cours-trinomes du second degré-1°stlch

POLYNÖME DU SECOND DEGRE 1-fonction trinôme du second degré

^{f x:} _^{a x2b x c}

avec

a0

.

A - FORME CANONIQUE et factorisation

Soit f x: a x²b x c avec a0un trinôme du second degré . Comme a0, pour tout réel x :

2 2 b c

a x b x c a x x

a a

 

      

  .Or ² b

x x

a est le début du développement de

2 2

2 2

2 2

2 2 4

b b b

x x x

a a a

 

    

 

  .

Donc , pour tout réel x ,

2 2 2 2

2

2 2

4

2 4 2 4

b b c b b ac

a x b x c a x a x

a a a a a

      

   

             

Le réel  b²4ac^{se note}  (delta) et s’appelle le discriminant du trinôme .

2 2 2 2 2

2 2

( ) 4

2 4 2 4 2 2

( ) 2 2 2 2 2 2 2 2

b b ac b b

p x a x a x a x

a a a a a a

b b b b

p x a x x a x x

a a a a a a a a

 

            

   

                 

         

  

               a x x



1

 

x x2



  

 B-Résolution de l’équation : a x²b x c 0

 0  0  0

Equation

2 0

a x b x c 

Pas de solution Une solution double

0 2

x b

  a

Deux solutions distinctes

1 2

x b

a

  

 et ₂

2 x b

a

  



Factorisation Pas de factorisation 2

( ) ( 0)

f x a x x f x( )a x x x x(  1)(  2) C-Représentation graphique

La représentation graphique est une parabole de sommet S( ; )  avec

2 b

   a et ( )

2

f b f

  ^ a^ 

  .

Cas où a0

La parabole est tournée vers le haut

0 1 1

x y





Cas où a0

La parabole est tournée vers le bas

0 ¹



x y

S



x ^{ }  x ^{ } 

( ) f x

 

 f x( ) 

 

f admet un minimum en 2

b

   a f admet un maximum en 2

b

   a

 La représentation graphique dans un repère orthogonal est une parabole, dont le sommet est S(

2 b

 a ; 2 f b

a

 

 

 ). La droite d’équation 2 x b

  a est un axe de symétrie de P .

 Si a > 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le haut.

 Si a < 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le bas.

Comme nous l’avons vu , le trinôme du second degré f x: a x²b x c ( avec a  0 ) , peut aussi s’exprimer sous la forme f x: a x( )²( forme canonique ) . Ainsi f est une fonction associée à la fonction xx² . La courbe représentative de la fonction f x: a x²b x c , s’obtient à partir de la parabole P d’équation y = x ² en effectuant une translation de vecteur ij

, puis une dilatation , c’est à dire une “ une multiplication par a” .

2-Interprétations graphiques

1°/a0  0

Pas de racine

_{ 0}

: 1 seule racine

0

2 x b

 a

    0

: Deux racines

^x₁

et

^x₂

Position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses

0 ^x

y

0 1

1

x y

x0

0 1

1

x y



x₀

Signe

^{x }

 x ^ x₀ ^ x 

x1 ^x₂ ^

( )

f x f x( )  ^{f x( )} 

+ 0

  ^{f x( )}  ^{  } 

2°/a0  0

: Pas de racine

_{ 0}

: 1 seule racine

0 2 x b

 a

    0

:Deux racines

^x₁

et

^x₂

Position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses ^{0 x}

y

0 1

1

x y

 0 1



x y

S



Signe

^{x }

 x ^ x₀ ^ x 

^x₁ ^x₂ ^

( )

f x f x( )  ^{f x( )} 

0

  ^{f x( )}    

Théorème

( ) 2

f x a x b x c

est du signe de a sauf pour les valeurs de

^x

comprises entre les racines lorsque

 0

Signe de

^{x   x } x₀ ^

( )

f x

^{f x( )} Signe de a f x( ) Signe de a

0

^{Signe de a}

 0

x

^ _{x1 x2} ^

( )

f x Signe de a

0

Signe de a

0

^{Signe de a}

POLYNÔME

Définition : On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur

R

sous la forme :

P x( )a x_n ⁿa_n1xⁿ....a x_p ^p...a x a x a₂  ₁  ₀

où

nN

et

^a_i^R

avec

1 i n

0 ; 1; 2;...; _n

a a a a

sont appelés coefficient de P . Le terme

a x_p ^p

est monôme de degré

^p

et

^{ndeg( )P}

Définition et conventions :

Si on convient que a

n

0, n est appelé degré du polynôme f et les réels a

i

sont appelés coefficients de f. a

n

0 est appelé coefficient dominant

Opérations entre polynômes :

Le produit de 2 polynômes non nuls est un polynôme ayant pour degré la somme des degrés des polynômes.

Unicité de l’écriture polynomiale :

Théorème : 1.Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

2. Deux polynômes

P

et

^Q

non nuls sont égaux (

^{P Q}

) si et seulement si :

 0

 0

^

ils ont le même degré, c’est-à-dire

deg( ) deg( )P  Q

^

les coefficients des termes de même degré de

P

et

Q

sont égaux d.

Factorisation d’un polynôme

Théorème : Si a est une racine d’un polynôme P de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré (n – 1) tel que : P(x) = (x – a)Q(x). On dit alors qu’on a factorisé P par (x – a)

Exemple : on a montré que 3 est une racine de P(x) = 2x

³

– 11x

²

+ 18x – 9 . P(x) = (x – 3)(2x

²

– 5x + 3).