Formules de dérivation
A. Fonctions usuelles :Remarques/hypothèses f x( ) dom f f x'( ) dom 'f
n ∈ Q xn {x ∈ R/xn existe}1 nxn−1
{
x ∈ R/xn−1 existe}
1 R 0 R x R 1 R 1 x R ∗ 2 1 x − R ∗ Cas particuliers: x R + 1 2 x ∗ + R sinx R cos x R cos x R −sin x R tan x R\{
2π+ πk /k ∈ Z}
2 2 1 1 tan cos x = + x R\{2π+ πk /k ∈Z} cotx R\{kπ/k ∈ Z } 2 2 1 1 cot sin x x − = − − R\{kπ/k ∈ Z } Arcsin x [−1,1] 1 2 1−x ]−1,1[ Arccos x [−1,1] 1 2 1 x − − ]−1,1[ Arctan x R 1 2 1+x R x e R ex R { } \ 1 a ∈ R∗+ ax R ax lna R ln , lnx x ∗, ∗ + R R 1 x R R ∗+, ∗ { } \ 1 a ∈ R∗+ log , logax a x R R ∗+, ∗ 1 ln x a R R ∗+, ∗B. Opérations sur les fonctions :
Remarques/hypothèses f dom f f ' f est dérivable sur 2
u +v u'+v' u −v u'−v' u v⋅ domu ∩domv ' ' u v +uv dom 'u ∩dom 'v u, v fonctions ( ) { ( ) } { } / 0 racines de v x v x v = = = R u v (domu∩domv)\R(v) 2 ' ' u v uv v −
(
dom 'u ∩dom ' \v)
R(v) 1 v dom \v R(v) 2 ' v v − dom ' \v R(v) k u⋅ dom u k u⋅ ' dom 'u u k dom u ' u k dom 'u Cas particuliers : k = constante k v dom \v R(v) 2 ' kv v − dom ' \v R(v)f, u fonctions f u( )= f Du domu ∩{x u x/ ( )∈ domf} f u'( )⋅u' dom 'u ∩{x ∈ dom /u u x( )∈ dom 'f }
n u nun−1u' 1 u 2 ' u u − u ' 2 u u sin u u' cosu cos u −u' sinu tan u
(
2)
2 ' ' 1 tan cos u u u u = + Arcsin u 2 ' 1 u u − Arccosu 2 ' 1 u u − − Cas particuliers: n ∈ Q Arctan u ' 2 1 u u +Remarques / hyp. f dom f f ' f est dérivable sur u e u e' u u a u a' u lna ln u , ln u u' u Suite cas particuliers:
{ \ 1 a ∈ R∗+ } logau, loga u ' ln u u a u continue, dérivable, str. monotone sur son domaine 1 u− (réciproque) 1 domu− = imu 1 1 ' u uD − ( )
(
)
{
x ∈ domu−1/ 'u u−1 x ≠ 0}
1 3 n = ( )1On prolonge de façon naturelle les domaines lorsque les exposants sont rationnels : p.ex. pour , on a f x = x13 = 3x
dom f = R ( )
. Cette fonction peut être définie sur . La dérivée 23
3 2 1 3 3 ' x f x = x− = dom 'f = R∗ dom ' I ⊂ I = dom 'f
1 est définie sur .
