UNIVERSIT ´E PARIS DIDEROT Ann´ee 2011-2012, Master 2
Examen du 27/10/2011 (dur´ee : 3 heures)
I
Soit X le sous-espace deR3 r´eunion de la sph`ere unit´eS2 et du disque unit´e du premier plan de coordonn´ees : D2× {0}.
1. Pour N = (0,0,1), calculer l’homologieH∗(X, X− {N}).
2. Calculer l’homologie deX.
3. Pour A= (1,0,0), calculer l’homologieH∗(X, X− {A}).
4. Est-ce queX est une vari´et´e topologique ?
5. Quel sont les points de X qui ont un voisinage hom´eomorphe `aR2?
II
Pour un espace topologique X, on d´efinit la suspension SX comme le quotient de [0,1]×X qui identifie{0} ×X `a un point et{1} ×X `a un autre point.
1. Montrer que la suspension du cercle S1est une sph`ere.
2. Calculer l’homologie de la suspension de la sph`ereSn pour toutn≥0.
3. Exprimer l’homologie de la suspension deX en fonction de l’homologie deX pour tout espace topologiqueX.
III
On noteD2 le disque unit´e deCetS1 son bord. SoientA1,A2deux copies de l’espaceD2×D2. Pouri∈ {1,2}on noteTi⊂Ai le tore pleinD2×S1 etTi0⊂Ai le tore pleinS1×D2.
Pour k∈Z, on consid`ere l’espacePk obtenu en attachantA2`a A1 avec l’application : fk: T2 −→ A1
(α, β) 7−→ (αβk, β) La projection canonique deA1qA2 surPk est not´ee π.
1. Justifier bri`evement pourquoiA1 etA2 sont des vari´et´es `a bord et pr´eciser leur bord.
2. Calculer les homologiesH∗(Ai, Ti) etH∗(Ai, ∂Ai),i∈ {1,2}.
3. Montrer quePk est une vari´et´e de bordMk =π(T10)∪π(T20).
4. Montrer que la restriction deπ `aA1 (respectivementA2) est un plongement.
On noteBi,i∈ {1,2} le sous-espaceπ(Ai).
5. Montrer queB1a un voisinage ferm´e qui se r´etracte par d´eformation forte surB1. 6. Calculer les homologiesH∗(Pk, B1), puisH∗(Pk).
7. Calculer les homologiesH∗(B1∪Mk, Mk),H∗(Pk, B1∪Mk) puisH∗(Pk, Mk).
8. CalculerH∗(Mk).
9. Etudier le probl`eme d’hom´eomorphisme (a) entre les espacesPk,k∈Z;
(b) entre les espacesMk,k∈Z,S3et S1×S2.