Graphe régulièrement décomposable

REVUE FRANÇAISE D’INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

M. C ^HEIN

Graphe régulièrement décomposable

Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle, tome 2, n^oR1 (1968), p. 27-42

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R.LR.O.

(2e année, N° 7, 1968, p. 27-42)

GRAPHE REGULIEREMENT DEGOMPOSABLE

par M. CHEIN (*)

Résumé. — On introduit dans cet article la notion de graphe régulièrement décomposable.

Un algorithme de reconnaissance des graphes régulièrement décomposables est proposé à partir de la démonstration de deux propriétés caractéristiques.

On montre ensuite comment cette nouvelle notion permet notamment :

— d'étudier simplement, sans utiliser le théorème de Menger, les graphes inarticulés ;

— de simplifier la recherche de toutes les décompositions dïun graphe connexe en k sous- graphes connexes.

La notion de graphe régulièrement décomposable permet :

— de retrouver simplement (sans utiliser le théorème de Menger de démons- tration délicate [4]) les propriétés caractéristiques habituelles des graphes inar- ticulés (sans charnière),

— de simplifier la recherche de toutes les décompositions d'un graphe connexe en k sous-graphes connexe.

1. — GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 1. — Définitions

1.1. — R étant un graphe connexe de m sommets (au a2, ..., am) nous appel- lerons hypercoupure de R toute bipartition (A; A') de l'ensemble des sommets.

Une hypercoupure est dite simple si les deux sous-graphes engendrés par A et A' sont connexes. L'ensemble des hypercoupures muni de l'opération © définie par (A; A') ® (B; Bf) = (A Ci B') U {A! H B); (A n B) U (A' H £')) est un groupe abélien qui admet notamment pour système générateur l'ensemble des hypercoupures simples (HS) (voir [3] et [5]).

(1) Laboratoire de Calcul de Grenoble.

28 M. CHEIN

1.2. — Un graphe connexe R de m sommets est dit régulièrement décom- posable si on peut ordonner ses sommets de telle sorte que :

(axa2 ;.-.) . soient des hypercoupures simples (HS) de R (ax ...^m_! ;am)

Voir [5].

1.3. — Étant donné une décomposition CRt)»=i,2,...,fc d'un graphe connexe R en k sous-graphes connexes obtenue en supprimant certaines arêtes {graphe partiel ayant k composantes connexes) on appelle graphe condensé associé à la décomposition, le graphe ayant R{ pour sommets, Rt et Rj étant liés si au moins un sommet de Rt est lié à un de Rj.

1.4. — La puissance d'un sous-graphe est égale au nombre de composantes connexes engendrées lorsqu'on le supprime.

1.5. — Une charnière c sépare deux sommets, s'ils sont dans des compo- santes connexes distinctes lorsqu'on supprime c.

1.6. — Un graphe connexe R de m sommets est dit totalement décompo- sable si quel que soit k < m on peut trouver un graphe partiel pq+l ayant (cùi^i,...,«+i pour composantes avec :

r < k m = k* q + r

plus généralement si E est un ensemble d'entiers 0 < e < m | R est dit E-décom- posable s'il vérifie la propriété ci-dessus quel que soit e € E.

2. — Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe soit régu- lièrement décomposable

Théorème 1

Une CNS pour qu'un graphe connexe R soit régulièrement décomposable est quJil existe un couple de sommets (#, b) tel que : quel que soit m&Ril existe une chaîne élémentaire (amb).

La condition est nécessaire. En effet supposons que R soit régulièrement décomposable entre les sommets (a, b) et qu'il existe m € R tel qu'il n'existe pas de chaîne élémentaire (amb). Considérons la liste des HS :

{oc ;... b)

(ac... m... ; b)

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 29

le sous-graphe engendré par le 1er membre de H est connexe il existe donc une chaîne élémentaire (am) = (x, soit d un élément du 2e membre de H adjacent à m il existe une chaîne élémentaire (db) = v constitué uniquement d'éléments du 2e membre de H : \iv est une chaîne élémentaire de R joignant a à b en passant par m il y a donc contradiction.

La condition est suffisante : soit (a, b) un couple satisfaisant à la condition.

1) (a; ...) est une HS sinon : soient C1 et C2 deux composantes connexes engendrées par la suppression de a, Cx contenant b par exemple. Si m est un sommet de C2 il n'existe pas de chaîne élémentaire (amb) il y a donc contra- diction (fig. 1).

a

Figure 1

2) Considérons une hypercoupure simple H = (a... ;... b) nous allons

Cl C2

montrer qu'il existe a e C2 et adjacent à un élément de Cx tel que l'on puisse joindre tout élément ceC2kb dans C2 sans passer par a, c'est-à-dire que Fhy- percoupure (Qoc; C2 — a) est simple.

Considérons a € C², adjacent à C^x avec rf^C2(a, è) maximum (d^C2(x, y) représentant la longueur d'une plus courte chaîne de C2 joignant x à y).

Si toutes les chaînes joignant c à b dans C² passent par a il existe une chaîne jx = (ac) qui ne passe pas par a puisque, par hypothèse, il existe une chaîne élémentaire {acb). Soit ce' le premier sommet de C2 sur \L = (ac), on note v la sous-chaîne (oe'c) de \i. Il existe une chaîne de C2 £ = (a'ô) qui ne passe pas par a sinon rfC3(a'£) > dC2(a> 6) d °n c v£ e s t u n^ chaîne de C2 qui joint c k b sans passer par a.

3) A partir de l'hypercoupure simple (a; ... b), (2) nous permet de construire une liste d'hypercoupures simples satisfaisantes.

Propriété 1

Si un graphe est régulièrement décomposable il a au plus deux sommets pendants [qui sont les sommets (a, b) entre lesquels le graphe est régulièrement

décomposable].

Figure 2

3 0 M. CHEIN

En effet, il n'existe pas de chaîne élémentaire (xay) quels que soient x, y € Rx # a et y ^ a. Si nous supposons que x = a par exemple il n'existe pas de chaîne élémentaire (aby) quel que soit y € Ry # b, si y = b il n'existe pas de chaîne élémentaire (<zc2>) (fig. 2).

Propriété 2

S* un graphe a une charnière de puissance ^ 3 il n'est pas régulièrement décomposable.

En effet il n'existe pas de chaîne élémentaire {abc) par exemple

Vc € R3 (fig. 3).

R3

Figure 3

3. — Graphe sans charnière (inarticulé) Théorème 2

Un graphe connexe est sans charnière si et seulement si il est régulièrement décomposable à partir de tout couple de sommets.

La condition est nécessaire : si R a une charnière c engendrant les compo- santes connexes Cu C2, ». (c; ...) n'est pas une hypercoupure simple donc R n'est régulièrement décomposable à partir d'aucun couple contenant c.

La condition est suffisante :

Nous allons construire une liste de HS satisfaisantes à partir d'un couple quelconque (a, b)* (a; ... b) est simple puisque le graphe est sans charnière, nous raisonnons par récurrence sur le nombre d'éléments dans le 1er membre.

Supposons que {aax ... ar ;... b) = H soit simple et notons Cx et C2 les sous-

C i C%

graphes connexes engendrés par les deux membres de H. On note (è;)iejr les éléments de C2 adjacents à au moins un élément de Ct et ^ b (fig. 4).

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 31 Nous raisonnons par l'absurde en supposant qu'il n'existe aucun bt tel que (a ... arbt ; ... b) soit simple).

Cl

Figure 4

Si (a ... arb± ; ... b) n'est pas simple (a ... ar ; bt ... b) étant simple ceci

Ci Ci

entraîne que bx est une charnière de C2 dont la suppression détermine au moins 2 composantes connexes Cx et C2 (fig. 5),

Figure 5

Dans ex et C2 il existe au moins un bt sinon b± serait charnière de R ce qui est contraire à l'hypothèse. Si b e G2 par exemple le nombre de bt € Gx

est strictement inférieur au nombre de bt éléments de C2, s'il n'existe pas de bk

tel que (Cxbk\ ...) soit simple ce nombre de bt deviendra nul et le dernier bt

considéré sera une charnière de R ce qui est contraire à l'hypothèse.

Théorème 3

Un graphe R est sans charnière si et seulement si quels que soient trois som- mets a, b, c de R il existe une chaîne élémentaire (abc).

Évident d'après les théorèmes 1 et 2.

32 M. CHEÏN

REMARQUE

La démonstration des théorèmes 1 et 2 n'a pas nécessité l'utilisation du théorème de Menger (voir [4] p. 192) nous pourrons ainsi retrouver toutes les propriétés habituelles des graphes sans charnière sans utiliser le théorème de Menger qui est de démonstration délicate.

Nous démontrons, à titre d'exemple, la propriété suivante des graphes sans charnière :

Propriété

Par deux sommets quelconques d'un graphe sans charnière il passe un cycle élémentaire.

En effet soit a, b € R supposé sans charnière. Considérons un sommet c adjacent à a, d'après le théorème 2 il existe une chaîne élémentaire (abc) = [x donc un cycle élémentaire passant par a, b qui est égal à {i suivi d'une arête joignant c h a.

On trouve dans [1] la démonstration directe de :

Si par deux sommets quelconques d'un graphe il passe un cycle élémentaire alors par deux arêtes quelconques il passe un cycle élémentaire.

4* — Propriété des charnières d'un graphe régulièrement décomposable Lemme

Si trois sommets au a2, m d'un graphe connexe sont tels quHl n'existe pas de chaîne élémentaire (a1ma2) alors il existe une charnière c de R séparant (ai9 a2) et m.

R'

- 1 - - 2 - - 3 -

En effet : les sommets al9 a2, m ne sont pas dans un même sous-graphe connexe sans charnière. Si R n'a qu'une charnière c elle fractionne donc (a^m) c'est-à-dire que Ton a l'un des 3 cas suivants de la figure 6.

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 3 3

Le théorème est alors vrai car dans le cas 1, c sépare (a1a2) et m. Dans les cas 2 et 3 il existe une chaîne élémentaire (a^xma²). Supposons que le théorème soit vrai lorsque R a au plus k charnières et considérons un graphe de k + 1 charnières nous avons à nouveau les 3 cas de la figure 6. Dans le cas 1 le théorème est vrai, dans le cas 2 (idem pour 3) s'il n'existe pas de chaîne élé- mentaire (atma2) c'est qu'il n'existe pas de chaîne élémentaire (a^rnc) or le graphe R'ak charnières on peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence il existe une charnière c' de R' séparant (a^c) de m mais alors c' sépare bien (a1a2) et m dans R.

Théorème 4

Un graphe connexe sans charnière de puissance ^ 3 est régulièrement décom- posable entre a et b si et seulement si toutes ses charnières séparent a et b.

La condition est nécessaire :

Supposons qu'il existe une charnière c de R ne séparant pas a et b : il n'existe pas de chaîne élémentaire (amb) quel que soit m élément de la compo- sante ne contenant ni a ni b (fig. 7).

Figure 7

La condition est suffisante : nous allons démontrer que si toutes les charnières de JR séparent a et b il existe une chaîne élémentaire (amb) quel que soit m € R, Considérons une charnière c de R (fig. 8-1) s'il n'existe pas de chaîne élémen- taire (amb) ceci entraîne (amc) donc que le sous-graphe R' a une charnière c' séparant (ac) de m, c'est-à-dire que R' a la forme suivante (fig. 8-2).

Mais alors c' qui est une charnière de R ne sépare pas a et b ou est de puis- sance ^ 3 il y a donc contradiction (fig. 8-3). La démonstration est identique dans le cas où l'on prend m dans C2.

Les théorèmes 1 et 4 nous permettent de savoir simplement :

— si un graphe est régulièrement décomposable,

— les sommets extrêmes par rapport auxquels il est régulièrement décom- posable,

— d'obtenir une liste d'HS convenant dans le cas favorable.

34

- 3 -

Figure 8

5« — Algorithme de reconnaissance d'un graphe régulièrement décomposabie 1) Si R a plus de deux sommets pendants R n'est pas régulièrement décom- posabie sinon aller en (2).

2) S i i î a une charnière de puissance > 31| R n'est pas régulièrement décom- posabie sinon aller en (3).

3) En notant (Ci)^î€I les charnières de RQÎ (Cj, C^l2)^i€l les composantes connexes qu'elles engendrent on pose :

j = 1 ou 2

B

= n q,

j ' = 1 s i ; = 2

tout couple (a, b), a£Ak,be Bk, convient (si

| / | — n on a 2""¹ intersections à envisager).

4) Ayant un couple de sommets extrêmes la démonstration du théorème 1 nous fournit une liste d'i/S.

EXEMPLE

Les charnières sont 1, 2, 3 :

Cî=(8,9) C l - ( 2 , 3, 4, 5, 6, 7) CÎ = (69T) Ci =(1,3,4,5,8, 9) Q3-(455) Cl = (1,2, 6, 7,8, 9)

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE

il n'existe aucun couple de sommets séparés par toutes les charnières :

c[ = 0 cl n cf n cl = c\ n c\ n c\ = cl n cl ncl =

35

iei

6. — Quelques propriétés

6.1. — Si un graphe a une chaîne hamiltonienne, il est régulièrement décomposable entre les extrémités de la chaîne hamiltonienne.

Il est totalement décomposable.

En effet soit C = uxa2 ... üm une chaîne hamiltonienne du graphe toute bipartition de cette chaîne correspond.à une hypercoupure du graphe qui est donc simple. De même le graphe est totalement décomposable car toute partition de la chaîne C est une décomposition en sous-graphes connexes de R.

6.2. — Un graphe sans charnière n'est pas nécessairement totalement décomposable : Rt n'admet pas de 2-décomposition (fig. 9).

Figure 9

6.3. — Un graphe totalement décomposable n'est pas nécessairement régulièrement décomposable : R2 a une charnière de puissance 3,5, il est cepen- dant totalement décomposable : (fig. 10

et 11). ^{Figure 10}

2-décomposition 3-décomposition et 4-décomposition Figure 11

5-décomposition

36 M. CHEIN

R² : (12, 34, 56, 7) k = 2

(123, 567, 4) k = 3 (1234, 567) jfc = 4 (12567, 34) jfc = 5

6.4. — Un graphe série-parallèle entre 2 sommets a et 2> est régulièrement décomposable entre a et b.

En effet si R est série-parallèle entre a et b quelle que soit l'arête a de i£

il existe une chaîne élémentaire joignant akb et contenant a [2] donc quel que soit le sommet c de R û existe une chaîne élémentaire (acb), d'après le théo- rème 1, R est bien régulièrement décomposable entre a et b. Le théorème 2 nous permet de retrouver que toute charnière d'un graphe série-parallèle entre a et b sépare a et b, et qu'un graphe série-parallèle n'a pas de charnière de puissance > 2.

On obtient simplement des décompositions régulières d'un graphe série- parallèle entre a et b en considérant successivement les sommets à la distance 1 de a, puis 2, etc..

EXEMPLE

(a; ... 6) (al;...6) («123; ...A) (al234 ;... b) (al234567;... b) (al2... 9; 10, 11,6, (al2... 11; 6)

H. — DECOMPOSITION D'UN GRAPHE CONNEXE EN k SOUS-GRAPHES CONNEXES

1. — Borne supérieure du nombre de décompositions

Tout graphe connexe R ayant m sommets admet au moins une décomposition en k sous-graphes connexes quel que soit 1 < k < m.

En effet il existe au moins deux sommets non charnière ([4], p. 192) soit a l'un de ceux-ci (a; R — a) est une décomposition de R en 2 sous-graphes

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 37

connexes on peut recommencer k — 1 fois sur R — a puisque 1 ^ k ^ m (il existe une seule décomposition uniquement si k = m).

Considérons un graphe complet de m sommets et notons D™ le nombre de ses décompositions en k sous-graphes connexes : il est égal au nombre de A:-partitions distinctes (pas par Tordre) d'un ensemble de m objets :

q=k~l

D™ est la borne supérieure exacte du nombre de décomposition puisqu'atteinte pour un graphe complet.

En effet soit M un ensemble de m objets de (A ; B) une bi-partition de M avec \A\ = q9 m — 1 ^ q > k — 1 et \B\ = m — q il y a c% façons de choisir AGÎDI_1 décompositions possibles de A en k—1 sous-graphes connexes mais alors chaque Ar-partition sera obtenue k fois puisqu'on ne tient pas compte de l'ordre des termes.

Quelques valeurs particulières :

D\° = 5 1 1 D\ =T~^X — 1 _ 3»-i_2" + 1 5a =9

7l° - 14

2

4« _ 3(3»— y -1) — !

2. — Propriété générale

Toute décomposition en k + 1 sous-graphes connexes :

*f MTC graphe connexe G, peut être obtenue à partir de k hypercoupures simples de G, (Cj)f = i, 2,... ,kî / ^ 'f l formule suivante :

(2) P^{& + 1} = { C^1? C² - C^{i ?}..., Q - K Q U C² ... U Q . J , C[ fl C^ ... 0 Q } réciproquement, à partir de kHS(C^^i=Xt^^tk que Von peut ordonner de telle sorte que :

C[ H C2 ... n Cfc' 7^ 0 et connexe

obtient une décomposition en au moins fc+l sous-graphes connexes de G.

38 M. CHEIN

Démonstration

N o u s raisonnons p a r récurrence sur k sur le graphe condensé associé à la décomposition. Si k = 1 la propriété est vraie : en effet une HS de G, dif- férente de G, définit bien u n e décomposition e n 2 sous-graphes connexes.

Supposons la propriété vraie quel que soit p ^ k et soit :

A + i = { Au A2y..., Ak+1 } une décomposition de G en k + 1 sous-graphes connexes. N o t o n s Gc le graphe condensé associé à ?H 1.

Il existe a u moins u n élément At de Gc tel que Gc — Ai soit connexe sup- posons, p a r exemple, que ce soit Ak+V La partition pk = { At, A2y ..-, A } de G — Ak+1 peut être obtenue à partir de k—1 HS de G — Ak + 1 : ( Ci) i = i). . . , k - i si c^s hypercoupures sont également simples dans G :

A: —

o n a f e üTS de G qui détermine / ^ x p a r (2). Si Ct est n o n simple dans G, Ak+ x

n'est adjacent qu*à des éléments de C% donc ( C ^f c + 1; C*) est simple dans G.

Si / est le plus petit indice / = 1,2, ..., k — 1 tel que Cf ne soit pas simple, la liste d'HS de G est :

Ht = î < /

Hi+i = Ak+lC

TT [ Ak+1Ct si Q n?est p a s s i m p l e d a n s G . [ C,- autrement

II est facile de vérifier que l ' o n obtient bien Pk+i avec (2).

REMARQUES

U n grand n o m b r e de suites distinctes d'hypercoupures simples satisfaisant à la condition précédente p o u r r o n t donner la même décomposition. P a r exemple p o u r u n e décomposition en 3 (fig. 12).

C2 "C1

D

Figure 12

(c

c

- c

c

n ci) = (Ci, ci - cf

c

n c

) =

a

- c

c

n c[) - (c

ci - c

c[ n ci) - (c

c

n ci, c{ n cj)

pour Â: > 2 il est difficile de savoir si deux suites distinctes conduiront aux mêmes décompositions ce qui fait que l'utilisation de (2) est rapidement limitée par le nombre de HS de G et par fe.

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 39 3. — Propriété des décompositions ayant un graphe condensé régulièrement

décomposable

Nous dirons que k HS, (Cj)i=:1 fc, forment une chaîne si on peut les ordonner totalement par inclusion.

Toute décomposition en k + 1 sous-graphes connexes ayant un graphe condensé régulièrement décomposable peut être obtenue par (3),

k

étant une chaîne de kHS avec I I C; 7^ G : (3)

avec CjC cJ + 1

— { C1( C2 — Cu ...,

1 = 1

En efifet si le graphe condensé a pour ensemble d'hypercoupures simples : (a ;...&)

;... i) (aax ...aft_!,

on prend

= a

C2 —

REMARQUE

Un graphe régulièrement décomposable peut conduire à une décomposi- tion n'ayant pas un graphe condensé associé régulièrement décomposable (fig. 13).

Figure 13 R est sans charnière

Nous scindons le problème initial en 2 :

a) étude des décompositions ayant un graphe condensé régulièrement décomposable,

b) étude des autres décompositions.

40 M. CHEIN

La condition pour une suite de HS d'être une chaîne est beaucoup plus restrictive que la condition de la propriété générale (2). Il n'y a pas de test de connexité à faire sur le dernier terme qui est égal à C'k : ces raisons font que l'étude des décompositions ayant un graphe condensé associé régulièrement décomposable est moins compliquée que les autres.

Pour étudier les autres décompositions il est inutile de chercher tous les graphes connexes de k sommets non régulièrement décomposables en effet les HS d'un graphe partiel sont des HS du graphe. Le seul arbre régulièrement décomposable étant la chaîne on part d'un arbre à k éléments (différent de la chaîne) et on construit les graphes non régulièrement décomposables en lui rajoutant des arêtes.

Le seul arbre ayant 3 éléments est la chaîne : il n'y a pas de décomposition du type b). Toutes les décompositions en 3 sous-graphes connexes d'un graphe connexe s'obtiennent par la formule simple (3).

ifc = 4

Le seul arbre différent de la chaîne est

I

On voit facilement que c'est le seul graphe de 4 éléments non régulièrement décomposable. Pour les décompositions du type b) il suffira d'étudier les ensembles de 3HS, Au A3, A3 telles que :

les Ai n'étant pas liés entre eux.

k = 5

Deux arbres sont différents de la chaîne

^ x * * K

un autre graphe est non régulièrement décomposable

r

H-

GRAPHE REGULIEREMENT DECOMPOSABLE 41 On peut encore étudier simplement les décompositions du type b) :

— chercher 4 HS disjointes deux à deux, ayant une union différente de G et telles que 2 d'entre elles au plus soient liées (Rt et i?i),

— chercher 4 HS trois d'entre elles étant disjointes 2 à 2 et non liées, la dernière étant liée à une seule des trois autres et la contenant.

Il existe 5 arbres non régulièrement décomposables et conduisant à de nombreux graphes non régulièrement décomposables la méthode devient lourde.

EXEMPLE

Nous cherchons toutes les décompositions en 3 sous-graphes connexes de R.

:3

Liste des hypercoupures simples de R :

II y a donc 7 décompositions distinctes en 2 sous-graphes connexes.

(1;2345) (3; 1245) (4; 1235) HS\ (5; 1234) (12; 345) (34; 125) (45; 123)

L'un des sous-graphes connexes contient 1 et a au plus 3 éléments, ces sous-graphes nous sont donnés par la liste HS ce sont : 1, 12, 123, 125. Dans chaque cas il ne reste plus qu'à partager le reste en 2 sous-graphes connexes on a les chaînes d'hypercoupures simples suivantes : (1, 12) (1, 123) (1, 125) (1, 1234) (1, 1235) (1, 1245) (12, 123) (12, 125) (12, 1234) (12, 1235) (12, 1245) (123, 1234) (123, 1235) (125, 1235) (125, 1245).

On obtient ainsi 11 décompositions contenant toutes les décompositions en 3 sous-graphes connexes :

(1, 2, 345) (1, 23, 45) (1, 25, 34) (1, 235, 4) (1, 234, 5) (1, 245, 3)

(3, 4, 125) (3, 45, 12)

(4, 5, 123) (4, 35, 12)

(5, 34, 12)

42 M. CHEIN

La décomposition soulignée est une décomposition en 4 sous-graphes connexes : R a 10 décompositions distinctes en 2 sous-graphes connexes.

(Pour les trouver ü suffit de faire un test de connexité sur C2 — Cu Cx et Cf2

étant connexes.)

BIBLIOGRAPHIE

[1] F. HARARY, R. Z. NORMAN et D. CARTWRIGHT, Structural Models, John Wiley, Sons, 1965.

[2] C. ^BENZAKEN, Ensemble ordonnés Série-Parallèle, Séminaire de Logique, Grenoble, 1965 (non publié).

[3] J. KUNTZMANN, Théorie des réseaux et des relations, Cours, Grenoble, 1966.

[4] C. ^BERGE, Théorie des graphes, Dunod, 1958.

[5] M. CHEIN, Étude des décompositions d9un réseau. Application à l'écriture des fonctions booléennes en sommes et produits. Thèse, Grenoble, 1967.