CORRIGE Tests candidats. (1 ère Spé)

(1)

CORRIGE Tests candidats (1

^ère

Spé)

Maths 1^ère

Question 1 : Le chiendent du jardinier

Anastase, jardinier amateur, avait une magnifique pelouse de gazon autour de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans 20% du gazon est détruit pendant l’été et remplacé par du chiendent.

Chaque année, à l’automne, il arrache 50 m² de chiendent et le remplace par du gazon.

1) La surface initiale de la pelouse a pour aire Uo et la surface de gazon sans chiendent restant au bout de n années a pour aire Un.

Montrer que pour tout entier n, on a Un+1 = 0,8 Un + 50.

2) Sachant que U2 = 1370, déterminer l’aire de la surface initiale de la pelouse.

3) On considère la suite (Vn) définie sur ℕ par Vn = Un– 250.

Démontrer que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme V0 et la raison.

4) Exprimer le terme général de (Vn) en fonction de n, puis Un en fonction de n.

5) Déterminer le nombre d’années pendant lesquelles Anastase garde plus du quart de sa pelouse.

1) Si chaque année, 20 % de la pelouse est détruite, il en reste donc 80% de saine, soit 0,8 Un puis on replante 50 m²de gazon d’où + 50 :

Un+1 = 0,8 Un + 50.

2) U2 = 1370. U2 = 0,8 U1 + 50 et U1 = 0,8 U0 + 50 1370 = 0,8 U1 + 50 → U1 = ¹³²⁰

0,8 = 1650 1650 = 0,8 U0 + 50 → U0 = ¹⁶⁰⁰

0,8 = 2000 La surface initiale du gazon est 2000 m²

3) Vn = Un – 250 ou Un = Vn + 250 donc Vn+1 = Un+1 – 250

(2)

ainsi Vn+1 = 0,8 Un + 50 – 250 = 0,8 Un -200 et Vn+1 = 0,8 (Vn + 250) -200 = 0,8Vn

Donc Vn est une suite géométrique de raison q = 0,8 et de premier terme V0 = U0 – 250 = 2000 – 250 = 1750.

4) Comme Vn est une suite géométrique, on a : Vn = V0 x qⁿ = 1750 x 0,8ⁿ et Un= 1750 x 0,8ⁿ + 250

5) Le quart de 2000 m² étant 500 m² alors Un < 500 Un < 500

1750 x 0,8ⁿ + 250< 500 1750 x 0,8ⁿ < 500 – 250

1750 x 0,8ⁿ < 250 0,8ⁿ < ²⁵⁰

1750 ln 0,8ⁿ < ln ²⁵⁰

1750

n ln 0,8 < ln ₁₇₅₀²⁵⁰

n > ^ln

250 1750

ln 0,8 car ln 0,8 <0

n > 8,72 donc n = 9

Anastase gardera sa pelouse avec plus du quart intact pendant 8 ans.

Question 2 : On considère la fonction f définie sur ℝ par la relation : f(x) = _𝑒_2𝑥^𝑒^𝑥₊₁

Etudier les variations de f sur l’intervalle [-1 ;10]

Signe de la dérivée de f(x) : On utilise (^𝒖

𝒗)^′= ^𝒖^′^{𝒗−𝒖𝒗}^′

𝒗^𝟐

(3)

f'(x) = ^𝑒^𝑥^(𝑒^2𝑥^+1)−𝑒^𝑥^(2𝑒^2𝑥⁾

(𝑒^2𝑥+1)²

f'(x) = _(𝑒^𝑒^𝑥_2𝑥^−𝑒₊₁₎^3𝑥₂

f'(x) = ^𝑒^𝑥^(1−𝑒^2𝑥⁾

(𝑒^2𝑥+1)² (1 − 𝑒^2𝑥) < 0 pour x > 0

f(x) = _𝑒_2𝑥^𝑒^𝑥₊₁

f(0) = ^𝑒⁰

𝑒⁰+1 = ¹

2

𝑥 –1 0 10

𝑓′(𝑥) 0

1 2 𝑓(𝑥)

Questions 3 : A- On lance un dé parfaitement équilibré : lorsque le 6 sort, on reçoit 6 €, le 5 sort on reçoit 1 €; et dans les autres cas, on ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire qui, à l’issue d’une partie, associe le gain.

Etablir la loi de probabilité de X, puis en déduire E(X), V(X) et 𝜹(X).

Ω (X) = {0 ;1 ;6}

x

i

0 1 6

(4)

P(X= x

i

) 2/3 1/6 1/6

E(X) = 0 x 2/3 + 1 x 1/6 + 6 x 1/6 = 7/6

V(X) = 0

²

x 2/3 + 1

²

x 1/6 + 6

²

x 1/6 – (7/6)

²

= 173/36 environ 4,8

σ ^(X)= √𝐕(𝐗)= √

^𝟏𝟕𝟑

𝟑𝟔

= 2,2 environ.

B- On considère les évènements K et R réalisant les conditions suivantes : P(K ∩ R) = 0,20 ; P(K ∩ 𝑅) = 0,05 ; P(𝐾 ∩ R) = 0,36 et P(𝐾 ∩ 𝑅) = 0,39 Compléter l’arbre de probabilité suivant :

P(K) = P(K ∩ R) + P(K ∩ 𝑹) = 0,20 + 0,05 = 0,25 P(𝑲) = P(𝑲 ∩ R) + P(𝑲 ∩ 𝑹) = 0,36 + 0,39 = 0,75

Autre méthode : P(𝑲) = 1 - P(K) = 1 – 0,25 = 0,75

𝐏_𝑲(𝑹) = ^{𝐏(𝐊 ∩ 𝐑)}_𝐏(𝐊) = ^{𝟎,𝟐𝟎}

𝟎,𝟐𝟓= 𝟎, 𝟖 𝐏_𝑲(𝑹) = ^{𝐏(𝐊 ∩ 𝑹)}

𝐏(𝐊) = ^{𝟎,𝟎𝟓}

𝟎,𝟐𝟓= 𝟎, 𝟐 𝐏_𝑲(𝑹) = ^{𝐏(𝑲 ∩ 𝐑)}_𝐏(𝑲) = ^{𝟎,𝟑𝟔}

𝟎,𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟖 K

𝐾

R

… K

…

(5)

𝐏_𝑲(𝑹) = ^{𝐏(𝑲 ∩ 𝑹)}

𝐏(𝑲) = ^{𝟎,𝟑𝟗}

𝟎,𝟕𝟓= 𝟎, 𝟓𝟐

Question 4 : Soit ABC un triangle, tel que : 𝐴𝐵 = √7, 𝐴𝐶 = 2 et 𝐵𝐶 = 3 1. Calculer cos( 𝐵𝐴𝐶)̂ et montrer que : 𝐴𝐵.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1

2. On considère le point M tel que : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + ¹

6𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

a. Calculer 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

b. Montrer que les droites (MB) et (AC) sont perpendiculaires 1.

- D’après le théorème d’Al-Kashi, on a : BC² = AB² + AC² −2AB × AC × 𝐜𝐨𝐬( 𝑩𝑨𝑪)̂ Donc : 𝐜𝐨𝐬( 𝑩𝑨𝑪) =̂ ^𝑨𝑩^𝟐^+𝑨𝑪^𝟐^−𝑩𝑪^𝟐

𝟐𝑨𝑩×𝑨𝑪

𝐜𝐨𝐬( 𝑩𝑨𝑪)̂= √𝟕^𝟐+ 𝟐^𝟐− 𝟑^𝟐 𝟐√^{𝟕 × 𝟐} 𝐜𝐨𝐬( 𝑩𝑨𝑪)̂ = √𝟕

𝟏𝟒

- On sait que 𝑨𝑩.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝐜𝐨𝐬( 𝑩𝑨𝑪)̂ Donc : 𝑨𝑩.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = √^{𝟕 × 𝟐 ×}^√𝟕_𝟏𝟒

𝑨𝑩.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏

2.a

K

𝐾

R 0,25 K

𝑅

R

𝑅 0,52

0,48 0,2

0,8

0,75

(6)

𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟏

𝟑𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝟏

𝟔𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

=𝟏

𝟑𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ +𝟏 𝟔𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝟐 =𝟏

𝟑(𝟏) +𝟏 𝟔(𝟐)^𝟐 = 𝟏

2.b On a :

𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . +𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 Donc

𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎

Donc ∶ 𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎

Les vecteurs 𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ sont donc orthogonaux

Et par suite les droites (MB ) et (AC )sont perpendiculaires.

(7)

Question 5 : Soit la fonction f(x) = 2x² - 10x + 12 définie sur

ℝ

1) Résoudre dans

ℝ

: f(x) = 0.

2) Exprimer f(x) sous sa forme factorisée 3) Exprimer f(x) sous sa forme canonique 4) Dresser le tableau de variation de f

1) Δ = 10²- 4x2x12 = 100 – 96 = 4 donc √

𝜟

_{= 2}

Les racines de ce polynôme sont donc : X1 = (10 + 2)/4 = 3 et X2 = (10 – 2)/4 = 2 Les solutions sont donc S= { 2 ;3}

2) f(x) = 2(x – 2)(x – 3)

3) f(x) = a(x -

α)

²

- β avec α = b/2a et β = f(b/2a) D’où α =

^𝟓_𝟐

et β = f(

^𝟓_𝟐

) = 2x25/4 -10x5/2 +12 = -1/2

f(x)=2(x

−

^𝟓

𝟐)²

-

^𝟏_𝟐

4)

𝑥 –∞ 5/2 +∞

+∞ +∞

𝑓(𝑥)

-1/2

Question 6 : Soit le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J) et C le cercle trigonométrique de centre 0. Les points A, B, C et D sont les points d’intersection de C et des bissectrices respectives des angles 𝐼𝑂𝐽̂, 𝐽𝑂𝐼′̂ , 𝐼′𝑂𝐽′̂ et 𝐽′𝑂𝐼̂ .

(8)

1) Déterminer toutes les mesures en radians des angles orientés (𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) et ( 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ).

2) Donner trois mesures différentes de chacun de ces angles orientés.

3) Résoudre dans ℝ l’équation suivante : sin x = ¹

2 .

1)

^𝜋

2

𝑟𝑒𝑝é𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐽,

^𝜋

4

𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴.

On écrit :(𝑂𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =

^𝜋₄

+ 2𝑘𝜋 où k est un entier relatif.

Les points B et D sont symétriques par rapport à O.

3𝜋 4

et–

^𝜋

4

repèrent respectivement les points B et D.

On écrit :(𝑂𝐷, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑂𝐷, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐼 ⃗⃗⃗⃗ ) + (𝑂𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =

𝜋 4

+

^3𝜋

4

+ 2𝑘𝜋 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 où k est un entier relatif.

2) L’angle orienté (𝑂𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) a, entre autres, pour mesures

^𝜋

4

;

^9𝜋

4

;

^−7𝜋

4

. L’angle orienté (𝑂𝐷, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) a, entre autres, pour mesures 𝜋 ; 3π ; -π .

3)

Si sin x =

¹

2

alors x =

^𝜋

6

+ 2kπ et x =

^5𝜋

6

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