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dynamiques infinis
Emmanuel Bourreau
To cite this version:
Emmanuel Bourreau. Polynômes orthogonaux simultanés et systèmes dynamiques infinis. Mathéma- tiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2002. Français. �tel-00005227�
N◦ d’ordre : 3117
Th` ese pr´ esent´ ee ` a
L’UNIVERSIT´ E DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
pour obtenir
LE TITRE DE DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E SP´ ECIALIT´ E : MATH´ EMATIQUES APPLIQU´ EES
par
Emmanuel Bourreau
Polynˆ omes orthogonaux simultan´ es et syst` emes dynamiques infinis
Soutenue le 10 mai 2002, devant la Commission d’Examen :
Pr´esidente : J. VAN ISEGHEM, Universit´e de Lille I Directeur de th`ese : B. BECKERMANN, Universit´e de Lille I
Rapporteurs : A. DRAUX, INSA de Rouen
W. VAN ASSCHE, Universit´e Catholique de Louvain Examinateurs : C. BREZINSKI, Universit´e de Lille I
V. KALIAGUINE, Universit´e de Nizhny Novgorod, Russie A. APTEKAREV, Institut Keldysh, Moscou, Russie
Remerciements
Alors qu’une ´etape s’ach`eve, il est temps d’´evaluer le chemin parcouru et remercier les diff´erentes personnes qui m’ont accompagn´e.
Je voudrais tout d’abord remercier Bernhard Beckermann, mon directeur de th`ese, pour sa patience `a mon ´egard. J’effectue des recherches sous sa direction depuis mon m´emoire de D.E.A. en 1996. Pendant ces six ann´ees, sa pers´ev´erance, parfois son obstination m’ont permis de ne jamais me d´ecourager malgr´e mes activit´es d’enseignant du secondaire qui prennent une grande par- tie de mon temps.
Mˆeme si certaines coquilles typographiques doivent subsister, cette th`ese n’aurait pu ˆetre am´elior´ee sans la lecture attentive et les remarques de M.
Draux et M. Van Assche qui ont accept´e d’ˆetre mes deux rapporteurs. Qu’ils soient encore remerci´es pour la c´el´erit´e avec laquelle ils ont remis leur rapport, le temps qui leur ´etait imparti ´etait tr`es court.
La pr´esence de Mme Van Iseghem pour pr´esidente et de M. Kaliaguine et M. Aptekarev est pour moi un honneur, en mˆeme temps qu’une source d’appr´ehension : les auteurs des articles sur lesquels j’ai travaill´e, parfois avec acharnement, sont aujourd’hui mes juges. J’esp`ere qu’ils seront indulgents.
Je suis heureux que M. Brezinski fasse partie de mon jury. C’est lui qui m’enseigna l’Analyse Num´erique en Maˆıtrise puis pendant le D.E.A. Qu’il sache que je garde pr´ecieusement l’article sur Stieljes, paru dans la revue
”pour la Science”, qu’il m’a gentillement d´edicac´e.
J’ai pu aussi compter sur le soutien de mes coll`egues professeurs. Ils ont r´eduit ma charge de travail en r´edigeant les sujets de D.S. communs ou en
´elaborant les barˆemes.
2
3 A leur mani`ere, mes parents, fr`ere et soeurs m’ont encourag´e par leurs plaisanteries sur la dur´ee inhabituelle de ma th`ese !
Je remercie aussi ma femme Sophie pour sa pr´esence `a mes cˆot´es. Heureu- sement que nous n’avons pas attendu la fin de ma th`ese pour avoir de beaux enfants ! Pierre et Constance font notre joie `a tous les deux. Que Pierre me pardonne de n’avoir pu jouer tous les jours avec lui. A deux ans et demi, il sait d´ej`a que je vais `a la ”fac” pour voir ”M. Betermann”.
Table des mati`eres
Table des mati`eres 4
Introduction 6
1 Polynˆomes matriciellement orthogonaux 11
1.1 Introduction . . . 11
1.2 Biorthogonalit´e . . . 13
1.2.1 Forme bilin´eaire . . . 13
1.2.2 Alg`ebre lin´eaire . . . 14
1.2.3 R´ecurrence `a r+s+ 1 termes . . . 16
1.2.4 Dualit´e et Christoffel-Darboux . . . 20
1.2.5 Approximants de Pad´e . . . 25
1.2.6 Cas particuliers des approximants de Pad´e pr´ec´edents . 27 1.2.6.i Syst`emes parfaits . . . 27
1.2.6.ii Cas scalaire . . . 29
1.3 Analyse fonctionnelle . . . 29
1.3.1 Op´erateur . . . 29
1.3.2 R´esolvante . . . 30
1.3.3 Caract´erisation de l’ensemble r´esolvant . . . 33
1.4 R´esultats pour les matrices constantes . . . 34
2 Fractions continues 42 2.1 Formules g´en´erales . . . 43
2.2 V´erifications des formules . . . 47
2.2.1 Le cas scalaire . . . 47
2.2.2 Fractions continues g´en´eralis´ees . . . 47
2.2.3 Cas vectoriel (algorithme de Jacobi-Perron) . . . 49
2.2.4 Fractions continues matricielles . . . 51
4
5
2.2.5 Fractions continues matricielles par blocs . . . 54
2.3 Acc´el´eration de convergence . . . 57
3 Moments modifi´es 71 3.1 Introduction . . . 71
3.2 Calcul des coefficients. Algorithme de Chebyshev modifi´e . . . 72
3.2.1 Introduction . . . 72
3.2.2 Algorithme de Chebyshev modifi´e scalaire . . . 72
3.2.3 Algorithme de Chebyshev modifi´e vectoriel . . . 76
3.3 R´esultats num´eriques . . . 79
4 Syst`emes dynamiques infinis 86 4.1 R´esolutions th´eorique et pratique du syst`eme semi-infini de Toda 87 4.2 Estimations . . . 94
4.3 Applications . . . 95
4.3.1 Mise en oeuvre . . . 96
4.3.2 Exemples . . . 97
4.4 D´emonstrations . . . 105
Conclusion 117 A Codes Maple 119 A.1 Algorithme de Chebyshev modifi´e vectoriel . . . 120
A.2 Syst`emes dynamiques, algorithme de Chebyshev scalaire . . . 127
Bibliographie 133
Introduction
A travers l’´etude de certains probl`emes d’analyse fonctionnelle (´equations int´egrales, s´eries de Fourier, probl`eme de Sturm-Liouville et, plus g´en´eralement, probl`emes aux limites dans les ´equations aux d´eriv´ees partielles) est appa- rue la notion de syst`eme orthogonal de fonctions. Ces probl`emes am`enent `a consid´erer des espaces hermitiens constitu´es de fonctions et `a d´eterminer les valeurs propres et les fonctions propres de certains endomorphismes de ces espaces. Dans le cas d’un op´erateur hermitien, les sous-espaces propres sont orthogonaux deux `a deux. Le probl`eme essentiel consiste alors `a chercher des bases hilbertiennes constitu´ees de fonctions propres.
Les polynˆomes orthogonaux sont un cas simple de syst`eme orthogonal.
Historiquement, les polynˆomes orthogonaux scalaires apparaissent comme un outil pour les fractions continues et sont ´etudi´es par Chebyshev et Stieltjes.
Les polynˆomes orthogonaux apparaissent aussi en interpolation polynomiale, en d´eveloppement en s´erie de fonctions, en calcul approch´e ou exact d’int´egrales et encore dans l’´etude des approximants de Pad´e scalaires, vectoriels et ma- triciels et des fractions continues scalaires, vectorielles et matricielles. Ils per- mettent par exemple d’´etudier la convergence de ces diff´erentes quantit´es. Ils sont aussi un outil important dans la r´esolution des syst`emes dynamiques de Toda-Langmuir et les syst`emes associ´es de Kac-van Moerbeke et les ´equations de Korteweg-deVries.
Les polynˆomes orthogonaux formels permettent aussi de justifier et d´emontrer les algorithmes d’alg`ebre lin´eaire comme la m´ethode du Gradient conjugu´e, de Lanczos ou encore l’algorithme GMRES.
En lien avec les polynˆomes orthogonaux, les travaux pr´esent´es dans cette th`ese suivent deux axes de recherche.
D’un cˆot´e, nous nous sommes int´eress´es aux fractions continues. A par- tir du cas scalaire, `a la fin du vingti`eme si`ecle, se sont d´evelopp´ees diverses g´en´eralisations comme le cas vectoriel donn´e par Parusnikov [60], les fractions
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7 continues g´en´eralis´ees ´etudi´ees par De Bruin, Jacobsen et Levrie [25, 50, 53], les fractions de Thiele et les n-fractions par Levrie et Bultheel [51, 52], les fractions continues matricielles de matrices carr´ees ´etudi´ees par Aptekarev et Nikishin[3] et derni`erement les fractions continues pour les matrices rectan- gulaires dans l’article de Van Iseghem et Sorokin [72]. Ces d´eveloppements permettent d’effectuer une approximation rationnelle de vecteurs ou de ma- trices de fonctions ou de caract´eriser le spectre d’un op´erateur. Dans le cas scalaire, la fraction continue peut ˆetre exprim´ee comme une composition d’homographies. Cette d´ecomposition est g´en´eralis´ee dans certains articles [50].
Cependant, il n’existe pas d’unification de ces diff´erents travaux. Le cha- pitre 2 traite ainsi du regroupement des diff´erentes expressions scalaires, vec- torielles ou matricielles des fractions continues sous l’aspect d’une d´ecomposition d’homographies d´efinies dans le cas matriciel g´en´eral de matrices rectangu- laires r×s. On retrouve dans ce formalisme les divers cas ´evoqu´es plus tˆot en posant r =s = 1 pour obtenir le cas scalaire ou r = 1, s > 1 pour le cas vectoriel.
Cette d´efinition d’homographie matricielle permet dans la deuxi`eme par- tie de ce chapitre de d´emontrer un r´esultat souvent recherch´e en analyse num´erique (voir par exemple l’historique pr´esent´e par C. Brezinski [22]) et toujours d’actualit´e (voir [21]) : l’acc´el´eration de convergence.
Le deuxi`eme axe de recherche est la r´esolution du probl`eme spectral in- verse de mani`ere num´eriquement stable : connaissant les moments associ´es `a une mesure, est-il possible de d´eterminer l’op´erateur associ´e ? C’est-`a-dire, si on consid`ere les polynˆomes orthogonaux relativement `a cette mesure, est- il possible de d´eterminer la matrice infinie regroupant les coefficients de r´ecurrence de ces polynˆomes orthogonaux et ceci de mani`ere num´eriquement stable ?
Dans le cas scalaire, la matrice en question est une matrice `a trois dia- gonales dite de Jacobi. Grˆace aux divers travaux de Gautschi [32, 33, 34, 35, 36], on sait que le calcul des coefficients n’est g´en´eralement pas stable num´eriquement comme il l’indique dans de nombreux exemples [34, Exemples 4.1, 4.3, 4.8]. Ce calcul n’est pas stable avec l’algorithme de Chebyshev qui utilise les moments ordinaires R
xkdσ. Et mˆeme si on travaille avec l’algo- rithme de Chebyshev modifi´e qui utilise les moments modifi´es R
pk(x)dσ(x) o`u (pk) est une famille de polynˆomes relativement `a une mesureds, le calcul peut rester num´eriquement instable. Dans l’article ´ecrit avec B. Beckermann
`a ce sujet [9], nous avons montr´e que pour envisager une stabilit´e num´erique, il ´etait n´ecessaire d’utiliser une mesure ds dont le support ´etait essentiel-
lement semblable `a celui de dσ. Ce r´esultat a pu ˆetre ´etabli grˆace aux es- timations donn´ees par Fischer [30] sur le conditionnement de l’application non-lin´eaire qui associe les moments aux coefficients de r´ecurrence.
De mˆeme que nous avons g´en´eralis´e les fractions continues dans le cas ma- triciel, il nous a paru naturel de g´en´eraliser l’algorithme de Chebyshev modifi´e
`a la d´etermination de coefficients de r´ecurrence de polynˆomes vectoriels. On peut noter qu’une telle g´en´eralisation existe dans le cas de polynˆomes ma- triciels ([69]) et aussi dans le cas vectoriel ([28]). Cependant, dans ce dernier cas, il n’est pas fait mention des polynˆomes de r´ef´erence. A contrario, nous avons cherch´e, au travers d’exemples, des polynˆomes de r´ef´erence adapt´es aux polynˆomes vectoriels ´etudi´es.
Malheureusement, dans le cas vectoriel, il n’existe pas d’estimations simi- laires `a celles de Fischer dans le cas scalaire. Il nous est donc impossible pour l’instant de d´emontrer un r´esultat qui semble visible dans les exemples : les polynˆomes doivent poss´eder le mˆeme comportement asymptotique .
Dans un dernier temps, afin d’appliquer de mani`ere int´eressante, l’algo- rithme de Chebyshev modifi´e, nous nous sommes int´eress´es aux syst`emes dynamiques et plus particuli`erement au syst`eme de Toda semi-infini.
Il s’agit de d´eterminer l’´evolution temporelle d’un syst`eme semi-infini de particules align´ees sur le semi-axe r´eel et qui interagissent suivant une loi exponentielle d´ecroissante en fonction de la distance les s´eparant. Ces particules peuvent poss´eder une vitesse initiale.
En effectuant un changement de variable, on peut d´ecrire ce syst`eme par l’´evolution temporelle des coefficients d’une matrice de Jacobi semi-infinie qui est solution d’une ´equation diff´erentielle. Notre r´esultat sur l’algorithme de Chebyshev modifi´e prend alors tout son sens. En effet, la mesure au temps t, ds(x, t) associ´ee `a la matrice est la mesure au temps initial ds(x,0) mul- tipli´ee par e−tx. Cela signifie que les polynˆomes orthogonaux poss`edent le mˆeme comportement asymptotique et que l’algorithme de Chebyshev mo- difi´e devrait ˆetre num´eriquement stable.
Puisque l’on connaˆıt l’´evolution temporelle de la mesure, il est possible de d´eterminer les coefficients de r´ecurrence des polynˆomes orthogonaux en d´ecomposant la fonction de Weyl associ´ee `a cette mesure en fraction continue [58]. Cependant, on ne cherche que l’´evolution des n premi`eres particules c’est-`a-dire des n premi`eres lignes de la matrice semi-infinie.
Pour r´esoudre ce probl`eme, nous avons donc d´ecid´e de tronquer la ma- trice initiale `a N lignes (N n) et de travailler avec un syst`eme fini. Il existe alors diverses m´ethodes pour d´eterminer l’´evolution des coefficients.
9 Mais notre approche toute nouvelle nous permet d’utiliser l’algorithme de Chebyshev modifi´e, les moments modifi´es ´etant d´etermin´es par la r´esolution d’un syst`eme fini d’´equations lin´eaires. De plus, il nous est surtout possible d’estimer l’erreur commise sur le calcul des coefficients de r´ecurrence en uti- lisant `a nouveau les estimations donn´ees par Fischer.
Le travail pr´esent´e se d´ecompose donc en quatre chapitres.
Le premier pr´esente l’aspect th´eorique n´ecessaire `a la compr´ehension de la th`ese. On y d´efinit les polynˆomes vectoriels matriciellement orthogonaux et on d´emontre des r´esultats sur ces polynˆomes, similaires aux r´esultats clas- siques sur les polynˆomes scalaires (identit´e de Christoffel-Darboux, r´ecurrence, convergence des approximants de Pad´e, th´eor`eme de Shohat-Favard). Le lec- teur familiaris´e avec ces objets et ces r´esultats peut s’int´eresser imm´ediatement
`a la section 1.4 de ce chapitre, o`u l’on propose une nouvelle d´emonstration d’un r´esultat d´ej`a donn´e par Duren [29] sur les op´erateurs de Toeplitz bande.
Le chapitre 2 pr´esente les transformations de M¨obius ainsi que des ho- mographies matricielles d´efinies grˆace au chapitre 1. Cette g´en´eralisation re- groupe les diff´erentes th´eories existantes comme les cas scalaire, vectoriel ou matriciel par blocs. Cette d´efinition permet dans la deuxi`eme partie de ce chapitre de d´emontrer un r´esultat d’acc´el´eration de convergence sur les fractions continues matricielles.
L’objet du chapitre 3 est d’´etendre l’algorithme de Chebyshev modifi´e aux polynˆomes vectoriels. On rappelle l’algorithme dans le cas scalaire avec, en particulier, des r´esultats sur le choix des polynˆomes de r´ef´erence [9]. Ensuite, grˆace aux r´esultats du chapitre 1 au paragraphe 1.2.3, il est possible de d´ecrire l’algorithme de Chebyshev vectoriel qui est alors appliqu´e `a quelques exemples.
Enfin, le chapitre 4 pr´esente une application de l’algorithme de Chebyshev modifi´e scalaire pour l’´etude temporelle d’un syst`eme dynamique semi-infini issu d’un maillage de Toda-Langmuir. On ´etudie de mani`ere th´eorique puis au travers d’exemples, l’estimation de l’erreur commise sur le calcul des n premi`eres lignes de coefficients de r´ecurrence d’une famille de polynˆomes pk(x, t) orthogonaux relativement `a la mesure e−txds(x,0). Les polynˆomes de r´ef´erence de l’algorithme de Chebyshev modifi´e scalaire sont les polynˆomes pk(x,0).
En utilisant l’aspect physique du probl`eme, on pourra repr´esenter l’´evolution de ces particules. Il est int´eressant de voir, grˆace `a cette repr´esentation, l’ap-
parition de ”motifs” c’est-`a-dire de regroupement de deux ou trois particules qui se d´ecalent vers la droite. Ces motifs ressemblent aux ”solitons” du cas infini (voir par exemple le tutorial sur le syst`eme de Toda pr´esent´e par G.
Teschl[76]).
On constate, aussi, de nouveau, que les estimations propos´ees sont parfois trop pessimistes et qu’il est possible de d´epasser les limites donn´ees par la th´eorie sans trop s’´eloigner de la v´erit´e (que l’on peut v´erifier par l’orthogo- nalit´e des polynˆomes en jeu).
C H A P I T R E
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Polynˆ omes matriciellement orthogonaux
1.1 Introduction
Ce chapitre pourrait poss´eder trois points de d´epart : – La biorthogonalit´e
– Les approximants de Pad´e matriciels – L’op´erateur aux diff´erences
Il existe, comme dans le cas scalaire, une interaction entre ces diff´erents as- pects comme le pr´esente le sch´ema ci-apr`es.
Ce diagramme d´ecrit les divers aspects des polynˆomes matriciellement ortho- gonaux. Il s’agit en fait de d´emontrer que ces polynˆomes vectoriels orthogo- naux relativement `a une matrice de dimensions r×s de mesures, poss`edent les mˆemes propri´et´es courantes que les polynˆomes scalaires.
11
