Graphes inhomog`enes : comportement au voisinage du seuil critique

(1)

Graphes inhomog`enes : comportement au voisinage du seuil

critique LucasMercier

Pr´esentation des mod`eles

Modèle d’Erd˝os-Rényi Graphe inhomogène Existence d’un transition de phase Processus d’exploration des composantes connexes Voisinage du seuil critique

Graphes inhomog`enes : comportement au voisinage du seuil critique

Lucas Mercier

Institut ´ Elie Cartan de Nancy

(2)

Marche de Lukasiewicz Renormalisation

Convergence vers le brownien Résultats Généralisations possibles

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On consid`ere

n sommets.

(3)

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On consid`ere

toutes les

arˆetes

possibles.

(4)

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On garde

chaque arˆete

ind´ependam-

ment avec

probabilit´e p .

(5)

Limitations du mod`ele

◮ Tous les sommets jouent le mˆeme rˆole, et en

particulier ont un degr´e du mˆeme ordre de grandeur.

◮ On veut pouvoir mod´eliser des graphes plus

g´en´eraux, par exemple un graphe biparti, ou un

graphe avec des serveurs centraux tr`es connect´es et

des sommets peu connect´es.

(6)

Graphe inhomog`ene

On consid`ere

n sommets.

(7)

Graphe inhomog`ene

On choisit pour chaque sommet une

´etiquette.

(8)

Graphe inhomog`ene

On consid`ere

toutes les

arˆetes

possibles.

(9)

Graphe inhomog`ene

On garde chaque arête indépendam- ment avec probabilité ne dépendant que des

´etiquettes des

(10)

Param`etres

On suppose qu’il y un nombre ﬁni ℓ d’´etiquettes possibles.

Si l’on a n sommets, on a alors deux param`etres :

◮ Un vecteur r _n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

´etiquette.

◮ Une matrice ℓ × ℓ symétrique réelle à coefficients

positifs, qui donnera la probabilit´e d’existence des

arˆetes, que l’on notera C ⁿ .

(11)

Param`etres

On suppose qu’il y un nombre ﬁni ℓ d’´etiquettes possibles.

Si l’on a n sommets, on a alors deux param`etres :

◮ Un vecteur r _n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

´etiquette.

◮ Une matrice ℓ × ℓ symétrique réelle à coefficients

positifs, qui donnera la probabilit´e d’existence des

(12)

Transition de phase dans le graphe d’Erd˝ os-R´enyi

Dans le graphe d’Erd˝os-R´enyi, si la probablit´e

d’existence d’une arˆete est de la forme p = ^c _n avec c une constante, on a la transition de phase suivante.

◮ Si c < 1, la plus grande composante est de taille Θ(ln n ).

◮ Si c = 1, la plus grande composante est de taille Θ(n

²³

).

◮ Si c > 1, la plus grande composante est de taille

Θ(n).

(13)

Transition de phase dans le graphe inhomog`ene

On prend C _n de la forme ¹ _n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r _n −−−→

n →∞

r .

Alors l’existence d’une composante g´eante d´epend

principalement de la matrice Q d´eﬁnie par Q _i,j = r _j C _i,j :

(14)

Transition de phase dans le graphe inhomog`ene

On prend C _n de la forme ¹ _n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r _n −−−→

n →∞

r .

Alors l’existence d’une composante géante dépend principalement de la matrice Q définie par Q _i,j = r _j C _i,j :

Théorème (Söderberg (2002))

◮ Si la plus grande valeur propre de Q est inf´erieure ` a 1 , alors la taille de la plus grande composante connexe est o (n).

◮ Si une valeur propre de Q est strictement plus

grande que 1, il existe une composante connexe de

taille Θ( n ) .

(15)

Processus d’exploration des composantes connexes.

On part d’un

sommet,

dont on veut

explorer la

composante

connexe.

(16)

On considère tous les sommets voisins, qui n’ont pas encore été découverts, et on les place comme fils du

premier

sommet.

(17)

On fait de

mˆeme avec

le premier

sommet que

l’on vient de

d´ecouvrir.

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Lorsque l’on

n’a plus de

sommets en

r´eserve (ﬁn

d’une

composante

connexe), on

rajoute un

nouveau

sommet.

(23)

Et on

recommence

le processus.

(24)

(25)

Int´erˆet de cet algorithme

◮ La taille des composantes connexes est aussi la taille des arbres du processus d’exploration.

◮ On ne considère jamais deux fois la même arête, ce

qui permet d’avoir des propriétés d’indépendance.

(26)

Int´erˆet de cet algorithme

◮ La taille des composantes connexes est aussi la taille des arbres du processus d’exploration.

◮ On ne considère jamais deux fois la même arête, ce qui permet d’avoir des propriétés d’indépendance.

On veut savoir si l’on a de

^≪

grands

^≫

arbres. Pour cela, on a besoin de connaˆıtre la loi du nombre de ﬁls d’un sommet.

Si l’on consid`ere un sommet d’´etiquette i , quelle est la

loi du nombre de ﬁls d’´etiquette j ?

(27)

Convergence vers le

Int´erˆet de cet algorithme

◮ La taille des composantes connexes est aussi la taille des arbres du processus d’exploration.

◮ On ne considère jamais deux fois la même arête, ce qui permet d’avoir des propriétés d’indépendance.

On veut savoir si l’on a de

^≪

grands

^≫

arbres. Pour cela, on a besoin de connaˆıtre la loi du nombre de ﬁls d’un sommet.

Si l’on considère un sommet d’étiquette i , quelle est la loi du nombre de fils d’étiquette j ?

B (n − ν , C )

(28)

Int´erˆet de cet algorithme

◮ La taille des composantes connexes est aussi la taille des arbres du processus d’exploration.

◮ On ne considère jamais deux fois la même arête, ce qui permet d’avoir des propriétés d’indépendance.

On veut savoir si l’on a de

^≪

grands

^≫

arbres. Pour cela, on a besoin de connaˆıtre la loi du nombre de ﬁls d’un sommet.

Si l’on considère un sommet d’étiquette i , quelle est la loi du nombre de fils d’étiquette j ?

B (n j − ν _j , C _i,j ) ≃ B (n j , C _i,j )

Avec n _j le nombre de sommets d’´etiquette j initialement

présents et ν _j le nombre de sommets d’étiquette j déjà

d´ecouverts.

(29)

On observe donc que le processus d’exploration

ressemble `a un arbre de Galton-Watson multitype, dont

la loi du nombre de ﬁls de type j qu’a un sommet de

type i est B (n j , C _i,j ).

(30)

On observe donc que le processus d’exploration

ressemble `a un arbre de Galton-Watson multitype, dont la loi du nombre de ﬁls de type j qu’a un sommet de type i est B (n j , C _i,j ).

n _j ∼ nr _j et C _i,j = ¹ _n C _i _,j

donc B ( n _j , C _i,j ) ∼ Poi ( r _j C _i,j ) = Poi ( Q _i,j ).

(31)

On observe donc que le processus d’exploration

ressemble `a un arbre de Galton-Watson multitype, dont la loi du nombre de ﬁls de type j qu’a un sommet de type i est B (n j , C _i,j ).

n _j ∼ nr _j et C _i,j = ¹ _n C _i _,j

donc B ( n _j , C _i,j ) ∼ Poi ( r _j C _i,j ) = Poi ( Q _i,j ).

On peut donc localement approcher le processus

(32)

Le cas critique

On se donne C et r tels que la plus grande valeur propre de Q soit 1.

On prend C = ( ¹ _n + tn ⁻

⁴³

) C (avec t un r´eel).

(33)

Le cas critique

On se donne C et r tels que la plus grande valeur propre de Q soit 1.

On prend C = ( ¹ _n + tn ⁻

⁴³

) C (avec t un r´eel).

On note par S ₁ ≥ S ₂ ≥ . . . la taille des composantes

connexes, ordonn´ees par la taille.

(34)

Marche de Lukasiewicz

La marche de Lukasiewicz L _k est d´eﬁnie par : L ₀ = 0

L _k+1 = L _k − 1 + N _k avec N _k le nombre de ﬁls du kieme

sommet.

(35)

Marche de Lukasiewicz

La marche de Lukasiewicz L _k est d´eﬁnie par : L ₀ = 0

L _k+1 = L _k − 1 + N _k avec N _k le nombre de ﬁls du kieme sommet.

◮ − min

j <k L _j est le nombre de composantes enti`erement

explor´ees avant le temps k .

◮ L _k − min

j <k L _j est le nombre de sommets en r´eserve au

(36)

Marche de Lukasiewicz

La marche de Lukasiewicz L _k est d´eﬁnie par : L ₀ = 0

L _k+1 = L _k − 1 + N _k avec N _k le nombre de ﬁls du kieme sommet.

◮ − min

j <k L _j est le nombre de composantes enti`erement

explor´ees avant le temps k .

◮ L _k − min

j <k L _j est le nombre de sommets en r´eserve au

temps k.

◮ Le d´ebut de l’exploration d’une composante correspond `a un record vers le bas de L.

◮ En réalité, on a besoin de considérer un processus Y

légèrement différent, qui a des propriétés similaires.

(37)

Renormalisation

Y

(38)

Marche de Lukasiewicz

Renormalisation Convergence vers le brownien Résultats Généralisations possibles

Renormalisation

Y

n

²³

(39)

Renormalisation

Y n

¹³

n

²³

(40)

Marche de Lukasiewicz

Renormalisation Convergence vers le brownien Résultats Généralisations possibles

Renormalisation

Y n

¹³

n

²³

Y ˜ ( s ) = n ⁻

¹³

Y ( n

²³

s )

(41)

Convergence vers le brownien

Y est d´eﬁni comme une somme de petites variations.

(42)

Convergence vers le brownien

Y est d´eﬁni comme une somme de petites variations.

En ´etudiant la loi de ces petites variations, on a : Y ˜ ⁿ (s ) − → ^d B _s + αs − βs ² =: W _s

α ∈ R , β ∈ R ^∗ + , dépendent des paramètres du problème.

(43)

R´esum´e

◮ Y ˜ _s converge vers un mouvement brownien avec

d´erive W _s .

(44)

R´esum´e

◮ Y ˜ _s converge vers un mouvement brownien avec d´erive W _s .

◮ La ﬁn d’une composante correspond `a un record

vers le bas de Y .

(45)

R´esum´e

◮ Y ˜ _s converge vers un mouvement brownien avec d´erive W _s .

◮ La ﬁn d’une composante correspond `a un record vers le bas de Y .

◮ Donc la taille des composantes connexes,

correctement renormalis´ee, converge vers la

(46)

G´en´eralisations possibles ?

◮ Peut-on se passer de la condition de nombre ﬁni

d’´etiquettes possibles ?

(47)

G´en´eralisations possibles ?

◮ Peut-on se passer de la condition de nombre ﬁni d’´etiquettes possibles ?

◮ Renormalisation différente des probabilités

(48)

Graphes inhomog`enes : comportement au voisinage du seuil critique

Graphes inhomog`enes : comportement au voisinage du seuil critique

Lucas Mercier

Institut ´ Elie Cartan de Nancy

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On consid`ere

n sommets.

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On consid`ere

toutes les

arˆetes

possibles.

Mod`ele d’Erd˝ os-R´enyi

On garde

chaque arˆete

ind´ependam-

ment avec

probabilit´e p .

Limitations du mod`ele

◮ Tous les sommets jouent le mˆeme rˆole, et en

particulier ont un degr´e du mˆeme ordre de grandeur.

◮ On veut pouvoir mod´eliser des graphes plus

g´en´eraux, par exemple un graphe biparti, ou un

graphe avec des serveurs centraux tr`es connect´es et

des sommets peu connect´es.

Graphe inhomog`ene

On consid`ere

n sommets.

Graphe inhomog`ene

On choisit pour chaque sommet une

´etiquette.

Graphe inhomog`ene

On consid`ere

toutes les

arˆetes

possibles.

Graphe inhomog`ene

On garde chaque arête indépendam- ment avec probabilité ne dépendant que des

´etiquettes des

Param`etres

On suppose qu’il y un nombre ﬁni ℓ d’´etiquettes possibles.

Si l’on a n sommets, on a alors deux param`etres :

◮ Un vecteur r n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

´etiquette.

◮ Une matrice ℓ × ℓ symétrique réelle à coefficients

positifs, qui donnera la probabilit´e d’existence des

arˆetes, que l’on notera C n .

Param`etres

On suppose qu’il y un nombre ﬁni ℓ d’´etiquettes possibles.

Si l’on a n sommets, on a alors deux param`etres :

◮ Un vecteur r n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

´etiquette.

◮ Une matrice ℓ × ℓ symétrique réelle à coefficients

positifs, qui donnera la probabilit´e d’existence des

Transition de phase dans le graphe d’Erd˝ os-R´enyi

Dans le graphe d’Erd˝os-R´enyi, si la probablit´e

d’existence d’une arˆete est de la forme p = c n avec c une constante, on a la transition de phase suivante.

◮ Si c < 1, la plus grande composante est de taille Θ(ln n ).

◮ Si c = 1, la plus grande composante est de taille Θ(n

).

◮ Si c > 1, la plus grande composante est de taille

Θ(n).

Transition de phase dans le graphe inhomog`ene

On prend C n de la forme 1 n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r n −−−→

n →∞

r .

Alors l’existence d’une composante g´eante d´epend

principalement de la matrice Q d´eﬁnie par Q i,j = r j C i,j :

Transition de phase dans le graphe inhomog`ene

On prend C n de la forme 1 n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r n −−−→

n →∞

r .

Alors l’existence d’une composante géante dépend principalement de la matrice Q définie par Q i,j = r j C i,j :

Théorème (Söderberg (2002))

◮ Si la plus grande valeur propre de Q est inf´erieure ` a 1 , alors la taille de la plus grande composante connexe est o (n).

◮ Si une valeur propre de Q est strictement plus

grande que 1, il existe une composante connexe de

taille Θ( n ) .

◮ Un vecteur r _n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

arˆetes, que l’on notera C ⁿ .

◮ Un vecteur r _n `a ℓ coordonn´ees positives et de somme 1, qui sera la proportion de chaque

d’existence d’une arˆete est de la forme p = ^c _n avec c une constante, on a la transition de phase suivante.

On prend C _n de la forme ¹ _n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r _n −−−→

principalement de la matrice Q d´eﬁnie par Q _i,j = r _j C _i,j :

On prend C _n de la forme ¹ _n C , avec C une matrice constante.

On suppose de plus que r _n −−−→

Alors l’existence d’une composante géante dépend principalement de la matrice Q définie par Q _i,j = r _j C _i,j :

B (n j − ν _j , C _i,j ) ≃ B (n j , C _i,j )

Avec n _j le nombre de sommets d’´etiquette j initialement

présents et ν _j le nombre de sommets d’étiquette j déjà

type i est B (n j , C _i,j ).

ressemble `a un arbre de Galton-Watson multitype, dont la loi du nombre de ﬁls de type j qu’a un sommet de type i est B (n j , C _i,j ).

n _j ∼ nr _j et C _i,j = ¹ _n C _i _,j

donc B ( n _j , C _i,j ) ∼ Poi ( r _j C _i,j ) = Poi ( Q _i,j ).

ressemble `a un arbre de Galton-Watson multitype, dont la loi du nombre de ﬁls de type j qu’a un sommet de type i est B (n j , C _i,j ).