Angles orientés 3ème Mathématiques

(1)

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Dans tous les exercices on suppose que le plan est orienté Exercice 1

Donner la mesure principale des angles suivants : 11

3 ; 314 ; −152 ; 375 ; −258 ; 313 ; −241

Exercice 2

Donner la mesure principale de , dans chaque cas

2 , 3 = −2_{3 + 2 ; ∈ ℤ −2 ,} _{= 6 + 2 ; ∈ ℤ} , −4 = −4_{3 + 2 ; ∈ ℤ −5 , −3 = −}2_{3 + 2 ; ∈ ℤ} 2 , 3 = 3_{4 + 2 ; ∈ ℤ −6 , 3 = −}2_{3 + 2 ; ∈ ℤ} 2 , 3 = 3_{4 + 2 ; ∈ ℤ} , 2 = 2 + 2 ; ∈ ℤ , −2 =3_{2 + 2 ; ∈ ℤ} , −3 = 3_{4 + 2 ; ∈ ℤ} Exercice 3

Soient A, B , C et D des points du plan tel que :

, !" = 25_{12 + 2 ; ∈ ℤ ! , #" =} 119_{4 + 2 ; ∈ ℤ} et , '" = −85_{6 + 2 ; ∈ ℤ}

1) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés précédents , !" , ! , #" et , '"

2) Montrer que les points , # et ' sont alignés

Exercice 4

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.

() , ≡ −125_{3 +2 , alors la mesure prinsipale de , est ∶}

a)−2₃ b)₃ c) 2₃

(2)

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a) colinéaires et de sens contraires b) ⊥ c) colinéaires et de même sens

=)_{Soit ! un triangle isocèle de sommet principale tel que , !" ≡ − 5}

Alors la mesure principale de ! , ! " est :

a) 3₅ b)₅c)_{− 5} Exercice 5

Soient A =25_{3 BC D =}−29_{6 deux mesures respectives de deux angles orientés} , !" et ! , #"

1) Déterminer la mesure principale A de , !" et la mesure principale D de ! , #" 2) Dans la suite de l’exercice on prendra :

A = 3 ; D = −56 ; = ! = 2 HI BC # = 3HI faire une Kigure

3) Déterminer une mesure de l’angle orienté , #", que peut-on dire des vecteurs et #

4) a) Construire le point ' tel que

, '" = −2_{3 + 2 ; ∈ ℤ et ' = 3HI} b) Montrer que les points , ! et ' sont alignés.

Exercice 6

1) Soit ! un triangle tel que :

, !" = 2 + 2 ; ∈ ℤ et ! ,! " = 3 + 2 ; ∈ ℤ a) Calculer , !" et ! , !"

L) Les réels 101_{6 BC}−193_{6 sont − ils des mesures de , !"} 2) a) Construire le triangle !

b) Construire le point # tel que !# soit un triangle équilatéral et ! , !#" = 3 + 2 ; ∈ ℤ

(3)

d) Montrer que #! est un trapèze rectangle

Exercice 7

Soit C un cercle de centre N et passant par . Soient , ! et # trois points du cercle C tel que :

N , N!" = − 4 + 2 ; ∈ ℤ N ,N " = 4 + 2 ; ∈ ℤ N , N#" = 2 + 2 ; ∈ ℤ

1) Construire les points , ! et #

2) Calculer N , N!" , N , N" et N , N#" 3) a) Calculer N , N!"

b) Que peut-on déduire des vecteurs N et N!

4) Montrer que les points ! et # sont diamétralement opposés

Exercice 8

On considère les points , , ! et # tel que :

, !" = 6 + 2 ; ∈ ℤ ; ! ,!#" = −3 + 2 ; ∈ ℤ !# , ! " = 14_{3 + 2 ; ∈ ℤ}

1) Déterminer la mesure principale !# , ! " 2) Montrer que les points , ! et # sont alignés

3) Déterminer une mesure de chacun des angles orientés : ! , " , − ! , 3 "

Exercice 9

Dans le plan orienté on donne :

N , N " = 3 + 2 ; ∈ ℤ et N ,N!" = −56 + 2 ; ∈ ℤ Avec N = 3 HI ; N = 2 HI et N! = 3HI

1) a) Faire une figure

b) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté N , N!" c) On donne

A =

OPQ

(4)

Kooli Mohamed Hechmi

2) Soit +N#) la bissectrice du secteur saillant

N# = 3 HI. Donner la mesure principale de l’angle orienté 3) Montrer que les points N, #

Exercice 10

On représenté ci-contre un cercle de centre équilatéraux et le triangle !#

1) Déterminer la mesure principale de chacun des angles , '" , , ' "et #' ,

2) Montrer que #! et ' sont colinéaires. 3) Montrer que ' et ! sont orthogonaux.

S) Montrer que ! , '#" ≡

Exercice 11

On considère un cercle

C

_{de diamètre}

distinctes de la droite U ) et passant respectivement par Soit V un point de

C

_{distinct de}

respectivement sur U ) (AB) 1) a) Montrer que les points b) Montrer que :(JK,JI)=(AM

2) a) Montrer que les points W, b) Montrer que : XW , XY" ≡ 3) En déduire que le triangle WYX

Exercice 12

Soit un triangle ! et soit

C

V ∉ [ , !\

1) On désigne par ′, ′, et !′

U !), U !) et U ). Faire une figure. 2) a) Montrer que les quatre points précisera.

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la bissectrice du secteur saillant +N , N , on marque le point Donner la mesure principale de l’angle orienté N , N#

# et ! sont alignés

un cercle de centre et de rayon 1, les triangles !# est rectangle en .

Déterminer la mesure principale de chacun des angles : , !"

sont colinéaires. sont orthogonaux.

" ≡ −23₆

de diamètre + , et soient #_^ et #_O deux droites parallèles ) et passant respectivement par et .

distinct de et , soient W, Y, et X les projetés orthogonaux de , #_^ et #_O.

, V, W et Y sont sur un même cercle que l’on précisera.

Z k ; k 2 ) AB , AM + π ∈ .

, , V et X sont sur un même cercle que l’on précisera. " ≡ , V" + 2 ; ∈ ℤ

WYX est rectangle en W.

son cercle circonscrit, soit V un point de

les projetés orthogonales respectifs du point Faire une figure.

Montrer que les quatre points ′, ′, ! et V appartiennent à un même cercle que l’on

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on marque le point # tel que N#"

, les triangles ! et #' sont

deux droites parallèles

les projetés orthogonaux de V

sont sur un même cercle que l’on précisera.

un point de

C

_{tel que :}

les projetés orthogonales respectifs du point V sur les droites

(5)

b) En déduire que : ′V , ′ ′" = !V , ! ′" + + 2 _^ ; _^ ∈ ℤ

3) a) Montrer que les quatre points ′, , !′ et V appartiennent à un même cercle que l’on précisera.

b) En déduire que : ′!′ , ′V" = !′ , V" + 2 _O ; _O ∈ ℤ

4) a) En écrivant : ′!′ , ′ ′" = ′!′ , ′V" + ′V , ′ ′" + 2 ; ∈ ℤ et en se rappelant que les points , , ! et V sont sur le même cercle

C

_{Montrer que :}

′!′ , ′ ′" = + 2 ; ∈ ℤ

b) En déduire que les points ′, ′, et !′ sont alignés.

Exercice 13

Une seule des réponses est exacte. trouver cette réponse.

() Soit ' = _V ∈ `/ V , V " ≡ Q_R +2 ,b

a)

' est l’arc privé des points et du cercle C passant par et et

tangent à

U c) en tel que : c, " ≡

Q_R

+2 ,.

b)

' est l’arc privé des points et du cercle C passant par et et tangent

à

U c) en tel que : c, " ≡

Q_R

+2 ,.

c)

' est l’arc privé des points et du cercle C passant par et et tangent

à

U c) en tel que : c, " ≡ −

Q_R

+2 ,.

Exercice 14

Soient deux points distincts du plan tel que ! = 6 ; on se propose de compléter la construction du triangle ! tel que: !, " ≡ 4 +2 , et !, " ≡ −3 +2 , 1) Déterminer l’ensemble ∆ des points V tel que !, V" ≡Q

f +2 ,

2) Déterminer l’ensemble C des points V tel que V!, V " ≡ −Q

P +2 ,

(6)

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/} _{Page 6} Exercice 15

Soient , et W trois points du plan tel que = 3 et 4W − W = 0 On se propose de construire un triangle ! tel que : ! , ! " ≡Q

f +2 , et ! = 2!

1) Calculer W et W .

2) Déterminer l’ensemble C1 des points V tel que : V , V " ≡ Q f

3) Déterminer l’ensemble C2 des points V tel que : 4V O− V O = 0

4) Construire alors le tringle !.

Exercice 16

Soit !# un losange de centre W et tel que = 4 BC , #" ≡ 13_{3 +2 ,} 1) Donner la mesure principale des angles suivants : , #" ; #W, # " ; , !" et , !#".

2) Calculer gBC , # ; gBC #!, ! ; gBC W#, W ; gBC W , ! ; gBC , W! .