Thème 5: résolution numérique des EDP Problèmes statiques (cours 1) Problèmes dynamiques (cours 2)

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Thème 5: résolution numérique des EDP Problèmes statiques (cours 1) Problèmes dynamiques (cours 2)

Université Pierre et Marie CURIE MNCS

Méthodes numériques et calcul scientifique

19 et 26 mars 2013

(2)

Sommaire

1 Introduction Exemples d’EDP Généralités

Conditions aux limites

Problèmes statiques et dynamiques

2 Exemple de problème statique : résolution numérique de l’équation de Laplace

Discrétisation du problème

Reformulation vectorielle de la solution Solution du problème

3 Problèmes dynamiques

Discrétisation de l’espace et du temps

Algorithme explicite du premier ordre en temps Algorithme implicite du premier ordre en temps Algorithme de Crank–Nicholson

4 Équation des ondes

(UPMC) Thème 5 : Résolution numérique des EDP 19 et 26 mars 2013 2 / 57

(3)

Sommaire

(4)

Sommaire

(5)

Sommaire

(6)

Introduction

Sommaire

2 Exemple de problème statique : résolution numérique de l’équation de Laplace Discrétisation du problème

(7)

Introduction

Contexte

Les équations aux dérivées partielles (EDP) interviennent dans la

description de très nombreux problèmes de physique, chimie, sciences de la Terre, biologie : mécanique des fluides, propagation des ondes,

électromagnétisme, phénomènes de diffusion ...

Nous nous limitons dans tout ce qui suit à des EDP relatives à un champ scalaire u(#–r,t). Les généralisations vectorielles sont bien sûr possibles, et techniquement analogues.

Les exemples d’EDP scalaires les plus connues :

1 L’équation des ondes

2 L’équation de Schrödinger

3 L’équation de diffusion

4 Les équations de Poisson et de Laplace

(8)

Introduction Exemples d’EDP

Équation des ondes

L’équation des ondes ou « de d’Alembert » :

∂²u

∂t² −c² ∆u= 0 (1)

u=u(#–r,t) champ scalaire (ex. pression dans le cas du son).

c : constante, vitesse de propagation des ondes.

∆: Laplacien scalaire :

∆ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² en 2 dimensions (2)

(9)

Équation de Schrödinger

L’équation de Schrödinger : i∂u

∂t =−1

2∆u+V u (3)

fonction d’onde d’une particule massive dans un potentiel V.

Elle représente aussi la propagation d’une onde harmonique à la limite paraxiale, dans un milieu de permittivité =n² =V + 1.

(10)

Équation de la diffusion

L’équation de diffusion

∂u

∂t +div#–

J = 0 avec #–

J =−Dgrad(# – u)

J#–: flux deu par unité de surface, D : coefficient de diffusion (m²s⁻¹) CasD =cste :

∂u

∂t =D∆u (4)

Cette équation décrit :

les transferts de chaleur par conduction dans un milieu continu, elle est alors appeléeéquation de la chaleur etu ≡T et D≡λ/Cp. la diffusion des particules d’un fluide dans un autre (équation de Fick).

(11)

Équations de Poisson et de Laplace

Cas particuliers : Équation de Poisson, Équation de Laplace.

Limite : dépendance en temps supprimée / remplacée par dépendance harmonique.

L’équation de Poisson

∆u=ρ

est en électrostatique celle qui régit le potentiel Φ(#–r)créé par la densité de chargesρ(#–r).

Équation de Laplace : ρ= 0 :

∆u= 0 Solution stationnaire de l’équation de la chaleur.

(12)

Introduction Généralités

Équations elliptiques/paraboliques/hyperboliques

Étude théorique des EDP : vaste domaine en mathématiques.

EDP linéaires (du second ordre) classées selon la forme des coefficients devant les dérivées partielles :

Équation hyperbolique : équation de d’Alembert 1-D Équation parabolique : diffusion ou Schrödinger

Équations elliptiques : équations de Laplace, Poisson, Helmholtz Propriétés mathématiques différentes −→méthodes numériques spécifiques.

(13)

Introduction Conditions aux limites

Conditions aux limites

L’équation est vérifiée dans un domaine D de l’espace.

Problème "bien posé" −→ conditions aux limites.

Deux types de conditions : Dirichlet:u imposé sur∂D.

Neumann :grad# –u.#–n imposé sur∂D.

Robin: plus général, combinaison linéaire des deux.

Cas général: Conditions mixtes, i.e. différentes sur différentes parties de∂D.

Exemple, équation de la chaleur.

Dirichlet⇔ parois isothermes (imposent la température) Neumann ⇔parois adiabatiques (transfert de chaleur nul)

(14)

Introduction Problèmes statiques et dynamiques

Problèmes statiques et dynamiques

Pour la résolution numérique : distinction de deux classes de problèmes : Problèmes dynamiques : déterminer u(#–r,t) dansD sur un intervalle de temps.

CL spatio-temporelles : CI : u(#–r,t = 0)+ CL :u(#–r =·,t)

Problèmes statiques : détermineru(#–r) en fonction des CL (pas de temps explicite).

Peut correspondre à un régime stationnaire atteint après un temps d’évolution assez long.

(15)

Problèmes statiques

1 - Problèmes statiques: solution d’une EDP où le temps n’intervient pas.

Exemple : Solution d’équilibre de l’équation de diffusion lorsquet → ∞.

Équation de Laplace

∆T = ∂²

∂x² + ∂²

∂y²

! T = 0

(16)

Problèmes dynamiques

2 - Problèmes dynamiques :

Deux méthodes simples seront exposées et analysées sur l’exemple de l’équation de diffusion à 1-D :

∂u

∂t =D ∂²u

∂x² (5)

avec diverses conditions initiales.

(17)

Un problème statique : l’équation de Laplace

Sommaire

(18)

Résolution de l’équation de Laplace

Objectif : solution numérique approchée de∆T = 0à l’in- térieur de D.

Simplification : D rectangu- laire, de côtés∆x et ∆y.

x

y

∆y

∆x

A l'intérieur T(x,y) inconnue vérifiant ∆T=0 Surlebord:T(x,y)connue

Figure1 : Géométrie du problème de l’équation de Laplace : noter le

choix inhabituel de l’orientation des axesxety.

(19)

Exemple de carte d’isothermes

CL Dirichlet

1 3 2 4 5 6 7 8 9 11 10 1312 1614 18 0

5

10

15

20

0 5 10 15 y 20 25

x

0C˚ 10C˚

20C˚

Figure2 : Exemple de solution dans le cas où une paroi est maintenue à20^◦C, une autre adjacente est à 10^◦C et les deux autres parois sont àT= 0^◦C. Les lignes indexées de 1 à 18 représentent les isothermes.

(20)

Un problème statique : l’équation de Laplace Discrétisation du problème

Maillage du domaine D

Discrétisation du domaineD : température évaluée en un nombre fini de points. Le plus simple : grille de pas dx =dy =p

x 1 i

nl

.'..'.'.'.'.'.

1 .'.'.' j .'.'.'.'.'. nc y

∆y'=(nc+1)'p p

p (i,j')

∆x'=(nl+1)'p

Figure3 : Point de grille↔(i,j). Intérieur du domaine :i= 1→nl, j= 1→nc.

x

y

0 .'.'. j .'.'.'.'.'. nc+1

0 i

.'.'..'.'.'.'.'.

nl'+1

(i,nc+1) (0,j')

(i',j')

Figure4 : Les bords du domaine portant les conditions aux limites sont numérotés : i= 0pour le haut, i=nl+ 1pour le bas,j= 0 pour la gauche,j=nc+ 1pour la droite.

(21)

Indexation du domaine

On a à l’intérieurde la grille :

nl = ∆x/p−1 lignes horizontales.

nc= ∆y/p−1colonnes verticales

Chaque point est repéré par un couple d’indices (i,j) où le premier indice note le numéro de la ligne et le second celui de la colonne.

On noteT_i,j la température en ce point, de coordonnées x_i =i×p, y_j =j×p.

Les inconnues du problème sont les N =nl ×nc valeurs deT_i,j où 16i 6nl,16j 6nc qui seront déduites des valeurs de T_i,j aux bords (pouri = 0 oui =nl + 1,j = 0 ouj =nc+ 1).

(22)

Différences finies

Les dérivées partielles sont approchées par des différences finies, basées sur des développements de Taylor. Le développement de Taylor :

T(x±p,y) =T(x,y)±p∂T

∂x +p² 2

∂²T

∂x² ± p³ 3!

∂³T

∂x³ +Op⁴ (6) montre que :

T(x+p,y) +T(x−p,y) = 2T(x,y) +p² ∂²T

∂x²(x,y) +Op⁴ (7) d’où :

∂²T

∂x² (x,y) = T(x+p,y) +T(x−p,y)−2T(x,y)

p² +Op² (8)

ce qui conduit à :

∂²T

∂x²(x_i,y_j) = T_i+1,j+T_i−1,j−2T_i,j

p² +Op² (9)

dont la précision est du deuxième ordre enp.

(23)

Différences finies (suite)

obtention alternative :

∂T

∂x(x± p

2,y)≈ ±T(x±p,y)−T(x,y)

p (10)

qui conduit à :

∂²T

∂x²(x_i,y_j)≈ 1 p

∂T

∂x

x_i+p 2,y_j

−∂T

∂x

x_i −p 2,y_j

= T_i+1,j+Ti−1,j−2T_i,j

p² +Op²

(11)

(24)

Différences finies (suite)

On obtient ainsi le Laplacien discrétisé :

∆T_i,j = T_i+1,j+T_i−1,j+T_i,j+1+T_i,j−1−4T_i,j

p² +Op² (12)

Équation de Laplace =⇒ systèmelinéairedeN équations reliant T_i,j aux 4 points voisins :

T_i+1,j+T_i−1,j +T_i,j+1+T_i,j−1−4T_i,j = 0 (13) 2∗(nc+nl) températures connues,

N =nc∗nl valeurs à déterminer.

(25)

Un problème statique : l’équation de Laplace Reformulation vectorielle de la solution

Réindexation 1-D (matrice aplatie)

Ré-indexation des points intérieurs : k= (i−1)nc+j.

T_i,j ⇐⇒Z_k

x 1

j 1W nc

i

2

k=(i–1)nc+j 2nc

nl_×nc nc+1

y 1N

1S

2E

Ouest

Nord

Sud

Est

Figure 5 : Renumérotation des points de grille pour représenter la solution sous la forme d’un vecteur : le domaine est ré-indexé ligne par ligne de la gauche vers la droite et de haut en bas.

(26)

Formulation vectorielle

Pour un point intérieur au domaine, l’équation (13) s’écrit :

Zk−nc+Zk−1−4Zk+Z_k+1+Z_k+nc = 0 (14) Absence de bord : système homogène conduisant à une température uniforme.

Bords de température imposée =⇒termes de bords dans les équations.

Possibilité de réécrire le système d’équations sous la forme :

A Z=B (15)

où A est une matrice carréeN ×N comportantnl×nl blocs carrés de dimension nc×nc, du type :

(27)

Matrice L

₂_D

L2D=







−4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1−4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1−4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1−4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1−4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1−4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1−4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1−4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1−4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1−4

←−−−nc−−−→ ←−−−nc−−−→ ←−−−nc−−−→





 x



 y

nl blocs de taille nc×nc

Chaque ligne et chaque colonne contient 5 termes non-nuls comme (14) le prévoit, sauf celles de numéro ncet nc−1, où apparaissent les0.

(28)

Sens de parcours et influence des bords







-4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4

←−nc−→ ←−nc−→ ←−nc−→ ←−nc−→ ←−nc−→





 x



 y

nlblocsdetaillenc×nc

(29)

Le vecteur B résultant des CL

B est un vecteur à N composantes formé à partir des températures aux bords. On peut le décomposer sous la forme :

Nord Sud Ouest Est

B= −







T1N

T2N

.. . T_{nc N}

0 .. . .. . 0 0 .. . .. . 0







−







0 .. . .. . 0 0 .. . .. . 0 T1S

T2S

.. . T_{nc S}







−







T1W

0 .. . 0 T2W

0 .. . 0 Tnl W

0 .. . 0







−







0 .. . 0 T_1E

0 .. . 0 T2E

0 .. . 0 T_{nl E}







alias bk=(i−1)nc+j=−(δ_i,1Ti−1,j+δi,ncTi+1,j+δj,1Ti,j−1+δj,nlTi,j+1) (16)

(30)

Un problème statique : l’équation de Laplace Solution du problème

Solution du système linéaire

Plusieurs méthodes permettent de résoudre le système linéaire (15), par exemple :

1 Les méthodes les plus générales de résolution numérique des systèmes linéaires, telles que la méthode d’élimination de Gauss-Jordan, la décomposition « LU »¹;

2 Des méthodes adaptées au cas oùA est une matrice « creuse ».

3 Des méthodes de relaxation qui s’apparentent, dans le cas d’une équation telle que l’équation de Laplace, à la résolution temporelle de l’équation de la chaleur.

4 L’utilisation des transformées de Fourier.

1. La factorisation « LU » exprime la matrice comme produit d’une matrice triangulaire inférieure (Lower) par une matrice triangulaire supérieure (Upper).

(31)

Méthode de relaxation

Méthode de relaxation: méthode itérative, basée sur AZ=B.

Décomposition parties diagonale/non-diagonale : A=D+N Recherche d’une solution de l’équation DZ=−(NZ−B).

Solution = point fixede l’application Z7→ −D⁻¹(NZ−B) Calcul par récurrenceen partant d’une valeur quelconque Z⁰ :

Zⁿ⁺¹ =−D⁻¹ N Zⁿ−B= N Zⁿ−B/4

Convergence : Zⁿ⁺¹−Z= ^N₄(Zⁿ−Z) avec les valeurs absolues de N toujours inférieures à 4.

Méthode aisée à coder et bien adaptée aux géométries complexes.

(32)

Résolution du système linéaire à l’aide de Lapack

Méthodes générales (Gauss-Jordan, LU) ∝N³ opérations.

Ici : au plus 5 coefficients non nuls par ligne =⇒exploitation du caractère

«creux» de la matrice : N opérations.

utilisation de Blas/Lapack : Matrices générales :xGESV

−L_2D définie positive : xPOSV Symétrique : xSYSV

matrice bande :xSBSV (amélioration significative) Toutes ces propriétés :xPBSV

(33)

Stockage bande

Fonctions pour matrices bandes =⇒stockage spécifique de la matrice :

«stockage bande». Ne fournit que les sur- et sous-diagonales significatives à la procédure.

Deux possibilités :

Écriture directe de la matrice contenant les diagonales Écriture de la matrice complète puis « conversion ».

(en C : procédurematfull2band fournie)

♣

♠

♥

♦

♦ Matrice bande n=6 ku=1

kl=2

Stockage bande (kl+ku+1)×n

(34)

Problèmes dynamiques

Sommaire

(35)

Introduction aux problèmes dynamiques

Problèmes dynamiques :

Evolution temporelle à partir d’un état d’équilibre Phénomènes de propagation

Caractéristiques : Conditions initiales

Conditions aux limites (peuvent dépendre du temps)

=⇒ système forcé : transitoire puis régime permanentν ≈νforce

Equation de la chaleur, une dimension spatiale.

(36)

Équation de diffusion 1-D

Équation de diffusion à 1-D :

∂u

∂t =D∂²u

∂x² (17)

domaines spatial x∈[0,L], et temporel t ∈[0,T] Conditions Initiales (CI) : u(x,0) =u₀(x) ∀x

Conditions aux Limites (CL) :u(0,t) =u_g(t) et u(L,t) =u_d(t) ∀t N.B. : espace et temps ont un rôle dissymétrique :

CL/CI

Degré différent des dérivées partielles D=cste>0

(37)

Problèmes dynamiques Discrétisation de l’espace et du temps

Discrétisation du domaine

Il faut discrétiser les deux dimensions :

Espace : [0,L]est divisé en n_x + 1pas de largeurδx= _n_x^L₊₁. Temps : [0,T]est subdivisé en n_t+ 1pas de largeurδt = _n^T

t+1. u_jⁿ ⇐⇒u(x,t) pour x=jδx ett =nδt

CL =⇒u₀ⁿ ≡uⁿ_g et u_nⁿ

x+1 ≡u_dⁿ ∀n.

CI=⇒u_j⁰ pour1≤j ≤n_x.

Methode de résolution fondamentalement explicite:u_jⁿ + CL =⇒u_jⁿ⁺¹.

(38)

Problèmes dynamiques Discrétisation de l’espace et du temps

Différences finies

Laplacien (cf. régimes stationnaires) :

∆u≈ u_j+1ⁿ −2u_jⁿ +u_j−1ⁿ (δx)²

Dérivée ordre 1 par rapport au temps — au choix : vers l’avant, impliquant(u_jⁿ⁺¹−uⁿ_j)/δt vers l’arrière, avec (u_jⁿ−u_jⁿ⁻¹)/δt ou centrée avec(u_jⁿ⁺¹−uⁿ⁻¹_j )/2δt

Choix détermine l’ordre de l’évaluation en δt, mais surtout le caractère explicite ouimplicitede la méthode.

(39)

Problèmes dynamiques Algorithme explicite du premier ordre en temps

Système d’équations linéaires

Approche simpliste : dérivée vers l’avant u_jⁿ⁺¹−u_jⁿ

δt =D

u_j+1ⁿ −2uⁿ_j +u_j−1ⁿ (δx)²

pour 16j 6n_x (18) Semblable à méthode d’Euler explicite (progressive).

Paramètre caractéristique sans dimension : α= Dδt

δx² (19)

(40)

Système d’équations linéaires

On peut alors d’écrire :

u_jⁿ⁺¹=αu_j+1ⁿ + (1−2α)u_jⁿ+αu_j−1ⁿ pour 16j 6n_x (20) Caractèreexplicite :u_jⁿ⁺¹ obtenus directement en fonctions desu_kⁿ. Pour j = 1,n_x :uⁿ_j−1,u_j+1ⁿ n’existent pas=⇒condition de bord.

Note : équivalent à méthode de relaxation (α = 1/2).

(41)

Schéma de progression explicite

Figure6 : Schéma illustrant la progression d’un pas de temps avec l’algorithme explicite du premier ordre enδt.

(n+1) δt n δt

0(j− 1) δx j δx

(j +1) δx

(n_x+1) δx x t

(42)

Formulation matricielle

Vecteur Uⁿ = (u₁ⁿ, . . . ,u_nⁿ

x)des solutions à t =nδt pour les n_x points intérieurs

Le système d’équations linéaires prend la forme : Uⁿ⁺¹=M(−α)Uⁿ+αVⁿ⁺¹ , Vⁿ = (u_gⁿ,0, . . . ,0,u_dⁿ) : vecteur des conditions aux limites,

M(−α) =¹1+αL_1D où L_1D est la matrice tridiagonale représentant la dérivée seconde à une dimension :

L1D=







−2 1 0 · · · 0 1 −2 1 . .. ... 0 . .. . .. . .. 0

..

. . .. . ..−2 1 0 · · · 0 1 −2







−→ M(−α) =







1−2α α 0 · · · 0 α 1−2α α . .. ... 0 . .. . .. . .. 0

..

. . .. . ..1−2α α 0 · · · 0 α 1−2α







(21)

(43)

Stabilité

Problème important : stabilitéou instabilitéde la méthode.

Celle que nous venons de proposer donne pour un pas de temps « un peu trop grand » :

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 20 40 60 80 100 120 140

1pas 2pas 4pas 6pas 8pas 10pas 12pas 14pas

α=1.2

Figure 7 : Résolution explicite avecα= 1.2.

(44)

Analyse de stabilité de Fourier–von Neumann

Stabilité d’une onde stationnaire :

u(x,t) =A(t) sin(kx) ⇒ u_jⁿ =A⁽ⁿ⁾sin (kjδx) , (22) solution exacte pour les conditions de Dirichlet u_g =u_d= 0, si k=pπ/L et que A(t)vérifie l’EDO : dA/dt=−Dk²A(t)

Méthode explicite :

A⁽ⁿ⁺¹⁾−A⁽ⁿ⁾

A⁽ⁿ⁾ = ^A_A⁽ⁿ⁺¹⁾(n) −1 =α e^ikδx −2 +e^−ikδx=−4αsin²^kδx₂ . suite géométrique de raisonθ réelle : A⁽ⁿ⁾=A₀θⁿ, avec :

θ= 1−4αsin²^kδx₂ (23) Stabilité =⇒ −16θ61et donc α61/2.

(45)

Stabilité : Lien avec le spectre de L

₁_D

Lap-ième valeur propre de la matrice L_1D, en dimensionn, s’écrit en fonction deβ =π/2(n+ 1) =πδx/2L :

valeur propre : −4 sin² pβ ; vecteur propre : u_m^(p)= sin m pβ On en déduit celles de la matrice M(−α) :

M(−α) =¹1+αL_1D −→ 1−4αsin² ^p_2L^πδx.

La condition de stabilité traduit donc simplement le fait que ces valeurs propres sont de module inférieur à 1.

En termes de relation de dispersion, cette analyse revient à constater que la relation iω=Dk² déduite de l’équation de la diffusion est remplacée par :

2isin ^ωδt₂ exp(−i^ωδt₂ = 4α sin² ^kδx₂ (24) qui n’a de solution ω à partie imaginaire négative (stable) que si 4α62. Avant d’aller plus loin dans l’analyse numérique, voici quelques exemples.

(46)

Exemple : Diffusion d’une distribution en « marche »

0 20 40 60 80 100 120

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Diffusion d’une marche

position (x)

u(x,t)

Figure8 : Diffusion d’une marche

(47)

Exemple : Diffusion d’une superposition de 2 modes

0 20 40 60 80 100 120

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

Rôle de la longueur d’onde sur la diffusion

position (x)

u(x,t)

Figure 9 : Amortissement de deux modes

(48)

Problèmes dynamiques Algorithme implicite du premier ordre en temps

Solution au problème de stabilité : méthode rétrograde

Algorithme explicite simple, mais requiert de très petits pas...

Solution : algorithme implicite(cf. EDO) : dérivée temporelle "vers l’arrière".

u_jⁿ⁺¹−u_jⁿ

δt =D

"

u_j+1ⁿ⁺¹−2u_jⁿ⁺¹+u_j−1ⁿ⁺¹ (δx)²

#

(25)

=⇒ système den_x équations linéaires :

−αu_j−1ⁿ⁺¹+ (1 + 2α)u_jⁿ⁺¹−αu_j+1ⁿ⁺¹ = u_jⁿ pour j ∈[1,n_x] (26)

Méthode similaire à Euler implicite (rétrograde).

(49)

Schéma de progression implicite

Figure10 : Schéma illustrant la

progression d’un pas de temps avec l’algorithme implicite du premier ordre enδt.

(n+1) δt n δt

0(j− 1) δx j δx

(j +1) δx

(n_x+1) δx x t

u_jⁿ⁺¹ u_jⁿ

(50)

Formulation matricielle

Ce système peut être écrit de façon matricielle sous la forme : M(α)Uⁿ⁺¹=Uⁿ+αVⁿ⁺¹

avec les mêmes notations que précédemment, et notamment :

M(α) =11⁻αL1D=







1+2α-α 0 · · · 0 -α . ... ... .. ... 0 . ... ... .. 0 ..

. . ... ... .. -α 0 · · · 0 -α1+2α







(27)

M tridiagonale mais M⁻¹ matrice dense=⇒u_jⁿ⁺¹ dépend de tous les autres éléments, mais d’autant moins lorsqu’ils sont éloignés.

Lorsqueα→0, M(α)⁻¹ →M(−α) : on retrouve l’algorithme explicite.

(51)

Stabilité de l’algorithme implicite

Analyse Fourier — Von Neumann : modes propres ∝A(t) sin(kx).

Suite géométrique de raison :

θ= 1

1 + 4αsin²^k₂^δx

Alogorithme implicite inconditionnellement stablequelque soitδx, δt : on obtient toujours la bonne solution d’équilibre.

Toutefois, approximation du premier ordre en δt : description précise de la solution transitoire nécessite un pas de temps petit.

(52)

Problèmes dynamiques Algorithme de Crank–Nicholson

Principe de l’algorithme de Crank–Nicholson

Objectif : accroître la précision =⇒ améliorer l’approximation en différences finies de _∂^∂

t.

Même stratégie que « Euler modifié » (cf. EDO) : moyenne des deux algorithmes.

u_jⁿ⁺¹−uⁿ_j

δt = D

2

"(u_j+1ⁿ⁺¹−2u_jⁿ⁺¹+u_j−1ⁿ⁺¹) + (u_j+1ⁿ −2u_jⁿ+u_j−1ⁿ ) (δx)²

#

Approximation du deuxième ordre enδt et δx.

(53)

Schéma de progression de Crank–Nicholson

Figure11 : Schéma illustrant la progression d’un pas de temps avec l’algorithme de

Crank–Nicholson.

(n+1) δt n δt

0(j− 1) δx j δx

(j +1) δx

(n_x+1) δx x t

u_jⁿ⁺¹

u_jⁿ

(54)

Stabilité de l’algorithme de Crank–Nicholson

Etude de stabilité Von Neumann : décroissance géométrique des modes : θ= 1−2αsin²^k₂^δx

1 + 2αsin²^k₂^δx (28) ce qui permet de montrer que cet algorithme est lui aussi

inconditionnellementstable (i.e.quel que soit le choix de δt).

(55)

Formulation matricielle

Système d’équations linéaires à résoudre (j ∈[1,n_x]) :

−α

2u_j−1ⁿ⁺¹+ (1 +α)u_jⁿ⁺¹−α

2u_j+1ⁿ⁺¹ = α

2u_j−1ⁿ + (1−α)uⁿ_j +α

2u_j+1ⁿ (29) Ce système peut être écrit de façon matricielle sous la forme :

M α

2

Uⁿ⁺¹=M −α

2

Uⁿ+α 2

hVⁿ+Vⁿ⁺¹ⁱ (30) avec les mêmes notations que pour les deux autres algorithmes.