Formules de drivation

Formules de dérivation

A. Fonctions usuelles :

Remarques/hypothèses f x( ) dom f f x'( ) dom 'f

n ∈ Q _xn _{{x ∈ R/x}n _existe}1 _nxn−1

{

_{x ∈ R/x}n−1 _existe

}

1 R 0 R x R 1 R 1 x R ∗ 2 1 x − _R ∗ Cas particuliers: x _{R +} 1 2 x ∗ + R sinx R cos x R cos x R −sin x R tan x _R\

_{

₂π_{+ π}k _/k _{∈ Z}

_}

2 2 1 1 tan cos x = + x R\{2π+ πk /k ∈Z} cotx R\{kπ/k ∈ Z } 2 2 1 1 cot sin x x − = − − R\{kπ/k ∈ Z } Arcsin x [−1,1] 1 ₂ 1−x ]−1,1[ Arccos x [−1,1] 1 ₂ 1 x − − ]−1,1[ Arctan x R 1 ₂ 1+x R x e R _ex _R { } \ 1 a ∈ R∗+ ax R ax lna R ln , lnx x ∗_, ∗ + R R 1 x R R ∗+, ∗ { } \ 1 a ∈ R∗₊ log , logax a x R R ∗₊, ∗ 1 ln x a R R ∗+, ∗

B. Opérations sur les fonctions :

Remarques/hypothèses f dom f f ' f est dérivable sur 2

u +v u'+v' u −v u'−v' u v⋅ domu ∩domv ' ' u v +uv dom 'u ∩dom 'v u, v fonctions ( ) { ( ) } { } / 0 racines de v x v x v = = = R u v (domu∩domv)\R(v) 2 ' ' u v uv v −

₍

_{dom 'u ∩dom ' \v}

₎

_R(v) 1 v dom \v R(v) 2 ' v v − dom ' \v R(v) k u⋅ dom u k u⋅ ' dom 'u u k dom u ' u k dom 'u Cas particuliers : k = constante k v dom \v R(v) 2 ' kv v − dom ' \v R(v)

f, u fonctions f u( )= f Du domu ∩{x u x/ ( )∈ domf} f u'( )⋅u' dom 'u ∩{x ∈ dom /u u x( )∈ dom 'f }

n u _nun−1_u' 1 u 2 ' u u − u ' 2 u u sin u u' cosu cos u −u' sinu tan u

₍

2

₎

2 ' ' 1 tan cos u u u u = + Arcsin u 2 ' 1 u u − Arccosu 2 ' 1 u u − − Cas particuliers: n ∈ Q Arctan u ' ₂ 1 u u +

Remarques / hyp. f dom f f ' f est dérivable sur u e _{u e}' u u a _{u a}' u ln_a ln u , ln u u' u Suite cas particuliers:

{ \ 1 a ∈ R∗₊ } logau, loga u ' ln u u a u continue, dérivable, str. monotone sur son domaine 1 u− (réciproque) 1 domu− = imu 1 ₁ ' u uD − ( )

(

)

{

_{x ∈ domu}−1_{/ 'u u}−1 _{x ≠ 0}

}

1 3 n = ( )

1_{On prolonge de façon naturelle les domaines lorsque les exposants sont rationnels : p.ex. pour , on a} f x = x13 = 3x

dom f = R ( )

. Cette fonction peut être définie sur . La dérivée 23

3 2 1 3 ₃ ' x f x = x− = dom 'f = R∗ dom ' I ⊂ I = dom 'f

1 _{est définie sur .}