépendent d'un ou plusieurs paramètres. Ainsi pour dé rire le mouvement d'une parti- ule danssamodélisationlaplus simple,on hoisittrois fon tionsréelles x
1 , x 2 etx 3
d'unparamètreréel t,qu'on interprète ommeles oordonnéesde la parti ule dans l'espa e. Notons que ela revient àse donner une appli ation de R dansR
3
,etqu'onaainsi unethéoriedes hampsunidimensionnelle.De mêmepourle hampéle tromagnétique, quidé ritla propagationdes ondes radios ou les for es exer ées entre harges éle triques, on peut utiliser deux ve teurs àtrois dimensions E etB, les hampséle trique etmagnétique, qui dépendentdequatreparamètrest,x
1 ,x
2 ,x
3
qu'oninterprète ommeletemps etles oordonnéesd'espa e.C'est ettefoisunethéoriequadridimensionnelle. On voitsur es deuxexemplesquel'espa en'intervientpas toujoursdela
lesgrandeursvariablesétudiées,dans lese ond aselles sontdes paramètres, des variables indépendantes.
Ces hampspermettentde dé rirelesystème, mais elui- iest également soumisdans son mouvementà des lois,qu'on exprimepar des équations fai-santintervenirlesdiérents hampsde lathéorieétudiée, appelées équations du mouvement. Ainsi pour notre exemple de la parti ule pon tuelle, si elle n'estsoumiseàau uneintera tion,sonmouvementestre tiligneetdevitesse uniforme.Cela se traduitpar le jeu d'équations
d 2 x i dt 2 =0; (1.1)
ouen ore, en notant r le ve teur de oordonnées (x 1 ;x 2 ;x 3 ), d 2 r dt 2 =0: (1.2)
De même les hamps éle triques et magnétiques satisfont aux équations de Maxwell, dont nous donneronsplus loinune formeplus éléganteque elle utilisantles hamps Eet B,en introduisantdes on eptsde géométrie dié-rentielle.
Dans un ertain nombre de as, les équations du mouvement lassiques peuvent dé oulent d'un prin ipe de moindre a tion, ou plut t d'a tion sta-tionnaire(ladénomination ourante,quel'histoirenousaléguée,est malheu-reuse arfausseentoutegénéralité):onpeutintroduireunegrandeurappelée a tion etdépendantdes diérents hamps,quiestminimale,ouplus généra-lement extrémale,pour lesmouvementsphysiquement possibles,parmi tous lesmouvementsenvisageables. Ainsipourreveniren oreà laparti ule pon -tuelle libre, l'équation 1.2 peut s'obtenir en demandant que les traje toires minimisentl'a tionsuivante :
S= Z dt dr dt 2 ; (1.3)
parmitoutes les traje toires joignantdeux points.
On observe que ette a tion s'é rit omme l'intégralesur le temps d'une fon tion des hamps : elle- i est alors appelée Lagrangien. Quand on a des hamps quidépendent aussi des oordonnées spatialesetque l'a tion s'é rit ommeune intégrale sur le temps etl'espa e (àn dimensions) :
S = Z
dtdx n
L; (1.4)
Quand l'a tions'é rit ainsi ommeune intégraled'un Lagrangien qui ne dépend que des hamps (notés génériquement ) et de leurs dérivées pre-mières par rapport auxparamètres, notés y
i (1in) : S = Z dy n L( ; i ); (1.5)
lemouvement est donné par leséquationsd'Euler-Lagrange n X i=1 i L ( i ) = L ; (1.6) où i désigne y i .
Par exemple un hamp s alaire libre (t;x 1
;x 2
;:::;x n
) dé ni sur un es-pa e àn dimensions, plus letemps, a une a tion
S = Z dtdx n " ( t ) 2 + n X i=1 ( i ) 2 # (1.7)
qui donne omme équation du mouvement
2 t n X i=1 2 i =0; (1.8)
qu'on note ave l'opérateurdiérentielDalembertien :
=0: (1.9)
Notons que pour n = 1 'est l'équation d'une orde vibrante, que nous retrouverons plus loin quand il sera question de théorie des ordes, 'est-à-dire quand on se proposera de dé rire les parti ules fondamentales omme des modes de vibration de ordes.
1.1.2 Version quantique
Nous nous sommes pla é jusqu'i i dans le adre de la théorie lassique des hamps:les hampssont desfon tionsqui obéissentàdes équations.En théorie quantiquedes hamps, ela n'est plus le as. Les hamps sont main-tenant des fon tions (ou plus généralement des distributions)à valeursdans l'espa e des opérateurs linéaires sur un ertain espa e de Hilbert H ( 'est-à-dire un espa e ve toriel normé omplet) ensé dé rire les diérents états
diérents états, données par hsjOjsi, où O désignel'opérateur dont onveut al ulerlavaleurmoyennedansl'étatjsi.hsjOjsiestleproduits alaireentre jsi et Ojsi (hsj est le dual de jsi). On demande aux opérateurs orrespon-dant aux hampsde lathéoriede satisfaireauxéquations dumouvement; la diéren e ave la théorie lassique est que les diérents opérateurs ne om-mutent pas for ément. On se donne don des relations de ommutation ou d'anti ommutationentre les diérents opérateurs.
Demanièreéquivalente,onpeut al ulerlesvaleursmoyennesenintégrant sur toutes lesévolutionspossiblesdes hamps lassiques, sans se restreindre auxsolutionsdes équationsdu mouvement,en pondérant haque traje toire dans l'espa e d'évolution des hamps par e
i ~ S
, ou S est l'a tion du hemin onsidéré.Ainsilaprobabilitéqu'uneex itationdu hampsetransmetted'un pointx
a
àun pointx b
entre les temps t a et t b , se al uleà partir de R [D ℄ (t a ;x a ) (t b ;x b )e i ~ S[ ℄ R [D ℄e i ~ S[ ℄ 2 : (1.10)
Ce genre d'intégrale n'est en général pas al ulable. Dans un ertain nombre de as on peut faire un développement perturbatif dans ertains domaines de l'espa e des paramètres de la théorie : on utilise alors des dia-grammes de Feynman pour automatiser e al ul et sa ombinatoire. On s'aperçoit alors souvent que les quantités qu'on al ule sont divergentes; il faut alors, quand 'est possible, pro éder à une renormalisation de la théo-rie, qui onsiste à fairevarier ertaines onstantes physique en même temps qu'on hange des paramètres de régularisationdes intégralesdivergentes, de telle sorteque lesquantités physiquesrestent invariantes etsoient ainsibien dé nies.
Lathéorie quantiquedes hamps est un sujet vaste etsouvent omplexe, iln'estdon pas questionde prétendrei iletraiteren toutegénéralité.Cette brèveévo ationn'apourbutquedefamiliariserlele teurnon physi ien ave ses on eptsessentiels,des hamps lassiquesetdesLagrangiensauproblème de la quanti ation.
1.2 Espa e-temps
Avantde passeràses extensionsditessupersymétriques,il onvient main-tenant d'analyser l'espa e et le temps, ou plut t l'espa e-temps puisque es
1.2.1 Espa e-temps et relativité galiléenne
Danslepremierparagraphede e hapitre,nousavons impli itement uti-liséleprin ipe d'inertie :une parti ulelibresuit un mouvement re tiligneet uniforme. On onstate tout de suite que e prin ipe suppose que le mouve-mentde laparti uleest repéré dansunréférentiel (autrementditun système de oordonnées) parti ulier.Eneet, si je hange elui- ien prenant omme nouvelleorigine des axes un point O
0
(t) repéré dans leréférentieloriginalR par le ve teur R(t), en gardant les nouveaux axes parallèlesaux an iens, la position d'un point M de ve teur position r est maintenant donnée dans le nouveau référentielR
0 par r
0
=r R.Endérivantpar rapport autemps,on obtient ommeloi de transformation des vitesses
v 0
=v V; (1.11)
où v 0
, v et V sont les dérivées par rapport au temps 1
respe tivement de r
0
, r et R. Ainsi un mouvement re tiligne et uniforme dans R ne le sera dans R
0
que si l'origine O 0
de elui- i se dépla e à vitesse onstante dans R. On pourrait de même montrer que les axes doivent rester de dire tion xeau oursdu tempspour préserverle ara tère re tiligneetuniformedes mouvements desparti ules libres.Ainsiily atoute une lasse de référentiels qui préservent ette propriété, tous en translation à vitesse onstante les uns par rapports aux autres.Ces référentiels sont dits galiléens. Nousavons impli itement postulé qu'il en existait un, dans lequel le prin ipe d'inertie s'appliquait. Nousavons également supposé quel'espa e est eu lidien, 'est-à-dire quela distan e entre deux points A etB est donnée par
kABk= r x (B) 1 x (A) 1 2 + x (B) 2 x (A) 2 2 + x (B) 2 x (A) 2 2 ; (1.12) e qui donne pour le arré d'unedistan e in nitésimale
ds 2 =dx 2 1 +dx 2 2 +dx 2 3 : (1.13)
Les transformations de l'espa e qui laissent ette distan e invariante, 'est-à-dire les isométries, sont d'une part le groupe des rotations de l'es-pa eàtroisdimensionsSO(3)etd'autrepartlestranslations,ainsiqueleurs omposées. (Il faut aussi ajouter la symétrie par rapport à l'origine, ainsi que ses omposées, si on ne veut pas se restreindre aux transformations qui préservent l'orientationde l'espa e.)
Nousverronsparlasuiteque ettevisiond'unespa eidenti éàunespa e eu lidien R
3
est abandonnée dans lesdes riptions plus poussées. 1
1.2.2 Relativité restreinte, groupe de Lorentz
Unautrepostulatimpli itedans equipré èdeestl'existen e d'untemps absolu, indépendant de l'espa e et du référentiel dans lequel on mesure les mouvements. C'est ela qui nous a permis de dériver la loi galiléenne de omposition des vitesses 1.11.
Larelativitérestreinte introduitepar Einsteinabandonne ettenotionde tempsabsolupour fairedépendreletempsdu référentiel.Les oordonnéesde temps etd'espa e sont alors mélangées lorsdes hangements de référentiel : au lieu d'un espa e et d'un temps distin ts, on utilise le on ept d'espa e-temps. Dans des unités où la vitesse de la lumière vaut 1, on dé nit la distan e in nitésimale(ou métrique) par
ds 2 = dt 2 +dx 2 1 +dx 2 2 +d 2 3 : (1.14)
Danslasuite,onnoterax 0
letemps,puisqu'ilest intégréauxautres oordon-néesspatiales,mais ave unenorme négative.On aainsi dé niune métrique minkowskienne, de signature (3,1), qu'on peut représenter par la matri e
= 0 B B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 C C A : (1.15)
Les transformations linéaires qui laissent ette distan e invariante sont les matri esO véri ant
t
OO =: (1.16)
Ces transformations forment le groupe O(3;1).Ce groupe a quatre ompo-santes onnexes, ara térisées par le signe du déterminant et le signe de la transformationsur la dire tion temporelle.Si onimpose que ledéterminant soitégal à1,ona legroupede Lorentz (àquatredimensions),noté SO(3;1). Ce groupe ontientlegroupeSO(3)des rotationsdes trois oordonnées spa-tiales,ainsi que des transformationsappelées boosts qui orrespondent àdes hangements de référentiels galiléens.Si on ajouteà es transformations les translationsdanstouteslesdire tionsspatio-temporelles,onobtientlegroupe de Poin aré, qui est le groupe de symétrie de l'espa e-temps tel que dé rit i i.
Cela se généralise aisément à des espa es de dimension supérieure : un espa e de Minkowski à n dimensions d'espa e et une dimension temporelle (notéR
1 ;n
1.2.3 Représentations du groupe de Poin aré
Une notion mathématique essentielle en physique est elle de représen-tation d'un groupe, qui fait agir le groupe omme des transformations d'un espa e ve toriel. Étant donné un groupe G, une représentation de G est un morphismede Gverslegroupedestransformationslinéairesd'unespa e ve -toriel. Autrementdit ona un espa e ve torielV, l'espa e de représentation, et à haque élément g de G on asso ie un opérateur linéaire (g) sur V, en demandant que laloi de multipli ation soitpréservée :
(g)(g 0
)=(gg 0
): (1.17)
Notons que ertainséléments du groupe peuvent êtreenvoyéssur l'identité : ilsn'induisentalors au une transformationdans V.Unereprésentationdans un espa e de Hilbert sera dite unitaire si elle représente les éléments de G par des opérateurs unitaires(satisfaisant U
+
U =1).
AinsilegroupeSO(3),pardé nition,aunereprésentation ommegroupe des rotations de R
3
: on le dé nit omme l'ensemble des transformations linéairesde et espa e ve toriel qui préservent la métriqueet l'orientation.
On ren ontre en physiquela notion de représentation proje tive; la rela-tion 1.17 est véri ée à une phase près :
(g)(g 0 )=e i(g;g 0 ) (gg 0 ): (1.18)
En nune représentationest diteirrédu tible siellene peutpas se dé om-poser en sommedire te de représentations plus petites.
Ave Wigner, on dé nit une parti ule omme une représentation proje -tive unitaire irrédu tible du groupe de Poin aré, 'est-à-dire du groupe des isométriesdel'espa e-temps.Enfait, elarevientàdé rirelesreprésentations unitairesirrédu tibles du revêtement universel de e groupe.
Endimension4, esreprésentationssont lassi ées,pourlesparti ulesde massenonnulle,parlespin delaparti ule,qui ara tériselesreprésentations du groupe Spin(3) = SU(2), re ouvrement à deux feuillets de SO(3). Le spin est donné par un nombre de N=2. En dimension supérieure D, 'est le groupe SO(D 1) qui lassi e les représentations de masse non nulle du groupe de Poin aré, mais on ontinuera à parler du spin des parti ules en onsidérant l'eet d'une rotationdans un sous-espa e de dimension 3. Pour des parti ules de masse nulle, 'est SO(D 2) qui intervient, soit SO(2) ' U(1) en dimension 4.Le nombre quantiquequiintervient est alors l'héli ité. D'autre part,onappelleboson uneparti ule dont plusieursreprésentants peuvent être dans le même état (position, ou impulsion...) et fermion une
que lesparti ules de spin entier sont des bosons etles parti ules de spin dit demi-entier (i.e. appartenant à
1 2
+N) des fermions (ave trois dimensions d'espa e).
Un hamp libre de spin 0 est dé rit, en termes mathématiques, par une se tion d'un bré de bre R (ou C, ou un espa e de représentation d'un groupede symétrieinterne)etdebasel'espa e-temps.Lemouvementestrégi par l'a tionde Klein-Gordon
2 (en D =n+1 dimensions) L KG = Z M d D x +m 2 2 (1.19) quidonne l'équation du mouvement
( m 2 ) =( m 2 ) =0: (1.20) Pour dé rire les parti ules de spin
1 2
, il nous faut d'abord dé rire la re-présentation orrespondantedu groupe de Lorentz. Nousallons dé rirei ila représentationde Dira
3
.EndimensionD, e sontdes ve teurs dedimension omplexe k =2
[D=2℄
, appelés spineurs, ([D=2℄ est la partie entière de D=2). Pour dé rirel'a tion du groupe de Lorentzil fautintroduire lesmatri es : e sont des matri eskk véri ant lesrelationsde Cliord
f ; g= + =2 ; (1.21) où
est lamatri e inverse de
. Le groupe de Lorentz agitalors par les matri es = i 4 [ ; ℄= i 4 ( ): (1.22) De plus on dispose d'une opération de onjugaison permettant d'é rire un produit s alaire entre deux spineurs et .
Le hamp libre de spin 1 2
est régi, en l'absen e de hamp éle tromagné-tique, par l'a tionde Dira
L= Z M ( = +m) (1.23) 2
Nousutilisonsi i et danslasuitela onventiond'Einsteindesommationdesindi es répétés : A B devra être lu P A B = P ; A B
= A:B. Par ailleurs, nous hoisissons des unités physiques naturelles telles que la onstante de Plan k ~ et la vitessedelalumière soientégalesà1etainsin'apparaissentpasdansnosexpressions.
3
Il existe d'autres représentations de dimensions inférieures en ertaines dimensions d'espa e-temps,dé niesenimposant ertaines onditionsquenousne dis uteronspasi i
où = A désigne la quantité A , soiti i = = . On obtient à partir de e Lagrangien l'équationde Dira
( =
+m) =0: (1.24)
Notons que le hamp véri e alors automatiquement l'équation de Klein-Gordon.
Il onvient d'ajouter qu'il faut en fait prendre pour les fermions des hamps lassiques qui anti ommutent au lieu de ommuter omme les nombres réels ou omplexes.
En n pour les hamps de spin supérieur à 1 2
,les représentations peuvent se onstruire par produit de spins
1 2
. Les termes inétiques des a tions, qui orrespondent aux hampslibres,pour des parti ulesde spin1,
3 2
et2seront donnés dans lasuite.
1.2.4 Relativité générale
Nousavons jusqu'i idé ritl'espa e-temps ommeun espa e ve toriel, ri-gide, muni d'une distan e minkowskienne donnée par une forme bilinéaire symétriquedesignature (D 1,1),et et espa eapour symétrielegroupede Poin aré onstitué des translations etdes transformations de Lorentz. Mais lesloisphysiquess'exprimantdemanièrelo ale,ilestplusnaturelde n'impo-ser es ontraintessurl'espa e-tempsquelo alement:auvoisinagede haque point, l'espa e-tempsest lo alementR
D
, 'est-à-dire qu'ilpeut sedé rire lo- alement par un jeu de D oordonnées réelles. On demande simplementque lesquantitésphysiquesnedépendentpasdusystèmede oordonnées.Deplus on a une distan e in nitésimale ds qui permet, par intégration, de mesurer lalongueur de ourbes.Cela orrespond au on eptmathématiquedevariété pseudo-riemanienne.
En haque point, on a des ve teurs tangents qui donnent les diérentes dire tions, et forment en haque point un espa e ve toriel de dimension D, et on peut en prendre une base orthogonale pour la métrique ds, de telle sorte que dans ette base la métrique soitla métrique minkowskienne , au point onsidéré. On appelleune telle base dé nie en haque point un repère mobile. On a alors en haque point une liberté dans le hoix de la base, donnée par le groupe de Lorentz SO(D 1;1). On demande tout de même quelesve teursde basededeux pointsin nimentpro hessoientpro heseux aussi; en d'autres termeson souhaiteque labase de ve teurs tangents varie ontinûment.Celaades onséquen essurle hoixdurepèremobileen haque point : on ne peut le hanger que ontinûment. De plus, le sens de la è he
in nimentpro hes, equifaitqu'on serestreintausous-groupedugroupede Lorentzqui préserve es propriétés. (Notonsqu'iln'est pas toujourspossible d'assurer ela globalementsur la variétéd'espa e-temps : ainsisur un ruban de Möbiusl'orientationdel'espa e hangesionfaitun tour.)En n,le hoix d'unrepère en haque pointest un as parti ulierpour legroupede Lorentz de hoix de jauge.
La base est dé nie par des objets notés e a
, e qui signi e, si on note x
0 ;:::x
D 1
les oordonnées au voisinage du point, que le ve teur tangent
, qui donne la dire tion où seul x
varie, a pour omposantes dans ette base (e 0 ;:::;e D 1
). Par linéarité, leve teur A = A a pour omposantes (A e 0 ;:::;A e D 1
). Unobjet quiagitlinéairementsur lesve teurs tangents estappeléuneformelinéaire,i iàvaleursdansl'espa eve torielR
D 1;1 .C'est i iune1-forme arelleestlinéaireenunseulve teur. Onparleraitde2-forme pour une forme bilinéaire, omme la métrique qui donne le produit s alaire entre deux ve teurs : A:B = g
A
B
. Une forme multilinéaireest appelée formediérentiellesielleesttotalementantisymétriqueet ontinue(etmême dérivable). Enfaitlamétriques'obtientfa ilementàpartirdu repère mobile puisque elui- i est pris orthogonal, en évaluant les deux ve teurs dans le repère mobilepour en al uler leproduit s alaire :
g = : =e a ab e b : (1.25)
On a en haque point la liberté de hoisir un repère orthogonal. Il faut maintenant dé nir la manière de translater un ve teur de manière in nité-simale, notamment pour le omparer à un ve teur dé ni en un pointvoisin etdé nir ainsi des dérivées. Ré iproquement, sion a une notion de dérivée, letransport parallèled'un ve teur s'é rit omme l'annulationde sa dérivée. Comme rien ne permet de dé nir a priori un repère mobile parti ulier, il fautque lerésultatsoitindépendantdu hoixde repère parti ulier. Ainsi,si onnote
r
V (1.26)
la dérivée du ve teur V dans la dire tion
, on souhaite que ette dérivée se transforme simplement omme tous les ve teurs, par rotation du repère lo al; 'est pourquoi une telle dérivée est dite ovariante. Pour un s alaire, 'est-à-dire un nombre réel, invariant sous l'a tion du groupe, la dérivée ne doitpas dépendre nonplus du hoixde repère mobile;en notant une telle fon tions alaire, 'est don simplement
r
=
: (1.27)
l'intermé-mentsde repères. En n larègle de Leibniz
r(FG)=(rF)G+F(rG) (1.28) permet de al uler ladérivée d'un produit.
Soit V un hamp de ve teurs au point M. Alors le transport parallèle vers un pointM +ÆM est donné par une matri e quitransforme e ve teur linéairementetdépendégalementlinéairementde ladire tiondeÆM.Ainsiil est dé ni par une formediérentielle à valeur dans les matri es! =!
dx , de omposantes ! a b
, de telle sorte que V se transforme en 4 V Æx ! V. On souhaite que e transport parallèle onserve les produits s alaires des ve teurs transportés; autrementditlepassage du repère aupoint M à elui dé nienM+ÆM doitêtreunélémentdugroupedeLorentz, equidonnedes ontraintessurlesmatri es!
a b
;enfaitilfautquelesmatri es! ab = b ! a soientantisymétriques.
Pour un hamp de ve teurs V(x), on dé nit omme onl'a ditla dérivée ovarianteen transportantleve teurV(M)dé nissantle hampaupointM jusqu'enun pointin nitésimalementpro he M+ÆM dansladire tion onsi-dérée puis en omparant ave la valeur du hamp en e point en ee tuant lasoustra tion V(M +ÆM) (V(M) Æx ! V(M)): (1.29) Ladérivée ovarianteest ainsi donnée pour un hamp ve toriel par
r = +! : (1.30)
Pourles hampsspinoriels, ommeonl'adit ettedérivée ovarianteagit par l'intermédiaire des matri es ,et l'a tionsur les représentations de spin supérieur se fait en onsidérant des produits de représentation, en utilisant larègle deLeibniz.L'opérateurrestappelé onnexion,termequ'onemploie aussi parfois pour la forme !. Dans le as qui nous o upe où le groupe de jauge est legroupe deLorentz, onparle de onnexion de spin.Notons quela ondition que leproduit s alaire soitpréservé par transport parallèles'é rit
r
g
=0: (1.31)
On impose i i que pour une fon tion s alaire f les dérivées dans les dif-férentes dire tions ommutent :
r r f =r r f (1.32) 4
( ondition de torsion nulle).
Pour un ve teur, le ommutateur de deux dérivées est un opérateur li-néairedé ni par
R V=[r ;r ℄V=r r V r r V (1.33)
etappelé ourbure,oupluspré isément i i ourbure de Riemann.En ompo-santes, 'est un objet àquatre indi es
R a b
(1.34) où les deux premiers indi es en font une 2-forme diérentielle et les deux suivants dé rivent l'a tion sur les ve teurs du repère mobile. On peut aussi é rire ette dernière dans la basedes ve teurs tangents liésaux oordonnées x
, pour avoir un objet R =e e b a R a b ; (1.35)
qui a des propriétés de symétrie entre les diérents indi es dues aux dié-rentes onditions imposées. Rappelons que elles- i sont d'une part l'inva-rian ede la métriquepar translation etd'autre part la nullité de la torsion. Ces deux onditions donnent une unique onnexion, appelée onnexion de Levi-Civita etquenous avons dé ritei i.Celle- ipeut se al uleràpartirde lamétrique, de même que letenseur de Riemann.
1.2.5 Formes diérentielles
Avant d'aller plus loin, il nous faut dé rire quelques opérations sur les formes diérentielles. Rappelons qu'un tel objet est une formemultilinéaire totalementantisymétrique(ou alternée)dé niesur toutl'espa e et su sam-ment lisse.
Le produit extérieur ^ asso ie à deux formes leur produit antisymétrisé. Une base des 1-formes est donnée par les dx
, qui est duale de la base de ve teurs tangents : dx =Æ : (1.36)
Toutes les autres formes s'obtiennent alors par produit extérieur de es 1-formes et ombinaison linéaire ave des fon tions omme oe ients, par exemple =f(x)dx 1 ^dx 2 +g(x)dx 2 ^dx 3 : (1.37)
Uneautreopérationimportanteestladiérentielleextérieure,dé niesur lesfon tions par
df =
fdx
; (1.38)
laissantinvariantes les formes de la base dx
: d dx
=0; (1.39)
ets'étendant auxautresformes parlinéaritéetgrâ eàlaformulede Leibniz graduée
d( ^ )=d ^ +( 1) p
^d ; (1.40) si est une formede degré p.
On ala propriété essentielle
dd =0: (1.41)
Si on dispose d'une dérivée ovariante r
on peut de même s'en servir pour onstruire une diérentielle ovariante r, mais ette fois on n'a pas for ément r
2 =0.
L'opération de dualité de Hodge asso ie àune p-formediérentielle = 1 p! 1 ::: p dx 1 ^:::^dx p (1.42) une (D p)-forme = 1 (D p)! p jdet(g)j 1 :::p g 1 1 :::g pp 1 ::: D dx p+1 ^:::^dx D ; (1.43) où 1 ::: n
est letenseur totalementantisymétriqueàn indi es(dont les om-posantes valent 0, 1 ou 1 suivant que deux indi es au moins sont égaux, qu'on a une permutation paire ou impaire des indi es). Notons que pour la base du repère mobile, l'expression est plus simple :
(e a 1 ^:::^e a p )= a 1 :::a D a 1 a 1 ::: a p a p e a p+1 ^:::^e a D : (1.44) Une propriété importanteest que est une pseudo-involution :
2
=1; (1.45)
oùlesigneestdonnéparledegrédesformesetlasignaturedel'espa e-temps. En n, on peut intégrer une p-forme sur une variété de dimension p. La formevolume est simplement,en métriqueminkowskienne,
p
1.2.6 A tion d'Einstein
Ayant dé rit ainsi l'espa e-temps, Einstein a eu l'idée de rendre dyna-miquelagéométrieen onsidérantlamétriqueoula onnexiondeLevi-Civita asso iée ommedes hampsphysiquessoumisàdeséquationsdumouvement et entrant en jeu dans le Lagrangien. Ainsi les propriétés géométriques de l'espa e-temps sont reliées dynamiquement aux hamps de matièreou d'in-tera tion qui s'ytrouvent.
Pour ela, on ajoute au Lagrangien des autres hamps le Lagrangien d'Einstein
L = 1 16k
R; (1.47)
oùk estla onstantegravitationnelledeNewtonetRla ourbures alairequi s'obtient à partir du tenseur de Riemannde la manière suivante. On forme d'abord letenseur de Ri i
R =g R ; (1.48)
qui est symétrique et qu'on ontra te à nouveau pour former la ourbure s alaire R=R =R : (1.49)
Une foisintégrée,l'a tiond'Einstein est don S E = 1 16k Z M R= 1 16k Z M d D x p det(g)R : (1.50) Cette a tion, asso iée à l'a tion dé rivant les autres hamps, permet d'é rirel'équationdumouvementpourle hampgravitationnel,appelée équa-tion d'Einstein.
En dé nissant le tenseur d'énergie-impulsion omme ladérivée fon tion-nelle de l'a tionde lamatière
T (x)= 2 p det (g) ÆS m Æg (x) ; (1.51)
l'équationd'Einstein s'é rit R 1 2 g R=8kT : (1.52)
Un point fondamental est que ette onstru tion rend ompte des phé-nomènes de gravitation. En eet l'équation d'Einstein relie la ourbure de
lestraje toiresdesparti ules. Ainsiuneparti ule libresuittoujoursune géo-désique, mais elle- i n'est plus né essairement une ligne droite. Notons que si les phénomènes gravitationnelssont faibles, 'est-à-dire si la ourbure est petite devant
1 x
2
, oùx est la longueur typique du phénomèmeétudié, on retrouve omme approximation lathéorie de Newton.
1.3 Intera tions de jauge 1.3.1 Éle tromagnétisme
Nousavonsvudanslase tionpré édenteunexempledethéoriedejauge, en onsidérant le groupe de Lorentz omme un groupe de symétrie lo alde l'espa e-temps. Plus généralement, une théorie de jauge est une théorie où l'on rend lo ale une symétrie globale, en introduisantla onnexion asso iée. Ainsil'éle tromagnétismeest-ildé ritparunethéoriedejaugepourlegroupe U(1).
Considérons en eet un hamp omplexe . Sa phase n'intervient pas dans l'a tion,et onpeut la hanger globalementen multipliant par e
i . Si on suppose que la phase est lo ale, ela veut dire que le hamp est dé rit par une se tion d'un bré, qui n'est plus for ément trivial. Comme dans la se tion pré édente il faut alors introduire un transport parallèle et une dérivée ovarianter
donnée par une onnexion A:ainsi pour un hampde harge éle trique q ona r =( +iqA ) (1.53) et on rempla e
par ette expression dans l'a tion, puisque 'est ette dérivée qui est invariantesous la symétrie de jauge et non la dérivée simple
.
Si on fait un hangement de jauge donné par la phase lo ale e i(x)
, A, le hamp de jauge,est transforméen
A !A d: (1.54)
et en
!e iq
(1.55)
Ainsila dérivée ovariante r
est bien ovariantesous l'a tion de e han-gement de jauge.
Notons que q ara térise en fait la représentation de U(1) dans laquelle se trouve le hamp . Comme e groupe est ompa t et abélien, q prend sa
On peut dé nirégalement la ourbure F =r
2
=dA; (1.56)
qui dé rit omment le hamp est modi é après un transport parallèle qui revient au pointde départ.En omposantes, ela s'é rit
F =[r ;r ℄: (1.57)
La ourbure dé rit alors omment un hamp est modi é après transport autourd'un parallélogrammein nitésimalde tés selon les dire tions
et
.
Notons que lapropriété d 2
=0donne
dF =0: (1.58)
C'est lapremière moitié des équations de Maxwell. Là en ore, onva rempla er dans le Lagrangien
par r
, soitd par r. Ainsipar exemple un hamp de spin
1 2
aura pour a tion S D = Z M = r+m = Z M = +iq = A+m = Z M ( +iqA +m) ; (1.59)
quidonne l'équation de Dira d'uneparti ule hargée (
=
r+m) =0: (1.60)
On va de plus rendre dynamique la onnexion U(1) en introduisant un terme inétique S M = Z M F ^F : (1.61)
On retrouve alors omme équationsdu mouvement
dF =j; (1.62)
oùle se ondterme est donné par les autres termesde l'a tion,ave j (x)=g ÆS m ÆA (x) : (1.63)
Onai ilase ondemoitiédeséquationsdeMaxwell,quis'é rivent nalement dF =0
dF =j:
1.3.2 Généralisation aux autres groupes
Ce quivientd'êtrefaitpourlegroupeU(1)peut segénéraliseràd'autres groupes de symétrie ontinus (dits groupes de Lie). Cette fois la onnexion estàvaleursdansl'algèbretangenteaugroupe, 'est-à-direaux ombinaisons linéaires de générateurs in nitésimaux au voisinage de l'identité. En eet la onnexion, omme la dérivée habituelle, donne les variationsasso iées à un dépla ement in nitésimal.Pour U(1) l'algèbretangente en 1est simplement R, 'est pourquoi nous onsidérions une 1-forme à valeurs réelles. Si nous prenons omme groupe U(n), qui est onstitué des matri es U nn telles que U + U =1; (1.65) l'algèbretangente 5
en 1est onstituéedes matri es 1+iÆU (le iest le hoix de paramétrisation des physi iens) telles que, aupremier ordre,
(1+iÆU) + (1+iÆU)=1; (1.66) soit ÆU + =ÆU: (1.67)
L'algèbre tangente au groupe U(n) est don onstituée des matri es hermi-tiennes nn.
Pré isons quele ommutateur [ ; ℄ dé ni par
[A;B℄=AB BA (1.68)
lui donne une stru ture d'algèbre de Lie. (Les dé nitions pré ises sont don-nées dans la partie 2.2.) Ainsi un groupe abélien donnera une algèbre om-mutative.
On adon une onnexion
r=d+A (1.69)
à valeurs dans l'algèbre tangente et les parti ules onstituent des représen-tations du groupe onsidéré, éventuellement triviales, sur lesquelles agit la onnexion.
On peut aussi former la ourbure F =r
2
=dA+A^A; (1.70) 5
oùleproduit quiintervientdansleproduitextérieurest elui del'algèbrede Lie: A^A=A dx ^A dx = 1 2 [A ;A ℄dx ^dx : (1.71) En dérivant l'équation1.70, on obtient l'identité de Bian hi
dF =F ^A A^F =[F;A℄ (1.72) soiten ore
rF =0: (1.73)
Pour leterme inétique du nouveau hamp introduit,il fautsommer sur toutesles dire tions de l'algèbre de Lie:
S YM = Z M tr(F ^F): (1.74) 1.3.3 Dualité SL(2;Z) de l'éle tromagnétisme
Leséquationsde l'éle tromagnétismedans levide,en quatredimensions, dF =0
dF =0;
(1.75) possèdent une symétrie Z
2
: onpeut é hanger lesr les de F et F par F ! F
F ! F :
(1.76) (Eneetdansunespa eminkowskiendedimension4ona
2
= 1pourune 2-forme, sibien que (F)= F.)
En omposantes, F s'é rit (F )= 0 B B 0 E 1 E 2 E 3 E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 1 C C A ; (1.77)
oùE et B sont les hamps éle triqueet magnétique. Dans es notations, la symétrie onsidérée é hange E et B :
E ! B
B ! E :
Si,au lieude sepla er dans levide,on onsidère des hargeséle triques, onvoitque ette symétrieimpose d'avoiraussi des harges magnétiques.En eetle ourant éle trique
j =dF (1.79)
sevoit transforméen un ourant magnétique
k = dF : (1.80)
Cette dernière équation indique de plus que si k est non nul il n'est pas possible d'é rireun potentiel A telque F =dA, ar alors dF =ddA=0.
Considéronsnotammentune hargemagnétiquepon tuelle(unmonop le magnétique).Alorsd'aprèslelemmedePoin aré,onpeutdé nirunpotentiel Alo alementpartoutsaufen epoint.Toutefois epotentieln'estpasglobal: onpeut le dé nir sur des portions d'espa es autour du monop le(ilen faut au moins deux) mais pas sur tout l'espa e privé du point onsidéré. En fait onpeut trouver un potentieldé ni sur tout l'espa e privéd'une demi-droite partant du monop le et allant jusqu'à l'in ni. Alors la harge magnétique, donnée parl'intégralesur une surfa eS entourantlemonop ledu hampF,
g = Z
S
F ; (1.81)
peut se al ulerpar
g = Z S 0 dA= Z C A; (1.82) oùS 0
est lasurfa e onsidérée privée d'unvoisinagein nitésimalde la demi-droite sur laquelle A n'est pas dé ni, etoù C est lebord de e voisinage.
D'autre part, onsidérons le hamp asso ié à une parti ule hargée éle -triquement.Enfaisantun tourautourdelademi-droiteenquestion,ilprend une phase 6 exp i q ~ Z C A =e i q ~ m : (1.83)
Maislademi-droite hoisien'apas desensphysique:onauraitpu laprendre ailleurs.Ellene doit don pas se fairesentirsur les hampsphysiques, et ondoit ainsi avoir
e i q ~ m =1; (1.84) soit qm=2n~ (1.85) 6
ave ndansZ.C'estla ondition dequanti ation deDira .Notonsque ette ondition est un eet quantique. En eet, on s'y sert de la des ription par un hamp d'une parti ule hargée mais oninterprète leparamètre q omme une harge pon tuelle, onutilise don simultanémentlanotion de parti ule. On peut aussi retrouver e résultat à partir de la quanti ation du mo-ment inétique,quidoit êtreun multipleentier de ~.Cela permetde généra-liserla ondition de Dira au as oùl'on adesdyons : desparti ules portant à la fois une harge éle trique q et une harge magnétique m. Alors on a obtient la ondition de quanti ation de Zwanziger-S hwinger : entre deux tels dyons de harges (q;m)et (q
0 ;m 0 )on ala relation 7 qm 0 q 0 m=2n (1.86) ave n dans Z.
Cette formule est laissée invariante si on é hange harges éle trique et magnétique suivant
q ! m
m ! q ;
(1.87) e qui orrespond à la dualité éle trique-magnétique que nous avons déjà vue. Maison peut aller plus loin en remarquant qu'il y aussi invarian epar rapport àla transformation
q ! q+m
m ! m :
(1.88) Les deux transformations 1.87 et 1.88, dites respe tivement S et T, en-gendrentenfaitlegroupeSL(2;Z)desmatri esentièresàdéterminantentier, quiagissent i isur les doublets
q m
.
Il est tentant de onje turer que la physique est invariante sous ette transformation.Cela né essite d'asso ier à toute parti ule hargée (un éle -tron par exemple) toute une famille de dyons, l'orbite sous SL(2;Z) de la parti ule onsidérée.
Ilfautajouteruneremarqueimportante.LatransformationS,quié hange hargeséle triqueetmagnétique,é hangeun régimede ouplage faible(ave epetit) ave un régimede ouplagefort:la harge magnétiqueminimaleest
m = 2
e
: (1.89)
En parti ulier si la version éle trique peut faire l'objet d'un traitement en perturbations en théorie quantique des hamps, il n'en est pas de même de la version duale, magnétique.
Uneautreremarque on ernelatransformationT :auniveau du Lagran-gien, ette transformationest liéeà un terme
L = 1 2 e 2 32 2 F ^F (1.90)
qui ne hange pas les équations du mouvement ( 'est la diérentielle d'un terme F ^A) mais dé ale la hargeéle trique des dyons (eet Witten):
q=ne+ e 2 m 8 2 : (1.91) Ave m =k 4 e (k2Z), ona ainsi q=ne+ 2 ke (1.92)
Pour un nombre égal à 2, e qui orrespond à la transformation T, ela hangesimplementl'entiern, etla onditionde quanti ationestin hangée. Les harges sont données par un réseau bidimensionnel (d'angle ) qui est invariant sous lestransformations de SL(2;Z).
1.4 Supersymétrie 1.4.1 Théorème no-go
L'intérêt d'introduire de nouvelles symétries dans la des ription d'un système physique apparaît à la quanti ation de la théorie. En eet ela ontraint fortement le système, en parti ulier les orre tions radiativespour ertaines quantités. Ainsionpeut montrerqu'à quatre dimensions, les théo-ries de jauge, dé rites par la théorie de Yang-Mills, ave des modi ations diverses, sont plus ou moins les seules théories (ave intera tion) renorma-lisables, 'est-à-dire les seules qu'on sait traiter en théorie quantique des hamps
8 .
En her hant à introduire de nouvelles symétries, en dimension stri te-mentsupérieureàdeux,onseheurteauthéorèmede ColemanetMandula
9 : 8
Lemotrenormalisation indiqueunpro essusvisantàobtenirdesrésultats nispour lesdiérentesquantitésphysiques.Eneetparuneappro henaïvelaplupartdesquantités divergent,maisonsaittraiterleproblèmedemanièresystématiquepour ertainesthéories, diterenormalisables.Lagravitationestunexempledethéorienonrenormalisable, omme nousleverronsplusloin.
9
Si la matri e S i.e. la matri e de diusion, qui donne la probabilité quele système passe d'un état à un autre est non triviale i.e. il y a des intera tions et analytique dans les variablesde tempset d'énergie (une hypothèse te hnique raison-nable),
Si les masses des parti ules sont toutes positives et forment un spe tre dis ret i.e. les masses possibles pour lesparti ules ne forment pas un intervalle ontinu et qu'il y a un nombre ni de types de parti ules pour une masse donnée,
Si G, le groupe de symétrie de la matri e S qui ontient le groupe de Poin aré,est un groupede Lie(i.e. ontinu) onnexe, engendré par des générateurs in nitésimaux représentables par des opérateurs dans l'espa e des moments dont les noyaux sont des distributions (uneautre hypothèse te hnique raisonnable),
Alors G est le produit dire t du groupe de Poin aré et d'un groupedesymétrieinterne, 'est-à-dire ommutantave legroupe de Poin aré.
Cethéorèmea rmeainsiqu'iln'estpaspossibledemélangerlegroupede Poin aré de manièrenon trivialeave un autre groupe de symétrie ontinu. Enparti ulier,ilsemble impossiblede relierpar des symétriesdes parti ules de masses ouspins diérents.
Enfaitlasolutionestdansl'introdu tiond'unnouveautypedesymétrie: lasupersymétrie,quin'estpasdonnéeparungroupemaisparunsupergroupe. Pour un groupede Lie,lestransformations peuvent s'obtenir àpartir de transformationsin nitésimales
bosons ! bosons+ (autres) bosons fermions ! fermions+ (autres) fermions;
(1.93)
où est un nombre réel in nitésimal.
L'idée est de généraliser ela àun paramètre fermionique ou impair : bosons ! bosons+ fermions
fermions ! fermions+ bosons:
(1.94)
Danslepremier as,onpeutre onstruirelegroupede Lieàpartirde l'al-gèbredesgénérateursin nitésimaux,donnée pardes ommutateurs [A;B℄= AB BA. Dans le se ond as, il faut rempla er ela par des anti ommu-tateurs fA;Bg = AB +BA, et de même au lieu de ommuter omme les
1.4.2 Algèbre de super-Poin aré D = 4 N = 1
Rappelons d'abord que le groupe de Poin aré est engendré par les géné-rateurs in nitésimauxsuivants :
Translations : P
(=i
);
Rotationset boosts de Lorentz : M
. Ils satisfontaux règles de ommutation
[P ;P ℄ = 0 [M ;M ℄ = ig M ig M ig M +ig M (1.95) [M ;P ℄ = ig P +ig P :
Commenousl'avonsvuaudernierparagraphe, ette algèbrene peutêtre étendue de manière non triviale qu'en introduisant des générateurs fermio-niques. Nous allons don introduire des générateurs qui sont des spineurs de Dira (de même que P est un ve teur, par exemple) Q et Q, tels que Q=Q
+ 0
( onditiondeMajorana 10
).Pour xerlesidées,nousnoussommes pla és en quatre dimensions d'espa e-temps.
Il su t alors d'ajouter aux relations 1.96 les ommutateurs et anti om-mutateurs suivants : [P ;Q ℄ = 0 Q ;Q = 2P ; (1.96)
qui s'é ritplus su in tement
[P;Q℄ = 0 Q;Q = 2 = P : (1.97)
Onobtientainsila(super-)algèbredesupersymétrie D=4N =1; edernier nombreserapporte aunombrede générateursde supersymétrie. On voitque le générateur de supersymétrie Q est en quelque sorte une ra ine arrée de l'impulsionP.
D'autre part, les générateurs de supersymétrie permettent de lasser les parti ulesenmultiplets,lasupersymétrieé hangeantentreeuxlesdiérentes omposantes d'unmême multiplet.
Pour desétats de massenulle, onpeut réé rirel'algèbre,par hangement de base et reparamétrisation, omme une algèbred'os illateur fermionique
fb;b + g=1 b 2 =0 (b + ) 2 =0 : (1.98) 10
On obtient alors des multiplets (;+ 1 2
), où es nombres donnent les héli- ités des parti ules. Ajoutons que l'invarian e CPT
11
d'une théorierequiert qu'un multiplet soit a ompagné du multiplet d'héli ité et autres nombres quantiquesopposés.Enselimitantàdeshéli itésinférieuresà2,onobtient:
lemultiplet hiral (0; 1 2
),ave son onjugué ( 1 2
;0), onstitué d'un fer-mionde Weyl
12
etd'un s alaire omplexe; lemultipletve toriel (
1 2
;1),ave son onjugué( 1; 1 2
), ontientun bo-sondejaugeetunspineurdeWeyl,touslesdeuxdanslareprésentation adjointedu groupede jauge;
le multiplet du gravitino (1; 3 2
), ave son onjugué ( 3 2
; 1), ontient ungravitinoenplus de eluidumultipletgravitationnel;iln'intervient que pour lessupersymétries étendues
13
, que nous verrons aupro hain paragraphe,dé omposées en représentations N =1;
lemultipletgravitationnel ( 3 2
;2),ave son onjugué( 2; 3 2
),qui om-prendlegraviton(parti uleasso iée auxmodi ations de lamétrique) etle gravitino, son partenaire supersymétrique.
Pour lesétatsmassifs,onaunealgèbrededeux os illateurs,etonobtient ainsi des multiplets àquatre états (;+
1 2 ;+ 1 2 ;+1). Ainsile multiplet hiralmassif( 1 2 ;0;0; 1 2
)alemême ontenu quelemultiplet hiral demasse nulle ave son onjugué CPT. Pour les autre états, omme (0;
1 2 ; 1 2 ;1), sans parler d'invarian e CPT, l'invarian e sous rotation SU(2) impose d'ajouter le multiplet symétrique ( 1; 1 2 ; 1 2
;0). On obtient alors une parti ule de spin 1,deux de spin
1 2
et une de spin 0.
Remarquons que la supersymétrie impose que les nombres de degrés de libertébosoniquesetfermioniquessoientégaux, ommeonlevéri eaisément dans la lassi ation que nous venons de donner.
1.4.3 Extensions
L'algèbrequenous avons vueauparagraphepré édentne ontientqu'un seul spineur de supersymétrie. En fait, on peut onsidérer des algèbres de supersymétrie étendues où on a plusieurs générateurs Q
A , indi és par un entier A allantde 1à N : n Q A ;Q B o = 2Æ AB = P ; (1.99) 11
Produit delasymétrie par onjugaisonde hargeC, del'inversiond'espa e P et du renversementdutempsT.
12
La onditiondeWeylestuneautre onditionqu'onpeutimposeràunspineurdeDira (demassenulle)pourenréduireladimension.Onobtientalorsunspineurdedimension omplexe2et d'héli ité xée,+
1 2 ou 1 2 . 13
ave toujours Q A ;P =0: (1.100)
Pour les états de masse nulle, on a alors une algèbre de N os illateurs fermioniques, e qui fait2
N
états par multiplet,d'héli ité à+ 1 2
N.Ainsi pour la supersymétrieN =2on a en parti ulier
l'hypermultiplet 14 : ( 1 2 ;0 2 ; 1 2 ); lemultiplet ve toriel :( 1; 1 2 2 ;0)+(0; 1 2 2 ;1); lemultiplet de supergravité : ( 2;
3 2 2 ; 1)+(1; 3 2 2 ;2).
Notons que es états peuvent se dé omposer selon les représentations de l'une ou l'autre des deux algèbres N = 1 qui omposent l'algèbre de supersymétrieN =2,selonlesmultipletsquenousavonsvuspré édemment. De mêmeonpeut onsidérerdes multipletspour un nombre supérieurde supersymétries, jusqu'à N = 8si onse limite à des héli ités inférieures à 2. Dans e dernier as, ona seulementle multiplet de supergravité
2; 3 2 8 ; 1 28 ; 1 2 56 ;0 70 ; 1 2 56 ;1 28 ; 3 2 8 ;2 : (1.101) Ons'arrêteàdeshéli itésouspins2 aronpensequ'iln'estpaspossiblede oupleràlagravitationdes parti ulesd'héli ité ouspin supérieuren nombre ni.
Pour lesétatsmassifs, ommedans le as N =1lenombre d'os illateurs est multipliépar 2, etil y don 2
2N
états par multiplet.
Ajoutons en ore qu'on peut modi er l'algèbre de supersymétrie par des harges onservées Z qui ommutent ave tous les générateurs de l'algèbre, de manière s hématique Q;Q = 2 = P +Z [Z;:::℄ = 0: (1.102) 1.4.4 États BPS
Sion onsidèreuneparti ule hargéepon tuelledans leréférentieldeson entre de masse,l'algèbre s'é rit
n Q A ;Q B + o =2mÆ AB Æ +2iZ AB 0 : (1.103) 14 Lanotation0 2
indiquequ'ilyadeuxétatsd'héli ité0,qu'onobtientenagissantsur l'état
1 2
Alorspour un état propre de Z AB
,on peut trouver une base dans laquelle
Z AB = 0 B B B B B 0 q 1 0 0 q 1 0 0 0 0 0 0 q 2 0 0 q 2 0 . . . . . . 1 C C C C C A ; (1.104) ave q i 0.
Alors les valeurs propres de l'équation 1.103 sont mq i
dans le se ond membre,alors quelepremierestune sommede arrésetestdon positif.On aalors la borne de Bogomolny-Prasad-Sommer eld (BPS)
mjq i
j: (1.105)
On voit en parti ulier qu'un état de masse nulleest né essairement neutre, e qui rend valide l'analyse des multiplets de masse nulle faite à partir de l'algèbre 1.99. On dit qu'un état sature ette borne s'il y a égalité q
i = m pour un ertain nombre k des N valeurs de i. Il faut alors que 2k paires d'os illateurs annihilent et état, et on a alors une représentation ourte ou BPS del'algèbredesupersymétrie,dedimension2
2(N k)
.Sitoutesles harges q
i
sont égales à m, ona une représentation ultra- ourte de dimension 2 N
(si N estpair);lesreprésentationsultra- ourtessontenfaitlesmêmesque elles des états de masse nulle
15 .
1.4.5 Généralisation aux autres dimensions
Ce que nous avons vu pour la supersymétrie en dimension quatre se gé-néraliseàd'autresdimensions. Onprend ommegénérateursdes spineurs de dimension minimale omme générateurs, en étendant l'algèbre de Poin aré par des relation de la forme1.102. Sion n'admet que les spin (ou héli ités) inférieuresou égales à2, alors on ne peut se pla eren dimension supérieure à11 :en eet tout multiplet ontiendraitalors des états de spin plus grand. Nousy reviendrons dans e qui suit.
1.5 Supergravité
Sion essaiede jauger lasupersymétrie rendre ette symétrie lo ale et non plus seulement globale on est amené à introduire la gravitation. En
eet le arré d'une transformation de supersymétrie donne une translation, dont la distan e dépend des paramètres fermioniques . En faisant varier e dernier paramètre ave le point d'espa e-temps onsidéré, on obtient des translations diérentes pour les diérents points d'espa e-temps : on tombe don surdes hangementsde oordonnéeslo ales, 'est-à-diresurlarelativité générale. Inversement si on introduit un repère mobile, et un stru ture de spin, dans lesquels est exprimé le spineur , le hangement de repère lo al induit un hangement lo al de e paramètre spinoriel. Ainsi supersymétrie lo ale etrelativitégénérale etdon gravitationsontinséparables,pour une théorie supersymétrique; onparle don de théories de supergravité.
Àl'origine,onespéraitquelasupersymétriepermettraitde quanti er es théories, etainsi d'avoirune version quantiquede lagravitation, piè e man-quantede lathéoriephysiquedesintera tionsfondamentales,maisilapparut que ette nouvelle symétrie ne résolvaitpas les problèmes de quanti ation.
1.5.1 Supergravité N = 1 en quatre dimensions
À titre d'exemple, onsidérons lasupergravité à quatre dimensions d'es-pa e-temps etune supersymétrie, soitquatre super harges
16 [vN ℄. Pour lerepère mobilee
m
, oné rit la transformationde supersymétrie Æ e m = 1 2 m ; (1.106) en introduisantun gravitino , hamp d'héli ité 3 2
, 'est-à-dire une 1-forme à valeur spinorielle. Ce hamp se transformequant àlui en
Æ = + 1 2 ! mn mn ; (1.107) soit Æ =r ; (1.108)
oùr est la dérivée ovariante d'espa e-temps.
En fait ! n'est pas un hamp physique, dans le sens où il peut être déterminéenrésolvantuneéquationdumouvementalgébrique; 'est equ'on appelleun hampauxiliaire,quine ontientpasdedegrédeliberté.Lerepère mobile et le gravitino forment déjà un doublet de supersymétrie, et ont en parti ulier le même nombre de degrés de libertés, bosoniques d'un té et fermioniquesde l'autre.
16
Le nombre desuper harges est le nombrede omposantes réelles desgénérateurs de supersymétrie.C'estdon leproduitdunombredesupersymétriesparladimensionréelle
En plus du terme d'Einstein-Hilbert L EH = 1 2 2 R (1.109)
nous mettons dans le Lagrangien un terme inétique; en fait le seul terme quadratique d'énergie positive pour une héli ité
3 2
est le terme de Rarita-S hwinger L RS = 1 2 5 r ; (1.110) où 5 =i 0 1 2 3 .
On a alors une théorie de supergravité pure : il n'y a pas de matière à laquelle oupler es hamps;ilest ependantpossibled'enajouteren nombre ni, pour avoir une théorieave de la matière.
Comme nous l'avons ditl'équation du mouvement pour la onnexion de spin! est une équationalgébrique quipermetd'é rire e hamp ommeune fon tion du repère mobile e
m
et du gravitino
. On peut alors substituer le résultat dans le Lagrangien pour obtenir une formulation dite du se ond ordre qui ne ontientque les hampsphysiques du doubletgravitationnel.
Ajoutonsuneremarqueimportante:lasupersymétrieestunesymétriedes équationsdu mouvement,maisn'estpas valablepourles hampsne véri ant pas es équations,dans laformulationquenous avons présentée. En faitdes hamps auxiliaires permettent pour N petit d'avoir uen supersymétrie hors de la ou he de masse, etmême superlo ale dans un superespa e.
1.5.2 Superespa e
En fait on peut interpréter la onstru tion de ette supergravité en in-troduisant un superespa e. Aux dimensions d'espa e-temps habituelles, on va ajouter des dimensions fermioniques, ouimpaires : les oordonnées selon es dimensions anti ommutent au lieu de ommuter. En parti ulier le arré d'un telnombre est 0; en quelque sorte lalongueur de es dire tions est nulle, ou plus pré isément in nitésimale
17
. De plus tout développement en série dans les variables impaires est en fait un polyn me, ni, puisqu'on ne peut avoir auplus qu'une fois haque variable fermionique.Comme onveut avoirune a tion du groupede Lorentz les rotationsde l'espa e-temps sur l'ensemble du superespa e onprendles dire tionsfermioniquesdans une représentation spinorielle de e groupe, pré isément la représentation dans laquelle sont pris les générateurs de supersymétrie, soiti i la représentation de Majorana.
Les deux hamps physiques de la supergravité N = 1 sont alors réunis en un super-repère mobile:en toutpoint de l'espa e onades formese
m
dx qui donnent les dire tions réelles , ou paires, de la base lo ale et des formes
m
dx
qui donnent les dire tions impaires. L'indi e ourt alors sur toutes les dire tions du superespa e; en fait il faut imposer à la main des relationssur lessupertorsions pour retrouver pré isément les hampsde l'appro he pré édente. Nous traiterons de manière détailléedans le hapitre 3 une généralisationde ette méthode.
1.5.3 Supergravité à 11 dimensions
Nous venons de parler de la supergravité N = 1 à quatre dimensions; on peut également onstruire des théories de supergravités étendues, où le nombrede super harges est auplus 32( equi orrespondàN =8enquatre dimensions), e qui permet d'ex lure des multiplets toute parti ule de spin oud'héli itéstri tementsupérieureà2.(Ajoutons quelessupergravitésà32 super hargessontditesmaximales.)Onpeut onstruireainsi des supergravi-tés en diverses dimensions d'espa e-temps, mais dont le nombre est limité à 11:en eet,au-delàlesspineursontné essairementplusde 32super harges. À11dimensions,ilexiste uneuniquesupergravité,N =1
18
,oùlegénérateur de supersymétrie est un spineur de Majorana de dimension 32.
Le multipletgravitationnel ontient alors 256 degrésde liberté,dontune moitié est fermionique et l'autre bosonique. La partie bosonique est donnée paruntenseursymétriquedetra enulle(
1 2
910 1=44degrésdeliberté), legravitonetune3-formedemassenulle(987=3!=84degrésdeliberté); on véri e bien que ela fait 128 omposantes bosoniques au total. La partie fermionique est donnée par un gravitino, de dimension 169 16=128.
En notant A la 3-forme et F = dA sa ourbure, la dynamique de ette théorieest donnée par leLagrangien suivant [CJS ℄ :
L 11 =R 1 2 F ^F 1 6 A^F ^F i 2 r !+!^ 2 + 1 192 Æ +12 Æ F Æ + ^ F Æ ; (1.111) 18
OnnoteN lenombredegénérateursdesupersymétrieendimensiondiérentede4;la notationN désignelenombredesupersymétriesdelathéorieréduiteàquatredimensions,
où 19 ^ F Æ =F Æ 3 [ ℄ (1.112) et ^ ! ab =! ab + i 4 ( ab ) : (1.113) 1.5.4 Rédu tion dimensionnelle
À partir d'une théorie à D dimensions, on peut ee tuer une rédu tion dimensionnelle. Dans larédu tion de Kaluza-Klein,on onsidère qu'une des dimensions spatiales est un er le et on ne garde que les modes les moins énergétiques du mouvement selon ette dire tion, 'est-à-dire des hamps onstants le long de e er le. On obtient ainsi une théorie en dimension D 1. Larédu tion de Kaluza-Kleinpréservant lasupersymétrie, une théo-rie de supergravité est réduite à une supergravité de dimension inférieure mais possédant le même nombre de super harges. Ainsi, en partant de la supergravitéà 11dimensions,onpeut retrouverlaplupart dessupergravités maximales,à32super harges. Unetelle tron ationest dite ohérente ar les solutionsde la théorietronquée restent des solutionsde lathéorie omplète. On peut ainsi briser l'invarian epar le groupe de Lorentz SO(1;D 1) en SO(1;D 2). Les degrés de liberté de la métrique g
se dé omposent alorsdanslesreprésentationsirrédu tiblessuivantes de e derniergroupe(en notant d=D 1): un s alaire =ln(g dd ), appelédilaton; une 1-forme A =e g d
, interprétée omme une onnexion U(1), où la bre U(1) est en fait le er le de ompa ti ation.
Deplus es hampsne dépendentplusquede D 1variablesd'espa e-temps. En poursuivant lepro essus onpeut ainsi former àpartir de la métrique desformes diérentiellesde degréun, plusieurs dilatons,etune métriquesur lesorbites.
Ajoutons qu'on peut aussi garder tous les modes massifs, sans faire de tron ation;onparlealorsde ompa ti ation.Onpeut ompa ti erune théo-rienon seulement sur un er le mais sur divers typesde variétés ompa tes, selon lessymétries qu'on veut préserver.
1.5.5 Triangle magique
En partant de la supergravité maximale N = 8 à quatre dimensions, on peut ee tuer des tron ations du nombre de supersymétries, en ne
gar-19
Le ro hetindiquequ'ilfautantisymétrisersurtouslesindi essituésàl'intérieur.On
dant que le se teur de supergravité pure, et obtenir ainsi des théories N = 6;5;4;3;2;1;0.Ces théoriespeuvent être réduites à trois dimensions par ré-du tion dimensionnelle, et on peut également les oxyder pour la plupart d'entre elles (N 6= 0). On appelle oxydation l'inverse d'une rédu tion : une théorieenDdimensionest oxydéeen unethéorieàD+1dimensionssi ette dernière se réduit à la théorie originale par rédu tion de Kaluza-Klein. En partantde lasupergravitéN =8,onpeutainsiremonterjusqu'àla supergra-vitéà11dimensions.Notonsquel'oxydationn'estpastoujoursunique:ainsi toujours en partant de la supergravité N =8 à 4 dimensions on peut obte-nir deux supergravités diérentes à D = 10 : la supergravité IIA, qui est la rédu tion de la supergravitéà 11dimensions, etégalement unesupergravité appeléeIIB.(Pré isonsquepour ettedernière iln'existepasde formulation lagrangienne ovariante,oùleséquationsdumouvementdériventduprin ipe de moindre a tion.)
Pour les théories qu'on obtient ainsi, les hamps s alaires donnent une réalisation non linéaire d'un groupe G. Plus pré isément, ils paramétrisent l'espa esymétriquequotientG=H,oùHestlesous-groupe ompa tmaximal de G.En fait le groupe G agitégalement sur tous les hamps et lequotient G=H paramétrisel'espa edes modules de lathéorie, 'est-à-direl'espa e des paramètres(e.g. onstantes de ouplage, masses...).Nousyreviendronsdans lase tion 1.7.
On peut lasser esthéoriesdansuntableau,suivantlenombre de super- harges et la dimension de l'espa e-temps (table 1.1). Si on regarde de plus près e tableau, on peut voir que si deux groupes apparaissent symétrique-mentde partetd'autredeladiagonale,ilssontdes formesréellesdiérentes de mêmes groupes omplexes. Nous reviendrons là-dessus en détail au pro- hain hapitre.
1.5.6 Objets BPS
En her hant dessolutions( lassiques) des équations de supergravité,on peut se limiter à des solutions qui sont invariantes sous un ertain nombre de supersymétries : on obtient alors des états BPS. En parti ulier, on peut obtenirdes solutionsétenduesdansun ertainnombre(D d)de dimensions d'espa e-temps et d'extension nie dans les d dimensions restantes, respe -tantune symétrie SO(D d)Poin aré
d
: e sont en fait des membranesà D d dimensions [St℄. De plus es membranes sont hargées de façon éle -trique ou magnétique pour ertains hamps de lasupergravité onsidérée.
