J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
E
MMANUEL
U
LLMO
Sur la constante de Hida des courbes modulaires
et des courbes de Shimura
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
13, n
o1 (2001),
p. 325-337
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2001__13_1_325_0>
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Sur
la
constante
de Hida
des courbes
modulaires
et
des courbes de
Shimura
par EMMANUEL ULLMO
RÉSUMÉ. La
correspondance
de Shimizu etJacquet-Langlands
donne des relations entre les quotients de la partie nouvelle dela
jacobienne
J0(N)
deX0(N)
et ceux de la partie nouvelle dela
jacobienne
de certaines courbes de Shimura associées. Nouscomparons dans ce texte les congruences entre formes modulaires pour des quotients qui sont associés dans cette
correspondance.
ABSTRACT. We compare the "modules of congruences between
modular forms" of quotients of the new part of the Jacobian J0
(N)
of
X0(N)
and quotients of the new part of the Jacobian of someShimura curves which are associated in the
correspondance
ofShimizu and
Jacquet-Langlands.
1. Introduction
Soit N un entier sans facteurs
carrés,
Xo (N)
lacompactification
del’espace
de modulegrossier
des courbeselliptiques
munies d’un sous groupecyclique
d’ordre N etJo (N)
la jacobienne
deXo (N) .
Pour toutedécompo-sition de N sous la forme
N =
N+N-,
où N- est le
produit
d’un nombrepair
de nombrespremiers,
on définit lacourbe de Shimura
XN+ ~N- .
Cette courbe admet un modèlesur Q
et estobtenue sur C comme
quotient
dudemi-plan
de Poincaré par le sous-groupe(N- )
du groupe des unités de norme 1 dans un ordre d’Eichler deniveau N+ de
l’algèbre
dequaternion
rationelle(indéfinie)
de discriminant N-[18] [2].
Lacorrespondance
de Shimizu etJacquet-Langlands
relie les formes nouvelles depoids
deux pourXo (N)
à celles deXN+,N-
qui
ne sontbien définies
qu’à
lamultiplication
par une constanteprès.
L’étude
arithmétique
des courbesXN+~N-
est limitée par l’absence dedéveloppement
de Fourier des formes différentielles due à l’absence depoin-tes. En
particulier
la théorie des congruences entre formes modulairesdéveloppée
par Hida[7, 8]
etRibet[14, 15]
ne s’étend pas dans cette situa-tion.Soit .K un corps de
caractéristique
0 et A une variété abélienne sur K.En
reprenant
laterminologie
de Mazur[10],
on ditqu’une
variété abélienneA’ définie sur K est un
quotient
optimal
de A s’il existe une sous-variétéabélienne A" de A définie sur K et une suite exacte de variétés abéliennes
On a défini dans
[17]
la constante de Hida d’unquotient
optimal
de lajacobienne
d’une courbe.Rappelons
brièvement cette définition etquelques
propriétés.
On suppose que J est la
jacobienne
d’une courbe Cprojective, lisse,
irréductible degenre g >
1 sur C. On fixe unplongement 0
de C dansJ,
on a unisomorphisme ~*
entreHO (J,
etHO(C, Ç2’).
On notera de lamême manière deux éléments de et
qui
secorrespon-dent par
0*.
Pour toute variété abélienneA,
de dimension a,quotient
deJ,
est un sous espace vectoriel de Pour toute base( a 1, ... , aa )
de on posev _ 2013 -
-Soit :
J -- Aqui
fait de A unquotient
de J. On voit facilement quec(cti ,
... , estindépendant
de la base(0:1,...,
choisie et nedépend
que de
~.
On notera c~ =c(al, ... , aa).
Si iln’y
apas
d’ambiguïté
sur lastructure de
quotient,
on posera cA =c~.
On montre que cA est un entier
qui
vaut 1 si A - J. On supposemaintenant que A est un
quotient
optimal
de J. Soit(v:
AV
--~ J lemorphisme
donné par dualité. Ondispose
alors d’uneisogénie
(~ :
~4~
2013~A. On note H le noyau de cette
isogénie,
on a alors[17]
Pour un
quotient
optimal
A de lapartie
nouvelleJo(N)new
de lajacobi-enne
Jo(N)
deXp(N) (notons
que est défini comme unquotient
optimal
deJo(N)),
la définitionprécédente
est dû à Hida. Pour cetterai-son nous dirons que CA est la constante de Hida de A et nous renvoyons aux
papiers
de Hida[7] [8]
pour les liens entre cette constante et lescon-gruences entre formes modulaires
(voir
aussi[17]
pour uneinterprétation
en termes de formesdifférentielles).
L’avantage
de la définition de Hidaest
qu’elle garde
un sens pour toutquotient
de lajacobienne
d’une courbe.Elle est en
particulier
bien définie pour unquotient
optimal
dela jacobienne
Jo~N+~
N_).
En utilisant les résultats de
Faltings
(ou
de Ribet dans ce casparticulier),
on montrequ’un
de telquotient
A’ de lapartie
nouvelleJo(N+, N-)neu’
(encore
une fois définie comme unquotient )
deJo(N+, N-)
estisogène
àcette situation par les théorèmes de
multiplicité
1,
iln’y
a pasd’ambiguïté
sur la structure dequotient,
onparlera
donc de la constante de Hida A oude A’ sans référence à la structure de
quotient.
Pour toute variété abélienne A
sur Q
et tout nombrepremier l ,
on noteo(A, 1)
le groupe descomposantes
de la fibregéométrique
en 1 du modèle de Néron de A.Si ~ :
A - B est unmorphisme
de variétés abéliennesdéfinies sur
Q,
on note(l*
lemorphisme
induit del )
dansO(B,
l ) .
Onmontre dans ce texte le résultat suivant :
Théorème 1.1. Soit p et q d eux nombres
premiers
divisant N- et
J2 =
SoientAi
desquotients optimaux
depq
la
partie
nouvellesJiew de Ji (i
= 1 ou i =2)
qui
sontisogènes.
Soit(i :
Ji
-~Ai
lesmorphismes
donnant la structure dequotient
optimal.
Ona la relation
Dans
[17]
uneexpression
pour la hauteur deFaltings
d’unquotient
op-timal A de la
partie
nouvelle deJo(N)
est donné et elle fait intervenir laconstante de Hida cA.
Quand
lesAi
sont des courbeselliptiques,
le théorèmeprécédent
est dûà Ribet et Takahashi
[16]
et les méthodes de ce texte sontinspirés
de leurstravaux. Donnons une
application
de ce théorème. On suppose queest un
produit
d’un nombrepair
de facteurspremiers.
On poseDi =
iJ-1
, ~
, ~ , ,
nouvelle de
JI.
Par conventionJo
= etJo -
Jo(N).
Les variétés abéliennes~IZ
sont toutes dans la même classed’isogénie.
On notel’application
qui
fait deJi
unquotient
optimal
deJi .
On note co = la constante de Hida deJo
=Jo(N)new.
Cette constante mesure les
congru-ences entre
l’espace
des formes nouvelles et celui des formes anciennes surJo(N).
Quand
on aremarqué
queJr
= Jr et
donc que la constante de Hida deJr
vaut1,
uneapplication répétée
du théorème donne :On
peut
bien sûrpermuter
les pi etles qi
dans les formulesprécédentes
ouchoisir une autre
décomposition
de N en unproduit
de nombrespremiers ;
c’est une
conséquence
du théorèmeprécédent
que toutes lesexpressions
que l’onpeut
former de cette manière coïncident.Quand
N = pq est unproduit
de deux nombrespremiers
onpeut
encorepréciser
les résultatsprécédents :
SoitZ)
l’espace
des formes mod-ulairescuspidales
depoids
2 surJo(pq)
à coefficients dans Z. Ondésigne
par snew
(resp
le sous Z-module deZ)
engendré
par les formesnouvelles
(resp
anciennes).
On obtient alorsThéorème 1.3. Soit 1 un nombre
prerrcier
ne divisant pas6p(p + 1)q(q - 1)
et divisant Il existe alors une
forme f
E Sne’ et uneforme
g e
sold
telle quef
soit congrue à g modulo l. On a deplus
la minorationIndiquons
brièvement leplan
de ce texte : Dans la section2,
nous don-nons lespréliminaires
degéométrie
algébrique
qui
nous servirons à calculerla constante de Hida d’un
quotient
optimal
de lajacobienne
J d’une courbe degenre g >
2 définie et semi-stablesur Q
en fonction des fibres demau-vaise réduction du modèle de Néron de J. Ces résultats sont donnés dans la section 3. On prouve les théorème 1.1 et 1.2 dans la section 4. Le théorème 1.3 est démontré dans la dernière
partie
en utilisant les résultatsde Mazur
[9]
et de Jordan-Livné[6].
Remerciements Je tiens à remercier chaleureusement le
raporteur
dece texte pour de
multiples
remarquespertinentes qui
m’ontpermis
decor-riger
de nombreusesimprécisions.
C’est aussi unplaisir
de remercier lesorganisateurs
desjournées arithmétiques
de Rome pour leur invitation etla
qualité
del’organisation
de cette conférence.2.
Isogénies
autodualesSoit C~ un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et de
corps résiduel k de
caractéristique
p > 0. SoitAx
une variété abélienne surK. On note A son modèle de
Néron, A°
lacomposante
connexe de l’élémentneutre,
Ak
etA2
les fibresspéciales
de A etA°
etk)
le groupe descomposantes de
Ak.
On suppose queAK
a réduction semi-stable sur 0.On a donc une suite exacte pour la
topologie fppf :
où
A~
est une variété abélienne sur k etTk
est un tore.Soit ux une
isogénie Ax
--~BK
de noyauGK .
Soit u son extension aualors une suite exacte pour la
topologie fppf :
où G est un schéma en groupe
quasi-fini
etplat
sur S = de fibregénérique
GK.
On noteGf
lapartie
finie de G(la
complétion
de G lelong
de sa fibrespéciale),
Gt
sapartie torique
etGK
(resp
GK)
la fibregénérique
deGf
(resp
Gt).
Pour tout schéma noethérien S et tout schéma en groupe commutatif
L,
fini etplat
sur S on noteL’
le dual de Cartier de L. On a donc unaccouplement
de dualité sur Lx L~.
Pour tout sous-schéma en groupe L’de
L,
on noteL’.l
le sous-schéma en groupe deL’
orthogonal
à L’.Soit
Ak
la variété abélienne duale deAK.
Soitune
isogénie.
En identifiant(Ak)V
àAK,
ondispose
d’uneisogénie
On dit
que À
est autoduale si À =a~ .
Le but de cette
partie
est de montrer le résultat suivantqui
nous serautile dans la suite de ce texte :
Proposition
2.1. On suppose queAK
est une variété abélienne sur K àréduction
purement
torique.
SoitAx la
variété abélienne duale etune
isogénie
autoduale de noyauHK.
AlorsI(HK)I
[
est un carré etPour toute variété abélienne
Bx
surK,
on notenBK
le noyau del’isogénie
nBKmultiplication
par n surBK.
On sait que l’on a la relationLemme 2.2. Soit a la dimension de
AK.
Pour tout entier n on a :Preuve.
L’isogénie
nAK induit lamultiplication
par n sur lacomposante
neutre de la fibre
spéciale.
Comme la réduction deAK
estpurement
torique,
le noyau de la
multiplcation
par n est de cardinal na. On obtient le lemmeen utilisant la définition de D
Lemme 2.3. Soit n un entier. La restriction de
Preuve. En
passant
auxcomposantes
1-primaires,
on se ramène au cas où n pour un nombrepremier
l. On noteT (AK)
le module de Tate deAK.
On a une filtrationoù
et
car A est à réduction
purement
torique
(ce
qui
nousdispense
d’en donner unedéfinition).
Le théorèmed’orthogonalité
de Grothendieck([5]
théorème5-2)
nous assure que la restriction àTl(AK)t
x del’accouplement
sur
Tz(AK)
x est triviale. Le lemme s’obtient alors enremarquant
que
l’accouplement
surlr AK est
induit par celui sur x0 Lemme 2.4. Soit n un entier. On a un
isomorphisme,
Preuve. On a deux suites exactes :
et
La dualité
parfaite
surnAK
xnAK
est triviale suret induit la dualité de Cartier sur
nA£
x(
On a doncMais
d’après
le lemme2.3,
on a :mais
d’après
le lemme2.2,
pour une raison decardinalité,
on aCeci termine la preuve du lemme 2.4. D
Lemme 2.5. La restriction à
Hk
xHk
del’accouplement
de dualité surPreuve. Soit n le cardinal de
Hx.
Soit 8 :AK
-Ax
l’isogénie
telle queô o A = Soit
IK
sonnoyau. On a la relation :
et 8 est une
isogénie
autoduale. On a donc deux suites exactes :Dans cette dernière suite exacte
HK
est réalisé commel’image par 8
denAK.
Onpeut
doncappliquer
le lemme 4.4.5 de[11]
et on obtient les deuxsuites exactes suivantes :
L’accouplement
sur est trivial car il se déduit del’accouplement
sur4f
xnAx
qui
est triviald’après
le lemme 2.3. DLemme 2.6. On a
l’inégalité :
Preuve. C’est une
conséquence
immédiate de la relationet du lemme 2.5
qui
nous assure queHK
C(HK)1.
DLemme 2.7. On a une inclusion naturelle de en groupe :
Preuve. On a un
diagramme
commutatif àlignes
exactes :On en déduit
après
passage au dual et en utilisant le lemme 2.4 ledia-gramme commutatif à
ligne
exactes :Le lemme s’obtient à
partir
de cediagramme
en utilisantl’équation
(14)
qui
nous assure quel’image
denA’f/
dansHK
estHK.
0 Preuve de laproposition
,~.1. Le lemme 2.7 prouve queLa
proposition
2.1 est doncconséquence
du lemme 2.6. D3. Constante de Hida et monodromie
Soit X une surface de Riemann et J sa
jacobienne.
Rappelons
que l’on a définie pour toutquotient
optimal
A de J la constante de Hida cA deA
[17].
Soit ~ :
J - A lemorphisme
de variété abélienne donnant lastructure de
quotient.
Soit(v:
A V
- J lemorphisme
dual. Ondispose
alors d’une
isogénie
autoduale((v:
A de noyau H avec(17)
CA =F.
Notons que la constante de Hida
dépend
engénéral
dumorphisme ~.
Lanotation cA
présuppose
donc que A est donné avec sa structure dequotient
optimal.
Nous pensons que cet abus de notation ne devrait pas poser deproblème
au lecteur. Dans lesapplications
cette structure sera en faitunique
par les théorèmes demultiplicité
1.Soit maintenant V une variété abélienne
sur Q
de dimension r. Onsup-pose que V a réduction semi-stable sur
Q.
Soit 1 uneplace
de mauvaiseréduction de V. On note
T (V,
l)
lapartie torique
de lacomposante
neu-tre de la réduction du modèle de Néron de V en
1,
H(V, l)
le groupe descaractères de
T(V, l)
et1)
le groupe des composantes. Onrappelle
(~5,
Théorème10.4])
que l’on a unaccouplement
de monodromiecanonique
nondégénéré :
et une suite exacte induite
Soit t la dimension de
T (V, l).
On note encore uvl’accouplement
induitsur x
1) .
On en déduit le lemme suivantqui
nous serautile dans la suite de ce
papier.
Lemme 3.1. Soient x et y des
générateurs
de etOn a alors
On suppose maintenant que
X ,
J et A sont définissur Q
que J et Asont à réduction
purement
torique
en uneplace
l. Soit a la dimension deet
On pose alors :
Proposition
3.2. On a CA =( coker
((v*(*))1
[
Preuve. Soient A et
4v
les modèles de Néron de A etAV.
SoientAO
etAvO
lescomposantes
neutres de .A etAV.
L’isogénie A =
«v
seprolonge
au modèles de Néron connexe et on a une suite exacte pour latopologie
fppf :
- B ln n
Le noyau de
l’isogénie
induite sur les tores est alorsZ/lZ.
On endéduit alors que
La
proposition
résulte alors del’équation
(17)
et de laproposition
2.1. DOn note uj
l’accouplement
de monodromie induit surSoit e un
générateur
du 7G-module libre de rang1,
/aa
8(A,
l)
et T =ui(e,
e).
Proposition
3.3. On a la relation :Preuve. Soit x
et y
desgénérateurs
et deD’après
le lemme3.1,
on aD’après
laproposition 3.2,
x étantfixé,
onpeut
choisir y =(v*(*x.
On en déduit queD’autre
part,
on a la relation(Remarquer
que r estpositif)
Ceci termine la preuve de laproposition.
0Lemme 3.4. Soit
~* :
0(j,
l)
-o(A,
l)
lemorphisme
induit par(.
On aPreuve. Comme
(0(A, l) : ~*H(A, 1)]
est le cardinal de lapartie
detor-sion du conoyau de
l’application (* :
H(A, l)
-H(J, l),
onpeut
aussi lecalculer comme le cardinal du conoyau de
l’application
On obtient alors le lemme
quand
onapplique
le lemme duserpent
audiagramme
commutatif àlignes
exactesquand
on aremarqué
que la flèche verticale degauche
estsurjective puisque
l’application (*
induit une immersion fermée sur les modèles de Néron con-nexe deA~
et J.(Noter
que si 1 >2,
on a même une immersion fermée auniveau des modèles de Néron
d’après
[1,
Théorème4,
p.186].
Le
rapporteur
m’a fait remarquerqu’il
est difficile de donner une référencepour la commutativité du carré de droite dans le
diagramme
commutatifprécédent.
Nousespérons
que le lecteur courageux écrira une preuve de cefait.
4.
Quotients
dejacobiennes
de courbes de ShimuraSoit N un entier sans facteurs carrés. Soit N =
N+N-
unedécomposi-tion de N avec N- un
produit
d’un nombrepair
de nombrespremiers.
SoitXN+,N-
la courbe de Shimura définie dans l’introduction etJo(N+, N-)
sa
jacobienne.
Soit pet q
deux facteurspremiers
de N-. On pose alorsOn a alors la
proposition
suivante([16,
proposition
1]),
obtenue par Ribet[13]
quand
N- =pq
(ie
J2
=Jo(N)) et
qui
segénéralise
grâce
aux travauxde Buzzard
[3] :
Proposition
4.1. On a une suite exactecanonique :
Cette suite est
compatible
à l’action desopérateurs
de HeckeTl,
(l, N)
= 1,
sur chacun des termes de la suite. De
plus l’application
i estcompatible
avec
l’accouplement
de monodromie : pour tout(x, y)
EH(Jl, p)
on aSoit A un
quotient
optimal
de lapartie
nouvelle deJo (N) .
Parla
correspondance
deJacquet-Langlands,
il existe desquotients optimaux
A2
deJI
etJ2
qui
sontisogène
à A. Pour i = 1 ou i =2,
onnote Çj
Lemme 4.2. On a la relation
Pour tout nombre
premier 1
divisantN,
le modèle de Néron deest à réduction
purement
torique.
Si N = l cela résulte de ladescription
de Mazur dela jacobienne
en l. Sinon soit l’ telque ll’
divise N. ParJacquet-Langlands,
on sait que estisogène
à lapartie
nouvellethéorème de Cerednik-Drinfeld assure que
JUI
h, esttl 117
à réduction
purement
torique
en l. On obtient le résultat car lapropriété
d’être à réduction
purement
torique
est stable parisogénies
et par passagesau
quotient.
On déduit de cela queA1
etA2
sont à réductionpurement
torique
en pet q
et queH(A1, p)
etH(A2, q)
sont des Z-modules libres derang a =
dim (A) .
Soit( f 1,
f 2, ... ,
f r )
les formes nouvelles depoids
2 surA. Pour tout entier n, on écrit
Tn fi
= On a alors, , , - , - , - , - ..
où
On finit la preuve du lemme en utilisant une
description analogue
pourle fait que i a un conoyau sans torsion et est
compatible
à l’action desopérateurs
de Hecke pour npremier
à N.Pour tout nombre
premier 1
divisantN,
on notele
morphisme
induit par(i .
On obtient alors en utilisant leséquations
(21,24,25,26)
la relationCeci termine la preuve du théorème 1.1.
5. La courbe modulaire
Jo(pq)
Quand
N =pq, le théorème 1.2
prend
la forme trèssimple
suivante :Soit
, , , , .~~..
le
morphisme
donnant la structure dequotient optimal
de Ona la relation
Pour
expliciter
cette relation nous utiliserons le fait queq)
et co sont des
entiers,
ladescription
deq)
dû à Mazur(qui
de
çl(Jo(1, pq), p)
dû à Jordan et Livné[6].
Décrivons brièvement leurs résultats. Poursimplifier
les énoncés nous ne donnerons que lesparties
premières
à 6 de ces groupes. Pour des nombres rationnels a etb,
on écrit a N b si leursparties
première
à 6 coïncident. Mazur([9,
p.174-175])
prouve que l’on a
et
On en déduit que =
0(pq).
Soit B
l’algèbre
dequaternion
indéfinie de discriminant pq età
l’algèbre
de
quaternion
définie de discriminant q. SoitB(p)
la matrice de Brandtde
degré
ppour à
relative aux classe d’idéaux de B[4].
C’est une matricecarré d’ordre h où
... - - - ...
(avec
les conventions(zi) = 0 = (::!). )
Soitg(n)
le genre deXo(n),
on aalors h =
g(q)
+ 1. Onpeut
écrire lepolynôme caractéristique
P(x)
de Bsous la forme
t.
où les
Bi
sont les valeurs propres del’opérateur
de Heckeagissant
surl’espace
des formes modulairescuspidales
depoids
2 surXo (q)
[4].
Comme une base de cette espace est donnée par lesnew-forms,
ondispose
de lamajoration
On a alors le résultat suivant dû à Jordan et Livné
[6]
On déduit des deux dernières
équations
(plus
précisément
de la forme donnée dans[6]
del’équation
(34))
et de la valeur de h donnée par(32)
que l’on a l’estimation suivante :On obtient alors la preuve de la
première partie
du théorème 1.3 enutilisant les
équations
(29)
(30)
et(34)
et le théorème 5-2 de[17]
qui
nous assurequ’un
nombrepremier 1
ne divisant pas2pq
mais divisant lacons-tante de Hida
cJo(pq)new
à lapropriété
de l’énoncé du théorème 1.3. La deuxièmepartie
est unesimple conséquence
deséquations
(29),
(31)
et(35)
éventuellement en inversant le rôle de p et q.Bibliographie
[1] S. BOSCH, W. LUTKEBOHMERT, M. RAYNAUD, Néron models. Springer-Verlag New York,
1990.
[2] M. BERTOLINI, H. DARMON, Heegner points on Mumford-Tate curves. Invent. Math 126
(1996),no. 3, 413-456.
[3] K. BUZZARD, Integral models of certain Shimura curves. Duke. Math. Journ. 87 (1997),
591-612.
[4] B. GROSS, Heights and the Special values of L-series. Canadian Math. Soc. Conf. Proc. 7
(1997), 115-187.
[5] A. GROTHENDIECK, Groupe de Monodromie en Géométrie Algébrique. SGA 7 I, Lecture
notes in Math. 288, Springer Verlag, 1972.
[6] B. JORDAN, R. LIVNE, On the Néron Model of Jacobian of Shimura Curves. Compositio Math. 60 (1986), 227-236
[7] H. HIDA, Congruences for cusps forms and special values of their zeta functions. Invent. Math 63 (1981), 225-261.
[8] H. HIDA, On congruence divisors of cusp forms as factors of the special values of their zeta
functions. Invent. Math 64 (1981), 225-261.
[9] B. MAZUR, Modular Curves and the Eisenstein Ideal. Pub. Math. IHES 47 (1977), 33-186.
[10] B. MAZUR, Rational isogenies of prime degree. Invent. Math 44 (1978), 129-162.
[11] M. RAYNAUD, Hauteurs et isogénies. Astérisque 127 (1985), 199-234.
[12] M. RAYNAUD, Jacobienne des courbes modulaires. Astérisque 196-197 (1991), 9-25.
[13] K. RIBET, On modular representations of rm
Gal(Q/Q)
arising from modular forms. Invent.Math. 100 (1990), 431-471.
[14] K. RIBET, Congruence relation between modular forms. Proc. Int. Congr. Math. (1983), 503-514.
[15] K. RIBET, Mod p Hecke operators and congruences between modular forms. Invent. Math.
(1983), 193-205.
[16] K. RIBET, S. TAKAHASHI, Parametrisation of elliptic curves by Shimura curves and by classical modular curves. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 94 (1997), 11110-11114.
[17] E. ULLMO, Hauteur de Faltings de quotients de J0(N), discriminants d’algèbres de Hecke
et congruences entre formes modulaires. Amer. J. of Math. 122 (2000), 83-115.
[18] M.-F. VIGNÉRAS, Arithmétique des algèbres de quaternions. Lect. Notes. Maths 800,
Springer-Verlag New-York, 1980.
Emmanuel ULLMO Princeton University
Departement of Maths. Fine Hall 08540 Princeton NJ
USA
