Annexe de l’article : Le paradoxe de Simpson illustr´ e par des donn´ ees de vaccination contre le Covid-19
Donn´ees et calculs
Quentin Berger (Sorbonne Universit´e),
Francesco Caravenna (Universit`a Milano-Bicocca).
Pour celles et ceux qui ne sont pas r´eticents `a l’id´ee de faire un peu de math´ematiques, voici les donn´ees des hospitalisations et d´ec`es en Angleterre entre le 21 juin et le 12 septembre 2021 de cas identifi´es du variant Delta du Covid (elles sont extraites des rapports1 SARS-CoV-2 variants of concern and variants : technical briefings) :
Groupe d’ˆage D´ec`es de personnes
hospitalis´ees du Covid Dont non vaccin´ees Dont vaccin´ees (ou partiellement)
<50 ans 196 126 70
≥50 ans 2227 552 1675
Total 2423 678 1745
Si l’on veut comparer le taux de mortalit´e parmi les non vaccin´es et les vaccin´es, on peut consid´erer le rapport
V = proportion de d´ec`es parmi les non vaccin´es proportion de d´ec`es parmi les vaccin´es ,
qui nous dit combien de fois le taux de mortalit´e est plus ´elev´e chez les non vaccin´es que chez les vaccin´es. Un nombreV >1 indiquera que le vaccin est efficace.
Formule alternative et calcul de V
Notez que les donn´ees du tableau ne permettent pas d’obtenir le taux de mortalit´e parmi les vaccin´es ou parmi les non vaccin´es : ils donnent plutˆot la proportion de vaccin´es ou de non vaccin´es parmi les d´ec`es. Comment peut-on calculer le nombreV `a partir de cela ? On va utiliser la formule alternative suivante, qu’on justifie plus bas :
V =
proportion de non vaccin´es parmi les d´ec`es proportion de non vaccin´es dans la population
proportion de vaccin´es parmi les d´ec`es proportion de vaccin´es dans la population
. (∗)
Pour calculer le nombre V, il faut donc connaˆıtre aussi la proportion de vaccin´es et de non vaccin´es dans la population. Ces donn´ees sont fournies par la NHS et elles n’ont pas trop chang´e dans la p´eriode qu’on consid`ere2. On peut donc faire les calculs suivants :
• Parmi les moins de 50 ans : en estimant `a 50% le taux de vaccination, on obtient
V<50=
126/196 50/100 70/196 50/100
= 126
70 = 1,8>1.
1. Voir les tables 4 des rapports num´ero 17etnum´ero 23. `A noter que les rapports pr´ec´edents ne font pas la distinction d’ˆage entre les plus de 50 ans et les moins de 50 ans.
2. Les taux de vaccination sont accessibles sur le site de la NHS : COVID-19 Vaccination Archive. Les taux moyens sur la p´eriode juin-septembre sont de 48,3% chez les moins de 50 ans et de 96,6% chez les plus de 50 ans ; ici on utilise des valeurs approch´ees pour simplifier les calculs.
• Parmi les plus de 50 ans : en estimant `a 95% le taux de vaccination, on obtient
V≥50=
552/2227 5/100 1675/2227
95/100
= 552 1675× 95
5 = 6,3>1.
• Dans la population totale, il faut faire un peu attention pour calculer le taux de vac- cination : il faut d’abord savoir que les moins de 50 ans repr´esentent environ 63%
de la population anglaise, donc le taux de vaccination dans la population totale est 63%×50% + 37%×95%≈67%. On obtient alors
Vtot =
678/2423 33/100 1745/2423
67/100
= 678 1745×67
33 ≈0,79≈ 1 1,3 <1. On a donc bien mis en ´evidence le paradoxe de Simpson dans ces donn´ees.
Remarquons aussi que les valeurs du rapport V >1 qu’on a obtenu, `a la fois dans le groupe des moins de 50 ans et des plus de 50 ans, indiquent une bonne efficacit´e du vaccin, mais sont quand mˆeme inf´erieures `a la valeur mesur´ee par les ´equipes qui ont test´e le vaccin3. Parmi les raisons qui pourraient expliquer cet ´ecart, on remarque d’abord que dans notre analyse on regroupe les personnes vaccin´ees ou partiellement vaccin´ees, o`u le vaccin est moins efficace ; on peut aussi noter qu’il y a beaucoup de variation entre les taux de mortalit´e des personnes d’ˆage diff´erent, mˆeme au sein d’un mˆeme groupe, et que les personnes les plus fragiles, cibl´ees prioritairement par la campagne de vaccination, sont probablement surrepr´esent´ees parmi les vaccin´es... En conclusion, on voit encore le paradoxe de Simpson apparaˆıtre !
Justification de la formule alternative pour V
Pour obtenir la formule alternative (∗) pourV, il faut utiliser la formule des probabilit´es condi- tionnelles plusieurs fois (ou la formule de Bayes si vous la connaissez), pour obtenir
proportion de d´ec`es parmi les non vaccin´es= proportion de non vaccin´es d´ec´ed´es dans la population proportion de non vaccin´es dans la population .
Comme on a aussi
proportion de non vaccin´es parmi les d´ec`es= proportion de non vaccin´es d´ec´ed´es dans la population proportion de d´ec`es dans la population , on en d´eduit que l’on peut r´e´ecrire la proportion de d´ec`es parmi les non vaccin´es, c’est-`a-dire le num´erateur de V, comme :
proportion de non vaccin´es parmi les d´ec`es
proportion de non vaccin´es dans la population ×proportion de d´ec`es dans la population. On peut faire la mˆeme chose pour les vaccin´es et donc obtenir une formule similaire pour la proportion de d´ec`es parmi les vaccin´es, c’est-`a-dire le d´enominateur de V. En faisant le rapport des deux, on aboutit `a la formule (∗).
3. L’efficacit´e du vaccin est en g´en´eral mesur´ee par la quantit´e E = 1−1/V, qui quantifie la r´eduction du risque de d´ec`es obtenue grˆace au vaccin. Les valeursV<50 = 1,8 et V≥50 = 6,3 qu’on a calcul´ees donnent une efficacit´e E<50 = 44% et E≥50 = 84%, tandis que lavraie efficacit´e des vaccins utilis´es en Europe est de l’ordre deE= 90%
