Faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels
Interférométrie spectrale par transformée de Fourier
Mémoire Laurent Dusablon Maîtrise en Physique Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada © Laurent Dusablon, 2015
Table des matières
Table des matières iii
Liste des figures v
1 Introduction 1
1.1 Faisceaux invariants . . . 1
1.2 Faisceaux Bessel transversaux . . . 2
1.3 Présentation du mémoire. . . 4
2 Faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels 7 2.1 Faisceaux Bessel spatiotemporels . . . 7
2.2 Faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels . . . 10
2.3 Caractéristiques du faisceau BGST . . . 12
2.4 Propagation dans un milieu à dispersion inadéquate . . . 19
2.5 Réalisation expérimentale . . . 23
3 Caractérisation de la phase 25 3.1 Théorie de l’interférence spectrale par transformée de Fourier . . . 26
3.2 TADPOLE : Interférence spectrale et FROG . . . 29
4 Montage expérimental 37 4.1 Source d’impulsions femtosecondes . . . 37
4.2 Modeleur d’impulsions . . . 40
4.3 Interféromètre. . . 44
4.4 Spectre résolu spatialement . . . 50
4.5 Spectromètre . . . 51
5 Résultats expérimentaux 53 5.1 Faisceau de référence . . . 53
5.2 Profil spatial . . . 55
5.3 Spectre . . . 56
5.4 Spectre résolu spatialement . . . 58
5.5 Profil spatiotemporel . . . 60
Conclusion 71
Liste des figures
1.1 Faisceau Bessel transverse . . . 2
1.2 Premier montage proposé permettant de produire des faisceaux Bessel limités spatialement . . . 3
1.3 Faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel . . . 4
2.1 Illustration de l’effet d’une enveloppe gaussienne sur le BGST . . . 11
2.2 Propagation d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel. . . 13
2.3 Évolution du profil spatiotemporel du faisceau Bessel-Gauss . . . 14
2.4 Comparaison de la propagation pour différentes valeurs de Ω . . . 15
2.5 Profil spatial du BGST intégré temporellement . . . 16
2.6 Comparaison du profil spatial intégré temporellement pour différentes distances de propagation . . . 17
2.7 SRS théorique à l’étranglement . . . 18
2.8 SRS pour différentes distances de propagation . . . 19
2.9 Reconstruction du profil spatiotemporel à partir du SRS en intensité . . . 20
2.10 Propagation dans un milieu sans dispersion . . . 21
2.11 Propagation dans un milieu à dispersion normale . . . 22
3.1 Interféromètre de Mach-Zehnder utilisé lors de l’expérience . . . 26
3.2 Méthode d’interférométrie spectrale par transformée de Fourier . . . 28
3.3 Schéma d’un montage SPIDER pour la reconstruction du champ électrique . . 30
3.4 Schéma d’un montage FROG pour la reconstruction du champ électrique . . . 31
3.5 Schéma de l’algorithme itératif utilisé pour trouver le champ électrique à partir de la trace FROG . . . 32
3.6 Schéma d’un montage GRENOUILLE pour retrouver le champ électrique . . . 33
3.7 Délai variable induit par le biprisme de Fresnel à l’intérieur du GRENOUILLE 34 3.8 Schéma comparatif du FROG et du GRENOUILLE . . . 35
4.1 Schéma intégrant toutes les parties du montage . . . 38
4.2 Schéma de la cavité du laser Femtolasers Synergy Pro . . . 39
4.3 Schéma d’un compresseur à prismes . . . 40
4.4 Schéma du modeleur d’impulsions . . . 41
4.5 Fabrication du masque réflectif . . . 43
4.6 Interféromètre pour dispersion normale. . . 45
4.7 Caractéristiques des miroirs dispersifs considérés pour la dispersion anomale . . 46
4.8 Schéma du milieu dispersif avec des prismes . . . 47
4.9 Schéma du milieu dispersif avec des réseaux . . . 48
4.11 Interféromètre pour dispersion anomale . . . 49
4.12 Montage pour obtenir le spectre résolu spatialement . . . 50
5.1 Spectre (en bleu) et phase spectrale (en noir) tels que donnés par le FROG . . 54
5.2 Profil temporel du faisceau de référence tel que donné par le FROG. . . 55
5.3 Profil spatial autour de l’étranglement . . . 56
5.4 Spectre du faisceau BGST et du faisceau de référence. . . 57
5.5 Spectre du faisceau BGST par le spectromètre Ocean Optics S2000 . . . 57
5.6 Spectre résolu spatialement à l’étranglement . . . 58
5.7 Propagation du spectre résolu spatialement . . . 59
5.8 Figure d’interférence expérimentale . . . 60
5.9 Spectre résolu spatialement et phase obtenus expérimentalement . . . 61
5.10 Comparaison entre les BGST reconstruit et théorique . . . 62
5.11 Faisceau BGST reconstruit en soustrayant la phase du faisceau de référence . . 62
5.12 Méthode d’interférométrie spectrale par transformée de Fourier pour un faisceau BGST . . . 63
5.13 BGST reconstruit pour une propagation sans dispersion . . . 65
5.14 BGST reconstruit pour une propagation avec une dispersion de -15 000 fs2 . . . 67
5.15 BGST reconstruit pour une propagation avec une dispersion de -8000 fs2 . . . . 68
Chapitre 1
Introduction
1.1
Faisceaux invariants
Dans notre ère de haute technologie, la recherche en optique revêt un caractère particu-lièrement important. Les laboratoires autour du monde utilisent comme outil premier le laser, lequel célébrait tout récemment les 50 ans de son invention [1]. De plus, 2015 a été déclarée par l’ONU comme étant l’année de la lumière et des technologies fondées sur la lumière. Dans une perspective où des systèmes photoniques commencent à remplacer les systèmes électroniques, il est essentiel d’avoir toujours une meilleure compréhension de la lumière et de sa propagation pour mieux comprendre et entrevoir les technologies de demain.
Il convient ainsi aussi de s’intéresser à certains faisceaux optiques qui présentent des propriétés uniques. Certains faisceaux peuvent, par exemple, être non divergents sous les conditions appropriées, c’est-à-dire que leur profil spatial est conservé lors de la propagation. De la même façon, certains peuvent être non dispersifs, c’est-à-dire que leur profil temporel reste conservé. Finalement, certains faisceaux peuvent combiner ces deux propriétés et être invariants spatialement et temporellement.
Les tout premiers signaux optiques invariants ayant été étudiés sont les solitons [2,3]. Ce sont des impulsions qui peuvent se propager sans déformer leur profil temporel lorsqu’elles sont dans un milieu approprié. Pour pouvoir se propager de manière invariante, les solitons doivent compenser la dispersion naturelle d’un milieu de dispersion anomale par un effet non-linéaire. L’effet Kerr, qui est la variation de l’indice de réfraction en fonction de l’intensité de faisceau, contrebalance la dispersion du soliton, lui permettant ainsi de se propager sans se déformer. La forme la plus simple de ces impulsions est donnée par :
u(z, t) = A0 sech
t t0
e(−jz/2LD) (1.1)
avec t0, la durée initiale de l’impulsion, LD, la longueur de dispersion et j le nombre complexe
√
donc invariante.
1.2
Faisceaux Bessel transversaux
Il existe également un intérêt pour des faisceaux invariants qui ne requièrent pas l’utilisa-tion de milieu non-linéaire pour leur propagal’utilisa-tion. Durnin proposa, dans un article publié en 1987 [4], un type de solution pour les faisceaux invariants. Contrairement aux ondes planes, ces derniers ont un lobe central contenant une fraction de l’énergie et se comportent ainsi comme un faisceau.
En partant de l’équation d’onde dans le vide, soit : ∇2− 1 c2 ∂2 ∂t2 E(~r, t) = 0 , (1.2)
Durnin propose une solution du type :
E(~r, t) = A0J0(αρ) exp[−j(βz − ωt)] , (1.3)
où ρ est le rayon px2+ y2, J
0 est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 0, β
est la constante de phase et α un paramètre de modulation. Cette expression représente les faisceaux Bessel transversaux, dans le cas où le paramètre α ≤ ω/c. L’intensité du faisceau étant complètement indépendante de z, celui-ci se propage sans diverger. Le profil spatial, montré à la figure1.1est donc maintenu lors de la propagation.
Figure 1.1: Illustration d’un faisceau à profil Bessel transverse, se propageant vers le lecteur.
Ce faisceau Bessel est cependant une solution théorique. En effet, si on veut calculer la puissance totale du faisceau, on s’aperçoit rapidement que celle-ci est infinie :
P0= A20 Z 2π 0 Z ∞ 0 J02(αρ)ρdρ → ∞ (1.4)
On peut considérer le faisceau Bessel comme une superposition d’ondes planes disposées selon un cône. La figure d’interférence produite par les ondes planes génère la fonction de Bessel. Ainsi, tout comme les ondes planes, le faisceau Bessel n’est pas borné [4].
Il est cependant possible de produire des faisceaux quasi-Bessel réels, en les bornant trans-versalement et, conséquemment, longitudinalement. Durnin, Miceli et Eberly ont proposé une méthode expérimentale permettant de générer de tels faisceaux [5]. Le montage expérimental proposé consiste en un masque annulaire suivi d’une lentille convergente, placée à la distance focale du masque, tel que montré à la figure 1.2.
Figure 1.2: Montage proposé par Durnin et al.[5] permettant de produire des faisceaux Bessel limités spatialement. Un faisceau incident traverse un masque annulaire suivi d’une lentille convergente placée à une distance focale du masque, produisant ainsi la transformée de Fourier de l’anneau. La distance maximale de propagation invariante Zmax est déterminée par le diamètre de la lentille.
Le faisceau Bessel est donc produit par la transformée de Fourier du masque. On peut le montrer en utilisant l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée reliant le champ ˜Einc qui
traverse le masque au champ ˜E(z, r) observé dans l’autre plan focal au-delà du masque. On retrouve cette intégrale à la page 728 de [6] et dans [7]. Pour la situation de la figure 1.2, on obtient : ˜ E(z, r) = j2π λf Z ∞ 0 ˜ Einc(r0) ˜t(r0) J0 2πrr0 λf r0dr0 (1.5)
où f est la focale de la lentille et ˜t(r0) est la fonction de transmission du masque. Dans cette relation, on a supposé que le faisceau incident possède une symétrie de révolution. Il n’y a donc pas de dépendance en θ. On peut approximer le masque annulaire mince de rayon√a par une fonction delta de Dirac. À partir de l’équation (1.5), on voit qu’avec ˜t(r0) = δ(r0−√a),
˜ E(z = f, r) = ˜Einc( √ a)j2π √ a λf J0 2πr√a λf (1.6)
On obtient ainsi l’expression de la fonction de Bessel désirée. On remarque cependant que, pour l’obtenir, il faut envoyer une onde plane ou un faisceau gaussien sur un masque d’épaisseur infinitésimale, ce qui est difficile, voire impossible. La méthode proposée par Durnin à la figure
1.2permet de générer un faisceau appelé quasi-Bessel. Cette première méthode n’est cependant pas la plus efficace pour obtenir le profil voulu. En envoyant le faisceau gaussien dans un mince masque annulaire, on perd une partie importante de la puissance originelle.
Différentes méthodes sont utilisées avec de meilleurs résultats au niveau de l’énergie trans-mise. En utilisant un axicon [8], une lentille conique, on peut obtenir un faisceau Bessel, tel que montré par Fujiwara [9]. En effet, l’onde incidente vient se distribuer sur une surface conique et l’interférence crée la distribution recherchée. En utilisant un faisceau incident gaussien, on peut borner la fonction de Bessel et donc obtenir un faisceau Bessel-Gauss à la sortie du mon-tage, tel que décrit par Gori et al [10] en 1987. L’influence de la divergence du laser sur la distribution obtenue après l’axicon est donnée par l’article de 1980 par Roy et Tremblay [11]. Les faisceaux Bessel-Gauss ayant des propriétés de propagation quasi-invariante, ils ont des utilisations particulières. Des applications, comme la manipulation optique, le confinement atomique et l’optique non linéaire sont détaillées dans l’article de 2004 de McGloin [12]. De plus, le caractère invariant du pic central permet l’écriture directe de guides d’ondes avec de grandes longueurs dans des diélectriques, tel que démontré par V. Zambon en 2008 [13].
1.3
Présentation du mémoire
Dans des articles publiés par notre groupe de recherche en 2007 et 2009 [14,15], M. Dallaire a introduit le concept de faisceaux Bessel spatiotemporels qui étend l’idée des faisceaux Bessel au niveau impulsionnel. Ces faisceaux ont donc un profil Bessel-Gauss dans un plan défini par l’axe de propagation et dans un axe spatial perpendiculaire à la propagation, tel que montré à la figure1.3. Tout comme leur équivalent purement transversal, ces faisceaux peuvent se propager sans diverger, mais aussi sans s’étaler temporellement, en apparence (ils s’affranchissent de la diffraction et de la dispersion). Cette propagation invariante est toutefois liée à une dispersion anomale du milieu de propagation.
Figure 1.3: Illustration d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel
Les faisceaux Bessel spatiotemporels étant, tout comme les faisceaux Bessel transversaux, de dimension et d’énergie infinies, il convient de définir un faisceau Bessel-Gauss spatiotem-porel qui lui, est réalisable en laboratoire. Un modèle de faisceau quasi-invariant a été élaboré dans le même article [15] . Son profil spatial, sa trace d’autocorrélation et son spectre résolu
spatialement ont été obtenus en laboratoire et analysés séparément. Un résumé de la théorie et des résultats obtenus sera donné dans le prochain chapitre.
Au delà des axes indépendants spatial et temporel, on veut pouvoir reconstruire et visua-liser le profil spatiotemporel complet du faisceau BGST. Pour complètement reconstruire un profil spatiotemporel, il est nécessaire de connaître à la fois la phase spectrale et le spectre du faisceau. Il faut donc être en mesure d’obtenir la phase spectrale du faisceau. Étant donné les impulsions ultra-brèves de faible intensité utilisées dans nos expériences, il sera nécessaire d’utiliser une technique d’interférométrie spectrale pour obtenir une mesure de la phase. Le troisième chapitre portera donc sur la caractérisation de la phase par interférence spectrale par transformée de Fourier. Le montage permettant la production et l’analyse spatiotemporelle des faisceaux Bessel-Gauss sera présenté au chapitre 4, suivi des résultats obtenus pour cette caractérisation spatiotemporelle au chapitre 5.
Chapitre 2
Faisceaux Bessel-Gauss
spatiotemporels
Cette section présente un résumé de la théorie et des expériences développées par Michaël Dallaire dans son article sur les faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels [15]. Tout comme leur homologue transverse, ces derniers doivent être bornés par une enveloppe gaussienne spatio-temporelle pour être réalisables [10]. On présente donc un formalisme qui permet d’établir les lois de propagation des faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels.
2.1
Faisceaux Bessel spatiotemporels
Le faisceau BST est une solution de l’équation d’onde paraxiale. En partant de cette équa-tion, il est donc possible d’obtenir l’expression mathématique du faisceau BST. La dérivation présentée suit celle développée par Dallaire, Piché et McCarthy dans leur article de 2009 [15] et dans la thèse de M.Dallaire [16].
On considère un champ optique ayant la forme :
E(r, t) = Renu(~˜ r, t)ej(ω0t−β0z)o , (2.1)
avec ˜u(~r, t) l’enveloppe complexe du champ, ω0 la fréquence centrale de l’impulsion et β0
le nombre d’onde associé. On suppose que la fréquence ω0 est beaucoup plus grande que
la largeur spectrale de l’enveloppe et que le milieu de propagation est sans pertes. Dans le domaine des fréquences, on obtient le spectre ˜u(~r, ω0) par la transformée de Fourier de ˜u(~r, t), avec ω0 = ω − ω0. Dans le domaine des fréquences, on peut écrire l’équation d’onde paraxiale
pour chaque valeur de ω0 selon :
∂ ˜u(~r, ω0) ∂z = −j 2β(ω)5 2 tu(~˜ r, ω 0 ) − j∆β(ω)˜u(~r, ω0) , (2.2)
où 52
t est le laplacien transverse ∂2/∂x2+ ∂2/∂y2(voir [6], p.277). Le nombre d’onde β(ω) est
donné par β(ω) = n(ω)ω/c0, où n(ω) est l’indice de réfraction et c0 la vitesse de la lumière dans le vide. On suppose que le spectre est assez étroit pour ne conserver que les premiers termes du développement de β(ω) en série de Taylor. On a donc :
β(ω) ' β0+ β1ω0+
β2ω02
2 (2.3)
où βi = diβ(ω)/dωi est évalué à ω0. Puisqu’on a supposé un spectre relativement étroit,
on peut considérer que β0 >> β1ω0 + β2ω02/2 ce qui nous amène à remplacer −j/2β(ω)
par −j/2β0 dans l’équation d’onde paraxiale avec β0 = n0ω0/c0. On peut réécrire l’équation
d’onde comme : ∂ ˜u(~r, ω0) ∂z = −j 2β0 ∂2u(~˜ r, ω0) ∂x2 − j β1ω0+ β2ω02 2 ˜ u(~r, ω0) . (2.4)
Aucune dépendance n’a été considérée selon l’axe y. Pour simplifier l’expression du fais-ceau, on peut décider de se placer dans le référentiel de l’impulsion. Celle-ci se déplace à la vitesse de groupe vg = 1/β1. On définit donc un nouveau paramètre de temps tel que
T = t − z vg
= t − β1z , (2.5)
et le champ est maintenant défini par ˜
u(~r, ω0) = e−jω0β1zv(x, z, ω˜ 0) . (2.6)
On insère cette expression du champ dans l’équation (2.4) pour obtenir l’équation d’onde dans un référentiel se déplaçant avec l’impulsion. On obtient donc :
∂ ∂z e−jω0β1z˜v(x, z, ω0)= −j 2β0 ∂2 ∂x2 e−jω0β1zv(x, z, ω˜ 0)−j β1ω0+ β2ω02 2 e−jω0β1z˜v(x, z, ω0). (2.7) En simplifiant, on retrouve : ∂ ˜v(x, z, ω0) ∂z = −j 2β0 ∂2v(x, z, ω˜ 0) ∂x2 − −j 2 β2ω 02v(x, z, ω˜ 0) . (2.8) Par la propriété des transformées de Fourier [17]
Tf
dnf (t)
dtn
= (jω)nF (ν), (2.9)
où F(ν) est la transformée de Fourier de f(t), on retourne dans le domaine temporel, où on obtient ∂ ˜v(x, z, T ) ∂z = −j 2β0 ∂2v(x, z, T )˜ ∂x2 − −j 2 β2 ∂2v(x, z, T )˜ ∂T2 . (2.10)
˜
v(x, z, T ) représente le champ propagé exprimé en terme de T. Il sera possible de trouver une solution invariante à l’équation d’onde en introduisant un laplacien en coordonnées cylin-driques. On définit ainsi la coordonnée radiale ρ =px2− T2/β
0β2 et la coordonnée angulaire
θ = tan−1 T /x√−β0β2. On remarque que les expressions de ρ et θ ne sont valides que pour
des valeurs négatives de β2 puisque β0 est toujours positif dans les milieux diélectriques. En effet, le traitement suivant n’est justifié que pour une propagation dans des matériaux avec une dispersion anomale. On a donc un opérateur laplacien polaire tel que [17] :
∂2 ∂x2 − β0β2 ∂2 ∂T2 = ∂2 ∂ρ2 + 1 ρ ∂ ∂ρ + 1 ρ2 ∂2 ∂θ2 . (2.11)
En l’appliquant sur l’équation d’onde (2.10) : ∂ ˜v(ρ, θ, z) ∂z = −j 2β0 ∂2 ∂ρ2 + 1 ρ ∂ ∂ρ+ 1 ρ2 ∂2 ∂θ2 ˜ v(ρ, θ, z) , (2.12)
on peut finalement résoudre cette équation d’onde par séparation de variables, en posant ˜
v(ρ, θ, z) = B(ρ)C(θ)D(z). Pour garder une solution générale, on considère une dépendance angulaire telle que C(θ) = Amejmθ, où m définit l’ordre azimutal et Amest l’amplitude associée
à cet ordre. En utilisant cette dépendance angulaire, on peut obtenir, en divisant chaque côté de (2.12) par la solution de ˜v(ρ, θ, z) : 2jβ0 1 D(z) dD(z) dz = 1 f (ρ) d2B(ρ) dρ2 + 1 ρ dB(ρ) dρ − m2 ρ2 B(ρ) = −a , (2.13)
où a est la constante d’intégration. Puisque la fonction D(z) doit aussi satisfaire 1 D(z) dD(z) dz = ja 2β0 , (2.14)
on a donc pour D(z) une solution de la forme
D(z) = ejφ1z , (2.15)
avec φ1 défini comme 2βa0. Pour ce qui est de la dépendance au rayon spatiotemporel ρ, on a
d2 dρ2B(ρ) + 1 ρ d dρB(ρ) + (a − m2 ρ2 )B(ρ) = 0 . (2.16)
On reconnaît facilement l’équation différentielle d’une fonction de Bessel [17]. On obtient donc la solution de B(ρ)
B(ρ) = Jm(
√
où Jm est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m. On a ainsi l’expression d’une solution de l’équation d’onde selon les trois coordonnées. La forme finale de l’expression du faisceau est donc :
˜ E(x, z, T ) = AmJm √ a s x2− T2 β0β2 ! ejmθejω0(t−z/vp) (2.18)
Le paramètre de modulation (a) a un effet sur l’échelle de la solution en changeant la position des zéros de la fonction de Bessel. β0 est le nombre d’onde associé à la fréquence ω0, β2 est
le paramètre de dispersion du milieu, ω0 la fréquence angulaire centrale de l’impulsion et vp la vitesse de phase donnée par ω0/(β0 − φ1), où φ1 = a/2β0. Sauf pour le terme de phase,
cette solution ne dépend pas de la coordonnée z. On a donc une solution spatiotemporellement invariante se déplaçant à la vitesse de groupe vg.
2.2
Faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels
Tout comme leur équivalent transversal, les faisceaux Bessel spatiotemporels ne sont mal-heureusement pas directement réalisables en laboratoire. L’élément principal du faisceau, la fonction de Bessel, n’est pas bornée. En effet, tel que montré à l’équation (1.4), si on intègre l’intensité du faisceau pour en évaluer la puissance totale, on s’aperçoit que cette dernière tend vers l’infini.
On applique donc le même genre de procédure pour les coordonnées spatiotemporelles que pour les coordonnées spatiales. L’expression sera bornée par une enveloppe gaussienne spatiotemporelle, ce qui permet d’obtenir une valeur finie de puissance. Toutefois, comme pour le cas transversal, ceci change la forme du faisceau Bessel et le rend donc quasi-invariant. On aura donc des faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels (BGST). L’expression du faisceau à l’étranglement devient donc :
˜ Em(ρ, θ, z = 0) = Ame−ρ 2/w2 0J m( √ aρ)ejmθ , (2.19)
où w0, qui représente la taille de l’enveloppe gaussienne, influence le nombre d’anneaux présents dans le faisceau BGST comme on peut le constater à la figure2.1. Dans le domaine spatial, la taille du faisceau est simplement w0x= w0 alors que dans le domaine temporel on a plutôt
w0t= (−β0β2)w20. Plus l’enveloppe gaussienne est étalée, moins elle affecte la forme du faisceau
Bessel et plus grande est la distance sur laquelle le faisceau est invariant.
Figure 2.1: Illustration de l’effet de l’enveloppe gaussienne (en tirets) sur le faisceau Bessel spatiotemporel (trait continu). L’enveloppe à gauche étant moins grande, on voit que le résultat final (en pointillé), i.e. le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel, contient des anneaux de plus faible intensité. De même, à droite, on peut voir une plus grande amplitude des anneaux de la fonction de Bessel, car l’enveloppe tend vers 0 moins vite. On note toutefois que dans les deux cas le lobe central est très peu affecté.
une intégrale de Huygens-Fresnel cylindrique [6]. Celle-ci s’exprime comme suit :
˜ um(ρ, θ, z) = jm+12π λ0z exp −jπρ 2 λ0z × Z ∞ 0 Jm 2πρρ0 λ0z exp −jπρ 02 λ0z ˜ um(ρ0, θ, z = 0)ρ0dρ0. (2.20) On remplace, dans l’expression précédente, ˜um(ρ0, θ, z = 0) par l’expression du faisceau
BGST à l’étranglement et on obtient : ˜ um(ρ, θ, z) = Amjm+12π λ0z ejmθexp −jπρ 2 λ0z × Z ∞ 0 exp −(jπ λ0z + 1 w20)ρ 02 Jm 2πρρ0 λ0z Jm( √ aρ0)ρ0dρ0. (2.21)
Il est possible de résoudre analytiquement cette équation, à partir de la méthode déve-loppée par Gori, Guattari et Padovani dans leur article de 1987 [10]. On y utilise la relation suivante : Z ∞ 0 e−ξ2x2Jp(αx)Jp(βx)xdx = 1 2ξ2exp −α 2+ β2 4ξ2 Ip αβ 2ξ2 (2.22)
avec les conditions de validité
Re(p) > −1, |arg(ξ)| < π/4, α > 0 et β > 0. ,
La quantité Ip représente la fonction de Bessel modifiée de première espèce telle que Ip(k) = j−pJp(jk). Afin de résoudre l’équation de Huygens-Fresnel (2.21), il nous faut procéder
à un changement de variables pour appliquer l’équation (2.22). On a donc :
p = m, x = ρ, α =√a, β = 2πρ λ0z et ξ2 = 1 w0 + jπ λ0z . (2.23)
On peut maintenant obtenir directement l’expression du champ électrique du faisceau BGST en combinant les deux équations et en réorganisant les termes :
˜ Em(ρ, θ, z) = AmjmzRejΦ(z) q z2+ z2 R exp −aw2 0z 4(z + jzR) ×exp −j πρ 2 λ0(z + jzR) Im √azRρ z + jzR ejmθej(ω0t−β0z) , (2.24)
avec Im la fonction de Bessel modifiée de première ordre et où zRest la distance de Rayleigh de l’enveloppe gaussienne et Φ(z) est le déphasage de Gouy. Ces deux paramètres sont donnés par : zR= πw02 λ0 et Φ(z) = arctan z zR . (2.25)
Pour le reste du document, nous nous occuperons surtout de l’ordre m=0 de la fonction de Bessel. L’équation générale dans ce cas se réduit alors à :
˜ E(ρ, θ, z) = A0zRe jΦ(z) q z2+ z2 R exp −aw2 0z 4(z + jzR) × exp −j πρ 2 λ0(z + jzR) I0 √azRρ z + jzR ej(ω0t−β0z). (2.26)
2.3
Caractéristiques du faisceau BGST
On a obtenu une expression du faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel en tout point de la propagation. On remarque que la solution n’est plus strictement invariante. L’amplitude de la solution ne dépendait pas de la coordonnée z avant l’application de l’enveloppe gaussienne. Avec cette dépendance, la coordonnée z se retrouve dans l’argument de la fonction de Bessel modifiée de première espèce.
L’enveloppe gaussienne vient donc modifier la propagation du faisceau Bessel. À l’étran-glement, on a z=0, de sorte que :
˜ E(ρ, θ, z) = Amjm× exp −j πρ 2 λ0jzR Im √aρ j ejmθejω0t. (2.27)
En posant m=0, en explicitant zR et en réorganisant, on obtient :
˜ E(ρ, θ, z) = A0× exp −ρ 2 w20 J0 √ aρ ejω0t, (2.28)
en ayant utilisé le fait que I0(−jx) = I0(jx) = J0(x). On a ainsi retrouvé l’expression (2.19)
à l’étranglement, pour m=0.
2.3.1 Propriétés de propagation
On peut cependant retrouver les propriétés d’invariance de propagation spatiale et tem-porelle dans le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel. En effet, autour de l’étranglement, on retrouve le faisceau original invariant. En traçant le profil du faisceau Bessel-Gauss avec l’équa-tion obtenue, on s’aperçoit que ce dernier forme une ligne focale (figure 2.2). Plus l’enveloppe gaussienne est étendue, plus la ligne focale est longue, car le faisceau Bessel est alors moins affecté.
Figure 2.2: Propagation d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel autour de l’étranglement. On présente une coupe transversale en ρ en fonction de la distance parcourue z. La ligne focale est bien visible autour de l’étranglement, puis se modifie à cause de l’enveloppe gaussienne.
Dans le champ lointain, on remarque que le faisceau semble prendre la forme d’un anneau, comme on le constate à la figure 2.3. En effet, le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel reste quasi invariant sur la ligne focale et devient ensuite un anneau après une longue propagation. On peut définir quelques paramètres intéressants pour le faisceau BGST qui permettent de mieux le comparer au faisceau gaussien. Le lobe central du BGST peut servir d’équivalent à partir duquel on définit les paramètres. Par exemple, on peut définir wc, la taille du lobe
Figure 2.3: Schéma représentant l’évolution du profil spatiotemporel du faisceau Bessel-Gauss, de l’étranglement au champ lointain.
central, comme la position à 1/e2de l’intensité maximale, comme pour les faisceaux gaussiens. Si la taille de l’enveloppe w0 est assez grande, elle affectera très peu le lobe central. On peut
ainsi obtenir, grâce aux propriétés de la fonction de Bessel, que wc=
1.752 √
a (2.29)
On définit de plus un paramètre Ω = aw02, lequel nous permet de quantifier l’effet de l’enveloppe gaussienne sur le BGST, qu’on appelle le paramètre de structure. Plus le paramètre de structure est élevé plus la structure de la fonction de Bessel est conservée sur une longue distance. Le paramètre Ω affecte peu la taille du lobe central ; par exemple, une valeur de Ω = 50 amène un changement de 2 % sur la taille de wc. L’effet de Ω est illustrée à la figure
2.4.
Comme pour le faisceau gaussien, on peut définir une distance de Rayleigh à partir du lobe central de la même façon :
zc=
πwc2 λ0
(2.30)
Ce paramètre permet de normaliser la distance de propagation parcourue par le faisceau pour différents paramètres de propagation.
Si l’enveloppe gaussienne est trop petite, elle écrase les anneaux de la fonction de Bessel, ainsi que les extrémités du lobe central. Le comportement invariant étant proportionnel à la quantité d’anneaux présents, la ligne focale est alors moins longue.
2.3.2 Profil spatial
Il est facile d’obtenir exclusivement le profil spatial du faisceau, par exemple à l’aide d’une caméra CCD. Cependant, étant donné que l’autre coordonnée est temporelle, le profil spatial doit être intégré sur la durée de l’impulsion. On peut donc représenter le profil intégré temporellement.
Figure 2.4: Comparaison de l’effet du paramètre Ω sur la propagation du faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel. À gauche, on a une coupe transversale en ρ du BGST en fonction de la distance de propagation, comme à la figure 2.2. À droite, on a le faisceau à l’étranglement. L’enveloppe gaussienne (en vert) vient borner le faisceau Bessel (en rouge) et on obtient le faisceau Bessel-Gauss (en bleu). En a) le paramètre Ω est de 307, en b) il est de 80 et en c) il est de 20. Le paramètre Ω est directement relié à la taille de l’enveloppe gaussienne. Tel que constaté à la figure 2.1, une valeur plus petite de Ω vient écraser les anneaux de la fonction de Bessel. On peut aussi constater que la ligne focale est moins longue dans ce cas.
Pendant la dérivation du faisceau Bessel spatiotemporel, on a supposé une onde plane dans la direction y, la seconde coordonnée spatiale. Pour obtenir un faisceau réalisable expé-rimentalement, il est raisonnable de supposer un profil gaussien dans cette direction.
Comme on voit à la figure 2.5, les minima de la fonction, qui normalement se rendraient jusqu’à zéro (voir figure2.1) ne le font plus. Ceci est dû au fait que pour une position spatiale
Figure 2.5: À gauche, le profil spatial intégré temporellement tel qu’il serait capté par une caméra CCD. Selon l’axe y, le profil est gaussien alors que selon l’axe X, on retrouve le profil spatiotemporel intégré temporellement. À droite, on a une coupe le long de l’axe X de la figure à gauche donnant ainsi l’intensité relative intégrée temporellement, en fonction de la position spatiale X.
donnée, le faisceau BGST peut-être vu comme une série d’impulsions dans le domaine tem-porel ; les zéros disparaissent, car on intègre temtem-porellement l’intensité de ces impulsions. Les lobes secondaires ont maintenant une intensité non-nulle même aux points d’intensité mini-male. Le profil spatial va bien sûr se modifier lors de la propagation. L’anneau qui se forme en champ lointain va graduellement apparaître à mesure qu’on s’éloigne de l’étranglement (voir la figure2.6).
Le profil spatial intégré sur la durée de l’impulsion reste le même peu importe le facteur de dispersion du milieu. En effet, comme on le verra plus loin, puisqu’on enregistre l’intégration de l’impulsion selon la coordonnée t, l’information sur une quelconque déformation temporelle due à la dispersion est perdue.
2.3.3 Spectre résolu spatialement
Il n’est pas possible d’observer directement le profil temporel du faisceau BGST. Cepen-dant, puisque le spectre d’une impulsion est relié par une transformée de Fourier à son profil temporel, il est possible d’obtenir ces informations avec un spectromètre muni d’un réseau, par exemple.
Dans le cas du faisceau BGST, on peut avoir accès au spectre résolu spatialement (SRS). En envoyant directement le faisceau sur un réseau, les différentes longueurs d’onde s’étalent sur la coordonnée y, ce qui permet d’obtenir le spectre à chaque position spatiale x. On obtient ainsi
Figure 2.6: Comparaison du profil spatiotemporel (à gauche) et du profil spatial intégré temporellement (à droite) pour différentes distances de propagation. En a) les figures sont à l’étranglement, en b) à 15 zc, où zc est la distance de Rayleigh définie à l’équation (2.30) et
en c) à 30 zc.
ce qu’on appelle le spectre résolu spatialement. Puisqu’on peut concevoir le faisceau BGST comme plusieurs trains d’impulsions distribués selon la coordonnée spatiale x, on décompose donc le spectre pour chacun de ces trains d’impulsions.
Le spectre résolu spatialement est une information très importante pour la caractérisation du faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel. En théorie, une transformée de Fourier du SRS le long de l’axe des fréquences permettrait de reconstruire le profil spatiotemporel complet. Toutefois, il est nécessaire de connaître la phase respective des différentes fréquences du spectre pour obtenir une reconstruction fidèle.
Une transformée de Fourier numérique tel que la FFT effectuée pour chaque coordonnée spatiale le long de l’axe du temps va servir à faire le pont entre le domaine temporel et le domaine fréquentiel. Le spectre résolu spatialement, tout comme le profil du faisceau, va se modifier lors de la propagation. Cependant, une dispersion différente vient donner le même spectre en intensité résolu spatialement. En effet la dispersion vient changer la phase spectrale, alors que le spectre lui-même reste identique. Puisque le SRS est fonction de l’intensité du champ, il n’y aura pas de changement.
Pour l’ordre m=0, on obtient le SRS théorique avec la transformée de Fourier du profil spatiotemporel tel qu’on le voit à la figure2.7.
Figure 2.7: Profil spatiotemporel d’un BGST à l’étranglement (à gauche) et à droite son spectre résolu spatialement théorique. Le SRS a été obtenu à partir d’une transformée de Fourier le long de l’axe temporel du profil spatiotemporel.
Tel que mentionné, le spectre résolu spatialement va se déformer lors de la propagation puisque le profil spatiotemporel se déforme également. À la figure2.8, on a propagé le même faisceau BGST sur une distance de 0, 10, 25 et 40 zc respectivement. On s’aperçoit qu’il se
forme un spectre en forme d’anneau dans le champ lointain.
Le spectre résolu spatialement contenant dans un axe l’information sur la distribution spatiale et dans l’autre axe l’information sur la distribution temporelle, on peut être tenté de reconstruire le profil spatiotemporel complet du BGST. Cependant, avec une caméra CCD, il n’est possible d’obtenir que l’information sur le spectre résolu spatialement en intensité. L’information sur la phase est perdue, mais elle est nécessaire pour reconstruire correctement le profil BGST.
Comme on peut le voir sur la figure2.9, on a simulé un faisceau Bessel-Gauss spatiotempo-rel. La transformée de Fourier le long de l’axe temporel nous permet d’obtenir le spectre résolu spatialement. On a ensuite éliminé l’information sur la phase du spectre résolu spatialement, puis on est revenu par une transformée de Fourier inverse dans le domaine spatiotemporel. On remarque que le profil n’a pas été reconstruit parfaitement. L’effet est plus visible le long des diagonales du faisceau, les axes perpendiculaires n’étant vraisemblablement pas affectés. Il
fau-dra donc trouver un moyen d’obtenir l’information sur cette phase spectrale pour reconstruire complètement le faisceau BGST.
Figure 2.8: Propagation du spectre résolu spatialement pour différentes distances de propa-gation du faisceau BGST. À gauche, on a le profil spatiotemporel du faisceau BGST pour z=0, 10, 25 et 40 zc. À droite, on a le spectre résolu spatialement (SRS) pour chacun de ces
profils.
2.4
Propagation dans un milieu à dispersion inadéquate
Pour un milieu à dispersion anomale bien choisie, le faisceau Bessel-Gauss devrait se propager sur une très longue distance avant de commencer à former un anneau, tel que vu à la figure2.3. Cependant, il est possible que le faisceau se propage dans un milieu à dispersion anomale inadéquate ou à dispersion normale, ou encore dans un milieu sans dispersion.
Figure 2.9: Reconstruction du profil spatiotemporel d’un faisceau BGST à partir du profil d’intensité d’un spectre résolu spatialement. En a) on a le profil spatiotemporel d’un faisceau BGST à l’étranglement, en b) la transformée de Fourier le long de l’axe temporel permet d’obtenir le SRS, dont on enlève l’information sur la phase, et en c) la transformée de Fourier inverse du SRS sans information sur la phase, ce qui ne permet pas de reconstruire le profil spatiotemporel fidèlement.
Dans tout ces cas, le profil spatiotemporel du faisceau va se modifier de manière diffé-rente et non adéquate. L’analogie avec les faisceaux Bessel-Gauss transversaux est simple : la dispersion inadéquate n’affectant que la distribution temporelle, l’équivalent transversal serait d’avoir une lentille avec deux focales différentes pour ses deux axes fx et fy à la figure 1.2.
L’interférence ne se fait pas correctement entre les diverses ondes planes, car elles n’ont pas le même angle. La figure d’interférence formée ne produit donc plus un faisceau Bessel-Gauss dans tous les axes.
La dispersion et la diffraction jouant essentiellement le même rôle que les focales fx et
fy, si la dispersion du milieu est mal accordée au faisceau, on ne retrouve pas le faisceau
Bessel-Gauss spatiotemporel prévu. La dispersion ne changeant que la phase relative entre les différentes fréquences, le spectre résolu spatialement reste inchangé.
La propagation dans le vide se caractérise très bien en laboratoire. Lorsqu’on propage un faisceau dans l’air, la dispersion est essentiellement nulle. La propagation sans dispersion ne permet pas une propagation invariante pour le faisceau BGST tel qu’attendu pour une dispersion adéquate. Lors de la propagation sans dispersion, la partie temporelle ne change
pas, alors que la partie spatiale diffracte. En champ lointain, on obtient un profil très semblable à celui du SRS tourné de 90 degrés, car la diffraction a effectué une transformée de Fourier du faisceau BGST dans l’axe spatial alors que le profil temporel est resté inchangé. Ceci s’observe aisément à la figure 2.10.
Figure 2.10: Propagation du faisceau BGST dans un milieu sans dispersion. À gauche, le profil calculé dans un milieu à dispersion adéquate pour une distance de propagation équivalente à 5, 10, 20 et 30 zc de l’étranglement. À droite, le profil spatiotemporel pour une propagation de même distance lorsque le milieu présente une dispersion nulle. On note que la propagation à 30 zc ressemble au SRS tourné de 90◦.
Lorsque le faisceau BGST se propage dans un milieu à dispersion normale, ces effets se font sentir encore plus. En effet, comme on peut le voir à la figure 2.11, le changement dans le profil spatiotemporel est plus rapide. En champ lointain, on obtient un losange. Ces figures ont été obtenues en changeant simplement le signe d’une dispersion anomale adéquate. En laboratoire, si le laser utilisé a une longueur d’onde centrale de 800 nm, une simple tige de silice peut servir à produire un milieu à dispersion normale.
Figure 2.11: Propagation du faisceau GBST dans un milieu à dispersion normale, légèrement inférieure à celle de la silice à 800 nm (environ 300 f s2). À gauche, le profil calculé dans un milieu à dispersion adéquate pour une distance de propagation équivalente à 5, 10, 20 et 30 zc de l’étranglement. À droite, le profil spatiotemporel pour une propagation de même distance lorsque le milieu présente une dispersion normale. Le faisceau se dissocie très rapidement d’un profil de Bessel-Gauss.
2.5
Réalisation expérimentale
La génération des faisceaux Bessel-Gauss transversaux peut se faire de deux manières. La méthode la plus simple est l’utilisation d’un axicon, tel qu’introduit par Fujiwara [9]. Cette méthode permet d’obtenir la plus grande puissance, mais elle ne permet pas d’ajuster la forme temporelle du faisceau. D’autre part, pour remodeler la forme temporelle des impulsions laser brèves, il est possible d’utiliser un montage avec des réseaux de diffraction pour décomposer le spectre et un modulateur spatial permettant d’ajuster l’amplitude et la phase de chaque composante spectrale [18].
Pour réaliser de manière expérimentale le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel, nous nous sommes inspirés de la méthode développée par Durnin dans son article de 1986 [5]. Pour produire un faisceau Bessel transversal, Durnin a exploité le fait que la transformée de Fourier de celui-ci est un anneau.
De la même façon, on cherche quelle forme de faisceau dans les fréquences spatiotem-porelles peut produire un faisceau Bessel-Gauss. Sachant qu’en champ lointain, le faisceau produit un anneau, on peut facilement conclure que la réponse devrait être un anneau mince (ou, plus simplement, une fonction delta de Dirac en coordonnées cylindriques) dans le domaine des fréquences spatiotemporelles. Tel que discuté à la section 1.2, en partant de l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée équation (1.5), on peut obtenir l’équation (1.6) pour une fonction n’ayant pas de dépendance en θ :
˜ E(z, r) = ˜Einc( √ a)j2π √ a λf J0 2πr√a λf (2.31)
On voit que l’équation (1.5) représente essentiellement la transformée de Fourier en co-ordonnées cylindriques de la fonction de transfert ˜t(r) pour une onde plane incidente. Pour obtenir un faisceau de Bessel spatial, ˜t(r) est une fonction delta de Dirac. Il semble donc évident que si on veut obtenir un faisceau avec un profil Bessel dans le domaine spatiotem-porel, il importe d’avoir un anneau mince représenté par une fonction delta de Dirac dans le domaine des fréquences spatiotemporelles.
On tient donc une manière de produire le faisceau Bessel spatiotemporel. L’introduction d’un masque annulaire, de lentilles et d’un réseau permettant de faire une transformée de Fou-rier dans le domaine des fréquences spatiotemporelles devraient rendre possible la réalisation expérimentale. L’utilisation d’un anneau ayant une épaisseur finie plutôt qu’une fonction delta de Dirac va permettre d’obtenir un faisceau Bessel réalisable. En première approximation, ces faisceaux peuvent être considérés comme ayant une enveloppe gaussienne, et on a donc les faisceaux BGST.
Chapitre 3
Caractérisation de la phase
Le but du présent travail est de pouvoir reconstruire le profil spatiotemporel d’un faisceau BGST. La reconstruction temporelle d’impulsions courtes est un problème d’importance qui a été beaucoup étudié. La méthode de reconstruction la plus courante, le Frequency Resolved Optical Gating (FROG), introduit par Rick Trebino en 1993 [19], permet de reconstruire le profil spatiotemporel complet à partir d’un autocorrélateur et d’un élément optique non linéaire. Le FROG vient imager le faisceau dans deux axes, un axe spectral où le faisceau est séparé en ses différentes longueurs d’onde et un axe de délai. D’autres méthodes comme le Spectral Shearing Interferometry [20] ont aussi été explorées. L’essentiel du problème tient au fait que pour reconstruire le profil spatiotemporel d’une impulsion, il est nécessaire de connaître à la fois son profil en intensité et sa phase. Par exemple, s’il est aisé de mesurer le spectre d’une impulsion, il est nécessaire de mesurer aussi la phase spectrale pour reconstruire le profil temporel complet, lequel est obtenu à partir de la transformée de Fourier inverse de la distribution spectrale du champ complexe.
La méthode privilégiée dans ce travail pour reconstruire le profil spatiotemporel du fais-ceau sera l’interférométrie spectrale par transformée de Fourier. L’interférométrie spectrale, proposée en 1973 par Froehly [21], est basé sur l’interférence entre le spectre de deux impul-sions. En analysant le motif de franges par transformée de Fourier [22], on a la méthode FTSI, pour Fourier Transform Spectral Interferometry décrite par Lepetit en 1995 [23] . La méthode complète utilisée pour reconstruire un faisceau en trouvant le spectre et la phase est introduite par Fittinghoff en 1996 [24].
La méthode FTSI est privilégiée, car elle n’utilise pas d’éléments non-linéaires. Les élé-ments non-linéaires nécessitant une certaine intensité minimale, ils ne peuvent être utilisés avec le faisceau BGST qui est produit par le modeleur d’impulsions utilisé dans nos expériences, effectuées à faible intensité. Pour reconstruire le profil spatiotemporel complet, on ajoute la résolution spatiale à la technique FTSI, en prenant le SRS (section2.3.3).
3.1
Théorie de l’interférence spectrale par transformée de
Fourier
L’interférence spectrale par transformée de Fourier permet de caractériser la phase spec-trale d’un faisceau inconnu par interférence avec un autre faisceau [23]. Le faisceau inconnu peut être créé par un modulateur d’impulsions et être superposé avec l’autre faisceau qui sert de référence. Dans ce cas, les deux impulsions doivent être très rapprochées temporellement. Pour atteindre ce rapprochement temporel, on peut, par exemple, utiliser un interféromètre de Mach-Zehnder, tel que montré à la figure 3.1. Dans une des branches de l’interféromètre est placé le modeleur d’impulsions, qui vient modifier le profil du faisceau entrant. C’est l’in-formation sur la phase de cette impulsion qui est recherchée. Pour obtenir la phase spectrale, on fera interférer le spectre résolu spatialement des deux faisceaux.
Figure 3.1: Interféromètre de Mach-Zehnder utilisé lors de l’expérience. Le premier miroir semi-réfléchissant sépare le faisceau Einc en deux. Dans une branche se trouve le modeleur d’impulsions qui permet d’obtenir le faisceau BGST alors que dans l’autre branche se trouve une ligne à délai permettant d’ajuster ajuster l’interférence entre les deux faisceaux r2E2 et
t2E1 qui se recombinent à la sortie.
On a donc un faisceau E1 et un faisceau E2 avec, respectivement, une phase φ1 et φ2
qui interfèrent à la sortie de l’interféromètre Mach-Zehnder. Les quantités t1, r1 et t2, r2
re-présentent respectivement les coefficients de transmission et de réflexion des deux fenêtres semi-réfléchissantes et L1 et L2, les longueurs des bras de l’interféromètre. L’expression du
champ total de sortie dans le domaine spectral est donnée par :
Etot(x, ω) = t2e −jωL1
c0E1(x, ω) + r2e−jωL2c0E2(x, ω), (3.1)
avec c0, la vitesse de la lumière dans le vide. En réécrivant E1et E2 en termes d’une amplitude
et d’une phase, on a Etot= e −jωL1 c0 t2A1(x, ω)e−jφ1(x,ω)+ r2e −jω(L2−L1) c0 A2(x, ω)e−jφ2(x,ω) . (3.2) En posant τ = (L2−L1)
c0 le délai temporel entre les deux trajets et ∆φ(x, ω) = φ2(x, ω)−φ1(x, ω)
la différence de phase entre les deux faisceaux, on obtient :
Etot = e −jωL1 c0e−jφ1(x,ω)ht 2A1(x, ω) + r2e−jωτe−j∆φ(x,ω)A2(x, ω) i . (3.3)
Puisqu’on veut observer l’interférence produite par les spectres résolus spatialement des deux faisceaux, il faut calculer la figure d’interférence Itot(x, ω) = |Etot(x, ω)|2, soit :
Itot(x, ω) = t22A21(x, ω) + r22A22(x, ω) + 2t2r2cos (ωτ + ∆φ(x, ω)) A1(x, ω)A2(x, ω). (3.4)
On est donc en présence d’un terme représentant l’intensité du faisceau 1, un terme repré-sentant l’intensité du faisceau 2 et un terme d’interférence en cosinus. Ce qui nous intéresse particulièrement est le terme ∆φ qui représente la différence de phase entre les deux fais-ceaux. Pour éliminer les autres termes, on effectue une transformée de Fourier dans l’axe des fréquences temporelles ω. Les deux termes A21 et A22 n’ayant pas de phase spectrale, ils n’au-ront pas de décalage temporel et vont s’additionner pour ne former qu’un seul pic à t=0. Cependant, le cosinus va venir échantillonner le terme en A1A2 autour de ±τ . En effet, grâce
à la propriété des transformées de Fourier [17]
T F [f (x)ejxτ] = F (ω − τ ) (3.5)
la transformée de Fourier se ramène à :
T F [Itot(x, ω)] = Itot(x, t) = F0(t) + F (t − τ ) + F (t + τ ) (3.6)
On a donc un terme F0(t) centré à t=0 qui représente l’addition des transformées de
Fourier de A21et A22et deux termes décalés de ±τ , F (t∓τ ) qui proviennent de la transformée de Fourier de cos (ωτ + ∆φ(x, ω)). Le but étant d’éliminer les termes A21 et A22 qui ne contribuent pas à l’interférence, on sélectionne une fenêtre autour de +τ ou −τ pour ne garder que la
transformée de Fourier du terme contenant ωτ + ∆φ(x, ω), ainsi Itot0 = F (t − τ ). Il est ensuite possible de retourner dans le domaine spectral pour obtenir l’information sur la phase :
T F−1Itot0 = T F−1[F (t − τ )] = A1(x, ω)A2(x, ω)e−j(ωτ +∆φ(x,ω)). (3.7)
Il est maintenant possible d’extraire la phase spectrale de l’expression restante, à l’aide d’un logiciel tel Matlab. Il ne reste plus que φ2(x, ω) − φ1(x, ω) + ωτ . La technique est sensible,
car une valeur de ωτ trop petite ne permet pas de bien séparer les pics. De plus, si la valeur de ωτ est trop grande, il se pourrait que la caméra soit incapable de résoudre la distribution originale. Cependant, l’opération peut facilement être intégrée à un montage contenant un modeleur d’impulsions, tel que montré à la figure3.2.
Figure 3.2: Méthode FTSI pour retrouver la phase spectrale d’un faisceau. En a) on a l’inter-férence entre les faisceaux E1 et E2. Une transformée de Fourier le long de l’axe des fréquences est appliquée pour obtenir b). On obtient l’expression (3.6), soit la partie sans modulation et une copie de E1E2cos(∆φ) autour de ±τ . En c), une fenêtre vient sélectionner un seul des
pics, ici celui qui a été décalé vers des valeurs positives de l’échelle temporelle. Finalement, une dernière transformée de Fourier permet de récupérer la phase Φt(ω), illustrée en d).
3.2
TADPOLE : Interférence spectrale et FROG
Pour reconstruire le profil complet du faisceau, il va falloir enlever le terme φ1(x, ω), qui
appartient au faisceau de référence. Une fois cette phase enlevée, il est possible de recréer le profil spatiotemporel du faisceau 2. En effet, il ne restera comme phase que φ2(x, ω) + ωτ .
Le profil spatiotemporel se reconstruit en faisant une transformée de Fourier le long de l’axe des fréquences temporelles du spectre résolu spatialement, auquel on a ajouté la phase. Le terme ωτ n’étant qu’une phase linéaire, il va centrer le profil spatiotemporel autour de τ sans changer la forme de ce dernier comme montré à l’équation (3.5). Il n’est donc pas nécessaire de connaître la valeur de la différence de parcours entre les deux bras de l’interféromètre τ , bien que ce soit possible en théorie.
Le faisceau de référence 1 sert à créer le faisceau 2 grâce au modeleur d’impulsions. Le faisceau 1 devrait en principe contenir assez d’énergie pour pouvoir utiliser des instruments de caractérisation utilisant des effets non-linéaires, comme le FROG par exemple. Les techniques utilisant l’interférence spectrale et le FROG pour caractériser le profil temporel d’un faisceau sont appellées TADPOLE, pour Temporal Analysis by Dispersing a Pair Of Light E-field [24].
3.2.1 SPIDER
Le SPIDER est une technique d’interférométrie spectrale permettant de retrouver la forme d’une impulsion. Provenant de Spectral Phase Interferometry for Direct Electric-field Recons-truction, cette méthode fut développée par Walmsley [25,26] utilise l’interférométrie spectrale pour reconstruire le champ électrique d’une impulsion. Cependant, à l’inverse de la technique FTSI décrite plus haut, la méthode SPIDER n’utilise pas de faisceau de référence comme on le voit à la figure3.3. Le second faisceau utilisé est une copie du faisceau originel à caractériser, dont le contenu spectral est déplacé. Le déplacement spectral étant ∆ω, la phase SPIDER entre les deux faisceaux est
ΦSP IDER= φ(ω + ∆ω) − φ(ω) − ωτ = ∆ω
δφ
δω − ωτ = ∆ωτgroupe− ωτ, (3.8)
avec τgroupe le délai de groupe. Il est ensuite possible de reconstruire le champ électrique du faisceau incident grâce à une routine de transformée de Fourier similaire à celle utilisée pour la technique présentée dans la section précédente. Cette méthode n’est cependant pas adaptée aux faisceaux de Bessel-Gauss spatiotemporels. Tout d’abord, une des méthodes pour produire le déplacement fréquentiel nécessite un effet non-linéaire, ce qui n’est pas souhaitable, puisque les faisceaux BGST produits ont une faible puissance crête. De plus, le montage expérimental du SPIDER est plus compliqué que celui des autres techniques, car on a besoin d’un montage pour décaler les fréquences. La méthode SPIDER ne nous apparaît pas comme la meilleure méthode pour reconstruire le profil d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel.
Figure 3.3: Schéma d’un montage SPIDER pour la reconstruction du champ électrique. Un seul faisceau est utilisé pour obtenir les informations désirées avec le SPIDER. Une partie du faisceau est étirée temporellement grâce à une ligne dispersive ; la dérive de fréquence ainsi produite génère le déplacement fréquentiel désiré. L’autre partie du faisceau est de nouveau séparée et déplacée par un interféromètre de Michelson. Le tout passe dans un cristal SHG pour être ensuite analysé par une caméra dans un spectromètre. Les informations ainsi obtenues permettent de retrouver le champ électrique par inversion directe.
3.2.2 FROG
Pour caractériser un faisceau de référence assez puissant sans utiliser un autre faisceau, la méthode FROG, pour Frequency Resolved Optical Gating développée par Trebino est tout indiquée [19, 27, 28, 29]. Le FROG permet de retrouver la phase spectrale et le spectre de l’impulsion incidente, permettant ainsi de connaître le champ électrique complet. Le FROG est composé d’un autocorrélateur, d’un milieu non linéaire et d’un spectromètre, comme on le voit à la figure3.4.
L’autocorrélateur sépare le faisceau incident en deux faisceaux identiques, E(t) et E(t−τ ), où τ est le délai induit par la différence de parcours entre les deux bras de l’autocorrélateur. Les deux faisceaux se recombinent dans un milieu non-linéaire. Différent milieux et procédés non linéaires peuvent être utilisés, en autant que leur réponse soit instantanée. Parmi les dif-férentes techniques utilisées, on mentionne la porte de polarisation, l’auto-diffraction, la porte temporelle, la génération de deuxième harmonique et la génération de troisième harmonique. Lorsqu’un cristal de deuxième harmonique est utilisé, comme c’est souvent le cas dans les autocorrélateurs classiques, l’intensité du signal reçu par le spectromètre est donc proportion-nelle au produit des deux champs recombinés. Le FROG utilise donc l’impulsion elle-même pour analyser celle-ci.
Figure 3.4: Schéma d’un montage FROG pour la reconstruction du champ électrique. Le faisceau est séparé en deux branches dont une introduit un délai variable. C’est la partie de l’autocorrélateur. Les deux faisceaux viennent ensuite interférer dans un milieu non-linéaire dont la réponse dépend du milieu utilisé. Finalement, un spectromètre vient imager l’émission du milieu non-linéaire par une caméra.
L’intensité résultante est ensuite envoyée dans un spectromètre, qui fait essentiellement la transformée de Fourier du résultat de l’autocorrélation dans le domaine des fréquences, à la manière du spectre résolu spatialement. Le résultat est recueilli par une caméra. On a donc une image en 2D du spectre de l’autocorrélation en fonction du délai appliqué τ .
Il n’est pas possible pour un autocorrélateur seul de retrouver la phase d’un faisceau incident. On peut obtenir le spectre à partir de la mesure d’autocorrélation, mais pas la phase spectrale. C’est ce qu’on appelle le problème de recouvrement de la phase à une dimension. Ce problème n’est malheureusement pas soluble comme l’explique Rick Trebino dans son livre sur le FROG [29]. Cependant lorsqu’on utilise un spectromètre au bout de l’autocorrélation, comme c’est le cas avec le FROG, la situation est changée. Le FROG venant transposer le faisceau dans le domaine temps-fréquences, on a essentiellement deux transformées de Fourier cette fois, ce qui nous donne un problème de recouvrement de la phase en deux dimensions. Contrairement à son homologue en une dimension, le problème en 2D produit une solution unique, tel que montré par l’article de Trebino en 1993 [28].
Il n’est pas possible d’obtenir une routine d’inversion directe qui permettrait de retrouver directement le champ original à partir de la trace FROG. Cependant, sachant que la solution est unique, on peut utiliser un algorithme itératif, tel que montré à la figure 3.5pour obtenir la solution.
Figure 3.5: Schéma de l’algorithme itératif utilisé pour trouver le champ électrique à partir de la trace FROG. Un signal de départ quelconque est utilisé et comparé à la trace FROG en se rapprochant de la solution à chaque itération.
Une fois que le programme a convergé, on obtient l’intensité et la phase de l’impulsion incidente. Connaître ces deux fonctions dans le domaine temporel nous donne immédiatement les deux distributions équivalentes dans le domaine des fréquences, le spectre et la phase spectrale. C’est cette phase spectrale qui nous intéresse, car elle représente la fonction φ1 de
l’équation (3.2).
3.2.3 GRENOUILLE
La version utilisée du FROG pour caractériser le faisceau gaussien qui permet de géné-rer le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel est une version simplifiée et améliorée du design du FROG décrit dans la section précédente. Le GRENOUILLE, qui signifie GRating Elimi-nated No-nonsense Observation of Ultrafast Incident Laser Light E-field reprend les mêmes éléments conceptuels décrits plus haut [30]. La trace GRENOUILLE contient des données dans le domaine temps-fréquences, qui peut être résolu pour retrouver le champ électrique par un algorithme itératif. Dans un axe, on retrouvera donc un délai variable et dans l’autre, les fréquences.
Le principe gouvernant le fonctionnent du GRENOUILLE reste exactement le même que pour le FROG muni d’un interféromètre (voir figure3.6).
Comme on le voit aux figures 3.7 et 3.8, l’interféromètre est remplacé par un biprisme de Fresnel. Le biprisme a l’avantage d’être beaucoup plus compact et beaucoup plus facile à
Figure 3.6: Schéma d’un montage GRENOUILLE pour retrouver le champ électrique. Dans un axe, la trace est fonction du délai temporel qui est introduit par un biprisme de Fresnel. Dans l’autre axe, la trace est fonction de la longueur d’onde qui est séparée par la propagation dans le cristal SHG épais.
aligner qu’un interféromètre. Le délai induit τ par l’autocorrélateur n’est pas produit par un miroir qui vibre, mais plutôt par l’angle relatif entre les deux faisceaux séparés à la pointe du prisme (figure3.7).
Le spectromètre, ainsi que le cristal mince qui génère la seconde harmonique sont rempla-cés par un seul cristal épais permettant de générer la deuxième harmonique. Les différentes fréquences sont générées à différents angles sur un axe à cause de l’accord de phase du cristal épais. Le cristal étant assez épais, l’accord de phase pour différentes longueurs d’ondes se fait à différents endroit. Le cristal agit alors comme un spectromètre et vient étaler l’information spectrale dans cet axe. Dans l’autre axe, le délai causé par l’angle entre les faisceaux après le biprisme de Fresnel permet d’obtenir l’axe des délais. Le tout est ensuite recueilli par une caméra CCD. On retrouve donc la figure du FROG qui représente une image de la fréquence en fonction du délai. Il est ensuite possible d’utiliser le même genre d’algorithme pour retrouver le spectre ainsi que la phase spectrale du faisceau incident, ce qui permet d’obtenir toutes les informations sur le champ électrique incident.
Le GRENOUILLE est donc simplement un FROG simplifié, plus compact et à alignement plus simple.
3.2.4 TADPOLE
En 1996, une approche a été développée qui combine les méthodes de l’interférence spec-trale et du FROG ; c’est la méthode TADPOLE pour Temporal Analysis by Dispersing a
Figure 3.7: Délai variable induit par le biprisme de Fresnel à l’intérieur du GRENOUILLE. L’angle entre les deux impulsions permet d’obtenir un délai qui varie selon la distance dans l’axe du biprisme. Au centre, le délai est nul. Ceci remplace l’interféromètre dans le montage FROG.
Pair Of Light E-field. Introduite dans l’article de Fittinghoff [24], c’est essentiellement la mé-thode qui sera utilisée. L’interférométrie spectrale va nous permettre de trouver la quantité φ1− φ2− ωτ et le GRENOUILLE va permettre d’enlever le paramètre φ1 de l’équation.
Différentes méthodes ont été suggérées pour améliorer la méthode TADPOLE, telles que le SEA (Spectrally Encoded Arrangement)TADPOLE [31], MUD( MUltiple Delay)TADPOLE [32] ou encore STARFISH (SpatioTemporal Amplitude and phase Reconstruction by Fourier transform of Interference Spectra of High-complex beams)[33]. Cependant, ces méthodes né-cessitent le plus souvent le recours aux fibres optiques. Puisque la forme spatiotemporelle du faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel est hautement dépendante du milieu dans lequel elle se propage, ces méthodes ne sont pas appropriées pour caractériser ce type de faisceau.
Figure 3.8: Schéma comparatif établissant les équivalences entre FROG et GRENOUILLE. L’interféromètre est remplacé par un biprisme de Fresnel. Le cristal mince et le spectromètre sont remplacés par un cristal épais et les lentilles cylindriques permettent de focaliser ou de collimer le faisceau.
Chapitre 4
Montage expérimental
Cette section va décrire le montage nécessaire à la production et à la caractérisation de faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels. Le montage expérimental de l’expérience est constitué de plusieurs sections comme on le constate à la figure 4.1. Les impulsions issues d’un laser Ti:Sa sont d’abord analysées par un appareil GRENOUILLE. Un miroir basculable permet au faisceau de continuer vers le reste du montage où chaque impulsion sera séparée en deux copies. Une des branches de l’interféromètre contient le modeleur d’impulsions, qui crée et renvoie le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel grâce à un anneau réflectif. Dans l’autre bras de l’interféromètre, se trouvent deux miroirs de position ajustable, permettant ainsi d’introduire un délai variable entre les deux bras. Les deux faisceaux sont finalement recombinés à la sortie de l’interféromètre. Le faisceau peut ensuite être envoyé dans un spectromètre où son SRS peut être analysé par une caméra CCD.
4.1
Source d’impulsions femtosecondes
4.1.1 Laser Ti:Sa
Le laser utilisé pour l’expérience est un Titane:Saphir Synergy Pro de Femtolasers dont le schéma est montré à la figure4.2. Ce laser commercial est utilisé pour produire l’impulsion femtoseconde avec laquelle on produit le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel ainsi que le faisceau de référence avec lequel il sera analysé. Selon les spécifications de Femtolasers, on peut obtenir des impulsions d’une durée de 10 fs, avec une cadence de 75 MHz, pour une puissance moyenne de sortie d’environ 300 mW. La largeur spectrale est supérieure à 120 nm. À la sortie du laser, le diamètre du faisceau devrait être de 2 mm. Cette source laser est utilisée pour créer et caractériser le faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel. Il sera lui-même caractérisé par un appareil GRENOUILLE au chapitre suivant.
Dans le cas qui nous intéresse, un compresseur à prismes a été installé à la sortie du laser. Le compresseur à prismes, en pairage avec un autocorrélateur, permet de réduire au minimum
Figure 4.1: Schéma du montage total utilisé pour les expériences. Le faisceau sortant du laser Synergy Pro de Femtolasers passe par un compresseur à prismes. Un miroir basculable permet de l’envoyer dans le GRENOUILLE ou dans le reste du montage. Une pellicule mince vient séparer le faisceau en deux. Une partie du faisceau passe par la ligne à délai alors que l’autre partie passe par le modeleur d’impulsions. Cette partie peut passer par le module dispersif. Finalement les faisceaux sont recombinés et analysés à l’aide du spectromètre ou du montage SRS.
la durée des impulsions.
Ce laser est utilisé parce que les impulsions brèves générées permettent d’obtenir une valeur pratique du délai τ mais surtout parce que le spectre plutôt étendu des impulsions permet d’aller chercher un anneau de taille raisonnable par le modeleur d’impulsions. De plus, le laser était disponible et simple d’utilisation. Cependant, la longueur d’onde centrale de ce laser est de 780 nm. Or, il n’existe pas de matériau permettant une dispersion anomale à cette longueur d’onde. On voudra donc simuler un tel milieu. Le reste des expériences se fera, soit à dispersion nulle, soit normale.
Le faisceau est ensuite envoyé dans l’appareil GRENOUILLE UPM 8-9 décrit au chapitre 3. Le faisceau est aligné à l’aide de deux miroirs puis envoyé à l’intérieur de l’appareil. Le GRENOUILLE donne ainsi les renseignements sur la phase, le spectre, le profil temporel, la phase spectrale et le profil spatial du faisceau, grâce à une deuxième caméra.
Figure 4.2: Schéma de la cavité du laser Femtolasers Synergy Pro utilisé pour produire les impulsions femtosecondes.
4.1.2 Compresseur à prismes
Les impulsions générées par le laser Ti:Sa Synergy Pro de Femtolasers peuvent avoir à la sortie un glissement de fréquence important. En effet, même si le spectre obtenu permettrait en théorie d’obtenir des impulsions sous les 20 femtosecondes, la durée obtenue avec un auto-corrélateur sans utiliser de compresseur se situe autour de 100 fs. On peut donc conclure qu’il y a un glissement de fréquence et donc qu’il est possible de ramener l’impulsion à une durée beaucoup plus courte.
Il est donc nécessaire de compenser ce glissement de fréquence pour pouvoir utiliser les impulsions. La méthode la plus appropriée est celle du compresseur à prismes. Cette méthode, proposée par Fork en 1984 [34] permet d’obtenir une dispersion négative, ce qui va permettre de compenser le glissement de fréquences dans notre cas. Des prismes de silice ont été utilisés dans la configuration montrée à la figure 4.3.
Le premier prisme, placé à l’angle de moindre déviation, vient séparer les différentes lon-gueurs d’onde du signal qu’il redirige vers le deuxième prisme. Les prismes sont placés de telle manière que les longueurs d’onde qui ont besoin d’être retardées ont un parcours plus long dans le deuxième prisme. À droite du second prisme, un miroir ou un rétroréflecteur retourne le faisceau dont les différentes longueurs d’onde sont maintenant parallèles, par le même che-min qu’à l’entrée. La même dispersion qu’à l’aller est donc appliquée dans le deuxième prisme, puis le tout est recombiné par le premier prisme, où normalement les différentes composantes spectrales devraient être temporellement en phase. La distance utilisée entre les prismes était de 60.5 cm.
Pour s’assurer d’avoir le meilleur effet possible, il est possible d’ajuster l’insertion du faisceau dans le deuxième prisme ainsi que la distance entre les prismes, pour obtenir plus ou moins de dispersion. Cette dispersion a été optimisée en observant la trace d’autocorrélation
Figure 4.3: Schéma d’un compresseur à prismes tel qu’utilisé pour compenser le glissement de fréquence des impulsions générées par le laser Ti:Sa
du laser Ti:Sa après le compresseur et en obtenant la durée d’impulsion la plus courte possible.
4.2
Modeleur d’impulsions
4.2.1 Montage optique
Le modeleur d’impulsions représente la partie la plus importante du montage. Basé sur une technique proposée par Durnin [5], le modeleur d’impulsions utilisé pour produire des faisceaux Bessel-Gauss spatiotemporels est identique au modeleur d’impulsions développé par Michaël Dallaire dans son article de 2009 [15], tel qu’on le voit à la figure4.4.
On suppose une impulsion femtoseconde incidente gaussienne. Tel que présenté à la sec-tion 2.5, la transformée de Fourier d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel est un anneau dans le domaine des fréquences spatiotemporelles. La première étape est donc de faire passer l’impulsion incidente dans ce domaine des fréquences spatiotemporelles. Le premier élément optique est un réseau de 1200 lignes par mm. Ce dernier vient décomposer le faisceau inci-dent en son contenu fréquentiel. Le premier ordre est utilisé pour conserver le plus d’énergie possible.
À une distance focale du réseau se trouve une lentille cylindrique, dans le même axe que la dispersion des fréquences. Cette lentille collime le faisceau lors du premier passage, pour
