D.M. DE MATHEMATIQUES (2)

D.M. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

I -Soit f une fonction définie pour tout x différent de 1 par : f x=x²−2x3 x−1 . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

1. Déterminer les limites de f en −∞, 1 (à gauche et à droite) et en ∞.

2. Combien la courbe C possède-t-elle de tangentes parallèles à la droite d'équation ^y=−x? Donner leurs équations.

3. a . Démontrer que _{f x} peut s'écrirex−1 2 x−1 .

b . Démontrer que la courbe admet deux droites asymptotes, dont une,oblique que l'on appellera D.

c . Étudier, selon les valeurs de x, la position relative C et D.

4. Démontrer que la courbe C admet le pointI1;0comme centre de symétrie.

II-Soitu_nla suite définie par^u1=1et^u_n1=2u_n1. 1. Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

2. Représenter graphiquement, à l'aide de la fonction f définie par f x=2x1 les quatre premiers termes de cette suite.

3. Démontrer, par récurrence que pour toutn1, u_n=2ⁿ−1 .

III- Démontrer par récurrence que, pour tout x−1 et tout n∈ℕ, on a :1xⁿ1n x

Bon week-end.