TD : La fonction Gamma
On appelle fonction Gamma la fonction notéeΓdénie parΓ :x→ Z +∞
0
e−ttx−1dt Nous allons étudier plusieurs propriétés de cette fonction Γ
1. Montrer queΓest dénie et continue sur]0,+∞[
2. Montrer queΓest dérivable sur]0,+∞[et déterminer une expression de sa dérivée Montrer de même queΓest C∞ sur]0,+∞[
Montrer queΓest convexe.
3. Relation fonctionnelle.
Montrer que∀x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x).
En déduire pourn∈N∗ une expression simple deΓ(n) 4. Des limites
(a) Déterminer la limite en 0 deΓ
(b) Donner un équivalent simple de Γ(x)en 0.
(c) Déterminer la limite en+∞deΓ. 5. Donner l'allure de la courbeΓ
6. Calcul deΓ(1/2)
(a) ExprimerΓ(1/2)en fonction deZ +∞
0
e−u2du (b) SoitH :x→
Z x
0
e−u2du etF :x→ Z 1
0
e−x2(1+t2) 1 +t2 dt. Montrer queF et H sont dénies et continues sur R.
Montrer queF et H sont de classeC1sur R.
Montrer que la fonctionF+H2est constante sur R (c) En déduire la limite en+∞deH.
(d) Conclure surΓ(1/2). 7. Montrer que∀x∈]0,2[,Γ(x) =
+∞
X
n=0
Z +∞
0
(ln t)n n! e−tdt
(x−1)n. 8. L'objectif de cette question est de calculerΓ0(1) =
Z +∞
0
ln(t)e−tdt. (a) Montrer que pour toutt∈[0, n], 06 1−ntn−1
6e.e−t (b) Montrer que lim
n→+∞
Z n
0
ln(t)
1− t n
n−1
dt= Z +∞
0
ln(t)e−tdt
(c) Montrer : Z n 0
ln(t)
1− t n
n−1
dt= lnn+ Z 1
0
(1−u)n−1
u du
(d) En déduire queΓ0(1) =−γ oùγdésigne la constante d'Euler.
(e) CalculerΓ0(2).