Chapitre 6

Chapitre 6

Les systèmes linéaires

1. Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

a. Définitions

Définition :

Un système ( S ) de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est de la forme :

{

^axbyca'xb'yc'=0 ⁼⁰ ou a,b,c,a',b',c' sont des nombres réels Définition :

Résoudre ( S ), c'est trouver tous les couples ( x , y ) qui vérifient les deux équations du système ( S ).

Rappels :

L'équation d'une droite est de la forme : ax + by + c = 0 ( où a et b ne sont pas tous les deux nuls )

a) Si b ≠ 0 , ax + by + c = 0 ⇒ by = - ax + c ⇒ y⁼⁻a b xc

b donc –a

b est le coefficient directeur et c

b l'ordonnée à l'origine.

b) Si b = 0 , ax + c = 0 et si a ≠ 0 alors x⁼⁻c a

donc la droite est verticale et passe par l'abscisse −c a

b. Interprétation graphique

Si a et b ne sont pas tous les deux nuls, et si a' et b' ne sont pas tous les deux nuls, chaque équation correspond à une droite.

Résoudre ( S ) revient donc à trouver les coordonnées de (des) point(s) d'intersection de ces deux droites.

Il y a donc trois possibilités :

1. Les droites sont confondues Exemple :

(D1) : 2y + 4x – 6 = 0 et ( D2):y + 2x – 3 = 0

Si les droites sont confondues alors leurs coefficients directeurs et leur ordonnées à l'origine sont identique donc :

a b=a '

b ' et c b=c '

b '

et donc si ab' = a'b et cb' = c'b les droites sont confondues.

Conclusion :

Si ab' = a'b et cb' = c'b alors

le système

{

^{axbyc=0}a'xb'yc'=0 admet une infinité de couples solutions

2. Les droites sont parallèles maos non confondues

Exemple :

(D1) : y + 2x +1 = 0 et ( D2):y + 2x – 3 = 0

Si les droites sont parallèles alors leurs coefficients directeurs est identiques donc :

a b=a '

b ' et c b≠c '

b '

et donc si ab' = a'b et cb' ≠ c'b les droites sont parallèles et non confondues.

Conclusion :

Si ab' = a'b et cb' ≠ c'b alors

le système

{

^{axbyc=0}a'xb'yc'=0 n'admet aucune solution

2. Les droites sont sécantes

Exemple : ( D1 ) : y – 3x + 1 = 0 et ( D2 ) : y + 2x – 3 = 0

Si les droites sont sécantes alors leurs coefficients directeur et leur ordonnées à l'origine sont différents :

a b≠a '

b ' et c b≠c '

b '

donc si ab'≠ a'b et cb' ≠ c'b les droites sontsécantes.

Conclusion :

Si ab'≠ a'b et cb' ≠ c'b

alors le système

{

^axbyca'xb'yc'=0 ⁼⁰ admet un couple solution unique.

c. Méthodes de résolution

1. Méthode graphique

La méthode graphique donne rapidement le nombre de solutions mais n'est pas très précise pour trouver le (ou les ) couple(s) solutions.

On trace les droites dont les équations sont celles du système puis on lit les coordonnées du (des) point(s) d'intersection.

Exemples :

(1):

{

2 y4 x−10=0^{y−2 x−1=0} (2):

{

^{yx−yx1=04=0 (3):}

{

^{2 y−}4 y−2 x−2=0^x−1=0

2. Méthode par substitution

Elle fonctionne toujours mais les calculs sont parfois difficiles.

Le principe est d'exprimer l'une des deux inconnue en fonction de l'autre puis de remplacer dans la deuxième équation.

Exemple :

{

^{−3y−y42x−7x11=0=0 ⇔}

{

^{−3y=y42x7x11=0 ⇔}

{

^{−34y=4xx772x11=0}

⇔

{

^{−10y=4xx−10=07 ⇔}

{

^{xy==−14x7 ⇔}

{

^xy=3=−1

Donc S = { (-1 ; 3 ) }

3. Méthode par combinaisons linéaires

On multiplie une ou les deux équation(s) par des nombres bien choisis puis on fait la somme des deux équations pour en éliminer une des inconnues.

Exemple :

{

^{−32y−4y2xx−10=011=0 ⇔}

{

^{−66y−12y4xx−30=022=0}

En additionnant les deux équations, j'obtiens : -8x – 8 = 0 ⇔ x = -1

On remplace x par -1 dans une des deux équations du départ : 2y -4(-1) – 10 = 0 ⇔ 2y + 4 – 10 = 0 ⇔ 2y – 6 = 0 ⇔ y = 3 Donc S = { ( -1 ; 3 ) }

Exercice : Résoudre les système

( S ) :

{

^{2xx – 3 y52 y}−2=0 et ( S' ) =^4=0

{

^{22yx−3xy=−6=16}

II. Systèmes d'équations linéaires à trois inconnues

a. Définitions

Définition :

Un système ( S ) de trois équations linéaires à trois inconnues x,y et z est de la forme :

{

^{aaa123xbxbxb123ycyycc123zdzdzd1 2 3==0=0 0}

où tousles coefficients a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3 et d3

sont des nombres réels

Définition :

Résoudre ( S ), c'est trouver tous les triplets ( x , y, z ) qui vérifient les deux équations du système ( S ).

b. Méthodes de résolution

1. Méthode par substitution

Le principe est d'exprimer l'une des trois inconnue en fonction des deux autres puis de remplacer dans les deux autres équations pour obtenir un système linéaire à deux inconnue.

Exemple : ( S ) :

{

3x5y−3z=34 (1) 4x−7yz=3 (2) 2x3y−2z=22 (3) On isole z dans l'équation ( 2 )

( S ) ⇔

{

^3x5y−3z=34 (1) z=3−4x7y (2) 2x3y−2z=22 (3)

On remplace z, par l'expression trouvée, dans les équations (1) et (3).

( S ) ⇔

{

^{3z2x=37x53yy−337y−237−4x yy−4−4xx−34=0=22 ⇔}

{

^{15z10=37xx−16−11yyy−−28=0−4x43=0}

On obtient donc un sous système ( S' ) :

{

^{1510xx−16−11yy−28=0−43=0}

qui va nous permettre de trouver x et y

( S' ) ⇔

{

^{3030xx−32−33yy−86=}−84=0 L1-L2⁰ ⇔

{

^{30y−2=0x−32y−86=0}

⇔

{

^{30y=2x−32y−86=0 ⇔}

{

^{30y=2x−54−86=0 ⇔}

{

^xy=2=5

On peut donc maintenant remplacer x par 5 et y par 2 dans ( S ) ( S ) ⇔

{

^{xzy=2=37=5 2−45 ⇔}

{

^xzy=2=−3=5

donc S = { (5 ; 2 ; -3) }

2. Méthode par combinaisons linéaires

Le principe est de trouver un système équivalant mais triangulaire.

Avec une seule inconnue dans la troisième équation, deux dans la deuxième et trois dans la troisième.

Pour cela on effectue des combinaisons de lignes.

Exemple : ( S ) :

{

^xyz=12 (L1) 3x−2y4z=33 (L2) 2x7y−5z=−15 (L3)

On remplace la troisième équation par (L3)-2×(L1) pour éliminer les x.

( S ) ⇔

{

^{x35y−7y=−39x−2yzy4=12z=33}

On remplace la deuxième équation par (L2) – 3×(L1) pour éliminer les x.

( S ) ⇔

{

^{−5yzx5y−7z=−39yz=−3=12}

Il reste à éliminer les y dans la troisième équation.

Pour cela je remplace la troisième par (L2) + (L3)

( S ) ⇔

{

^{x −5yz −6z=−42yz=12=−3 eq}

{

^{x −5y=−10 zy=7=5 eq}

{

^xzy=2=7=3

Donc S = { ( 3 ; 2 ; 7 ) }

II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues

1. Définitions

Définition :

Un système ( S ) d' inéquations linéaires à deux inconnues x et y est de la forme :

{

^{axbyc≤0a'xb'yc'≥0} ou a,b,c,a',b',c' sont des nombres réels.

Exemple :

( S ) :

{

^{3x6xx−−3y4−2yy1−50} et ( S' ) :

{

^{x8xyy0−x0135y104}

2. Partage du plan par une droite

Propriété :

La droite d'équation ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans ouverts : L'un est l'ensemble des points du plan dont le couple de coordonnées (x;y) vérifie ax + by + c > 0

– L'un est l'ensemble des points du plan dont le couple de coordonnées (x;y) vérifie ax + by + c < 0

Exemple

On note (D) la droite d'équation 2x – 3y - 5 = 0,

(

P 1

) le plan de l'ensemble des points (x;y) tels que 2x – 3y - 5 > 0 (

P 2

) le plan de l'ensemble des points (x;y) tels qie 2x – 3y - 5 < 0

3. Méthodes de résolution

Exemple : ( S ) :

{

³x – 4 y – 50 xy−2 6x−3y1

On note ( D1 ) la droite d'équation 3x – 4y – 5 = 0 ⇔ y=3 4x−5

4 On note ( D2 ) la droite d'équation x + y + 2 = 0 ⇔ y = - x – 2 On note ( D3 ) la droite d'équation 6x – 3y – 1 = 0 ⇔ y=2x – ¹

3

On obtient donc ( S ) ⇔

{

^{yyy−x234xx−2−−1354}

Il faut tracer les trois droites dans un repère et hachurer les trois demi-plans qui ne conviennent pas.

La région du plan qui reste non hachurée correspond à l'intersection des trois demi-plans qui conviennent : C'est donc l'ensemble des points dont