Feuille 6 : S´eries enti`eres

Universit´e Paris Sud Ann´ee 2010-2011 S3 PMCP Analyse II

Feuille 6 : S´ eries enti` eres

Exercice 1 D´eterminer le rayon de convergenceRde la s´erie enti`ere (P

anxⁿ) dans les cas suivants. Pour chaque cas, faire ensuite l’´etude de la convergence en R etR.

1. an =n², n>1. Calculer la somme de la s´erie.

2. an =_n2ⁿ1, n>2. Calculer la somme de la s´erie.

3. an =_n(n+1)¹ , n>1. Calculer la somme de la s´erie.

4. a3k+1=_3k+1¹ , a3k= 0, a3k+2= 0, k>0. Calculer la somme de la s´erie.

5. an = cos(_n¹),n>1.

6. an =^{( 1)}_ln(n)ⁿ,n>2.

7. an²=n!,an = 0 sinn’est pas un carr´e,n>0.

8. an =bp2ⁿ+ 1c, n>0.

Exercice 2 D´evelopper en s´erie enti`ere les fonctions suivantes en pr´ecisant le rayon de convergence.

1. f(x) = ln(x²+ 2x+ 4).

2. f(x) =xln(x+p

x²+ 1 ).

3. f(x) = x 2 x³ x² x+ 1. 4. f(x) = 1 x

(1 + 2x x²)².

Exercice 3 Pour chacune des ´equations di↵´erentielles suivantes, d´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere.

1. y⁰⁰+xy=x²+x+ 2,y(0) = 1,y⁰(0) = 1.

2. xy⁰⁰ y=x²+x 1,y(0) = 1,y⁰(0) = 1.

3. y⁰⁰+xy⁰+y= 0,y(0) = 1,y⁰(0) = 0.

Exercice 4 Soient ↵ et deux r´eels tels que ↵ ne soit pas multiple entier de ⇡. Trouver le rayon de convergenceR, calculer la somme, et ´etudier le comportement sur le cercle cercle de convergence de :

X

n>0

cos(n↵+ )xⁿ.

Exercice 5 Donner le rayon de convergence et calculer explicitement la somme des s´eries enti`eres (Panxⁿ) dans les cas suivants.

1. a2n+1= 0,a2n+2= n(n+1)(2n+1)¹ ,n>1.

2. an =^n2+4n+1_n! ,n>0.

3. a3n =_(3n)!¹ ,a3n+1= 0, a3n+2= 0,n>0.

Exercice 6 On consid`ere la s´erie enti`ere S(x) =X

n>0

x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)(2n 1)· · ·3·1.

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Feuille 9 : Séries entières

Math 201

Université Paris-Sud

Année 2018-2019

D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie ainsi qu’une ´equation di↵´erentielle simple v´erifi´ee parS.

En r´esolvant cette ´equation di↵´erentielle, d´emontrer que S(x) =e^x2/2

Z x 0

e ^t2/2dt . Exercice 7 Soit n 2 N, on pose Wn = R⇡/2

0 cosⁿ(t)dt. On rappelle (cf fiche sur les int´egrales) que Wn⇠p_⇡

2n. D´eterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la s´erie enti`ereP

n>0Wnxⁿ. Exercice 8 SoitPn(x) =Pn

k=0 x^k

k! et soitR >0 un r´eel donn´e. Montrer que pour n suffisamment grand, le polynˆomePn n’a pas de racine dans le disque ferm´e de centre 0 et de rayonR.

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