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de gouttes qui s’évaporent dans un écoulement laminaire
ou turbulent
Romain Alis
To cite this version:
Romain Alis. Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes qui s’évaporent dans
un écoulement laminaire ou turbulent. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. UNIVERSITE DE
TOULOUSE, 2018. Français. �tel-02070613�
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l'Institut Supérieur de l'Aéronautique et de l'Espace
Présentée et soutenue par
Romain ALIS
Le 28 novembre 2018
Simulation numérique directe de gouttes et de groupes
de gouttes qui s'évaporent dans un écoulement laminaire
ou turbulent
Ecole doctorale : MEGEP - Mécanique, Energétique, Génie civil, Procédés
Spécialité : Dynamique des
uides
Unité de recherche :
ISAE-ONERA EDyF Energétique et Dynamique des Fluides
Thèse dirigée par
Jean-Luc ESTIVALEZES et Sébastien TANGUY
Jury
M. François-Xavier DEMOULIN, Rapporteur
M. Stéphane VINCENT, Rapporteur
M. Christian CHAUVEAU, Examinateur
M. Guillaume CASTANET, Examinateur
M. Frédéric RISSO, Examinateur
M. Jean-Luc ESTIVALEZES, Directeur de thèse
M. Sébastien TANGUY, Co-directeur de thèse
The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical motor because it determines the vapour quantity which will be burned to bring energy to the motor. Still, this phenomenon is not well understood due to the difficulties to measure on experiments vaporisation rates of injected sprays. Moreover, hypothesis of theoritical models are not representatives of conditions encountered in combustion furnaces.
The thesis take place in an effort to analyse the evaporation of droplet groups in a turbulent flow by mean of Direct Numerical Simulation (DNS). Indeed, during droplet group evaporation, collective effects can modify single droplet rates of vaporisation and the group global rate of vaporisation. The DNS approach should allows to quantify precisely this effect and leads to an improvement of actual models of evaporation.
Firstly, algorithms are developped and used in a 1D spherical configuration to describe the evaporation of a single static droplet without gravity. Secondly, the vaporistion of a droplet in a laminar flow has been studied. The analysis focus on heat exchanges between the droplet and the external environment as well as the force exerced on the droplet by the laminar flow. In this part, it has been highlighted that the evaporation induced a decrease in thermal exchanges and drag. In some cases of strong evaporation, the drag of the droplet has been observed to be negative. It means that the evaporation can cause a propulsion phenomenon of the droplet. A theoritical analysis allows to link this behaviour to an asymetry of the vaporisation rate. Thirdly, a study of the turbulence influence on the evaporation of a droplet has been carried out. A generator of turbulent fluctuations has been implemented and parallel approaches have been introduced to reduced computational time. It allowes to analyse thermal exchanges and drag behaviour of a droplet interacting with a turbulent flow. The analysis showed that theses two variables increase with turbulence. Lastly, the evaporation of groups of droplets has been studied. For three different groups of droplets, trajectories of droplets have been analysed with heat exchanges when they are put in a laminar or a turbulent flow with or without phase change. In presence of evaporation, the analysis pointed out that trajectories were different from cases whitout evaporation and so that phase change modifies collective effects. Moreover, these collective effects have also been observed on thermal exchanges.
L’évaporation du carburant injecté dans une chambre de combustion est un phénomène crucial dans un foyer aéronautique car elle détermine la quantité de vapeur qui sera ensuite brû-lée pour fournir de l’énergie au moteur. Cependant, ce phénomène reste mal décrit du fait des difficultés de mesurer expérimentalement les taux d’évaporation des gouttes appartenant à un brouillard. D’autre part, les hypothèses des modèles théoriques ne sont toujours pas représenta-tives des conditions rencontrées dans les foyers de combustion.
La thèse s’inscrit dans une démarche visant à étudier l’évaporation d’un groupe de gouttes dans un écoulement turbulent au moyen de la Simulation Numérique Directe (SND). En effet, lors de l’évaporation de groupes de gouttes, des effets collectifs peuvent influer sur le taux d’évapora-tion de chaque goutte ou sur le taux d’évaporad’évapora-tion global du nuage de gouttes. L’approche SND permet de quantifier précisément ces effets afin d’améliorer les modèles actuels d’évaporation.
Dans un premier temps, des algorithmes ont été développés et utilisés dans une configu-ration 1D sphérique pour décrire l’évapoconfigu-ration d’une goutte statique isolée et sans gravité. Puis dans un second temps, l’évaporation d’une goutte a été étudiée dans un écoulement laminaire. Une analyse des échanges de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur ainsi que de la force de traînée exercée par l’écoulement laminaire sur la goutte a été effectuée. Dans cette partie, il a été mis en évidence que l’évaporation induit une diminution des échanges thermiques et de la traînée. Il a notamment été observé que dans certains cas de forte évaporation, la traînée de la goutte peut devenir négative. Cela implique que l’évaporation peut être à l’origine d’un phénomène de propulsion de la goutte. Une analyse théorique permet de lier se comportement à une asymétrie du débit d’évaporation. Dans un troisième temps, l’influence de la turbulence sur l’évaporation d’une goutte a été étudiée. Pour cela, un générateur de fluctuations turbulentes a été implémenté et des techniques de calculs parallèles ont été introduites pour réduire les temps de calcul. Cela a permis d’analyser les échanges thermiques et le comportement de la traînée d’une goutte en interaction avec un écoulement turbulent. Il a été montré que ces deux grandeurs ont tendance à être amplifiées par la turbulence. Enfin, dans un dernier temps, l’évaporation de groupes de gouttes a été étudiée. Pour trois groupes de gouttes différents, les déplacements des gouttes ont été analysés avec les échanges de chaleur lorsque ceux-ci sont placés dans un écoulement lami-naire ou turbulent avec ou sans changement de phase. En présence d’évaporation, il a été mis en évidence que les déplacements sont différents des cas sans évaporation et donc que le changement de phase modifie les effets collectifs. De plus, ces effets de groupes ont aussi été observés sur les échanges thermiques.
Table des matières
I
Introduction
11
II
Équations pour les écoulements diphasiques
17
Établissement des bases et des concepts généraux . . . 19
1 Les outils mathématiques nécessaires pour établir les équations . . . 20
1.1 Les définitions des objets et opérateurs utilisés . . . 20
1.2 Le théorème de Green-Ostrogradsky . . . 21
1.3 Le théorème de transport de Reynolds . . . 22
2 Le cas d’un écoulement monophasique . . . 24
2.1 Conservation de la masse . . . 25
2.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . 25
3 Le cas d’un écoulement diphasique sans changement de phase . . . 27
3.1 Conservation de la masse . . . 27
3.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . 27
4 Le cas d’un écoulement diphasique avec du changement de phase . . . 29
4.1 Conservation de la masse . . . 29
4.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . 30
4.3 Conservation de l’énergie totale. . . 31
4.4 Description du changement d’état . . . 34
5 Le cas d’un écoulement diphasique multi-composant avec du changement de phase . 35 5.1 Conservation de la masse totale. . . 36
5.2 Conservation de la masse d’une espèce chimique . . . 37
5.3 Conservation de la quantité de mouvement totale. . . 39
5.4 Conservation de l’énergie totale. . . 39
5.5 Description du changement d’état . . . 41
III
Travail de recherche
43
1 Les méthodes numériques pour l’évaporation 45 Introduction du chapitre 1. . . 471 Les algorithmes du code DIVA . . . 47
1.1 Les équations de conservations utilisées . . . 47
1.2 Localisation et déplacement de l’interface . . . 49
1.3 La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles . . . 49
1.4 Le modèle pour le changement de phase . . . 51
1.5 Discrétisations et méthodes numériques . . . 54
2.2 La division en volume élémentaire : les simplex . . . 59
2.3 Convergence spatiale des reconstructions . . . 62
2.4 Le calcul des surfaces d’échanges avec la routine Frontières . . . 65
3 Les conditions limites immergées . . . 66
3.1 Implémentation d’une condition de Dirichlet immergée. . . 69
3.2 Implémentation d’une condition de Neumann immergée . . . 74
3.3 Implémentation d’une condition de Robin immergée . . . 76
4 Les techniques d’extrapolation d’un champ scalaire . . . 78
4.1 L’extrapolation d’un champ scalaire sans terme source . . . 78
4.2 L’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme source . . . 80
4.3 Les différentes extrapolations de DIVA. . . 83
5 La goutte isolée en évaporation . . . 85
5.1 Théorie de la goutte isolée en évaporation . . . 85
5.2 Simulation stationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . 90
5.3 Simulation instationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . 96
5.4 Simulation d’une goutte isolée en mouvement s’évaporant . . . 97
Conclusion du chapitre 1 . . . 101
2 L’évaporation d’une goutte statique 103 Introduction du chapitre 2. . . 104
1 La construction du code monodimensionnel sphérique . . . 104
1.1 Actualisation de la position de l’interface . . . 104
1.2 Modèle pour le changement de phase. . . 105
1.3 Calcul des propriétés thermophysiques . . . 107
1.4 Modèles pour le champ de vitesse . . . 108
2 Validation du code monodimensionnel sphérique . . . 110
2.1 La comparaison avec la théorie du d2 . . . 110
2.2 Le changement de volume d’une goutte . . . 113
2.3 L’expérience de Duncan et Toor . . . 114
3 Comparaison des résultats du code sphérique avec des expériences . . . 117
3.1 Expérience avec des gouttes mono-composant à température ambiante . . . 117
3.2 Expérience avec des gouttes mono-composant à température élevée. . . 118
3.3 Expériences avec des gouttes bi-composant à température ambiante . . . 120
Conclusion du chapitre 2 . . . 121
3 L’évaporation d’une goutte dans un écoulement laminaire 123 Introduction du chapitre 3. . . 124
1 La mise en place de l’étude . . . 124
1.1 Le référentiel mobile . . . 124
1.2 La configuration des simulations . . . 125
1.3 Les transferts de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur . . . 127
1.4 Les efforts s’appliquant sur la goutte . . . 128
2 Influences des nombres de Reynolds de Spalding sur la goutte . . . 129
2.1 Analyse du nombre de Nusselt . . . 130
2.2 Analyse de la force réduite . . . 133
3 Influence du nombre de Prandtl P r sur la goutte . . . 138
4 Le modèle d’autopropulsion de la goutte . . . 154
4.1 La chute de pression de l’écoulement de Stefan . . . 154
4.2 La dissymétrie du débit d’évaporation . . . 155
4.3 L’expression de la force de propulsion de la goutte . . . 156
Conclusion du chapitre 3 . . . 159
4 L’évaporation d’une goutte dans un écoulement turbulent 161 Introduction du chapitre 4. . . 162
1 Le générateur de turbulence . . . 164
1.1 La méthode pour générer des fluctuations turbulentes . . . 164
1.2 Tests préliminaires . . . 168
1.3 La décroissance temporelle d’une THI . . . 173
2 Optimisation des performances de DIVA . . . 178
2.1 Une approche parallèle de la génération de la turbulence. . . 178
2.2 Produit de convolution dans l’espace de Fourier. . . 180
2.3 Amélioration des communications entre les processeurs . . . 181
2.4 Un premier pas vers un code hybride MPI-OpenMP . . . 183
3 L’effet de la turbulence sur une goutte . . . 185
3.1 Effet de la turbulence sur les échanges thermiques . . . 187
3.2 Effet de la turbulence sur les forces appliquées sur la goutte . . . 190
3.3 Quelques explications sur les problèmes de convergence . . . 192
Conclusion du chapitre 4 . . . 194
5 L’étude des groupes de gouttes 197 Introduction du chapitre 5. . . 198
1 Les trois différents groupes et les maillages utilisés . . . 199
1.1 Le premier groupe uniforme . . . 200
1.2 Le second groupe uniforme . . . 200
1.3 Le groupe mixte . . . 201
1.4 La précision des maillages utilisés . . . 203
2 Le déplacement relatif des gouttes dans un groupe . . . 206
2.1 Les gouttes dans un écoulement laminaire sans évaporation . . . 206
2.2 Les gouttes dans un écoulement laminaire avec évaporation . . . 207
2.3 Les gouttes dans un écoulement turbulent sans évaporation . . . 208
2.4 Les gouttes dans un écoulement turbulent avec évaporation . . . 209
3 Les échanges thermiques dans un groupe de goutte . . . 210
3.1 Le cas d’un écoulement laminaire et sans évaporation . . . 210
3.2 L’influence de l’évaporation . . . 214
3.3 L’influence de la turbulence . . . 218
3.4 L’influence combiné de l’évaporation et de la turbulence . . . 222
Conclusion du chapitre 5 . . . 226
IV
Conclusion et perspectives
227
Première partie
travaux réalisés. L’introduction présente de manière historique les études sur le changement de phase, elle permet d’établir le contexte de l’étude ainsi que son organisation. La seconde partie est un point de départ qui permet d’établir les équations utilisées pour l’étude des gouttes. C’est un travail de synthèse des différents cours que j’ai pu avoir qui sert de base pour le travail de recherche. La troisième partie est la présentation du travail de recherche effectué pendant la thèse. Enfin, la quatrième partie est la conclusion de ce manuscrit dans laquelle les points essentiels et les perspectives sont exposés.
Les premières études sur le changement de phase commencent avec Josef Stefan à la fin du 19ème siècle. Dans Stefan (1889a,b), il se penche sur la formation des glaciers en regardant
l’évolution de la frontière de glace. Ensuite, il la caractérise en décrivant l’écoulement généré par le changement de phase. Les équations établies ont permis de fournir pour la première fois une analyse théorique de la modification de l’interface par du changement de phase. Au début du 20èmesiècle,Morse(1910) étudie expérimentalement la sublimation des perles d’iode en regardant
l’évolution temporelle de leur diamètre. Ses résultats expérimentaux mettent en évidence que des perles de différentes masses ont des évolutions temporelles similaires. Cependant, il ne fournit pas de description théorique complète de l’évolution du diamètre des perles. C’est Langmuir(1918) qui théorise l’évolution de la taille des perles. Il montre que le débit massique d’évaporation des perles est bien proportionnel au rayon des sphères, une hypothèse avancée parMorse(1910). Pour cela, il s’appuie sur des expériences de convection d’un gaz autour d’un fil. En transposant les conclusions de ces expériences au cas des perles d’iodes, il ouvre la voie à l’étude de l’évaporation. En reprenant les études de ses prédécesseurs,Frossling(1938) est l’un des premier à s’inté-resser à l’évaporation des gouttes. Il mène une analyse pour proposer une corrélation décrivant le taux de transfert de masse entre une goutte et l’écoulement extérieur. Il appuie son raisonnement sur des résultats expérimentaux de gouttes qui s’évaporent soit en chute libre, soit suspendues à des fibres de verre. Comme ses conclusions sont restreintes à certaines espèces chimiques et une certaine gamme de nombres adimensionnels, de nombreux auteurs élargissent ses travaux.
Les expériences de Ranz & Marshall (1952a,b) vont notamment servir de référence en établissant une base de données conséquente pour l’étude des gouttes. Ils confirment expérimen-talement le parallèle entre les transferts de masse et ceux de chaleur déjà énoncé par le passé.
En s’appuyant sur des expériences,Spalding (1953) etGodsave(1953) proposent simulta-nément une première théorie sur l’évaporation des gouttes isolées, la loi du d2. Cette modélisation
montre qu’une goutte isolée s’évaporant atteint un état d’équilibre. Lors de cet équilibre, le carré du diamètre de la goutte décroît linéairement avec le temps et la température moyenne de la goutte reste constante. Néanmoins, la configuration goutte isolée se rencontre très rarement, elle reste une configuration académique qui permet de bien comprendre les phénomènes physiques.
Par la suite, les recherches se dirigent vers la combustion de gouttes pour répondre au développement des moteurs. L’évaporation est toujours présente mais elle est reléguée au second plan d’analyse. L’objectif principal est de décrire leur combustion. Il est donc plus difficile de trouver dans cette période des études d’évaporation pure.
L’analyse deKotake & Okazaki (1969) s’intéresse, avec un modèle numérique, à la com-bustion d’une goutte isolée.Law(1976);Law & Sirignano(1977) s’attachent à étendre la théorie de la goutte isolée à des configurations plus proches de la réalité. Souvent, l’analyse théorique de
Spalding (1953) etGodsave(1953) est reprise avec des hypothèses moins fortes mais l’approche
poration de gouttes isolées sont réalisées pour obtenir une meilleure description du phénomène. Cette démarche s’inscrit dans un période de développement des outils de calcul numériques. Les nouveaux moyens à disposition permettent d’élargir les hypothèses initiales de la goutte isolée. Les propriétés physiques variables sont considérées avec Hubbard et al. (1975); Renksizbulut
(1988);Chiang et al.(1992);Chiang & Sirignano(1993) etShusser(2007). Cela permet de s’in-téresser aux gouttes composées de plusieurs espèces chimiques comme les études de Sirignano
& Wu (2008); Cook (2008) et Ebrahimian Shiadeh (2011). Beaucoup d’intérêt est aussi porté
à l’interaction d’une goutte avec un écoulement convectif dans les analyses de Spalding (1960);
Abramzon & Sirignano(1989);Renksizbulut et al.(1991);Zhang(2004) etSchlottke & Weigand
(2008). Mais, la plus intéressante est sûrement celle de Montlucon(1975) qui mène une analyse théorique particulièrement détaillée d’une goutte en évaporation dans un écoulement convec-tif. De nos jours, beaucoup d’études numériques se consacrent encore à la combustion avec par exempleWu & Sirignano(2010) etDryer (2013).
Dans le domaine expérimental, l’amélioration des moyens de mesures entraîne la publica-tion de nombreuses expériences sur la combuspublica-tion de goutte.Kadota & Hiroyasu(1976) étudient l’évaporation de gouttes isolées dans des environnements à haute pression et haute température. Ce travail se poursuit en combustion avecKadota & Hiroyasu (1981) où les auteurs étudient la combustion de gouttes dans des environnements critiques susceptibles d’être rencontrés en condi-tions réelles.Nomura et al.(1996);Chauveau et al.(2000,2011) étudient l’évaporation de goutte en microgravité dans un environnement à pression ambiante ou à haute pression.Chauveau et al.
(2008) s’intéressent à l’effet des supports permettant de fixer la goutte lors des expériences. Dans les années 2000, des études s’intéressant à l’évaporation et la combustion de groupes de gouttes apparaissent. Par exemple, Imaoka & Sirignano (2005) réalisent des simulations de matrices de gouttes qui s’évaporent et qui brûlent. En faisant varier la distance entre les gouttes et le nombre total de gouttes, ils analysent les modifications induites sur le taux d’évaporation. Ce travail montre que les gouttes au centre du groupe s’évaporent beaucoup moins vite que celles situées sur l’extérieur. Les expériences deChauveau et al.(2006) qui s’intéressent à l’évaporation de matrices de gouttes fixées sur des fibres de quartz.Wu & Sirignano(2011) s’intéressent de leur côté à la combustion de groupes de gouttes dans un écoulement convectif. À l’aide de simulations numériques de matrices périodiques de gouttes, ils mettent en évidence des effets de groupes lors de la combustion des gouttes en regardant notamment la position du front de flamme. Il est aussi utile de regarder l’étude de Sirignano(2014) qui présente les dernières avancées dans le domaine de l’évaporation et la combustion de groupes de gouttes. Enfin, on peut regarder
Dodd & Ferrante (2016) qui analyse le comportement de plusieurs gouttes s’évaporant dans un
écoulement turbulent et notamment l’interaction de la turbulence avec les gouttes.
En résumé, toutes ces études ont permis d’améliorer la compréhension des phénomènes d’évaporation et de combustion de gouttes. Par exemple, le cas de la goutte isolée est connue théoriquement et validé dans des configurations simples par des expériences. Cependant, la goutte isolé reste un cas académique que l’on rencontre peu dans la réalité. Pour les cas les plus com-plexes, il n’existe pas de modélisation théorique claire et il faut réaliser des expériences. Pour les groupes de gouttes, il est difficile de fournir, avec l’approche expérimentale, les informations nécessaires pour comprendre les mécanismes à l’intérieur du groupe. Il vaut mieux se tourner vers les simulations numériques donnant accès à toutes les variables. Or, pour le moment, très peu de simulations numériques réalisées sur des cas complexes sont assez précises pour reproduire fidèlement le comportement d’un groupe de gouttes. En effet, il est très difficile d’implémenter
ces dernières sont longs à obtenir. De plus, sans cas expérimentaux de référence, ces simulations ne sont pas simples à valider pour s’assurer qu’elles soient prédictives.
C’est ce qui justifie cette étude. Elle consiste à établir, avec des simulations numériques directes, des modèles descriptifs précis de l’évaporation d’une goutte ou d’un groupe de gouttes. Dans lechapitre 1, les méthodes numériques nécessaires pour réaliser des simulations avec du changement de phase sur des domaines multi-dimensionnels sont présentées. La difficulté principale de ces configurations est d’être capable de reconstruire la séparation gaz-liquide et d’y imposer des conditions limites. Les méthodes adaptées seront détaillées et testées avec des études de convergence.
Dans le chapitre 2, un algorithme permettant faire des simulations numériques directes de l’évaporation multi-composante est introduit. Il est implémenté dans un solveur sphérique monodimensionnel décrivant spécifiquement le cas d’une goutte isolée sans gravité. L’objectif de ce solveur est d’avoir une configuration simple permettant de tester différents effets physiques, comme des propriétés thermophysiques variables par exemple, susceptibles d’influencer le change-ment de phase. Après avoir validé le solveur, les résultats sont comparés à des cas expérichange-mentaux de gouttes isolées qui s’évaporent.
Dans le chapitre 3, une étude paramétrique de l’effet de l’évaporation sur une goutte est présentée. Le flux de chaleur reçu par la goutte, caractérisé par le nombre de Nusselt Nu, ainsi que la force exercée sur la goutte Ft, sont calculés à l’aide de simulations axisymétriques réalisées avec DIVA. Ensuite, leurs évolutions sont analysées en fonction de l’écoulement extérieur (caractérisé par le nombre de Reynolds Re), l’évaporation (caractérisé par le nombre de Spalding B) et le couplage thermique-hydrodynamique (caractérisé par le nombre de Prandtl P r).
Dans lechapitre 4, une étude paramétrique de l’effet de la turbulence sur une goutte qui s’évapore est proposée. Un générateur d’entrées turbulentes est mis en place et, après l’avoir validé, des simulations 3D de gouttes s’évaporant dans un écoulement turbulent sont réalisées. Les temps de ces simulations étant longs, quelques techniques d’optimisation sont introduites pour réduire les temps de calcul de DIVA.
Pour conclure, dans lechapitre 5, une étude préliminaire des groupes de gouttes est effec-tuée. Trois configurations de groupe de gouttes sont mises en place et les effets collectifs de ces groupes sont analysés. Ce chapitre montre que DIVA peut faire des études précises sur l’évapo-ration des groupes de gouttes.
Avant de présenter le travail de recherche de ces cinq chapitres, les équations utilisées dans ce manuscrit sont établies dans la partie suivante.
Deuxième partie
Équations pour les écoulements
diphasiques
Dans cette partie, les bases théoriques utilisées dans le manuscrit sont introduites. Elles sont volontairement mises à part car elles ne présentent pas quelque chose de nouveau. Cependant, les concepts présentés sont essentiels pour comprendre les travaux qui suivent. Les équations établies par la suite se trouvent dans la plupart des ouvrages de mécanique de fluides ou de mécanique des milieux continus. Pour les établir, je me suis inspiré des cours de Diether Bothe pour l’approche mathématique, et de ceux de Sébastien Tanguy ainsi que des ouvrages de Kuo
(2005),Taylor & Krishna(1993) etGuyon et al.(2012) pour l’approche physique.
Dans le manuscrit, un fluide est décrit comme un milieu continu composé d’un nombre fini de particules fluides constamment en contact. Elles se déplacent avec la contrainte qu’aucun espace vide n’est permis entre ces particules. La taille de ces dernières doit être grande devant les longueurs atomiques pour définir les grandeurs macroscopiques (température, pression, vitesse...) et assez petite pour être considérée comme un point de l’espace. On suppose que ces particules peuvent se déplacer et se déformer au cours du temps t. L’analyse des déformations et des déplacements permet alors de connaître l’évolution du milieu continu.
Soient, C0la configuration initiale du milieu et C1celle à un instant t1. Les particules sont
repérées par leur vecteur position xp dans l’espace. La position dans la configuration initiale est notée xp
0 et celle dans la configuration déformée x
p
1. Pour décrire le mouvement de C0 vers C1,
il faut un état de référence et deux choix sont possibles : la description Lagrangienne ou celle Eulérienne. Dans la première, la configuration C0est l’état de référence servant à suivre l’évolution
des propriétés de chaque particule. Dans la seconde, l’état de référence est la position spatiale x. Pour décrire le changement des propriétés de la particule, la variation temporelle d’une propriété P d’une particule se définit comme la dérivée temporelle totale de P. Elle est égale à la limite du taux de variation de P pendant un instant dt quand dt tend vers 0 :
dP
dt = limdt→0
P(t + dt) − P(t)
dt . (1)
Dans la description Lagrangienne, la propriété P s’exprime comme PL(t, xp0), une
fonc-tion du temps et de la posifonc-tion initiale. Dans la descripfonc-tion Eulérienne, elle s’exprime comme PE(t, xp(t)), une fonction du temps et de la position de la particule l’instant t. Donc, dans cette description, le référentiel dépend du temps puisque la particule change de position au cours du temps. Ce n’est pas le cas avec la description Lagrangienne, xp
0 étant l’état initial, il est
indépen-dant du temps. Ainsi, avec ∂ représentant la dérivée partielle et ∇ l’opérateur nabla, le résultat de la dérivée temporelle totale sera exprimé différemment suivant la description choisie :
dPL(t, xp0) dt = ∂PL ∂t dt dt+ ∂PL ∂xp0 dxp0 dt = ∂PL ∂t , (2) dPE(t, xp(t)) dt = ∂PE ∂t dt dt+ ∂PE ∂xp dxp dt = ∂PE ∂t × +∇PE· dxp dt . (3)
Pour la description Lagrangienne, la dérivée temporelle totale est égale à la dérivée partielle temporelle. C’est un résultat attendu, car pour une particule donnée, il n’y a pas d’influence spatiale. Par contre, pour la description Eulérienne, la dérivée temporelle totale est égale à la somme de la dérivée partielle temporelle et d’un terme convectif. Il s’exprime avec dxp
t/dt qui est la vitesse instantanée v à l’instant t de la particule. La variation totale temporelle de la grandeur PE pour un point x est donc la variation temporelle locale de PE ajoutée à la variation spatiale amenée par le passage des différentes particules en x.
Finalement, comme le résultat des dérivées totales est indépendant des points de référence, on a : dP dt = ∂PL ∂t = ∂PE ∂t + v · ∇PE . (4)
Soit, D · /Dt l’opérateur dérivée particulaire, on définit alors :
DPE
Dt = ∂PE
∂t + v · ∇PE . (5)
À partir d’ici, les bases du modèle théorique pour décrire un milieu continu sont établies. Dans la suite, une description Eulérienne sera utilisée pour le développer dans le cadre d’un fluide monophasique, d’un fluide diphasique sans changement de phase, d’un fluide diphasique avec changement de phase et d’un fluide diphasique multi-composant avec changement de phase. Dans tous les cas considérés, il n’y a pas de chocs ou de discontinuités à l’intérieur d’une phase donnée.
1
Les outils mathématiques nécessaires pour établir les
équations
1.1
Les définitions des objets et opérateurs utilisés
Soit Ω, un milieu continu décrit par des particules fluides. Sur ce domaine, le vecteur position x sert de repère spatial et le temps t de repère temporel. Il est important de remarquer que le vecteur est écrit en fonte grasse et le scalaire en fonte normale. Dans la suite du manuscrit, ces notations seront respectées. De plus, lorsqu’un tenseur d’ordre 2 sera utilisé, il sera écrit avec une fonte à double trait comme S, T, I, D ...
Les particules sont décrites par un volume matériel V (t) délimité par une surface ∂V (t) dépendant tout deux du temps. Ces objets sont schématisés sur lafigure 1a. La normale sortante à la surface du volume est notée N∂V. Sur ce volume, soient un champ scalaire As(t, x), un champ vectoriel Av(t, x) et un champ tensoriel d’ordre 2 At(t, x) dépendants du temps et de la position spatiale x. La vitesse de déplacement des frontières du volume est notée V∂V.
V
Ω
∂V
(a) Particule fluide monophasique
Ω− Ω+ V− V+ ∂V+ ∂V− I Γ ∂Γ
(b) Particule fluide diphasique
Ω− Ω+ N∂V+ N∂V− Γ NΓ N∂Γ
(c) Normales de la particule fluide
Figure 1 – Schémas des particules fluides
Pour les écoulements diphasiques, la surface I(t), représentant l’interface liquide-gaz, sé-pare Ω en deux domaines distincts Ω−et Ω+. Les variables associées à ces domaines sont repérées
par un exposant − et +. Sa normale, de direction arbitraire de Ω−vers Ω+, est NI. Sa vitesse de
de surface, identique à NI, est notée NΓ. La vitesse de ce morceau d’interface est aussi notée
avec VΓ. Les bords de cette intersection sont définis par la courbe ∂Γ(t) = ∂V (t) ∩ I(t) dont
la normale se note N∂Γ. Lafigure 1breprésente une particule fluide coupée par l’interface et la
figure 1creprésente les normales de cette même particule.
Les objets définis jusqu’à présent sont des volumes, des surfaces ou des courbes. Ils sont dits matériels si leur vitesse de déplacement est, en tout point, identique à la vitesse de déplacement du milieu continu. Par exemple, une interface n’est pas considérée comme matérielle lorsqu’il y a du changement de phase, elle ne se déplace pas à la même vitesse que le fluide environnant. Il n’y aura pas de notation particulière pour désigner un domaine matériel.
Enfin, les opérateurs principaux utilisés sont les suivants :
• le produit scalaire, appliqué à deux vecteurs x1et x2, est la somme du produit des
compo-santes vecteur deux à deux, il est noté x1· x2 et le résultat est un scalaire ;
• le produit vectoriel, appliqué à deux vecteurs x1et x2, permet de calculer une normale au
plan généré par x1 et x2 , il est noté x1× x2 et le résultat est un vecteur ;
• le produit dyadique, appliqué à deux vecteurs x1et x2, est le résultat du produit matriciel
entre x1 écrit comme matrice colonne et x2 écrit comme matrice ligne, il est noté x1⊗ x2
et le résultat est un tenseur d’ordre 2 ;
• l’opérateur gradient, appliqué à un champ scalaire As(t, x), représente la direction de la pente de ce champ scalaire, il est notée avec le symbole nabla par ∇As(t, x) et le résultat est un champ vectoriel ;
• l’opérateur gradient, appliqué à un champ vectoriel Av(t, x), représente aussi la direction de la pente du champ vectoriel, il est notée avec le symbole nabla par ∇Av(t, x) et le résultat est un champ tensoriel d’ordre 2 ;
• l’opérateur divergence, appliqué à un champ vectoriel Av(t, x), permet de savoir si en un point donné, Av(t, x) se dirige ou s’éloigne de ce point, il est noté avec le symbole nabla par ∇ · Av(t, x) et le résultat est un champ scalaire ;
• l’opérateur divergence, appliqué à un champ tensoriel At(t, x), permet aussi de savoir si en un point donné, At(t, x) se dirige ou s’éloigne de ce point, il est noté avec le symbole nabla par ∇ · At(t, x) et le résultat est un champ vectoriel ;
• l’opérateur relation de saut décrit le passage d’une grandeur à travers une surface séparant deux domaines distincts, en supposant que As possède une limite de chaque côté de la surface Γ, on définit pour tout point x appartenant à Γ, la relation de saut pour As par :
JAsK (x) = lim h→0+ A + s(x + hNΓ) − A−s(x − hNΓ) . (6)
Ces opérateurs peuvent se définir sur des surfaces, ils sont alors appelés opérateurs sur-faciques. Dans la suite, ils seront évoqués sans être utilisés, ils ne sont donc pas définis. Dans
Cermelli et al.(2005), des précisions sont apportées sur ces opérateurs.
1.2
Le théorème de Green-Ostrogradsky
Dans cette partie, le théorème de Green-Ostrogradsky (ou théorème de flux-divergence) est introduit puis exprimé dans les différentes situations du manuscrit.
Pour une particule fluide monophasique, le théorème de Green-Ostrogradsky lie le flux d’un champ vectoriel à la divergence de ce champ. Il énonce que l’intégrale surfacique sur les frontières
∂V d’un volume V du produit scalaire de Av avec N∂V est égale à l’intégrale volumique sur ce même volume de la divergence de Av :
Z ∂V (t) Av(x, t) · N∂V dS = Z V (t) ∇ · (Av(x, t)) dV . (7) Cette égalité est purement spatiale, elle est établi quel que soit l’instant t. Cette version du théorème est nommée le théorème de Green-Ostrogradsky monophasique.
Dans le cas d’une particule fluide diphasique, le théorème de Green-Ostrogradsky affirme que l’intégrale surfacique sur les frontières ∂V d’un volume V du produit scalaire de Av avec N∂V est égale à la somme de la divergence de Av sur chaque volume le composant, c’est-à-dire
V− et V+ intégrés séparément que l’on note V±(t), et de l’intégrale surfacique sur Γ du produit
scalaire du saut de Av avec NΓ : Z ∂V (t) Av(x, t) · N∂V dS = Z V±(t) ∇ · (Av(x, t)) dV + Z Γ(t) JAv(x, t)K · NΓdS . (8)
Cette version est nommée le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique. Pour l’établir, il faut faire apparaître les surfaces ∂V−(t), ∂V+(t) et Γ(t) liées par ∂V (t) = ∂V−(t) − Γ(t) +
∂V+(t) − Γ(t) : Z ∂V (t) Av(x, t)·N∂V dS = Z ∂V− Av·N∂V−dS− Z Γ A− v·NΓdS+ Z ∂V+ Av·N∂V+dS− Z Γ A+ v·(−NΓ) dS . (9) Deux intégrales surfaciques monophasiques apparaissent sur lesquelles le théorème de Green-Ostrogradsky monophasique peut s’appliquer. De plus, la relation de saut pour Av se forme avec les intégrales surfaciques appliquées à l’interface :
Z ∂V (t) Av(x, t) · N∂V dS = Z V− ∇ · (Av) dV + Z V+ ∇ · (Av) dV + Z Γ JAvK · NΓ dS . (10) Finalement, en rassemblant les intégrales volumiques, le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique est exprimé par l’équation 8.
Dans le cas d’une particule fluide diphasique avec changement de phase, l’interface n’est plus une surface matérielle. Toutefois, le théorème de Green-Ostrogradsky établit une égalité purement spatiale. C’est donc au théorème de Green-Ostrogradsky diphasique qui s’applique.
1.3
Le théorème de transport de Reynolds
Dans cette partie, le théorème de transport de Reynolds est introduit. Il découle de la règle de Leibniz permettant d’intégrer une expression dont les bornes de l’intégrale dépendent de la variable à intégrer. Cela permet de commuter une dérivé temporelle et une intégrale spatiale dont le domaine d’intégration dépend du temps.
d’un scalaire As sur V (t), dépendant du temps t, est égale à la somme de l’intégrale volumique de la dérivée partielle temporelle de Aset de l’intégrale surfacique sur la frontière du volume d’in-tégration ∂V (t), qui dépend du temps, du produit de Asavec la vitesse normale de déplacement de la frontière V∂V · N∂V : d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V (t) ∂As(x, t) ∂t dV + Z ∂V (t) As(x, t)V∂V · N∂V dS . (11)
La particule étant un volume matériel, on a V∂V = v. Le théorème de Green-Ostrogradsky permet de réécrire le théorème de transport de Reynolds comme :
d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V (t) ∂As(x, t) ∂t + ∇ · (As(x, t)v) dV . (12)
Pour une particule fluide diphasique, le théorème de transport de Reynolds s’exprime comme le théorème de transport de Reynolds monophasique appliqué séparément aux volumes
V−(t) et V+(t) : d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V±(t) ∂As(x, t) ∂t + ∇ · (As(x, t)v) dV . (13)
Cette version est le théorème de transport de Reynolds diphasique. Pour l’établir, iden-tiquement au théorème de Green-Ostrogradsky diphasique, il faut d’abord séparer le volume principal en V−(t) et V+(t) : d dt Z V (t) As(x, t) dV = dtd Z V− AsdV + d dt Z V+ As dV . (14)
Ensuite le théorème de transport de Reynolds monophasique est appliqué à chacun des volumes présents : d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V− ∂As ∂t dV + Z ∂V− AsV∂V−· N∂V− dS + Z V+ ∂As ∂t dV + Z ∂V+ AsV∂V+· N∂V+ dS . (15)
Les intégrales volumiques temporelles sont rassemblées puis, les intégrales surfaciques sont associées. Une intégrale surfacique sur Γ(t) apparaît sachant que ∂V (t) = ∂V−(t) − Γ(t) +
d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V± ∂As ∂t dV + Z ∂V AsV∂V · N∂V dS + Z Γ A−sVΓ· NΓ dS + Z Γ A+sVΓ· (−NΓ) dS . (16)
La particule est un volume matériel donc V∂V = v. De plus, sans de changement de phase, l’interface est aussi une surface matérielle impliquant VΓ = v. On peut finalement faire
apparaître la relation de saut :
d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V± ∂As ∂t dV + Z ∂V Asv · N∂V dS − Z Γ JAsvK · NΓdS . (17)
L’utilisation du théorème de Green-Ostrogradsky diphasique amène l’équation 13, le théo-rème de transport de Reynolds diphasique.
Pour une particule fluide diphasique avec changement de phase, l’interface n’est plus une surface matérielle. Sa vitesse de déplacement, différente de celle du fluide, empêche d’écrire VΓ = v. Par contre, la particule fluide étant toujours un volume matériel, V∂V = v est
va-lable. L’équation 16devient donc :
d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V± ∂As ∂t dV + Z ∂V Asv · N∂V dS − Z Γ JAsVΓK · NΓ dS . (18)
Le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique sur l’intégrale surfacique de ∂V (t) permet d’obtenir : d dt Z V (t) As(x, t) dV = Z V±(t) ∂As(x, t) ∂t + ∇ · (As(x, t)v) dV − Z Γ(t) JAs(x, t) (v − VΓ)K · NΓ dS . (19)
Cette version du théorème de transport de Reynolds sera nommée le théorème de transport de Reynolds avec changement de phase.
2
Le cas d’un écoulement monophasique
Dans cette partie, les équations du comportement d’un fluide monophasique sont décrites. Pour cela, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sont établies. Elles permettront d’accéder à la vitesse et la pression du fluide.
Soit m, la masse totale d’une particule fluide. En l’absence de phénomène susceptible de la faire varier, le principe de conservation indique que sa variation temporelle est nulle. En notant
ρ, la masse volumique du fluide :
m(t, x) =
Z V (t)
ρ(t, x) dV . (20)
Puis, le théorème de transport de Reynolds monophasique, l’équation 12, implique :
d dt Z V (t) ρ(t, x) dV = Z V ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) dV = 0 . (21)
Le principe de localisation énonce qu’une intégrale nulle pour n’importe quel volume V (t) implique que son intégrande est nul. Cela permet d’établir la relation locale de la conservation de la masse sous forme conservative :
∂ρ
∂t + ∇ · (ρv) = 0 . (22)
2.2
Conservation de la quantité de mouvement
Dans cette partie, la seconde loi de Newton est appliquée à la quantité de mouvement. Elle énonce que la variation temporelle de la quantité de mouvement mv d’une particule matérielle provient des efforts agissant sur celle-ci. Ces efforts sont divisés en forces surfaciques Fs et en forces volumiques Fv. En introduisant la densité de force volumique fv telle que Fv= ρfv et le tenseur des contraintes surfaciques S, elles sont écrites sous la forme d’intégrale :
Fs = Z ∂V (t) S· N∂V dS , Fv = Z V (t) ρfv dV . (23)
L’application de la seconde loi de Newton pour une particule fluide donne :
d dt Z V (t) ρ(t, x)v(t, x) dV = Z ∂V S· N∂V dS + Z V ρfv dV . (24)
Ensuite, le théorème de transport de Reynolds monophasique (équation 12) est appliqué au terme de gauche et le théorème de Green-Ostrogradsky monophasique (équation 7) au terme des forces surfaciques pour obtenir :
Z V ∂ (ρv) ∂t + ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv dV = 0 . (25)
Enfin, le principe de localisation (page25), amène la relation locale de la conservation de la quantité de mouvement sous forme conservative :
∂ (ρv)
Le développement des contraintes surfaciques introduit de nouveaux termes permettant description plus fine du milieu continu. Les contraintes surfaciques S sont décomposées en une partie sphérique (ou isotrope) appelée Sset une partie déviatorique (ou sans trace) appelée Sd. Elles sont définies avec l’opérateur trace Tr (·) et le tenseur identité I comme :
S= Ss+ Sd , Ss= 1
3Tr (S) I , Sd= S − Ss . (27) Cette décomposition différencie les contraintes normales et tangentielles (cisaillement). Parmi les contraintes normales, les efforts de la pression hydrostatique (ou thermodynamique) p sont séparés des efforts visqueux Π qui s’annulent à l’état d’équilibre. Ici, l’état d’équilibre est fixé tel que le tenseur des déformations, noté D et défini comme la moitié de la somme du gradient de vitesse et de sa transposée, soit nul. La pression mécanique P est alors définie comme la somme des contributions normales de pression et de viscosité :
P = p + Π = −13Tr (S) . (28)
Le tenseur des contraintes est finalement une somme de trois termes : la pression hydro-statique, la pression visqueuse et les effets de cisaillement visqueux. Il est usuel de rassembler les contributions visqueuses pour former le tenseur des contraintes visqueuses noté Sv = −ΠI + Sd que l’on modélise avec une loi de comportement caractérisant le milieu continu choisi.
Ici, le fluide est supposé Newtonien, ce qui signifie que les contraintes visqueuses tangen-tielles varient linéairement avec les déformations du milieu. Toutefois, cette hypothèse modélise le comportement de Sd mais pas celui de Π. Ce dernier décrit des efforts surfaciques normaux qui s’identifient aux effets de dilatation ou de compression. Ce sont les effets visqueux de com-pressibilité qui se mesurent à travers la divergence de la vitesse ∇ · v. La relation entre Π et ∇ · v est aussi supposée linéaire. Finalement, deux coefficients de proportionnalité sont introduits pour décrire Sv : la viscosité dynamique µ et la viscosité volumique (ou de dilatation) µv. Ils permettent de décrire le tenseur de viscosité tel que :
Sv= −ΠI + Sd= µv(∇ · v) I + 2µDd . (29) Parfois, il est plus judicieux d’utiliser D directement. En sachant que D = ∇v + ∇vT/2, la relation suivante est obtenue pour la trace du tenseur des déformations Tr (D) = ∇ · v. La partie sphérique étant le tiers de la trace, Sv s’écrit alors comme :
Sv= −ΠI + Sd= µv− 2 3µ (∇ · v) I + 2µD . (30)
Finalement, S se modélise comme : S= −pI + µv− 2 3µ (∇ · v) I + 2µD . (31)
Dans le cas où ∇ · v = 0, la relation locale de la conservation de la quantité de mouvement sous forme conservative s’écrit :
∂ (ρv)
phase
Dans cette partie, les équations régissant le comportement d’un écoulement diphasique sans changement de phase sont proposées. La conservation de la masse et celle de la quantité de mouvement permettrons d’accéder à la vitesse et la pression.
3.1
Conservation de la masse
De la même manière que pour le cas monophasique, la masse de notre particule se conserve puisqu’il n’y a pas de terme source de masse dans les volumes ni au niveau de l’interface. Le théorème de transport de Reynolds diphasique (équation 13) implique alors que :
d dt Z V (t) ρ(t, x) dV = Z V ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) dV = 0 . (33)
Ensuite, le principe de localisation (page25) donne la relation locale de la conservation de la masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :
∂ρ
∂t + ∇ · (ρv) = 0 . (34)
En l’absence de changement de phase, l’interface est déplacée de manière passive par le fluide avec une vitesse d’advection égale à celle du fluide v. Il est donc nécessaire d’imposer une continuité des vitesses à travers l’interface exprimée par :
JvK = 0 . (35)
3.2
Conservation de la quantité de mouvement
Dans cette partie, la seconde loi de Newton est appliquée à la quantité de mouvement
mv d’une particule fluide diphasique. Comme pour le cas monophasique, les efforts affectant la
particule sont divisées en forces surfaciques Fs et volumiques Fv. Mais, un nouveau type de force vient s’ajouter : les forces linéiques FL qui s’exerce exclusivement sur l’interface. En définissant la tension de surface σ, les trois types de forces sont :
FL = Z ∂Γ σN∂Γ dL , Fs= Z ∂V S· N∂V dS , Fv= Z V ρfv dV . (36)
Avant d’établir la loi de conservation, la force linéique est réécrite sous la forme d’une intégrale surfacique. Pour cela, des opérateurs surfaciques, notés à l’aide d’un exposant s, sont nécessaires.
Tout d’abord, la courbe ∂Γ(t) possède un vecteur tangent T∂Γet un vecteur normal N∂Γ. Sachant que NΓ est la normale de la portion d’interface, il est possible de construire N∂Γ comme
le produit vectoriel entre le vecteur tangent T∂Γ et la normale à l’interface NΓ pour obtenir N∂Γ= T∂Γ× NΓ. Lafigure 2permet de visualiser dans l’espace la position de ces vecteurs.
Γ
I
∂Γ
N
ΓN
∂ΓT
∂ΓFigure2 – Schéma des normales pour une portion d’interface Γ
Ensuite, en appliquant le théorème de Stokes, qui est la version surfacique du théorème de Green-Ostrogradsky, on transforme l’intégrale linéique en intégrale surfacique :
FL= Z
Γ
(NΓ× ∇) × (σNΓ) dS . (37)
Puis, les opérateurs gradient surfacique ∇s, divergence surfacique ∇s
· et la définition de la courbure de l’interface κ telle que κ = ∇s· (−N
Γ), permettent d’écrire la force linéique comme : FL=
Z
Γ
∇sσ + σκNΓ dS . (38)
Cette expression fait apparaître le terme de Marangoni ∇sσ, s’exprimant en cas de varia-tions spatiales de la tension de surface, et le terme σκNΓqui est la pression de Laplace responsable
de la différence de pression entre les deux phases.
Maintenant que la force linéique est exprimée en intégrale surfacique, la seconde loi de Newton est appliquée à la particule fluide :
d dt Z V (t) ρ(t, x)v(t, x) dV = Z ∂Γ σN∂Γ dL + Z ∂V S· N∂V dS + Z V ρfv dV . (39)
Ensuite, le théorème de transport de Reynolds diphasique (équation 13) est utilisé pour le terme de gauche et le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique (équation 8) est appliqué au terme des forces surfaciques. Puis, en utilisant l’expression surfacique des forces linéiques, on obtient : Z V± ∂ (ρv) ∂t + ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv dV + Z Γ (− JSK · NΓ− σκNΓ− ∇sσ) dS = 0 . (40)
de la masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :
∂ (ρv)
∂t + ∇ · (ρv ⊗ v) = ∇ · (S) + ρfv . (41)
En utilisant aussi le principe de localisation pour la surface Γ(t), la relation de saut au niveau de l’interface pour la conservation de la quantité de mouvement est exprimée par :
− JSK · NΓ+ σκNΓ+ ∇sσ = JpIK · NΓ− JSvK · NΓ+ σκNΓ+ ∇sσ = 0 . (42)
La conservation de la quantité de mouvement est une relation vectorielle et, selon les axes de projection utilisés, différentes expressions sont possibles. Ici, pour séparer les contributions normales et tangentielles, la relation de saut est projetée selon la normale à l’interface et le plan tangent :
JpK − JSv· NΓK · NΓ+ σκ = 0 , (43)
JSv· NΓK · TΓ+ ∇sσ · TΓ = 0 . (44)
Ces relations montrent que l’effet Marangoni est purement tangentiel à l’interface. Dans le cas où la tension de surface est constante, les contraintes visqueuses tangentielles seront continues, il n’y a pas de glissement au niveau de l’interface. Par contre, le saut des contraintes visqueuses normales est égal à la somme du saut de pression et du produit de la tension de surface par la courbure. Dans notre étude, la tension de surface sera constante, les relations de saut de la quantité de mouvement sont alors :
JpK − JSv· NΓK · NΓ+ σκ = 0 , (45)
JSv· NΓK · TΓ= 0 . (46)
4
Le cas d’un écoulement diphasique avec du changement
de phase
Dans cette partie, les équations pour un écoulement diphasique avec changement de phase sont énoncées. La conservation de la masse, de la quantité de mouvement et celle de l’énergie totale permettrons d’accéder à la vitesse, la pression, la température et le débit massique de changement de phase. Une équation supplémentaire est maintenant nécessaire pour décrire la transition de phase à l’interface.
4.1
Conservation de la masse
Comme pour les cas précédents, la variation temporelle de la masse de la particule est nulle. Le théorème de transport de Reynolds diphasique avec changement de phase implique alors que :
d dt Z V (t) ρ(t, x) dV = Z V± ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) dV + Z Γ Jρ (v − VΓ)K · NΓ dS = 0 . (47)
Puis, le principe de localisation (page25) permet d’établir la relation locale de la conser-vation de la masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :
∂ρ
∂t + ∇ · (ρv) = 0 . (48)
Ensuite, le principe de localisation pour la surface Γ(t), donne la relation de saut au niveau de l’interface pour la conservation de la masse :
Jρ (v − VΓ)K · NΓ = 0 . (49)
Cette relation de saut traduit l’égalité des flux de masse de chaque côté de l’interface. Il est alors utile d’introduire une nouvelle quantité, notée ˙m et nommée débit massique de changement
de phase, qui se définit telle que : ˙m = ρ− v−− V Γ · NΓ , ˙m = ρ+ v+− VΓ · NΓ . (50)
4.2
Conservation de la quantité de mouvement
Dans cette partie, comme pour les deux cas précédents, on écrit que la variation temporelle de la quantité de mouvement mv d’une particule fluide provient des forces agissant sur cette particule. Les forces affectant le fluide sont toujours divisées en forces linéiques FL qui s’exercent exclusivement sur l’interface I, en forces surfaciques Fs et en forces volumiques Fv :
FL= Z ∂Γ σN∂Γ dL , Fs= Z ∂V S· N∂V dS , Fv= Z V ρfv dV . (51)
La seconde loi de Newton est appliquée pour une particule fluide :
d dt Z V (t) ρ(t, x)v(t, x) dV = Z ∂Γ σN∂Γ dL + Z ∂V S· N∂V dS + Z V ρfv dV . (52)
Ensuite, on applique le théorème de transport de Reynolds diphasique (équation 19) au terme de gauche, on réécrit le terme de force linéique comme dans la partie diphasique sans changement de phase et, on applique le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique (équation 8) au terme des forces surfaciques. La conservation de la quantité de mouvement pour une particule fluide s’écrit alors :
d dt Z V (t) ρv dV = Z V± ∂ (ρv) ∂t + ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv dV+ Z Γ (Jρv ⊗ (v − VΓ)K · NΓ− JSK · NΓ− σκNΓ− ∇sσ) dS = 0 . (53)
Le principe de localisation (page 25), donne la relation locale de la conservation de la quantité de mouvement sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :
∂t
Puis, la relation de saut au niveau de l’interface pour la conservation de la quantité de mouvement est aussi établie en utilisant le principe de localisation pour la surface Γ(t). De plus, il est utile de faire apparaître le débit massique de changement de phase ˙m :
˙m JvK + JpIK · NΓ− JSvK · NΓ+ σκNΓ+ ∇sσ = 0 . (55)
Les projections selon un axe normal et un axe tangent à l’interface amènent :
˙m JvK · NΓ+ JpK − JSv· NΓK · NΓ+ σκ = 0 , (56)
˙m JvK · TΓ+ JSv· NΓK · TΓ+ ∇sσ · TΓ = 0 . (57)
Un nouveau terme apparaît, c’est ˙m JvK. Il répercute les conséquences de l’évaporation au niveau des contraintes normales et tangentielles. Dans le cas d’une tension de surface constante, sa présence induit que le saut des contraintes visqueuses tangentielles n’est plus nul. Cela signifie qu’il est possible d’avoir du glissement à l’interface provoqué par le changement de phase. En effet, ce dernier provoque une discontinuité des vitesses, il est donc logique qu’il y ait une discontinuité des contraintes visqueuses tangentielles. Dans le cadre de l’étude, la tension de surface est constante, impliquant les relations de saut suivantes :
˙m JvK · NΓ+ JpK − JSv· NΓK · NΓ+ σκ = 0 , (58)
˙m JvK · TΓ+ JSv· NΓK · TΓ= 0 . (59)
4.3
Conservation de l’énergie totale
Dans cette partie, l’équation de conservation de l’énergie totale Et est établie. Elle est nécessaire pour calculer le champ de température et en déduire le débit de changement de phase
˙m présent dans les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement.
Premièrement, il faut écrire l’énergie totale sous la forme de l’intégrale volumique de l’éner-gie massique totale Et:
Et(t, x) = Z V (t)
ρEt(t, x) dV . (60)
Ensuite, l’énergie massique totale est séparée en énergie microscopique et macroscopique. Le but est d’extraire les effets microscopiques qui sont difficiles à mesurer (agitation thermique et de liaisons entre les molécules) sous forme de l’énergie massique interne de la particule fluide Ei. La variation de Eiest alors décrite au moyen d’un fonction mathématique. L’énergie massique macroscopique est l’énergie massique cinétique macroscopique notée Ec. L’énergie massique totale devient alors : Z V (t) ρ(t, x)Et(t, x) dV = Z V (t) (ρ(t, x)Ei(t, x) + ρ(t, x)Ec(t, x)) dV . (61)
Maintenant, le premier principe de la thermodynamique est appliqué : la variation tem-porelle de l’énergie totale d’un système est égale à la somme des transferts thermiques ˙Q et mécaniques ˙W entre le système et son environnement, soit :
d dt Z V (t) ρ(t, x)Et(t, x) dV = ˙Q+ ˙W . (62)
Parmi les transferts thermiques, il y a les échanges de chaleur au niveau des frontières de la particule fluide notés Q et un terme source volumique de chaleur nommé Pe. Ensuite, les transferts mécaniques résultent du travail des forces linéiques, surfaciques et volumiques. Sachant que les forces linéiques peuvent s’exprimer comme des forces surfaciques, le premier principe s’écrit comme : d dt Z V EtdV = − Z ∂V Q · N∂V dS + Z V Pe dV + Z Γ v · σκNΓ dS + Z ∂V v · S · N∂V dS + Z V ρv · fv dV . (63) Sur le terme de gauche, on applique le théorème de transport de Reynolds diphasique avec changement de phase (équation 19). Après, le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique
(équation 8) est utilisé sur les termes surfaciques de droite. Enfin, étant donné qu’il n’y pas de
travail, ni de production d’énergie au sein de l’interface, les intégrales sur V (t) du travail des forces volumiques et de la production d’énergie sont égales à des intégrales sur V±(t). Le résultat
final est : Z V± (Et+ ∇ · (ρvEt) + ∇ · Q − ∇ · (v · S) − ρv · fv− Pe) dV+ Z Γ (JρEt(v − VΓ)K · NΓ+ JQK · NΓ− Jv · SK · NΓ− v · σκNΓ) dS = 0 . (64)
On remplace Etpar Ei+v2/2 et, avec le principe de localisation (page25), la relation locale de la conservation de l’énergie totale valable dans chaque volume pris séparément est établie sous forme conservative : ∂ ∂t ρEi+ ρ v2 2 + ∇ · ρvEi+ ρv v2 2 + ∇ · Q − ∇ · (v · S) − ρv · fv− Pe= 0 . (65) Cette équation est exprimée de manière à séparer les contributions mécaniques et ther-miques : ∂ ∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q − Pe= − ∂ ∂t ρv 2 2 − ∇ · ρvv 2 2 + ∇ · (v · S) + ρv · fv . (66) Maintenant, il est possible simplifier les contributions mécaniques en réalisant le produit scalaire entre la vitesse et l’équation 54de la conservation locale de la quantité de mouvement : v ·∂ (ρv)∂t + v · ∇ · (ρv ⊗ v) = v · ∇ · (S) + v · ρfv . (67)
on obtient : ∂ ∂t ρv 2 2 + ∇ · ρvv 2 2 − ∇ · (v · S) + ∇v: S − v · ρfv= 0 , (68) Soit : −∂ ∂t ρv 2 2 − ∇ · ρvv 2 2 + ∇ · (v · S) + ρv · fv= ∇v: S (69) La relation locale de la conservation de l’énergie interne sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément se simplifie en :
∂
∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q − ∇v: S − Pe= 0 . (70)
En séparant les contributions de la pression thermodynamique et de la viscosité dans le terme des contraintes surfaciques, S = −pI + Sv, on peut écrire :
∂
∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q + p∇ · v − ∇v: Sv− Pe= 0 . (71)
Puis, la relation locale de la conservation de la masse associée à l’enthalpie massique H, définit par ρEi = ρH + p, permet d’arriver à la relation locale de la conservation de l’enthalpie sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :
∂
∂t(ρH) + ∇ · (ρvH) − ∂p
∂t − v · ∇p + ∇ · Q − ∇v: Sv− Pe= 0 . (72)
Dans le cas d’un fluide mono-composant, le flux thermique provient des échanges conductifs Qc qui se modélise avec le loi de Fourier. En notant le coefficient de conduction thermique λ, on a Qc = −λ∇T . L’utilisation de la dérivée particulaire et de l’équation locale de la conservation de la masse donne :
ρDH Dt +
Dp
Dt + ∇ · (−λ∇T ) − ∇v: Sv− Pe= 0 . (73)
Pour établir la relation de saut, on utilise le principe de localisation sur Γ(t) faisant appa-raître le débit massique de changement de phase ˙m :
˙m s Ei+ v2 2 { + JQK · NΓ− Jv · SK · NΓ+ v · σκNΓ= 0 . (74)
Or, comme pour l’équation de conservation locale de l’énergie, il est possible d’utiliser la relation de saut de l’énergie mécanique. Celle-ci s’obtient en réalisant le produit scalaire entre la vitesse et l’équation 55de la relation de saut de la quantité de mouvement :
˙m sv2
2 {
− Jv · SK · NΓ+ v · σκNΓ= 0 . (75)
En injectant la relation précédente dans la relation de saut de l’énergie totale, on obtient :
