FACULTÉ DES SCIENCES
RABAT
N° d’ordre 2611
THESE DE DOCTORAT
Présentée par :
Nom et Prénom : MOHAMED SAMMOUDA
Discipline :Physique
Spécialité :
Mécanique des Fluides et Environnement
Sur le Thème :Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la
Convection Naturelle et Thermosolutale dans les Milieux poreux
à Porosité Variable
Soutenue le 14 décembre 2012, devant le jury composé de:Président :
Omar FASSI FEHRI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat et Secrétaire perpétuel de l'Académie Hassan II des Sciences Techniques.
Examinateurs :
Mohammed BOUKALLOUCH : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Houssine El RHALEB : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat.
Kamal GUERAOUI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat.
Abdellah El HAMMOUMI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Abderrahmane MAAOUNI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Aomar IBEN BRAHIM : Professeur de l’enseignement supérieur au Centre Nationale pour
la Recherche Scientifique et Technique (CNRST), Rabat.
Invité :
2
Dédicace
A
Mes parents,
Ma sœur,
Mes tantes et oncles,
Mes cousins et cousines,
Tous mes proches,
Tous mes amis,
Tous qui me sont chers,
Tous ceux qui m’ont aidé et
encouragé.
3
Remerciements
Simplement quelques mots pour remercier toutes les personnes qui ont contribué à la réalisation de ce travail. Vos milles gestes et encouragements furent pour moi des plus appréciés.
Monsieur Omar Fassi-Fehi vous me faîtes le très grand honneur de présider mon jury de thèse, malgré vos multiples occupations, que vous trouviez ici, l’expression de ma gratitude pour l’intérêt que vous avez porté à mon travail.
J’adresse mes plus sincères remerciements à mon directeur de thèse Monsieur Kamal
Gueraoui, Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat,
pour m’avoir encadré et accordé beaucoup de son temps et de m’avoir bénéficié de l’étendue de ses connaissances et de son aide et de m’avoir guidé tout au long de période de cette thèse. Vivement merci Monsieur pour votre soutien, votre confiance et vos précieux conseils.
Je tiens à remercier Monsieur Abderrahim Mrabti pour le temps qui m’a consacré pour répondre à mes questions sur ce travail dont il a suivi le déroulement. Nos discussions m’ont été bénéfiques pour réaliser ce travail. Sans oublier de le remercier encore une fois d’avoir accepté d’examiner ce travail de thèse.
Je souhaite exprimer ma gratitude à Monsieur Abdellah El Hammoumi, Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat, de m’avoir soutenue tout le long de ce travail et d’avoir accepté de juger mon travail.
Je tiens à remercier également Monsieur Mohammed Boukallouch, Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat, d’avoir bien voulu examiné ce travail et de m’honorer par sa participation au jury.
Je souhaite aussi remercier Monsieur Aomar Iben Brahim, Professeur de l’enseignement supérieur au CNRST d’avoir accepté de siéger à mon jury.
Je remercie aussi Monsieur Houssine El Rhaleb Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat d’avoir accepté de participé à mon jury. Mes remerciements vont également à Monsieur Abderrahman Maaouni, Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat d’avoir accepté d’examiner mon travail.
Je tiens également à remercier mes collègues du laboratoire en particulier M. Driouich, M.
Belcadi, A. EL Allati et I. Aberdane, et tous mes amis. Je suis heureux de leur témoigner ici
toute ma reconnaissance et ma sympathie.
Enfin, Je salue mes parents, mes oncles et mes tantes et tous mes amis pour tout le soutien qu’ils m’ont témoigné et du fait d’être toujours près de moi.
4
Liste des publications
1. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, A. Iben
Brahim (2011) «The Variable Porosity Effect on the Natural Convection in a
non-Darcy Porous Media » International Review on Modelling and Simulation (IREMOS). Vol. 4, N. 5, pp. 2701-2707.
2. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, A. Iben
Brahim (2012) « Non-Darcy Natural Convection Heat Transfer along a
Vertical Cylinder Filled by o Porous Media with Variable Porosity » International Review of Mechanical Engineering (IREME). Vol. 6, N. 4,
3. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, O. Fassi
Fehri (2012) « The Magnetic Field Effect on Thermosolutal Natural
Convection in Non-Darcy Porous Media with Non-Uniform Porosity Saturated by an electrically conducting fluid » Accepté pour publication dans : Adv. Studies Theor. Phys.
4. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, Y.M. Haddad (2011) « Non-Uniform Porosity Effect on Natural Convection in Non-Darcy Porous Media » AES-ATEMA 2011 International Conference Advances and trends in Engineering and their Applications, Riga, Latvia: July 11-15, pp. 137-142,
Processing.
5. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, O. Fassi
Fehri (2012) « Double Diffusive Natural Convection in Non-Darcy Porous
Media with Non-Uniform Porosity » soumis pour publication dans : Journal of Porous Media.
6. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Y.M. Haddad (2012) «The Effect of the Rheological Characteristics of the molten polymer On Its Flow in Rigid Cylindrical Tubes» Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 6, no. 12, 569 – 586. 7. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, I. Aberdane, Y.M. Haddad
(2012) « The effect of electric field on the flow of a compressible ionized fluid
in a cylindrical tube» Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 6, no. 13-16, 687-696. 8. M. Driouich, K. Gueraoui, Y.M. Haddad, M. Sammouda, A. El
hammoumi, M. Kerroum, O. Fassi Fehri (2010) « Numerical and
Theoretical Modelling of unsteady Flows for Incompressible Fluid in Rigid Conducts. Application to Molten Polymers Flow » International Review on Modelling and Simulation (IREMOS). Vol. 3, N. 6, 1317-1323.
9. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Y.M. Haddad (2011) « A New Numerical Code to Study the Flow of Molten Polymers In Elastic Pipes» AES-ATEMA 2011 International Conference Advances and trends in Engineering and their Applications, Riga, Latvia: July 11-15, pp. 143-148, Processing.
5
Liste des Communications
1. M. Sammouda, K.Gueraoui, A. Mrabti « Influence du champ magnétique sur le phénomène de la convection naturelle en milieu libre dans une cavité cylindrique chauffée par le bas » Communication à la deuxième Rencontre Nationale de Physique Théorique organisée à Oujda, 4 et 5 décembre 2009. 2. M. Sammouda, K.Gueraoui « Influence de la variation de la porosité sur les
écoulements dans les milieux poreux» Communication à, Scientific Days on Theoretical Physics: Theoretical Foundations and Applications, Laboratory of Theoretical physics 21-22 may 2010 Rabat.
3. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « Etude Numérique de la Convection Naturelle dans un Cylindre Rempli par un Milieu Poreux et Saturé par un Fluide Newtonien » Communication à la Première Rencontre Nationale sur les Modélisations Numérique et Mathématiques en Mécanique de Fluide et en Environnement organisée à Rabat le 02 Janvier 2010.
4. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « Etude Numérique de L’Effet de la Viscosité effective sur la Convection Naturelle en Milieu Poreux à Porosité Variable » Communication à un Congré national, Deuxième Journée Nationale sur les Modélisations Numériques et Mathématiques en Mécanique et en Environnement, 07 janvier 2011.
5. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. Mrabti, A. Hihi « Effet de la Variation de la Porosité sur la Convection Naturelle dans un Milieu Poreux Non-Darcien» Communication au 10ème Congrès de Mécanique Oujda, Du 19 au 22 avril 2011.
6. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, « La Convection Naturelle et Thermosolutale dans les Milieux Poreux non-Darcien » Communication Au Workshop sur les Methodes Numérique Appliquées à la Physique à Rabat, Le 26 novembre 2011.
7. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. Hihi « Natural convection in a cylindrical enclosure filled with a porous media with non-uniform porosity » Communication in International Symposium on Composites and Aircraft Materials: damage and fatigue diagnostics, Fez, Morocco, du 9 à 12 Mai 2012. 8. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « The Magnetic Field Effect on
Thermosolutal Natural Convection in Darcy Porous Media with Non-Uniform Porosity » Communication in The First Symposium on Analytical and Numerical Solutions for Melting and Solidification Problems (SANSMSP2012), Kos, Greece, du 19 à 25 septembre 2012.
6
9. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda Communication à la Première Rencontre Nationale sur les Modélisations Numérique et Mathématiques en Mécanique de Fluide et en Environnement organisée à Rabat le 02 Janvier 2010 sous le titre : « Ecoulement des polymères Fondus en Conduites
Rigide ».
10. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, M. Taibi, A. Hihi Communication au 10ème Congrès de Mécanique Oujda, Du 19 au 22 avril 2011 ; « Nouvelle approche des écoulements des polymères fondus en
conduites élastiques».
11. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Communication à un Congré International à Romania: International Conference on Structural Analysis of Advanced Materials, September 7-11, 2011, Bucharest (Romania) ; « Study
the effect of coupling fluid compressible - deformable wall on the flow of molten polymers».
12. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, M. Taibi, Communication à un Congré national, Deuxième Journée Nationale sur les Modélisations Numériques et Mathématiques en Mécanique et en Environnement, 07 janvier 2011 ; « L’Effet de la Nature de la Paroi sur les Écoulements des
7
Résumé
Dans les dernières décennies, les transferts couplés de chaleur et de masse dans les milieux poreux par convection naturelle suscitent un vif intérêt dans les domaines scientifiques et industriels. L’intérêt pour ces phénomènes de convection naturelle est dû à la diversité des applications potentielles dans les domaines technologiques, physiques, chimiques et microbiologiques. Parmi les applications potentielles, on peut citer l’extraction de l’énergie géothermique, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un mélange fondu, l’isolation thermique des bâtiments, l’exploitation des réserves pétrolières la dispersion des polluants dans les aquifères, etc.
Dans la présente thèse, on effectue une étude théorique et numérique du phénomène de la convection double diffusive dans une cavité cylindrique remplie par un milieu poreux et saturé par un fluide newtonien de propriétés thermodynamiques constantes à l’exception de la densité qui varie linéairement avec la température selon l’approximation de Boussinesq. La paroi latérale de l’enceinte est supposée rigide, imperméable et adiabatique. Les parois horizontales sont maintenues à des températures et concentrations constantes. La porosité du milieu est considérée variable, cette variation est décrite par une loi empirique exponentielle en fonction du rayon de l’enceinte.
L’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy a été adoptée pour décrire le mouvement du fluide au sein de la matrice poreuse. Une série d’expériences numériques est menée pour différentes valeurs des paramètre de contrôle tels que, le nombre de Rayleigh thermique Ra, le nombre de Darcy Da, le rapport des forces de poussé N, le nombre de Lewis Le, pour le cas d’une porosité uniforme et le cas d’une porosité variable, pour mettre en évidence l’effet de ces paramètres de contrôle sur l’écoulement et sur les transferts de chaleur et de masse dans une couche poreuse à porosité non-uniforme remplissant une cavité cylindrique.
Mots clé : convection naturelle et thermosolutale, milieu poreux, extension de
8
Abstract
In the last decades, transfers coupled by heat and mass in porous media by natural convection arouse a deep interest in the scientific and industrial domains. The interest for these phenomena of natural convection is due to the diversity of the potential applications in the technological, physical, chemical and microbiological domains. Among the potential applications, we can quote the extraction of the geothermal energy, the crystalline growth where we try to obtain a single crystal from a molten mixture, the heat insulation of buildings; the exploitation of the oil reserves the dispersion of the pollutants in aquifers, etc.
In the present thesis, we make a theoretical and numerical study relative to the phenomenon of the convection double diffusive in a cylindrical cavity filled by a porous media and saturated by a Newtonian fluid having constant thermodynamics properties, except the density which varies linearly with the temperature according to the Boussinesq approximation. The side wall of the surrounding the cavity is supposed rigid, non porous and adiabatic. The horizontal walls are maintained in constant temperatures and concentrations. The porosity of the media is considered variable; this variation is described by an empirical exponential law according to the radius of the cavity.
The extension of Brinkman-Forchheimer of Darcy's law was adopted to describe the movement of the fluid within the porous matrix. A series of numerical simulations is led for various values parameter of control such as, the number of thermal Rayleigh Ra, the number of Darcy Da, the ration of the strengths of pushed N, the number of Lewis Le, for the case of a uniform porosity and the case of a variable porosity, to highlight the effect of these parameters of control on the flow and on the transfers of heat and mass in a porous layer with non-uniform porosity filling a cylindrical cavity.
Keywords: natural convection and thermosolutale, porous media, Brinkman-Forchheimer
9
Tables des Matières
LISTES DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS ... 11
LISTE DES FIGURES ... 14
LISTE DES TABLEAUX ... 17
INTRODUCTION GENERALE ... 18
CHAPITRE 1 : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ... 21
1. 1 INTRODUCTION ... 22
1.2 HISTORIQUE DE LA CONVECTION NATURELLE EN MILIEU POREUX ... 22
1.3 HISTORIQUE DE LA CONVECTION THERMOSOLUTALE EN MILIEU POREUX ... 26
CHAPITRE 2 : FORMULATION MATHÉMATIQUE ... 30
2.1 INTRODUCTION ... 31
2.2 EQUATIONS VECTORIELLES GOUVERNANTES D’UN MILIEU POREUX ... 31
2.2.1 Equation de continuité ... 32
2.2.2 Equation d’énergie ... 33
2.2.3 Equation de concentration ... 35
2.2.4 Equation de conservation de la quantité de mouvement en milieu poreux ... 36
2.2.5 Variation de la porosité ... 37
2.2.6 Approximation de Boussinesq ... 38
2.2.7 Formulation vorticité-fonction de courant ... 39
2.3 DESCRIPTION DU MODELE ... 41
2.3.1 Configuration géométrique ... 41
2.3.2 Conditions aux limites ... 42
2.4 ADIMENSIONNALISATION ... 45
2.4.1 Les équations gouvernantes adimensionnelles ... 45
2.4.2 Conditions aux limites Adimensionnelles ... 48
2.4.3 Transfert de chaleur et de masse (Nusselt et Sherwood) ... 50
10
CHAPITRE 3 : MÉTHODE DE RÉSOLUTION ... 52
3.1 INTRODUCTION ... 53
3.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS ... 54
3.3 PROCEDURE DE RESOLUTION ... 55
3.3.1 Equations de transport ... 55
3.3.2 Equation de la fonction de courant ... 61
3.3.3 Conditions aux limites ... 63
3.4 PROCESSUS DE RESOLUTION ... 64
3.5 PROFIL INITIAL ... 65
3.6 CONCLUSION ... 65
CHAPITRE 4 : RÉSULTATS ET DISCUSSIONS ... 66
4.1 INTRODUCTION ... 67
4.2 CONVECTION NATURELLE THERMIQUE ... 67
4.2.1 Effet de nombre de Rayleigh : ... 67
4.2.2 Effet de nombre de Darcy ... 76
4.2.3 Effet du nombre Prandtl ... 84
4.3 CONVECTION THERMOSOLUTALE ... 91
4.3.1 Effet de rapport de poussé N : ... 91
4.3.2 Effet du nombre de Lewis ... 98
4.4 CONCLUSION ... 101
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES ... 102
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES : ... 106
11
Listes des Sigles et Abréviations
C concentration C~ concentration adimensionnelle D diffusivité massique Da Nombre de Darcy 2 / R K
Dg diamètres des graines
g accélération de la pesanteur
H hauteur de l’enceinte
imax nombre maximale des points dans la direction radiale
jmax nombre maximale des points dans la direction axiale
K perméabilité du milieu poreux
ke diffusivité thermique du milieu poreux e/
C fkT diffusivité thermique du fluidef /
C fLe nombre de Lewis Sc/Pr
N rapport des poussées
T S
T
S
C
/
T
Ra
/
LeRa
Nu nombre de Nusselt moyen
Nr nombre des nœuds dans la direction radiale
Nz nombre des nœuds dans la direction axiale
Nd nombre des nœuds du domaine d’infiltration
p pression
Pr nombre de Prandtl /kT
RA rapport d’aspect H/R
Ra Nombre de Rayleigh du fluide
T T
fg TR k
3/
Ra* Le nombre de Rayleigh modifié RaDa
R Rayon de l’enceinte
r Coordonné radial
r~ Coordonné radial adimensionnelle
12
Sc Nombre de Schmidt /D
She Nombre de Sherwood moyen
T Température
T~ Température adimensionnelle
t Le temps
U Composante radiale de la vitesse
U~ Composante radiale adimensionnelle de la vitesse
v Champ des vitesses dans les pores
V Champ des vitesses de darcy
W Composante axiale de la vitesse
W~ Composante axiale adimensionnelle de la vitesse
z Coordonné axiale
z~ Coordonné axiale adimensionnelle
ΔT Écart de température de référence
0
T T T
ΔC Écart de concentration de référence
0
C C C
r
Le pas spatial dans la direction radiale
z
Le pas spatial dans la direction axiale
t
Pas du tempsIindices
0 Référence
axe Sur l’axe du cylindre
C Chaude
f Phase fluide
F Froide
inf Sur la paroi inferieur
i Indice discret dans la direction radiale
j Indice discret dans la direction axiale
paroi Sur la paroi latérale
sup Sur la paroi supérieure
S Phase solide
∞ Loin des parois
13
densité du fluide
porosité du milieu poreux
C Capacité calorifique
C m
Capacité calorifique du milieu poreux
Conductivité thermique
Conductivité thermique du milieu poreux
Rapport de conductivité
rapport des capacités calorifiques
C m/
C f
viscosité dynamique du fluide
~
viscosité dynamique effective
coefficient d’expansion thermique
S coefficient d’expansion solutale
fonction de la porosité variable
viscosité cinématique du fluide
fonction de courant~
fonction de courant adimensionnelle
composante du vecteur rotationnel des vitesses~
composante du vecteur rotationnel des vitesses adimensionnel
facteur d’homotopie
Facteur de relaxation
facteur optimal de surrelaxation successive (S.O.R)
coefficient de pondération14
Liste des Figures
Figure 1: Volume élémentaire dans le systéme des coordonnés cartisiènnes ... 32
Figure 2: l’approche prise dans ce cas de transfert thermique ... 34
Figure 3: la variation de la porosité prés des parois ... 38
Figure 4:la géométrie physique considérée ... 41
Figure 5: Représentation du maillage du système physique ... 54
Figure 6 : champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et Ra=10000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 68
Figure 7: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et Ra=20000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 69
Figure 8: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=40000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 70
Figure 9: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=60000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 71
Figure 10: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=80000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 71
Figure 11: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 72
Figure 12: la variation du nombre de Nusselt moyen pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité uniforme et porosité variable ... 72
Figure 13: la vitesse radiale et axiale pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité uniforme. ... 73
Figure 14: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1 et pour porosité variable. ... 73
Figure 15: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=10000 avec (a) porosité uniforme (|max|0.07523) et (b) porosité variable (|max|=2.2999). ... 74
15
Figure 16: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=20000 avec (a) porosité uniforme (|max|=1.8685) et (b) porosité variable (|max|=3.1538). ... 75
Figure 17: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=40000 avec (a) porosité uniforme (|max|=3.2411) et (b) porosité variable (|max|= 5.2167). ... 75
Figure 18: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=60000 avec (a) porosité uniforme (|max|=2.3723) et (b) porosité variable (|max|= 5.8337). ... 76
Figure 19: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=80000 avec (a) porosité uniforme (|max|=3.0446) et (b) porosité variable (|max|=6.6630). ... 76
Figure 20: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 77
Figure 21: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.004 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 77
Figure 22: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.04 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 78
Figure 23: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 79
Figure 24: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 79
Figure 25: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.004 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 80
Figure 26: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.04 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 81
Figure 27: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 82
Figure 28: le nombre de Nusselt pour Ra=50000, Pr=1, RA=1 et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 82
Figure 29: le nombre de Nusselt pour Ra=200000, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 83
Figure 30: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité uniforme et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50. ... 85
Figure 31: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité variable et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50. ... 87
16
Figure 33: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Ra=2.104, RA=1 pour une porosité variable. 88
Figure 34: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité variable et pour (a) t=1000*dt, (b) t=2000*dt, (c) t=3000*dt, (d) t=4000*dt, (e) t=5000*dt, (f) t=6000*dt, (g) t=7000*dt, (h) t=8000*dt, (i) régime permanent, le facteur de relaxation est = 0 ... 89
Figure 35: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité constante et pour (a) t=700*dt, (b) t=1400*dt, (c) t=2100*dt, (d) t=3000*dt, (e) t=4000*dt, (f) régime permanent, le facteur de relaxation est = 0.1. ... 90
Figure 36: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 92
Figure 37: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 92
Figure 38: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 93
Figure 39: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 94
Figure 40: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 95
Figure 41: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 95
Figure 42: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 96
Figure 43: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 97
Figure 44: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Le=1 et pour porosité
uniforme. ... 98
Figure 45: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1, N=1 et Le=1 et pour porosité variable. ... 98
Figure 46: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et pour porosité uniforme. ... 99
Figure 47: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et pour porosité variable. ... 99
Figure 48: variation du nombre de Nusselt moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1,
17
Figure 49: variation du nombre de Sherwood moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1, Da=0.01 et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ... 100
Liste des Tableaux
Tableau1 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pourPr=1……76 Tableau2 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pour Ra=2.104, Da=0.01pour porosité uniforme et variable………...81 Tableau4 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour Pr=1, Da=0 .01et Le=1………..…93 Tableau3 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour Pr=1, Da=0 .01et N=1……….93
18
19 L’étude du phénomène de la convection naturelle, d’origine thermique (convection purement thermique) ou d’origine thermique et solutale (thermosolutale), a suscité et suscite encore l’intérêt de nombreux scientifiques et industriels par ses applications dans plusieurs secteurs industriels tel que la croissance cristalline, la convection solaire, la pollution des sols et la géologie…etc. Depuis la découverte du phénomène par les expériences de Bénard [1] et l'analyse théorique de Rayleigh [2] au début du XXème siècle, les recherches dans ce domaine ont été continues et le nombre des travaux sur le sujet est impressionnant.
L’application d’un champ de gradient thermique sur un fluide entraîne l’existence de différence de masse volumique qui engendre, dans certains cas, des mouvements naturels de la matière qui a tendance à monter grâce à la poussée d’Archimède lorsqu'elle est chaude (donc moins dense) et à redescendre une fois refroidie créant des mouvements circulaires pour assurer les échanges thermiques entre les milieux chauds et les milieux froids. Ce phénomène dit de convection naturelle est familier dans notre vie quotidienne. En effet, l’équilibre thermique entre l’air de notre maison et l’extérieur se fait par convection naturelle à travers les murs d’isolation. L’évacuation de la pollution due aux gaz émis par les automobiles et les effluents industriels se fait aussi par des mouvements de convection naturelle assurés par le gradient de température entre la surface de la terre et une altitude, sinon l'air deviendrait irrespirable et on risquerait d’être étouffé.
Il se trouve que non seulement le gradient de température qui peut créer des mouvements de convection naturelle des particules fluides dus à la variation de la densité mais aussi des gradients de concentration. Un tel phénomène qui combine les forces de poussée thermique (dues au gradient thermique) et solutale (dues au gradient de concentration) est connu sous le nom de double diffusion (convection thermosolutale). Ce type de transport convectif en milieux fluides ou poreux attire l’attention des chercheurs depuis plusieurs décennies par ses applications dans un large éventail de domaines, à titre d’exemple : l’océanographie - c’est dans ce contexte que ce phénomène de double diffusion a été découvert la première fois en 1959 par Stommel [3] et formulé mathématiquement ensuite par Stern [4], l’astrophysique, la biologie, les processus chimiques, les réservoirs pour le stockage de gaz naturels et de déchets radioactifs, le phénomène de cristallisation des métaux et des alliages et le transport de polluants dans le sol, etc.
Résoudre un problème de convection naturelle (thermique ou thermosolutale) au sein d’un milieu poreux revient à déterminer, d’une part, la structure et l’intensité de l’écoulement ainsi que les champs de températures et de concentrations en fonction des divers paramètres qui contrôlent et gouvernent le problème et, d’autre part, les taux de transfert de chaleur et de masse au niveau de la paroi active traduits, respectivement, par les nombres de Nusselt et de Sherwood. Les livres de M. Kaviany [5] et D. Nield et A. Bejan [6] présentent des résumés
20 complets sur les recherches théoriques, numériques et expérimentales déjà accomplies dans cet axe.
Dans la présente thèse, nous considérons l’étude théorique et numérique du phénomène de la convection naturelle thermique et thermosolutale dans une enceinte cylindrique verticale remplie d’un milieu poreux à porosité variable et saturé par un fluide newtonien de propriétés thermodynamiques constantes, exceptée la densité, qui varie linéairement avec la température selon l’approximation de Boussinesq [7]. Des conditions aux frontières de type Dirichlet (températures et concentrations constantes) ont été imposées sur les parois supérieure et inférieure de l’enceinte cylindrique. La paroi latérale est rigide, imperméable et adiabatique. À notre connaissance, tous les travaux ayant traité cette configuration l’ont fait dans le cadre d’une porosité uniforme.
Dans notre étude, la porosité de la matrice remplissant la cavité est considérée variable selon une loi exponentielle [8]. Nous nous intéressons aux effets ainsi engendrés sur la structure et l’intensité de l’écoulement et sur les transferts de chaleur (nombre de Nusselt) et de masse (nombre de Sherwood) à la paroi active de la cavité.
A cette fin, ce mémoire de thèse est structuré de la façon suivante :
Le premier chapitre sera consacré à la présentation du contexte bibliographique, portant sur la convection naturelle et thermosolutale dans les milieux poreux, en essayant de rappeler certains travaux de recherche effectués dans le passé dans ce domaine de recherche.
La formulation mathématique du problème (les équations de bases dimensionnelles et non-dimensionnelles gouvernant le système avec les conditions aux frontières associées) sera abordée en détail dans le deuxième chapitre de cette thèse.
L'objet du troisième chapitre concerne la méthode de résolution numérique des équations aux dérivées partielles qui sont formulées sous la forme vorticité-fonction de courant (formulation plus commode dans les écoulements bidimensionnels). A cette fin, la méthode des différences finies précise à l’ordre deux sera utilisée pour discrétiser les équations de conservation. Quant à la fonction de courant elle sera résolue par la méthode de S.O.R (Simultaneous Over-Relaxation). L’avancement dans le temps est assuré à l’aide de la méthode des directions alternées (ADI). Les équations algébriques ainsi obtenues seront résolues à l'aide de l’algorithme de Thomas.
Le quatrième chapitre porte sur la discussion et l’interprétation des différents résultats obtenus dans cette thèse. La première partie de ce chapitre sera consacrée à la discussion des résultats obtenus pour le cas de convection purement thermique. La deuxième partie portera sur la convection thermosolutale. Une comparaison entre le cas de porosité constante et variable sera abordée dans les deux parties. Une étude d’effet d’un champ magnétique sur la convection double diffusive sera en annexe.
Le travail sera terminé par une conclusion générale consacrée à la mise en évidence des principaux résultats obtenus le long de cette étude ainsi que les perspectives à envisager dans le futur et qui peuvent faire l’objet de travaux complémentaires.
21
22
1. 1 Introduction
La convection naturelle est un mode de transfert de chaleur d’un milieu chaud vers un milieu froid, par un transport macroscopique de la matière (mouvement des particules fluides) généré par des effets de poussée d’Archimède lié à l’action du champ de pesanteur à la présence d’un gradient de la température. Ce phénomène a été largement étudié pendant les dernières décennies. Un nombre important des travaux de recherche sur ce sujet est très abondant dans la littérature. Par ailleurs, le mouvement d’un fluide peut être généré par des variations de densité conséquence de l’existence d’un champ de gradient de température ou d’autres quantités scalaires. Dans le cas le plus fréquent, les deux quantités scalaires responsables de ces mouvements convectifs du fluide sont les gradients de température et de concentration. Ce phénomène cruciale est connu sous le nom de convection thermosolutale ou double diffusion. En effet, ces deux forces de poussées peuvent agir ensemble ou bien en opposition selon des conditions aux frontières ainsi que le coefficient d’expansion solutale. Un tel phénomène peut être très compliqué lorsqu’il se manifeste dans un milieu poreux, dû à la complexité du milieu poreux. Il est généralement impossible de connaitre exactement les paramètres d’une matrice poreuse telle que la porosité et la perméabilité (admittance d’infiltration d’un fluide). Rappelons que la porosité est le vide (appelés pores) qui se trouve dans une matrice solide constitué par des grains consolidés. Ces pores peuvent être interconnectés, pour laisser infiltrer le fluide, ou non et saturé par un fluide (pour plus d’information, les lecteurs intéressés pourront consulter les références de M. Kaviany [5] ou D. Nield et A. Bejan [6]). La complexité de ce milieu poreux impose l’introduction de la notion de modèle pour représenter d’une façon macroscopique les mouvements des particules fluides au sein d’une matrice poreuse, dont l’objectif est d’expliquer même d’une façon approximative le phénomène de transfert de chaleur et de concentration dans les milieux poreux.
L’objet du présent chapitre est de présenter une synthèse une sur les travaux de recherche déjà menés sur le phénomène de la convection naturelle et thermosolutale dans les milieux poreux.
1.2 Historique de la convection naturelle en milieu poreux
Pour mener une étude du phénomène de la convection naturelle dans une couche poreuse, il faut caractériser le mouvement du fluide au sein de cette matrice poreuse. Dû à la complexité
23 de cette matrice poreuse, il s’avère impossible de connaitre exactement le mouvement de fluide saturant le milieu poreux. D’où l’introduction de la notion du modèle pour décrire d’une façon macroscopique le mouvement des particules fluides au sein d’une couche poreuse ainsi que le transfert de chaleur engendré.
Le modèle empirique le plus simple pour décrire le mouvement de fluide au sein d’une couche poreuse est celui de H. Darcy [9] [10]. Ce modèle est limité pour des écoulements lents. Plus tard, ce modèle a été corrigé pour être mieux adapté à des écoulements à grand nombre de Reynolds. En se basant sur des données expérimentales, un terme non-linéaire de second ordre entre la vitesse d’infiltration et le gradient de pression a été ajouté par Forchheimer [11] pour tenir compte des effets d’inertie pour des écoulements à grandes vitesses. Les effets des parois (contraintes visqueuses) sont pris en considération en modifiant la loi de Darcy, la modification a été présentée par Brinkman [12] [13].
Les travaux de recherche utilisant comme équation de mouvement la loi de Darcy, sont très en abondence dans la littérature. Horton et Rogers [15] et Lapwood [16] furent parmi les premiers à mener une étude de la convection naturelle dans un milieu poreux isotrope à porosité uniforme. Depuis ces premier travaux, l’étude des mouvements convectifs au sein d’une couche horizontale poreuse isotrope à porosité uniforme saturée par un fluide et chauffée par le bas a fait l’objet d’un grand nombre de travaux dans le domaine des milieux poreux.
Dans les applications industrielles, on trouve une multitude de géométries selon le besoin de l’utilisation. Cela exige une étude du phénomène pour différentes géométries dont l’objectif est de répondre aux besoins scientifique et industriel qui s’avère le plus important.
En effet, l’étude du phénomène de la convection naturelle dans les enceintes peut être classée en deux grands groups ; les enceintes rectangulaires et les enceintes non-rectangulaires. Les investigations menées sur la convection naturelle dans des géométries rectangulaires remplies par des milieux poreux à porosité uniforme sont très abondantes dans la littérature [17-27]. Récemment, C. Revnic et T. Grosan [28] ont utilisé une cavité rectangulaire d’une dimension infinie pour étudier le phénomène de la convection naturelle avec un bidisperse porous medium (BDPM) en se basant sur le modèle proposé par Nield and Kuznetsov [29] and Rees et al [30]. Un (BDPM) est milieu poreux standard composé d’une phase solide et des pores saturés par un fluide, mais la phase solide peut être considérée comme un autre milieu poreux avec les mêmes propriétés physiques.Les surfaces horizontales sont considérées adiabatiques. Les surfaces latérales sont maintenues à des températures constantes et différentes. Le nombre de Rayleigh pris dans cette investigation n’a pas excédé 103. Ces auteurs ont montré que le transfert thermique est dominé par la conduction pour des grands nombres de Rayleigh. La dimension de la cellule intérieure des contours de convection augmente avec l’augmentation de nombre de Darcy, la conductivité thermique influence sur l’orientation de la cellule centrale de convection.
Stewart et Dona [31], Prasad et Chul [32] ont étudié le phénomène de la convection naturelle dans une enceinte cylindrique verticale da rapport d’aspect de l’ordre de l’unité remplie par un milieu poreux générant de la chaleur, pour des nombres de Rayleigh petits, et nettement élevés respectivement mais restent inférieur à 104. Les surfaces horizontales de la cavité cylindrique sont supposées isothermes. Ces auteurs ont tiré comme résultats que les stratifications des isothermes se resserrent vers le haut de la paroi latérale de l’enceinte en
24 augmentant le nombre de Rayleigh, ainsi que l’apparition des cellules secondaire pour des nombres de Rayleigh plus élevés.
L’utilisation d’un nombre de Rayleigh inférieur à 104
peut être expliquée par le fait d’utiliser la loi de Darcy pour modéliser l’infiltration des particules fluides dans la matrice poreuse limite l’augmentation du nombre de Rayleigh, car la loi de Darcy est limitée pour des écoulements à des champs des vitesses moyens. Les effets d’inertie ainsi que les effets des contraintes visqueuses n’étaient pas pris en considération, donc pour des grands nombres de Rayleigh le problème d’instabilité numérique s’impose.
Yasin Varol et al [33] ont étudié le phénomène de la convection naturelle dans une enceinte triangulaire remplie par une matrice poreuse à porosité constante et chauffée par le bas. Le coté latéral vertical de l’enceinte est supposé rigide imperméable et adiabatique. Le modèle adopté pour caractériser le mouvement de fluide au sein de la matrice poreuse est celui de Darcy. L’investigation est faite pour différentes valeurs de Nombre de Rayleigh (50≤Ra≤1000) et du rapport d’aspect de 0.25 à 1. A partir des résultats obtenus, ils ont trouvé que le taux de transfert thermique augmente avec la diminution de rapport d’aspect, ainsi que l’écoulement présente beaucoup de cellules pour des nombres de Rayleigh plus grands. Yasin Varol et al [34] reviennent deux ans après pour faire une étude du phénomène de la convection naturelle dans une enceinte trapézoïdale pour continuer les travaux déjà menés dans ce cadre de géométrie [35-38] tout en considérant une porosité constante. L’enceinte est maintenue à des températures constantes sur les parois latérales inclinées. Quant aux parois horizontales, elles sont considérées rigides et adiabatiques. L’investigation est faite pour différents nombre de Rayleigh (100≤Ra≤1000), différentes angles d’inclinaison de l’enceinte et différentes valeurs du rapport d’aspect. En se basant sur les résultats obtenus, ces auteurs trouvent que le taux de transfert thermique augmente avec l’augmentation du nombre de Rayleigh et diminue avec la diminution de l’angle de l’inclinaison de l’enceinte. La distribution de la température est influencée par l’angle d’inclinaison de la paroi, elle engendre un écoulement multicellulaire, ce qui influence sur la stratification des isothermes. Un autre type de géométrie étudié par Yasin Varol et al [39], est celui d’une géométrie rectangulaire divisée en deux triangles adjacents et remplie par une matrice poreuse à porosité uniforme. Les parois horizontales sont considérées adiabatiques, alors que les parois verticales sont maintenues à des températures constantes. En adoptant le modèle de Darcy pour décrire le mouvement de fluide dans le milieu poreux.
Le modèle de Darcy est limité pour des écoulements à faible nombre de Reynold (faible vitesse). Des instabilités numériques apparaissent pour des grands nombres de Rayleigh dans les problèmes adoptant le modèle de Darcy. L’extension de Brinkman-Forchheimer (EBFD) permet de prendre en compte les effets des contraintes de cisaillement macroscopiques ainsi que les effets d’inertie. Ce qui lui rend plus au moins mieux adapté pour des écoulements lorsque les vitesses sont importantes ou des grandes perméabilités.
En effet, Kladias et Prasad [40] ont étudié la convection naturelle dans une couche poreuse horizontale et chauffée par le bas. Le modèle adopté pour caractériser le mouvement de fluide dans cette couche poreuse est celui de Darcy étendu par Brinkman et Forchheimer (EBFD). Le nombre de Rayleigh critique d’amorcement de l’écoulement est inferieur par comparaison avec celui dans le modèle de Darcy, avec une réduction de la circulation des particules fluides due aux effets des contraintes visqueuses et des effets d’inertie prises en compte dans
25 l’équation de mouvement [41]. La diminution de l’intensité de l’écoulement réduit en effet le transfert thermique par convection. Ce nombre de Rayleigh critique est influencé par le rapport de conductivité solide-fluide, il augmente avec la diminution du rapport de conductivité. L’intensité de l’écoulement augmente avec l’augmentation du nombre de Prandtl fluide et un régime asymptotique est atteint lorsque les champs de température et d’écoulement deviennent insensibles à la variation du nombre de Prandtl. Avec l’accroissement du nombre de Prandtl, l’influence des termes d’inertie devient très faible, ainsi le comportement asymptotique tend vers celui de l’extension de Brinkman.
Tanmay Basak et al ont étudié le phénomène de la convection naturelle dans un milieu poreux à porosité uniforme mais en adoptant le modèle de Brinkman-Forchheimer avec source thermique uniforme et non-uniforme dans une géométrie rectangulaire [42] et trapézoïdale [43]. Les équations gouvernantes ainsi obtenues sont résolues par la méthode des éléments finis. L’investigation est faite pour différentes valeurs des nombres de Darcy, de Prandtl et de Rayleigh, à noter qu’ils ont considéré des valeurs de nombre de Rayleigh un peu élevé puisqu’ils ont adopté le modèle de Brinkman-Forchheimer qui s’avère mieux adapté pour des écoulements à grandes vitesses. Ces auteurs ont observé que le transfert thermique est dominé par la conduction pour des valeurs du nombre de Rayleigh inférieur à 7.103 et 8.103, pour une cavité rectangulaire et trapézoïdale respectivement, dans le cas d’un chauffage uniforme. Alors que le transfert thermique est dominé par la conduction pour des nombres de Rayleigh inférieurs à 3.103 et 5.103, pour une cavité rectangulaire et trapézoïdale respectivement, pour un chauffage non-uniforme. Dans le domaine de convection, le nombre de Nusselt augmente dans le cas d’un chauffage non-uniforme. Une corrélation entre le nombre de Nusselt caractérisant le transfert thermique avec les nombres adimensionnels caractérisant l’écoulement a été établi par ces auteurs.
Le phénomène de dispersion thermique (variation de la conductivité thermique effective du milieu poreux avec la vitesse d’infiltration du fluide) a été étudié par Ibrahim, A. Abbas et al [44]. Le modèle adopté est celui de Brinkman-Forchheimer. Les équations gouvernantes sont résolues par la méthode des éléments finis (FEM). La diminution de taux de transfert (nombre de Nusselt) due à l’introduction des effets des contraintes visqueuse et d’inertie et compenser par le phénomène de la dispersion thermique, puisque la conductivité thermique varie linéairement avec le module de la vitesse d’infiltration. Cela rend compte l’importance que peut jouer les paramètres caractérisant la matrice poreuse (porosité, perméabilité) dans le phénomène du transfert thermique au sein d’un milieu poreux.
L’anisotropie des milieux poreux s’impose dans beaucoup d’applications industrielles, telles que les systèmes d’énergie géothermique, l’exploitation des réserves pétrolières, la prévention de la pollution des aquifères et l’isolation thermique. Ce qui pousse les chercheurs à mener des études du phénomène dans des milieux poreux anisotropes.
L’étude de la convection naturelle dans un milieu poreux anisotrope dans une cavité rectangulaire est menée par Degan et al [45] et plus récemment par D. J. Krishna [46]. Ces auteurs ont observé que les propriétés anisotropes du milieu ont une influence significative sur le comportement de l’écoulement ainsi que le transfert de chaleur.
A. Mrabti [47] a examiné le phénomène de la convection naturelle dans une enceinte cylindrique de rapport d’aspect égal à l’unité, et saturé par un fluide newtonien de nombre de Prandtl égal à 0.71. L’enceinte est chauffée par le bas, la paroi latérale est supposée rigide, imperméable et adiabatique. L’auteur a remarqué qu’en augmentant le nombre de Rayleigh
26 thermique la structure de l’écoulement devient bicellulaire avec une intensification de l’écoulement lorsqu’on augmente la porosité du milieu. Cette structure bicellulaire disparait lorsque le nombre de Darcy augmente.
L’auteur a aussi fait une étude comparative entre le modèle empirique de Darcy étendu par Brinkman et Forchheimer EBFD pour tenir compte des effets des contraintes visqueuses et des effets d’inertie et le modèle REB (Réduction des Equations de Bilan). Pour les deux modèles une augmentation du nombre de Darcy, pour un nombre de Rayleigh et une porosité donnée, engendre une intensification de l’écoulement et une amélioration du taux de transfert. Alors que pour un nombre de Rayleigh et Darcy donnés, le taux de transfert de chaleur croit avec la porosité pour le modèle REB, mais pour le modèle de EBFD cette croissance n’apparait que pour un maillage plus fin. Le taux de transfert ainsi que l’intensité de l’écoulement sont indépendants de la porosité pour un nombre de Rayleigh-Darcy (Ra*Da≈100), alors qu’une diminution de la porosité engendre une réduction du taux de transfert indépendamment du maillage et on note une intensification de l’écoulement pour un maillage plus fin.
L’effet des parois n’influence pas sur l’écoulement de fluide d’une manière directe (effet des contraintes visqueuses). Mais elles peuvent influencer sur l’arrangement des grains constituant la matrice poreuse créant ainsi une désorganisation traduit par une augmentation de la porosité tout en approchant des parois. Une relation empirique traduisant cette variation de la porosité près des parois est présentée dans les travaux de ces auteurs [48-54].
Shih-Wen Hsiao et al [55] ont étudié numériquement la convection naturelle d’une cavité cylindrique chauffée et incorporée dans un milieu poreux. La porosité varie approximativement par une fonction exponentielle tout en approchant la paroi latérale du cylindre. Les effets non-Darciens et la dispersion thermique sont pris en considération dans l’équation de mouvement et l’équation d’énergie. Comme résultats, ils ont trouvé que la variation de la porosité tend à augmenter le gradient de la température près de la paroi latérale de la cavité. L’effet de la dispersion thermique est négligeable pour des nombres de Rayleigh petits. En tenant compte de la variation de la porosité et la dispersion thermique, les nombres de Nusselt moyens qui traduisent le taux de transfert thermique sont proches de ceux trouvés expérimentalement.
Des résultats qualitativement semblables à ceux trouvés par Shih-Wen Hsiao et al sont obtenus par Jiin-Yuh Jang et al [56], D. Pal et I.S. Shivakumara [57], A.M. Elaiw [58] qui ont étudié l’effet de la variation de la porosité sur la convection naturelle d’une plaque semi-infinie incorporée dans un milieu poreux.
P.Nithiarasu et al [59] ont étudié la convection naturelle dans une cavité rectangulaire remplie par un milieu poreux non-Darcien en tenant compte des effets des contraintes visqueuses et d’inertie dans l’équation de mouvement qui est réduite aux équations de Navier-Stokes. La porosité est supposée variable selon une loi empirique qui suit une fonction exponentielle. L’investigation est faite pour différentes valeurs de nombres de Darcy et de Rayleigh.
27 La convection thermosolutale (transfert de masse et chaleur s’opposent ou coopèrent) occupe une place très importante dans les applications industrielles telles que les systèmes d’énergie géothermique, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un mélange fondu, la dynamique du noyau terrestre, siège d'une solidification par ségrégation, l’exploitation des réserves pétrolières, la pollution des sols et la géologie, cela a motivé les chercheurs et industriels à mener des recherches dans ce cadre dont l’objectif principal est de comprendre les différents mécanismes résultants des mouvements convectifs engendrés. La première étude menée sur le phénomène de convection thermosolutale dans une couche poreuse isotrope horizontale d’extension infinie chauffée par le bas et soumise à un gradient de concentration vertical a été effectué par D. Nield [60]. Cet auteur a déterminé le nombre de Rayleigh critique marquant l’amorcement du phénomène de la convection pour différentes conditions aux frontières. D. Nield a aussi pu montrer que le soluté joue un rôle de stabilisant alors que la chaleur celui d’un déstabilisant. Des écoulements convectifs oscillants peuvent se déclencher à des nombres de Rayleigh inférieurs au nombre de Rayleigh supercritique. Les critères pour l’existence de la convection croissante ou oscillante ont été également dérivés dans cette investigation.
Ce travail a été étendu et généralisé plus tard par Taunton et al [61]. Dans cette investigation, trois régimes convectifs ont été trouvés. Un premier régime stable (état de repos du fluide), un second régime dit oscillant caractérisant la transition du régime stable au régime oscillant. Le dernier régime est celui caractérisant l’apparition du phénomène convectif pour des nombres de Rayleigh supérieurs au nombre de Rayleigh supercritique.
Poulikakos [62] a effectué une étude du phénomène de la convection double-diffusive dans une couche poreuse horizontale en utilisant la loi de Darcy étendue par Brinkman (des effets des contraintes visqueuse sont pris en considération) pour caractériser le mouvement de fluide au sein de cette couche.
Trevisan et Bejan [63] ont étudié théoriquement et numériquement le phénomène de la convection thermosolutale dans une couche poreuse isotrope chouffée et salée par le bas pour des grands nombres de Rayleigh thermiques. Murray et Chen [64] ont effectué une étude expérimentale du phénomène dans les milieux poreux isotropes à porosité uniforme. Les expériences ont été menées sur un dispositif composé d’une boîte métallique remplie de billes de verre saturées avec de l'eau distillée. Cette boite est soumise à des flux de masse et de chaleur.
Les conditions aux limites imposées à un système diffèrent d’une application à l’autre et influence sur la structure d’écoulement de la convection ainsi que sur le taux de transfert de la chaleur et du soluté. Rosenberg et Spera [65] ont effectué une étude du phénomène de transfert de masse et de chaleur au sein d’une cavité remplie par une matrice poreuse soumise à une gradient de température verticale et une variété de conditions initiales et des conditions aux frontières. Ce travail montre que la structure et la dynamique de l’écoulement ainsi que le transfert de masse et de chaleur dépondent fortement du Rapport des Poussées des forces solutale et thermique pour des nombres de Rayleigh et Lewis constants.
Une étude de la convection double diffusive au sein d’une couche poreuse isotrope soumise à des flux uniformes de chaleur et de soluté imposés à la paroi inférieure a été menée par Mamou et al [66] et Amahmid et al [67]. Une bonne concordance a été trouvée dans cette investigation entre les résultats obtenus analytiquement par Sen et al. [68] et numériquement
28 par Alavyoon [69]. Ils se sont focalisés particulièrement au cas où les forces de poussées thermiques et solutales s’opposent et de même intensité. Les nombres de Rayleigh critiques marquant l’amorcement du phénomène de la convection ont été calculés analytiquement pour différents nombres de Lewis et Darcy. Ces auteurs ont trouvé que le nombre de Rayleigh thermique critique augmente lorsque le nombre de Darcy augmente pour un nombre de Lewis égal à 1. Pour des nombre de Rayleigh supérieur au nombre critique l’augmentation du nombre de Darcy réduit l’intensité de l’écoulement ainsi que le taux de transfert thermique et solutale.
Dans une étude basée sur la stabilité linéaire, Mahidjiba et al [70] illustrent l’effet des conditions aux limites thermiques et solutales de type Neumann et Dirichlet respectivement, sur la convection thermosolutale dans une cavité rectangulaire horizontale remplie par un milieu poreux isotrope à porosité uniforme. Les auteurs montrent alors qu’il existe trois nombres de Rayleigh critiques, le nombre de Rayleigh supercritique, Rayleigh sur-critique et Rayleigh oscillant.
Ils montrent aussi que pour des conditions aux limites thermique et solutale de type Dirichlet et Neumann respectivement, la structure de l’écoulement convectif est monocellulaire indépendamment de la valeur du rapport de forme pour (NLe < -1). Alors que pour un rapport de forme pour (NLe ≤ -1), l’écoulement est inconditionnellement stable selon la stabilité linéaire.
R. Bennacer et al [71] ont effectué une étude numérique et analytique concernant le transfert combiné de chaleur et de masse dans une cavité rectangulaire remplie par un milieu poreux homogène et présente une anisotropie thermique. Le modèle de Darcy-Brinkman est adopté pour caractériser l’écoulement du fluide dans le milieu poreux. Une situation où le transfert de masse est maximal a été établie pour une valeur critique du taux d’anisotropie thermique. Les auteurs ont établi une corrélation globale permettant de prédire le transfert de masse pour les milieux thermiquement anisotropes en régime de Darcy. Un critère de validité de cette corrélation a également été défini.
Bourich et al [72] ont effectué une analyse numérique de la convection double diffusive dans une cavité carrée remplie par un milieu poreux. Des températures et concentrations constantes sont appliquées sur les parois horizontales et verticales respectivement. Il a été démontré que pour un certain nombre de rapports de poussée, supérieur à un N critique, les solutions multiples disparaissent. Par contre, une solution monocellulaire se maintient quand la convection se favorise (N > 0) ou s’oppose (N < 0). Des corrélations des valeurs critiques, pour lesquelles la transition de l’écoulement monocellulaire naturel vers l’écoulement monocellulaire antinaturelont été proposés.
M.F. El-Amin [73] a examiné l’effet de la double dispersion à savoir, la dispersion thermique et la dispersion solutale, sur le phénomène de la convection thermosolutale. L’extension de Forchheimer de la loi de Darcy a été considérée pour l’équation de mouvement de fluide dans la matrice poreuse. L’effet combiné de la dispersion thermique et la diffusivité solutale sur le profil de la vitesse et sur le transfert de masse et de chaleur dans un milieu poreux Darcien et Non-Darcien pour divers paramètres de contrôle tels que le nombre de Lewis, le nombre de Rayleigh et le rapport des poussée a été illustré. L’auteur a observé, dans le cas où la dispersion n’est pas prise en considération, une amélioration du taux de transfert de chaleur avec l’augmentation du nombre de Lewis dans le cas où les forces de poussée s’opposent. Le contraire a été observé pour le cas où les forces de poussée se favorisent. Alors que le
29 transfert de masse traduit par le nombre de Sherwood s’améliore avec l’augmentation du nombre de Lewis dans les deux cas. Lorsque la dispersion thermique est tenue en compte, le profil de la vitesse diminue, alors que les profils de la température et de la concentration augmentent avec l’augmentation du coefficient de correspondance entre la diffusivité thermique et la vitesse.
Les recherche menées dans le phénomène du transfert conjugué de chaleur et de masse dans les milieux poreaux saturé par un fluide non-Newtonien est très important due à leur diverses applications industrielles. Ching-Yang Cheng [74] a étudié le phénomène du transfert de masse et de chaleur par convection naturelle d’une plaque maintenue à des flux de chaleur et de masse variables dans un milieu poreux saturé par un fluide non-Newtonien suivant une loi de puissance. L’auteur a observé que l’existence d’un gradient de pression dans la loi de puissance du fluide réduit le profil de la vitesse ainsi que le transfert de chaleur et de masse traduit par le nombre de Nusselt et Sherwood respectivement. Une augmentation de la composante de la loi de puissance améliore le transfert thermique et solutal.
Récemment N. Retiel et H. Bougurra [75] ont étudié l’influence du nombre de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis sur la structure de l’écoulement et la distribution de la température et de concentration du phénomène de la convection thermosolutale dans une cavité demi-cylindrique horizontale fermée chauffée et salée par la paroi horizontale qui coupe le cylindre verticalement en deux. L’investigation est faite pour différents rapports des poussées des forces themique et solutale N dans le cas où les forces de poussé s’opposent (N<0) ou s’additionnent (N>0), pour un nombre de Prandtl=0,7.D’prés les résultats trouvés, les auteurs ont remarqué que les profils de la température et de la concentration varient considérablement en fonction des nombres de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis. Ils ont remarqué que pour un nombre de Lewis plus grand la stratification solutale est faible en forme de panache repoussée par une stratification thermique dominant le cœur de la cavité avec une augmentation du taux du transfert solutal à proximité de la paroi. Par contre, pour un nombre de Lewis égal à l’unité les stratifications thermique et solutale se développent d’une façon similaire.
Fu-Yun Zhao et al [76] ont étudié la convection double diffusive dans une cavité rectangulaire d’une extension infinie. La cavité est partiellement chauffée et salée par une des parois verticales, alors que le reste est supposé rigide imperméable et adiabatique. Une série d’expériences numériques a été menée pour différentes valeurs des nombres adimensionnels de contrôle à noter, le nombre de Darcy, Lewis, rapport des poussées et la localisation du segment qui représente la source de la chaleur et le soluté.
Il a été remarqué que la localisation du segment source de chaleur et de concentration influence sur la structure d’écoulement ainsi que sur le taux de transfert de chaleur et de masse. L’augmentation du nombre de Lewis améliore considérablement le taux de transfert de masse et une nette diminution du taux de transfert de chaleur.
Très récemment, A.C. Baytas et al [77] ont étudié la convection double diffusive dans une géométrie rectangulaire remplie partiellement par un milieu poreux dans le coté inférieur de la cavité et saturé par un fluide newtonien. Alors que la partie supérieure de la cavité est remplie par un fluide newtonien. Les parois horizontales sont supposées rigides imperméables et adiabatiques. Les parois horizontales sont maintenues à des températures et concentrations uniformes. Le mouvement du fluide dans la matrice poreuse est décrit par l’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy. Des conditions de continuités pour
30 la température, la concentration et la vitesse ont été considérées pour passer du milieu fluide au milieu poreux. Ce problème est investigué dans deux cas, cas où l’interface fluide-milieu poreux est horizontale et cas où l’interface fluide-milieu poreux contient un pas (A) dans le milieu surface de contacte. Les auteurs ont montré que la convection s’amorce avec un rouleau dans le sens trigonométrique dans la région fluide-milieu poreux pour une interface horizontale. Lorsque le facteur A augmente la structure présente un écoulement multicellulaire avec un changement de sens pour quelques cellules. Le taux de transfert thermique et solutal (Nusselt et Sherwood respectivement) s’améliore sur la paroi active de la
cavité avec l’augmentation du facteur A.
