Correction devoir de synthèse n°1 3ème Mathématiques Mr Mandhouj 05 12 11

(1)

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de contrôle n°1 3ème Mathématiques de Mr Mandhouj 05 12 11

Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

Exercice 1

1) a) ∈ ⇔ + − 6 ≠ 0

Posons + − 6 = 0 ∆= 1 + 24 = 25 = −3 ou = 2 Alors = ℝ\ −3 , 2 .

b)

lim_→ = lim_→ _{+ − 6 = lim}− 4 _→ − 2 + 2 _{− 2 + 3 = lim}_→ + 2_{+ 3 =}4₇ lim →"#$ = lim_→"#$ − 4 %&'&() + − 6 *++,++-..0 = −∞ −∞ −3 2 +∞ + − 6 + 0 − 0 + lim_→2∞ = lim_→2∞ _{+ − 6 = lim}− 4 _→2∞ = 1 2) a) ∈ ₃ ⇔ + 2 − 3 ≥ 0 posons + 2 − 3 = 0 = 1 ou = −3 −∞ −3 1 +∞ + 2 − 3 + 0 − 0 + alors ₃ = :−∞ , −3: ∪ <1 , +∞< b) lim →2∞= = lim→2∞√ + 2 − 3 = +∞ lim →2? 3 _{= lim} →2? √ @_{2 "#} = lim_→2?| |BC2 @ D"D@E = lim_→2? BC2 @ D"D@E = lim_→2?B1 + − #@ = 1 lim →2? = − = lim→2?F + 2 − 3 − = lim →2? G√ @_{2 "#" HG√} @_{2 "#2 H} √ @_{2 "#2} = lim_→2? @_{2 "#"} @ √ @_{2 "#2} = lim_→2?_√ @_{2 "#2}"# = lim →2? "# BC2_D@"_D@E2 = lim→2? I "E_DJ KBC2@_D"_D@E2CL = lim→2? "E_D MC2*+,+-@D"D@E N 2C = 1

(2)

3) a) ∈ _O ⇔ P + 3 ≥ 0 − 1 ≠ 0Q ⇔ P ≥ −3≠ 1 Q alors _O = <−3 , +∞<\ 1 b) lim →2Cℎ = lim→C √ 2#" "C = lim→C G√ 2#" HG√ 2#2 H "C G√ 2#2 H = lim→C C √ 2#2 = C S lim →"#$ℎ = lim_→"#$ √ 2#" "C = " "S= C lim →2?ℎ = lim→2∞ √ 2#" "C = lim→2∞ G√ 2#" HG√ 2#2 H "C G√ 2#2 H = lim→C2? C √ 2#2 = 0 4) a) ∈ _T ⇔ − 2 ≠ 0 ; ≠ 2 alors _T = ℝ\ 2 b −∞ 2 +∞ − 2 − 0 + | − 2| − + 2 − 2

lim_→ ₀Y = lim_→ ₀ @2# "C._{| " |} = lim_→ ₀ " 2 " ") _{" 2} = lim_→ ₀− − 5 = −7 lim_→ _$Y = lim_→ _$ @2# "C._{| " |} = lim_→ _$ " 2) _" = lim_→ _$ + 5 = 7

On a lim

→ 0Y ≠ lim_→ $Y alors la fonction Y n’admet pas de limite en 2 Exercice 2

1) ↦ @"# 2_@

"C est définie sur ℝ\ −1 , 1 en particulier sur :1 , +∞<

↦ + 1 est définie sur ℝ en particulier sur :−∞ , 1: et ∀∈ :−∞ , 1: ; + 1 ≥ 0 ↦ √ + 1 est définie sur :−∞ , 1:

↦ √ + 1 + 2 est définie sur :−∞ , 1: alors est définie sur :−∞ , 1: ∪ :1 , +∞: = ℝ. 2) a) lim →2? = lim→2∞ @_{"# 2} @_"C = lim_→2∞ @ @ = 1

alors la droite d’équation \ = 1 est une asymptote horizontale à la courbe de au voisinage de +∞. b) lim →"? = lim→"?√ + 1 + 2 = lim→"?| |B1 + C @+ 2 = lim_→"?− B1 + C@+ 2 lim →"? K−B1 + C @ + 2L = −∞

(3)

3) a)lim

→C0 lim_→C0√ 1

lim_→C_$ lim_→C_$ @"# 2@_"C lim_→

on a lim

→C0 lim_→C$ alors

b) ↦ @"# 2_@

"C est continue

↦ 1 est continue sur ↦ √ 1 est continue sur ↦ √ 1 2 est continue

de ] et ^ est continue sur chacun des intervalles

Exercice 3

1) I_`````a , _bc J ≡`````a C.e

# <2f: ≡ # ≡ 4f f e

#<2

2) Le triangle _b est isocèle en G _````à , b````àH ≡ e"Igh````à ,gic J````à <2f: ≡ 3) a) On a j_ j ( car j ∈ I j````à , _c J ≡ I j````à ````à , bc J I b````à ````c ≡ e e

k<2f: ≡ e #<2 de (1) et (2) le triangle j_

Kooli Mohamed Hechmi

1 2 √2 2

lim_→C_$ "C " _{"C 2C} lim_→C_$ "_2C C alors n’est pas continue en 1.

continue sur \ 1 , en particulier sur :1 , en particulier sur : ∞ , 1< et ∀∈ : ∞ sur : ∞ , 1:

continue sur : ∞ , 1: ^

continue sur chacun des intervalles : ∞ , 1< et :1

#l#2C e

# <2f: ≡ 3f e

#<2f: ≡ 3f f

<2f: ≡ f e_#<2f: ≡ _#e<2f:.

est isocèle en _ (car _b ) alors :

: ≡ e2Igi`````a ,ghc J`````a <2f: ≡ e"@mE _{<2f: ≡}e

k<2f:

∈ med <_ : ) alors le triangle j_ est isocèle en I b`à , _c J<2f: ≡ I j````à ````à , bc J I _````à ````à , bc````à

<2f: (2)

j_ est équilatéral alors I_`````a , _jc J ≡`````a e_# <

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.tk/ : ∞< ] : ∞ , 1: ; 1 4 0 :1 , ∞< f e_#<2f: : est isocèle en j (1) baJ <2f: <2f: tiques.tk/

(4)

b)I_b````à ,_jc J ≡ I_b````à ````à ,_````àc J ≡ e

# e #<2f: alors les vecteurs _b````à et _j````à 4) I p````à , jc J ≡ I p````à ````à , _c J I````à

On a le triangle j_ est équilatéral alors pq_ est un carré alors p

de (1) et (2) p j alors le triangle Ij````à , jpc J ≡````à e"Iir`````à ,isc J````à <2f: ≡

Alors Itu``````a ,tvc J ≡`````a wx

]^ <^x: Ipy```à ,pjc J ≡ Ipy````à ```à ,p````àc J Ip````à c ≡ e )e

C <2f: ≡ e C or dans le triangle pyj on a Ijp`` alors Ijp`````a ,jyc J````a e

C

e _{≡ f <2}

Conclusion

Ij````à , jpc J ≡ Ijp````à ````à ,jyc J <2f: ```à

Alors <jp est la bissectrice du secte

Exercice 4

1) a)Izp`````a ,zqc J ≡`````a S{e

# <2f: b) .CCe # ≡ #lk{.2C e # <2f: ≡ alors .CCe

# est une mesure de

J I_````à , _jc J<2f: ≡ I_````à ,_b````à c J I_``````à < : ≡ f<2f:

a sont colinéaires donc les trois points j J I _`````a , jc J<2f: ≡`````a e e_#<2f: ≡e_k<2f: est équilatéral alors j _ (1)

_ (2)

alors le triangle pj est isocèle en par suite : ≡e"m|_{<2f: ≡})e

C <2f: et Ipj````à ,p````àc J ≡ : et Ipj````à ,p````àc J ≡ )e

C <2f:

I a , pjc J<2f: ≡ Ipy````à ```à ,p````àc J Ipj````à ,p````àc J< <2f:

Ijp```à ,jyc J Ipy```à ```à ,pjc J Iyj````à ```à ,ypc J ≡ f <```à <2f: Itv````à ,t}c J ≡```à wx_]^ <^x:

:

est la bissectrice du secteur <j , jy:.

< : ≡ #lC)2 e_# <2f: ≡ 15f _#e <2 : ≡ 670f e_#<2f: ≡e_#<2f:

est une mesure de Gzp`````a ,zq`````aH

I_````a , _jc J<2f: `````a j, _ et b sont alignés. < : par suite J ≡ )e_C <2f: J <2f: <2f: <2f: ≡e_#<2f:

(5)

2) a)~ ∈ • ⇔ I~j``````a ,~€c J ≡``````a

• est l’arc €j\ j , € du cercle passant par F et G et Ij•`````a ,j€c J ≡`````a e_#<2f:

~ ∈ •′ ⇔ I~j``````a ,~€c J ≡``````a " e_# <2

•′ est l’arc j€\ j , € du cercle passant par F et G et Ij•′``````a ,j€c J ≡`````a _#e<2f:

b)~ ∈ b ⇔ I~j`````à ,~€c J`````à ⇔ I~j`````à ,~€c J`````à e_# 2Yf, Y ∈ alors b • ∪ •′

Kooli Mohamed Hechmi J ≡ e_#<2f:

du cercle passant par F et G et tangent à j• en

<2f:

du cercle passant par F et G et tangent à j•′

J e_# Yf, Y ∈ ƒ

∈ ƒ ou I~j``````a ,~€c J``````a _#e 2Yf, Y ∈

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.tk/

en j et tel que :

∈ ƒ