Evoluotion Loi

Evoluotion

Loi binomiale et probabilités conditionnelle

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^{jeudi 12 décembrc} 2otanat4

Q'après Suiet Bac. les auestions en italique

et

souliqnëes o0t

été

raioutées pour vous aider. celles en

ltalique et

caractère oras

ont

été roioutées

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évoluer ^plus de notions. ce qul _vous oermetüq de hîen réviser en

iuin,...

Pour réaliser une loterie, _un organisateur dispose d'une part :

.

d'un sac contenant exactement un jeton _{blanc et} ^g jetons noirs indiscernables au toucher

o

et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de

1à

^6.

ll décide des règles suivantes pour le déroulernent d'une pârtie.

Le joueur doit

tirer

un jeton puis jeter _{le dé :}

o si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le

jet

_{du dé donne 6 ;}

r

_{si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le}

jet

_{du dé donne 6.}

À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.

On

note:

- B l'évènement « le jeton tiré est blanc ^» - G l'évènement « le joueur gagne le jeu ».

Partie A

1.

Foire l'arbr,e

wndéré.

2.

Déterminer la ryobabîlité aue le ioueur ooone le ieu et

qu'iltiry

_un ieton blanc.

3.

Montrer que p(G)

=;5

7

4.

^{Calculer la}

probapilttéde

Pârènement:

G u

B.

5,

Questlon de cours : Ecrire la définition et deux proprietés coractérïstiques de

lo

notion : « deux évènements sont indépendonts ^»,

6.

^{Les âÈnements G et B sont-ils} lndépendonts ?

7.

Quelle est la probabilité que le joueur _ait

tiré

^{le jeton} blanc sachant qu'il a perdu ?

8.

^{Un joueur fait} quatre parties de façon indépendante.

On désiane oor X la voriable aléatoire donnant

le

nonlbre de

partles

_ooanées.

tustifier ovec soin que X suit une

lo

miale et préciser les paramètres de cette-loi.

9.

Calculer

lalrobabilité

qu'il _{en gagne} exactement deux et en donner une valeur approchée à 10-3 près.

l:O. Calculer l'espérance _de X, notée E(X).

Lt-.lnterpréter E(X).

12. Quel nombre minimal de parties _un joueur

doit-ilfaire

pour que la probabilité _{d'en gagner} au moins une soit supérieure à O,gg

f

Partie B

forganisateur décide de faire de sa loterie un jeu d,argent:

.

_chague joueur _{paie 1 €} par partie _;

r

_{si le} joueur _{gagne la partie,} il reçoit 5

€;

.

_{si le} joueur perd la partie, il ne reçoit rien.

1. On note G la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) _du joueur _{à l'issue} d'une partie.

a.

^Donner la

loide

probabilité _{de G.}

b.

Colculer son espérance E(G).

c.

^On dit ^que le jeu-gst favorable à l'organisateur si E(G) < 0. Le jeu est-il favorable à l'organisateur ?

2' LJorganisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs (n entier naturel non nul)

tout

en gardant _un seuljeton blanc.

Pour quelles valeurs de l'entier n le jeu est-il défavorable à t'organisateur ?

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