Centre Universitaire d´Ain Temouchent Domaine: SM
Physique 4 4
ersemestre - 2013-2014
Fiche TD 1: Equations d´Euler-Lagrange et principe variationnel
Chargé du module: Demmouche, 26.02.2014 Devoir à remettre le: 04.03.14
Rappel: Equation d´Euler-Lagrange
Pour queI=Rx2
x1 F(y, y′, x)soit extrémal, il faut que:
∂F
∂y − d dx
∂F
∂y′
= 0
Exercice 1.1: Formule de Beltrami (2P)
Monter que siF ne dépend pas dexexplicitement, l´équation d´Euler-Lagrange s´écrit
F−y′ ∂F
∂y′
=const.
Exercice 1.2: La courbe brachistochrone (3P)
Chercher la courbey(x)qui minimise le temps de la descentet donnée par:
t= Z x2
x1
s1 +y′2 2gy dx
Exercice 1.3: Extrémal d´une intégrale (3P)
Trouver la fonction y(x)qui rend extrémale la fonctionnelle
I= Z π4
0
4y2−y′2+ 8y
dx ;avec y(0) =−1, ety(π 4) = 0.