CLASSE DE PREMIERE S DEVOIR DE MATHEMATIQUES DONNE LE : 21/10/2009 A RENDRE LE : 06/11/2009 On désigne par n un nombre réel et par Pn(x) le polynôme suivant :
Pn(x) = (n +2) x 2 -2nx + 2n – 3 ; x € R . On note (En) la famille d’équations dans R : Pn(x) = 0.
1°) a) Quel est le degré du polynôme obtenu lorsque n = -2 ? b) Résoudre (E -2).
2°) On suppose que n est différent de -2.
On se propose d’étudier selon n l’existence et le nombre des solutions de (En).
a) Justifier comme méthode de résolution possible celle du discriminant.
b) Calculer en fonction de n le discriminant ∆(n) . c) Résoudre dans R : ∆(n) = 0 .
d) Etudier le signe de ∆(n) selon n.
On explicitera les valeurs des racines de (En) lorsqu’elles existent.
3°) a) Lorsque (En) admet deux solutions réelles notées x’ et x’’ démontrer qu’elles vérifient une relation indépendante de n telle que : - 4 x’ x’’ + 7 ( x’ + x’’ ) – 6 = 0
b) Retrouver à l’aide de cette relation les valeurs des racines doubles calculées à la question 2°) d.
4°) Peut on choisir n pour que (En) ait :
a) Deux solutions inverses l’une de l’autre ? b) Deux solutions opposées ?
c) Deus solutions qui soient le cosinus et le sinus d’un nombre réel que l’on calculera.
d) Pour racine x’ = 1 ? Préciser la valeur de l’autre racine.
5°) On se propose de résoudre dans R l’équation : 3 x 4 – 2 x 3 + 5 x 2 -2 x + 3 = 0 (1) a) Vérifier que x = 0 n’est pas solution de l’équation (1).
b) On pose Y = x + x
1 pour x nombre réel non nul .
Calculer ( x + x
1 ) 2 pour x , nombre réel non nul
c) En déduire que la résolution de l’équation (1) se ramène à la résolution d’une équation (En) d’inconnue Y pour une valeur particulière n0 de n que l’on précisera.
d) Résoudre (En0).
e) En déduire les solutions de l’équation proposée (1).