D 1826
Solution proposée par Pierre Renfer
On choisit comme unité de longueur le demi-côté du carré.
On choisit le repère orthonormé tel que sommets du carré aient pour coordonnées :
1 A 1
1 B 1
1 C 1
1 D 1
Le point P a pour coordonnées :
sin 2
cos P 2
1) Coordonnées des points K, L, M, N
Soient r et s les abscisses respectives de K et L.
Alors les coordonnées de K, L, M, N sont :
r K r
s L s
1 M r
1 N s
L'équation de la droite (AP) est : 0
1 sin 2 1 y
1 cos 2 1
x
En écrivant que K vérifie cette équation, on trouve :
2 sin cos
sin r cos
L'équation de la droite (BP) est : 0
1 sin 2 1 y
1 cos 2 1
x
En écrivant que L vérifie cette équation, on trouve :
2 cos sin
sin s cos
En posant
4
, on obtient :
cos 1 s sin
sin 1 r cos
2) Coordonnées du point Q
L'équation de la droite (KN) est : 0 1 r 1 y
s r s -
x
L'équation de la droite (LM) est : 0 1 s 1 y
r s r -
x
En résolvant le système de ces deux équations, on trouve les coordonnées (x,y) du point Q :
sin 2
1 sin
) sin 2 1 ( 2
sin 2 1 cos
sin 2 cos sin
1
cos sin
1 2
s r
1 y rs
sin cos sin
) sin 2 1 ( 2
) sin 2 1 ( cos 2 cos
sin 2 cos sin
1
) cos sin
1 ( ) sin (cos
2 s r
s x r
3) Conclusion
Les points P, Q, J ont pour coordonnées :
sin 2
cos
P 2
sin 2
1 sin cos
Q
1 J 0
Pour prouver l'alignement de ces trois points, il reste à constater la nullité du déterminant suivant :
0 1 sin 2 1 1 sin 2
sin cos cos
2
