SecondeeuropéenneExercicesdemathématiques Chapitre7 ÉquationsdedroitesLineequations

(1)

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 7

Équations de droites Line equations

Calvin and Hobbes , by Bill Waterson

À la fin de ce chapitre, vous devez être capable :

• de déterminer par le calcul l’équation cartésienne ou réduite d’une droite.

• de prouver qu’un point appartient à une droite.

• de tracer une droite dont l’équation est donnée.

• de déterminer graphiquement l’équation réduite d’une droite.

• de prouver ou d’infirmer le parallélisme de deux droites.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2010/2011

(2)

(3)

Activité préparatoire

Soit

A

1

4

et

B

2

6

deux pointsdu plan. On onsidère un point

M

x

y

du plan.

Le but de ette ativitéest de trouver une ondition portantsur

x

^et

y

^telle ^que ^:

•

^si ^la^ondition ^est ^vériée ^par

x

^et

y

^alors ^le^point

M

^est ^sur ^la^droite

( AB )

^;

•

^si^la^ondition^n'est^pas^vériée^par

x

^et

y

^alors^le^point

M

^n'est^pas^sur ^la^droite

(AB)

^;

Partie A : Etablissement de la propriété

1

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^de

⁻ AB ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^→

^, ^puis ^elle ^de

⁻ AM ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^→

^en ^fontion^de

x

^et^de

y

^.

2

^. ^Compléter ^:

Le point

M

^est ^sur

( AB )

^si ^et ^seulement ^si

⁻ AM ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^→ · · ·

· · ·

et

− − − − − →

AB · · ·

· · ·

sont ...

3

^. ^En ^déduire^une ^équation ^que ^doivent ^vérier

x

^et

y

^.

4

^. ^Vérier ^que ^ette ^équation^est équivalente à

2 x − y + 2 = 0 Partie B : Utilisation de l’équation

Danslapremièrepartie,nousavons établiuneéquation.Leraisonnementonduitaboutit

à l'équivalene:

M

x

y

est sur

(AB) ⇔

^le ^ouple

(x; y)

^est ^une ^solution ^de ^l'équation

2x − y + 2 = 0

^.

Pour mieux omprendre ette équivalene,nous allons étudier quelques exemples.

1

^.

a

^. ^Dans ^un ^repère, ^plaer ^les^points

A

^et

B

^dénis ^i-dessus ^puis ^traer ^la ^droite

(AB)

^.

b

^. ^Plaer ^un ^point

M

^sur êtte ^droite êt^lire^ses ôordonnées

x _M

y _M

.

c

^. ^Caluler

2x M − y _M + 2

^.

d

^. ^Les^oordonnées ^du ^point

M

vérient-elles l'équation de la droite?

2

^.

a

^. ^Plaer ^un ^point

N

^non ^situé ^sur

( AB )

^et ^lire^ses ^oordonnées

x _N

y _N

.

b

^. ^Caluler

2x N − y _N + 2

^.

c

^. ^Les^oordonnées ^du ^point

N

vérient-elles l'équation de la droite?

3

^.

a

^. ^Choisir^une ^valeur ^quelonque^de

x

^.

b

^. ^Déterminer^la ^valeur ^de

y

^telle ^que

2 x − y + 2 = 0

^.

c

^. ^Plaer^le^point^dont^l'absisse^est

x

^et^l'ordonnée

y

^.^Ce ^point^est-il^sur^la^droite

( AB )

^?

4

^.

a

^. ^Choisir^une ^autre^valeur ^quelonque^de

x

^.

b

^. ^Déterminer^une ^valeur^de

y

^telle ^que

2 x − y + 2 6= 0

^.

c

^. ^Plaer^le^point^dont^l'absisse^est

x

^et^l'ordonnée

y

^.^Ce ^point^est-il^sur^la^droite

(AB)

^?

(4)

Forme générale

7.1

^Déterminer ^à ^l'aide ^de ^la ^méthode ^vue ^dans ^l'ativité préparatoire (partie A), une équation de haune des droites suivantes :

1

^.

( D ₁ )

^passant ^par

A (0; 1)

^et

B (2; 3)

^;

2

^.

( D 2 )

^passant ^par

A(1; −1)

^et

B (3; −7)

^;

3

^.

( D ₃ )

^passant ^par

A (1; 4)

^et

B (1; 7)

^;

4

^.

( D ₄ )

^passant ^par

A(2; 3)

^et

B(5; 3)

^.

7.2

^Dans^le^tableau^i-dessous,^indiquer^quels^pointsappartiennent àquelle(s)droite(s).

A(−6; 4) B(1; 4) C(2; ⁵ ₂ ) D(2; 0) E(− ⁷ ₂ ; ⁵ ₂ ) F (−3; −2)

∆ ¹ : 3 x − 2 y + 5 = 0

∆ ² : y = − ¹ 2 x + 1

∆ ³ : x = 2

∆ ⁴ : y = 4

7.3

^Dansêt êxerie,^nous âllons^étudier^deux ^méthodes^pour^traerûne^droite^à^partir

de son équation. Danshaque as, ils'agira de trouver lesoordonnées de deux pointsde

la droite.

Partie A – Méthode 1 1

^. ^On ^onsidère ^la^droite ^d'équation

2x + 3y − 6 = 0

^.

a

^. ^Si

x = 0

^,^quelle ^doit ^être ^la^valeur ^de

y

^pour ^que^l'équation ^soit^vériée^?

Endéduire lesoordonnées d'un pointde ladroite.

b

^. ^Si

y = 0

^, ^quelle ^doit ^être ^la^valeur ^de

x

^pour ^que^l'équation ^soit^vériée^?

Endéduire lesoordonnées d'un autre pointde la droite.

c

^. ^T^raer ^la ^droite.

2

^. ^Utiliser^la ^même^méthode ^pour ^traer ^dans ^un ^même ^repère ^les ^droitesd'équations

3x + 2y − 6 = 0. y = 2x + 1 y = −x + 3.2 y = 4.7 y = 2 − ¹¹ ₃ x y = −4x x = 2.9

Partie B – Méthode 2

Tous lestraés de etteseonde partie seront faits dans un nouveau repère.

1

^. ^On ^onsidère ^à^nouveau ^la ^droite ^d'équation

2 x + 3 y − 6 = 0

^.

a

^. ^Si

x = 0

^,^quelle ^est ^la^valeur ^de

y

^vériant ^l'équation^de ^la^droite^?

Endéduire lesoordonnées d'un pointde ladroite.

b

^. ^Choisir^une^autre^valeur^pour

x

^et^aluler^la^valeur^de

y

orrespondantàette nouvellevaleur.

Endéduire lesoordonnées d'un autre pointde la droite.

c

^. ^T^raer ^la ^droite.

2

^. ^Utiliser^la ^même^méthode ^pour ^traer ^dans ^un ^même ^repère ^les ^droitesd'équations

3x + 2y − 6 = 0. y = 2x + 1 y = −x + 3.2 y = 4.7 y = 2 − ¹¹ ₃ x y = −4 x x = 2 . 9

3

^. ^Les ^droites^traées ^dans ^les^deux ^parties ^sont-elles ^bien ^les ^mêmes^?

(5)

7.4

^T^raer ^haune ^des ^droites^suivantes.

1

^.

D 1

^d'équation

x − 2y + 4 = 0

^;

2

^.

D 2

^d'équation

2x − 2y − 6 = 0

^;

3

^.

D ₃

d'équation

−2 y + 4 = 0

^;

4

^.

D ₄

d'équation

x 5 + y

3 = 1

^;

5

^.

D 5

^d'équation

x + y = 0

^;

6

^.

D 6

^d'équation

2x + 4 = 0

^;

7

^.

D ₇

d'équation

6x + 2y + 1 = 0

^;

8

^.

D ₈

d'équation

5x − y − 7 = 0

^.

Equations réduites

7.5

Âssoier ^haune ^des ^droites ^traéesî-dessous âve ^son ^équation.

1

^.

y = 0.5x + 1.8

^;

2

^.

y = −0.5x + 1.8

^;

3

^.

y = 0.5

^;

4

^.

y = 0.5x + 0.9

^;

5

^.

x = 0.5

^;

6

^.

y = −0.5x − 1.8

^.

d 4

d 5 d 3

d 1

d 2

d 6

7.6

^Déterminergraphiquementl'ordonnéeàl'origine,leoeientdireteuretl'équation réduite de haune des droites traées dans lerepère i-dessous.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

d 1

d 2

d 5

d 4

d 3

(6)

7.7

^On ^donne ^i-dessous ^les ^équations^réduites ^de ^six ^droites ^du ^plan.

y = 2x + 1 y = −x + 3, 2 y = 4, 7 y = 2 − ¹¹ ₃ x y = −4x x = 2, 9

1

^. ^Pour ^haune ^de ês ^équations^de ^droites,^donner ^l'ordonnée ^à ^l'origineêt ^leôe-

ient direteur.

2

^. ^Sans ^faire ^de âlul, ^traer^les ^droites ^dans ûn ^même ^repère ôrthonormé

(O; I, J )

^.

7.8

Ôn ônsidère ^des ^droites ^dont ^les ^équations^sont ^données î-dessous.

D ₁

:

−2 x + y + 1 = 0 D ₂

:

x + y = −5 D ₃

:

3 x + 3 y + 15 = 0

D ₄

:

2 x − 6 = 0 D ₅

:

6 x = 3 y + 3 D ₆

:

1 − ¹ ₃ x = 0

D ₇

:

−y − x − 5 = 0 D ₈

:

4 x − 2 y = −2 D ₉

:

3 y − 6 x = −3 1

^. ^Donner ^l'équation ^réduite^de ^haune ^de ^es ^droites.

2

^. ^Regrouper ^les^équations ^qui représentent une même droite.

3

^. ^Pour ^haun ^des ^groupes^trouvés^à ^la^question ^préédente, ^déterminer ^l'ordonnée ^à

l'origineet le oeientdireteur de ladroite.

7.9

^Déterminer ^une ^équation ^réduite ^de ^haune ^des ^droites ^dénies ^i-dessous. ^Dans

haque as,

A

^et

B

^sont ^des ^points ^de ^la ^droite,

m

êst ^son ôeient ^direteur êt

p

^son

ordonnée.

1

^.

A(2; 7)

^et

B(−1; −2) 2

^.

A(4; −1)

^et

B(−6.2; −6.1) 3

^.

A(11; −3)

^et

B (11; 5) 4

^.

A(1; −2)

^et

B(7; −2) 5

^.

A( ⁷ ₂ ; ¹⁷ ₂ )

^et

B (−4; 1)

6

^.

m = −5

^et

A(−1; 10)

^;

7

^.

m = ² 3

^et

A (2; 3)

^;

8

^.

p = −8

^et

A( ² ₃ ; 0)

^;

9

^.

p = − ⁵ ₇

^et

A(−3; − ²⁰ ₇ )

^;

Parallélisme

7.10

^T^raer^les^droites^dont^les^équations^sont^données ^i-dessous, ^puis^déterminer^leurs

oeients direteurs. Quel sembleêtre le lienentre es nombres et le parallélisme?

d 1 : y = 2 x + 3

^;

d 2 : y = −3x − 1

^;

d 3 : y = −0.5x + 2

^;

d 4 : 2 x − y − 1 = 0

^;

d 5 : 2y + 6x + 6 = 0

^;

d 6 : 1.5x + 3y + 3 = 0

^.

7.11

^Sans ^les ^traer, ^regrouper ^toutes ^les ^droites ^dont ^les ^équations ^sont ^données ^i-

dessous en famillesde droitesparallèles.

d 1 : y = −2x + 1 d 2 : y = ¹ 4 x − 3 d 3 : y = −3x − 2

d 4 : y = 2x − 1 d 5 : y = −2 x − 2 d 6 : y = −3x + ¹ ₂

d 7 : y = 2x d 8 : y = 5

d 9 : y = −3x − 4

d 10 : y = ¹ 4 x + 1.5 d 11 : x = 5

d 12 : y = ¹ ₄ x + 6

(7)

7.12

^Endéterminantleurs oeientsdireteurs,reonnaîtredans lalistei-dessous les droites parallèles.

∆ ¹ : y = ¹ ₃ x + 2

^;

∆ ² : y = −5x − 1

^;

∆ ³ : 7 y = −4 x + 5

^;

∆ ⁴ : x − 3y − 2 = 0

^;

∆ ⁵ : 4y + 20x + 8 = 0

^;

∆ ⁶ : −3.5y − 2x + 7 = 0

^;

∆ ⁷ : ³ 2 y − ¹ ₂ x + 7 = 0

^;

∆ ⁸ : 35y + 20x = 12

^.

7.13

^Soit

( d 0 )

^la^droite^d'équation

y = 3 x−2

^.^T^rouver^les^équations^des^droites^suivantes^:

1

^.

(d ¹ )

^parallèle^à

(d ⁰ )

^et^d'ordonnée ^à^l'origine ^4.

2

^.

(d ² )

^parallèle^à

(d ⁰ )

^et^passant ^par ^le ^point ^de ^oordonnées

(−1; 0)

^.

3

^.

(d ³ )

^de ^oeient ^direteur ² ^et^roisant

(d ⁰ )

^au ^point^de ^oordonnées

(7; 19)

^.

4

^.

(d ⁴ )

^parallèle^à ^l'axe^des âbsisses êt âyant^la ^même ôrdonnée ^à^l'origine ^que

(d ⁰ )

^.

5

^.

(d ⁵ )

^ne ^roisant^jamais

(d ⁰ )

^et ^passant ^par ^l'origine.

Intersections de droites

7.14

^On ^onsidère ^le^système ^:

S

−2x + y = −1

−5x + y = 2

^.

1

^. ^Donnez ^les ^équations^réduites ^des ^droites ^assoiées ^à^e ^système.

2

^. Â ^l'aide ^de ^la âlulatrie ^graphique, ^traez^les ^droites êt déduisez-en une approximation de la solution.

3

^. ^Vériez ^par ^le âlul ^que^le ôupleôbtenuêst ^bien ^la^solution êxate ^du ^système.

7.15

^Déterminer ^à ^l'aide ^de ^la ^alulatrie ^une approximation des solutions de haun des sytèmes suivantspuis vérier par le alulles ouplesde solutionsobtenus.

1

^.

y = −2 x − 1 y = ¹ 4 x + ⁷ 2

;

2

^.

y = 5x − 10

y = x

^;

3

^.

y = −41 x + 3

x = −1

^;

4

^.

y = 5x − 1 y = 5x − 2

^;

7.16

^Déterminerûne^équation^de ^haune ^des^droites^traéesî-dessous,^puisên ^déduire

la résolution graphiquede haun des systèmes donnés.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

( d 1 )

( d 2 ) ( d 3 )

( d 4 ) (d ⁵ )

1

^.

y = ² ₅ x + 3 2x + 5 = 0 2

^.

4x − 10y = 15 2x + 18y = 31 3

^.

y = 4 2x + 5 = 0 4

^.

y = ² ₅ x − ³ ₂

2x − 5y = −15

(8)

Applications

7.17 ABCD

êst ûn ârré ^de ^té

1

^. ^Les ^points

I

^et

J

^sont ^les ^milieux ^respetifs ^des

tés

[AB ]

^et

[AD]

^.^Soit

K

^le^point d'intersetion des droites

(AC)

^et

(BJ)

^.

Le but de et exerie est de montrer que lespoints

D

^,

K

^et

I

^sont ^alignés.

Partie A – Première méthode

On onsidère lerepère

(A, B, D)

^.

1

^. ^Déterminer^les^oordonnées ^de^haun^des^points

A

^,

B

^,

C

^,

D

^,

I

^et

J

^dans^e^repère.

2

^. ^Déterminer ^une ^équation^de ^le^droite

(AC)

^puis ^elle ^de ^la ^droite

(BJ )

^.

3

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^de

K

^,^pointd'intersetion de es deux droites.

4

^. ^Démontrer ^que ^les^points

D

^,

K

^et

I

^sont ^alignés.

Partie B – Deuxième méthode

1

^. ^Que ^représente ^les^droites

(AC)

^et

(BJ)

^pour ^le ^triangle

ABD

^?

2

^. ^Conlure ^sur l'alignement reherhé.

7.18

^Dans ûn ^repère, ônônsidère ^quatre ^points

A (−4; 1)

^,

B (2; 4)

^,

C (1; 0)

^,

D (−5; −3)

^.

1

^. ^T^raer ^une ^gure ^et ^prouver ^que

ABCD

^est ^un parallélogramme.

2

^. ^Soit

I

^et

J

^les ^milieu ^respetifs ^des ^tés

[BC]

^et

[AD]

^. ^Déterminer^les ^oordonées

de es points etplaer lesdans le repère.

3

^. ^La ^droite

(AD)

^admet-elle ^une ^équation ^réduite^?

4

^. ^Déterminer ^les^équations ^réduites ^des ^droites

( AC )

^et

( BD )

^.

5

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^point

K

^,intersetiondes droites

(AC)

^et

(BD)

^.

6

^. ^En ^utilisant ^les^veteurs^; ^prouver ^que^les ^points

I

^,

J

^et

K

^sont ^alignés.

7

^. ^Prouver ^à^nouveau êtte ^propriété ên ûtilisant^l'équation^réduite ^de ^la ^droite

(IJ )

^.

8

^. ^En ^utlisant ^les ^équations ^réduites, ^prouver ^que ^les ^droites

(AB)

^,

(CD)

^,

(IK)

^et

( JK )

^sont parallèles. Endéduire une nouvelle preuve de l'alignementdes points

I

^,

J

^et

K

^.

7.19

^Dans ^le^plan ^muni ^d'un ^repère ^orthonormé

(O; ~

i

,~

^j

)

^, ^on^onsidère ^les ^quatre ^points

suivants :

A (−2; 1)

^,

B (4; 3)

^,

C (5 , 0)

^et

D (−1; −2)

^. ^Le^but ^de ^e ^problème ^est ^d'étudier ^la

nature du quadrilatère

ABCD

^.Ôn ^pourra ^faireûne ^gure ^pour îllustrer^la ^situation.

Partie A – Première méthode

1

^. ^Vérier ^que

A

^et

B

^sont ^bien ^sur ^la ^droite ^d'équation

y = ¹ ₃ x + ⁵ ₃

^.

2

^. ^On ^admet^que ^la ^droite

( CD )

â ûn ôeient ^direteur ^égal ^à

¹ 3

êtûne ôrdonnée ^à

l'origineégale à

− ⁵ ₃

^. ^En^déduire ^son ^équation ^réduite.

3

^. ^Déterminer ^les^équations ^réduites ^des ^droites

(AD)

^et

(BC)

^.

4

^. ^Déduire ^des ^questions ^préédentes ^que ^le quadrilatère

ABCD

^a ^ses ^tés ^opposés

parallèles.En déduireune première informationsur sanature.

5

^. Ên âlulant^les ^longueurs ûtiles, ^préiser^la ^nature^du prallélogramme

ABCD

^.

(9)

Partie B – Deuxième méthode

On admetque l'équationréduite de la droite

( AC )

^est

y = − 1 7 x + 5

7

^.

1

^. ^Déterminer ^une ^équation ^artésienne ^de ^la ^droite

(BD)

^. ^En ^déduire ^son ^équation

réduite.

2

^. ^Caluler^les ^oordonnées ^de l'intersetion des droites

(AC)

^et

(BD)

^.

3

^. ^Caluler^les ^oordonnées ^des ^milieux^des ^segments

[AC]

^et

[BD]

^.

4

^. ^Déduire ^des ^questions ^préédentes ^une ^première informationonernant le quadri- latère

ABCD

^.

5

^. ^Caluler^les ^longueurs

AC

^et

BD

^et^en ^déduire ^la^nature ^du quadrilatère

ABCD

^.

Partie C – Questions complémentaires

Soit

M

^de ^oordonnées

( x ; y )

^un ^point^du ^erle

C

^de ^diamètre

[ AC ]

^.

1

^. ^Caluler^le ^rayonêt ^lesôordonnées ^du êntre ^du êrle

C

^.

2

^. ^Exprimer ^la ^longueur

IM

^en ^fontion ^de

x

^et

y

^.

3

^. ^Puisque

M

êst ^sur ^leêrle, ^à ^quoiêst ^égal

IM ²

^?

En déduireune égalité onernant

x

^et

y

^.

4

^. ^Mettre ^l'égalité^préédente ^sous ^la^forme

ax ² + by ² + cx + dy + e = 0.

^Cette ^égalité

est appelée équation du erle

C

^.

7.20

^Un transporteur doit véhiuler

960

^personnes. ^Il ^dispose ^de ^bus ^de

40

^plaes ^et^de

bus de

60

^plaes.

1

^.

a

^. ^Si ^le transporteur n'utilise que des bus de

40

^plaes, ^ombien ^de ^bus ^doit-il

prévoir?

b

^. ^Si ^le transporteur n'utilise que des bus de

60

^plaes, ^ombien ^de ^bus ^doit-il

prévoir?

2

^. ^Le transporteur utilise

x

^bus ^de

40

^plaes^et

y

^bus ^de

60

^plaes.

a

^. ^Déterminer^une ^équation ^vériée ^par

x

^et

y

^.

b

^. ^T^raer ^la ^droite orrespondante dans un repère orthonorméd'unité graphique

1

^m.

c

^. ^Combien^de^bus^de^haque^sorte^letransporteurdoit-ilprévoir?Indiquertoutes lespossibilités.

7.21

^Deux ^soiétés^louent ûne âmionette âuxônditions ^suivantes ^:

Forfaitjournalier Prix du km parouru

SoiétéA 92

e

0,14

e

SoiétéB 50

e

0,40

e

1

^. Ûn ^lientâ ³⁰⁰ ^km ^à ^parourirên ^trois ^jours. ^Quel êst ^le^tarif ^le^plus âvantageux^?

Même question s'il a600 kmà parourir en trois jours.

2

^. ^Soit

x

^le^nombre^de^kilomètres^parourus^en^trois^jours^et

y

^le^prix^payé^par^le^lient.

a

^. ^On ^appelle respetivement

f ( x )

^et

g ( x )

^les ^prix ^payés ^par ^le ^lient ^s'il ^hoisit

lessoiétés A et B. Exprimer

f(x)

^et

g (x)

^en ^fontion ^de

x

^.

(10)

b

^. Représenter graphiquement les deux fontions

f

^et

g

^. ^(unités ^: ⁵⁰ ^km/euros

pour 1 msur haque axe)

3

^. ^Soit

M

^le ^point^de d'intersetion des deux droites.

a

^. ^Déterminergraphiquement les oordonnées du point

M

^.

b

^. ^Vérier algébriquement.

c

^. Interpréter lerésultat obtenu.

Homework #9

7.22

^The ^height ⁽ⁱⁿ ^m) ând ^weight ⁽ⁱⁿ ^kg) ôf ²¹ ^young ^girls âre ^given ⁱⁿ ^the ^table

below.

Height

x

¹⁶⁶ ¹⁶⁰ ¹⁶³ ¹⁶⁵ ¹⁵⁵ ¹⁶⁹ ¹⁷¹ ¹⁶⁰ ¹⁶² ¹⁶⁵ ¹⁵³

Weight

y

⁵⁹ ⁵⁷ ⁵⁶ ⁵⁸ ⁵⁴ ⁶⁰ ⁶¹ ⁵³ ⁵⁴ ⁵⁶ ⁵¹

Height

x

¹⁵⁸ ¹⁷⁶ ¹⁶⁸ ¹⁵⁰ ¹⁶⁷ ¹⁶⁴ ¹⁶⁶ ¹⁶¹ ¹⁵⁸ ¹⁷⁰

Weight

y

⁵⁶ ⁶² ⁵⁷ ⁴⁹ ⁵⁸ ⁵⁷ ⁵⁶ ⁵⁶ ⁵⁵ ⁶⁴

1

^. ^Show^these^dataâsâ^satter^plot^with^heightôn^the

x

^-axis^and^weight^on^the

y

^-axis.

The salewillbe2m for5unitsonbothaxesandthe originpointwillbe

(145, 40)

^.

2

^. ^Compute independently the median height

h 0

^and ^the ^median^weight

w 0

^of ^the ²¹

girls. Then, plae the point

G

^with ^oordinates

(h ⁰ ; w 0 )

^.

3

^. ^The^pointsôn^the^satter^plot^seem ^to^be^roughlyôllinear.În^this^question,^we^will

nd the formula of a linear funtion whose graph is a good approximation of the

satter plot. This is the median-median line,alsoreferred to asthe median tline.

a

^. ^T^o ^t^amedian-medianlinetothe points,divide the points intothree groups.

Dothis bytaking theset ofone-thirdof thepointsonsisting ofthosewiththe

smallest

x

^-values, â^middle^group ândâ ^set ôf ône-thirdôf ^the ^points ^with^the

largest

x

^-values.

b

^. ^Consider êah ^groupôf ^data ^separatelyând ôrder^the ^values ôf ^both ^variables.

Ignore the data pairings atthis point.

c

^. ^Now ^reate â^summary ^point ^for êah ^group ôf ^the ^data ^by ûsing ^the ^median

x

^-value^and^the^median

y

^-value,ândômbining^them^to^reateânôrdered^pair.

We have three summarypoints:

G _L

^for ^the ^leftmost ^data,

G _M

^for ^the ^middle

group, and

G _R

^for ^the ^right ^hand ^group. ^These ^summary ^points ^may^, ^or^may

not, be atual datapoints.

d

^. ^Now^use ^the ^two^outer^summary ^points^to^determine ^theslope-interept equation of the line

(G L G _R )

^.

e

^. ^Construt^the^line^parallel^to^this^line^thatîsône-thirdôf^the^way^to^the^middle

summary point.This is the median-median line

M

. To dothis :

•

^Find^the

y

^-oordinate^of ^the^point

P

^on^the^line^with^the ^same

x

^-oordinate

asthe middle summary point

G _M

^.

•

^Find ^the ^vertial ^distane ^between ^the ^middle ^summary ^point ^and ^the ^line

by subtrating

y

^-values.

(11)

•

^Find ^the ^oordinates ^of ^the ^point

Q

^, ^one ^third ^of ^the ^way ^from ^the ^line ^to

the middlesummary point.

•

^Find ^the slope-interept equation of the line parallel to

(G L G _R )

^passing

through

Q

^.

4

^. ^Is ^the ^point

G

^on^the ^line

M

^? Ânswer ^the^question ^graphiallyând ^with âômpu-

tation.

5

^. ^In ^this ^question, ^we ^use ^the median-medianlineto estimatesome values.

a

^. ^What ^should ^be ^the ^weight ôf â^girl^whose ^heightîs ^1.80m^?

b

^. ^What ^should ^be ^the ^height ôf â ^girl^whose ^weight îs ⁵⁵^kg^?

6

^. ^The ^Lorenz ^law establishes a relationbetween the weight

W

^and ^the ^height

H

^for

women :

W = H − 100 − H − 150 a

^. ^Draw ^the ^linerepresenting this funtion.

2 b

^. ^What ^do^you ^notie^about ^this ^line^ompared ^to

M

?

Homework # 10

7.23

^The âim ôf^this ^homework îs^to ^study ^the ^famous Êuler ^line ônânêxample..

Consider an orthonormaloordinategraph

(O; ~

i

,~

^j

)

^with ^the ^points

A(−3, 1)

^,

B (5, 1)

^and

C(−2, 8)

^. ^We^all

A ^′

^the ^midpoint^of

[BC]

^and

B ^′

^the ^midpoint^of

[AC]

^.

1

^. ^F^or ^the ^following ^questions, ^you ^will^need ^to^nd informationon the internet or in maths books.

a

^. ^Who^was ^Euler^? ^When ^did ^he ^live^?

b

^. ^What îs ^the Êuler ^lineôf â ^triangle^?

c

^. ^Draw ^the ^triangle

ABC

ând îtsÊuler ^line.

2

^.

a

^. ^Compute ^the ^oordinates ^of

A ^′

^and

B ^′

^.

b

^. ^Find ôut êquationsôf ^the ^medians^through

A

^and

B

ⁱⁿ^triangle

ABC

^.

c

^. ^Dedue ^the ^oordinates ^of

G

^, ^the ^entroid ^of

ABC

^.

3

^. ^Consider ^the ^point

R(1, 4)

^.

a

^. ^Compute ^the ^lengths

RA

^,

RB

^and

RC

^.

b

^. ^What ^is ^the ^point

R

ⁱⁿ ^the ^triangle

ABC

^?

We now admit that two lines

∆

^and

∆ ^′

^with ^respetive slope-interept equations

y = mx + p

^and

y = m ^′ x + p ^′

^are perpendiular if and onlyif

m × m ^′ = −1

^.

4

^.

a

^. ^What îs ^the ^slopeôf âny ^lineperpendiular to

(BC)

^.

b

^. ^Dedue ^the slope-interept equation of the altitude through

A

ⁱⁿ

ABC

^.

c

^. ^Find ôut ^the ^simplestêquation ôf ^the âltitude ^through

C

ⁱⁿ^triangle

ABC

^.

d

^. ^Dedue ^the ^oordinates ^of

H

^, ^the ^orthoenter ^of ^the ^triangle

ABC

^.

5

^. ^Use ^vetors ^to^hek ^that ^the ^points

G

^,

R

^and

H

^are ^ollinear.

6

^. ^The Êuler ^line ^passes ^through â ^fourth împortant ^point ⁱⁿ ^the ^triangle. ^Find ^the

name and denition of this point.

(12)

Test of the last year

Exercise 1

^:

(6 points)

For every question below, there are four answers, of whih more than one maybe true.

Tiktherightanswers.Everyquestionisworth1point.Aninompletebutorretanswer

is worth 0.5 pointsand a bad answer (ompletely or partially)osts 0.25 points.

QUESTIONS ANSWERS

1.The lineof equation

3x − 7y + 2 = 0

^passes ^through

the points

❒ A(2, 1)

❒ B(4, 2)

❒ C(−1, 0)

❒ D(−3, −1)

^.

2.The lineof equation

y = − ¹ ₅ x + ²³ ₅

^passes ^through

the points

❒ A(0, ⁹ ₂ )

❒ B (3 , 4)

❒ C(8, 3)

❒ D(−2, 5)

^.

3.If itsslopeis

5

ând îtsînterept îs

1

^then ^the

slope-interept equation of aline is

❒ 2 y − 10 x = 2

❒ x = 5 y + 1

❒ y = 5x + 1

❒ y = x + 5

^.

4.Other validequations of the lineof equation

x − y + 2 = 0

^are

❒ y = x + 2

❒ y = −x − 2

❒ 5x − 5y = −10

❒ 3x − 3y − 6 = 0

^.

5.Other validequations of the lineof equation

x

3 + ^y 5 = 1

^are

❒ y = −x + 3

❒ y = − 15 ¹ x + ¹ 5

❒ 5 x + 3 y − 15 = 0

❒ x + y = 15

^.

6.The lines of equation

y = 7 x − 3

^and

14x − 2y + 6 = 0

^are

❒

^the ^same ^line^;

❒

perpendiular;

❒

^seant^;

❒

^parallel.

(13)

Exercise 2

^:

(14 points)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

(O; I, J )

^, ^on ^onsidère ^les ^points

A(2; 0)

^,

B (0; 2)

^,

C(0, 4)

^et

D(2, −2)

^.

1

^. ^Fâire ûne ^gure^qui ^sera ômplétée ^tout âu ^long ^de ^l'exerie.

2

^. ^Déterminer^par^le^alul^les^oordonnées^du^point

K

^,^milieu^de

[ AB ]

^.^En^as ^d'éhe

à ette question,pour pourra lireles oordonnées graphiquement.

3

^.

a

^. ^Déterminer^l'équation ^réduite^de ^la^droite

(DC)

^.

b

^. ^Préiser^l'ordonnée ^à ^l'origineêt ^leôeient ^direteur ^de êtte ^droite.

c

^. ^Prouver, ^en ^utilisant^l'équation^réduite,^que^le ^point

K

^est ^sur ^la^droite

(DC)

^.

4

^. Ôn âdmet ^dans ^la ^suite ^que ^le ôeient ^direteur ^de ^la ^droite

( DC )

^est

−3

^. ^On

note

D

ladroite parallèleà

(CD)

^passant ^par

B

^.

a

^. ^Quel ^est ^le ^oeient ^direteur ^de

D

^? ^On ^justiera ^lairement.

b

D

^.

c

^. ^Déterminer ^par ^le ^alul ^les ^oordonnées ^du ^point

E

^, intersetion des droites

D

et

( AD )

^.

5

^. ^On ^note

D ^′

la droiteparallèleà

(CD)

^passant ^par

O

^.

a

^. ^Quelle^est ^l'ordonnée ^à^l'origine ^de ^la ^droite

D ^′

? On justiera lairement.

b

^. ^Donner, ^sans ^auun ^alul,^l'équation ^réduite^de ^la^droite

D ^′

^.

c

(AB)

^.

d

^. ^Déterminer ^par ^le ^alul ^les ^oordonnées ^du ^point

F

^, intersetion des droites

D ^′

et

( AB )

^.

O I

J

(14)

(15)

(16)

Activité préparatoire . . . .1

Forme générale . . . 2

Equations réduites . . . 3

Parallélisme . . . 4

Intersections de droites . . . 5

Applications . . . .6

Homework #9 . . . 8

Homework # 10. . . .9

Test of the last year . . . 10

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Yes, we have to divide up our time like that, between our politis and our

equations. But to me our equations are far more important, for politis are

only amatter of present onern. A mathematialequation stands forever.

Albert Einstein

Someone told methat eah equation I inluded in the book would halve the

sales.

Stephen Hawking

Love and you shall be loved. All love is mathematiallyjust, as muh as the

two sides of analgebraiequation.

Ralph Waldo Emerson

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in

one's equations, and if one has really asound insight, one is ona sure line of

progress.

Paul Dira

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http://lyeeenligne.free.fr/ spip /

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