Déterminer l'expression d'une fonction affine a partir de deux images

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

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Fiche méthode 1.1 : seconde générale

Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux images ou l’équation d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.

Rappels :

Soit f une fonction affine définie sur IR. Alors f est de la forme f(x)=ax+b. Avec 1 2 1 2) ( ) ( x x x f x f a − − =

Si A(x_A;y_A)etB(x_B;y_B)sont deux points de la droite représentative de f alors leurs coordonnées vérifient son équation donc A

(

)

(

)

SiA(x_A;y_A)etB(x_B;y_B)sont deux points de la droite D alors leurs coordonnées vérifient l’équation de D.

Exemple 1 (fonction) :

Soit f la fonction affine définie sur IR telle que f(1) = 1 et f(4) = -1. Exprimer f en fonction de x.

f est de la forme f(x)=ax+b où

3 2 1 4 1 1 1 4 ) 1 ( ) 4 ( ₌ − − − − = − − = f f a . On a donc f x = − x+b 3 2 ) ( .

Au choix pour trouver la valeur de b : Comme f(4) = -1 alors (on remplace x par 4 et f(x)

par –1) :

Comme f(1) = 1 alors (on remplace x par 1 et f(x) par 1) : b + × − = − 4 3 2 1 − + ×4=b 3 2 1 − + =b 3 8 3 3 b = 3 5 b + × − = 1 3 2 1 + =b 3 2 1 + =b 3 2 3 3 b = 3 5 Donc 3 5 3 2 ) (x = − x+ f Exemple 2 (fonction) :

Soit f une fonction affine définie sur IR. On sait que sa courbe représentative passe par les points A(-2 ;5) et B(0 ;-3). Déterminer l’expression de f en fonction de x.

f est de la forme f(x)=ax+b . A et B sont sur sa courbe représentative donc f(-2)=5 et f(0)=-3.

D’où 4 2 8 2 5 3 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 0 ( ₌ − − ₌ − ₌₋ − − − − = f f a . On a donc f(x)=−4x+b.

Au choix pour trouver la valeur de b : Comme f(-2)=5 alors (on remplace x par -2 et f(x)

par 5) : b + − × − = 4 ( 2) 5 5=8+b 5−8=b −3=b

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- 2 - Comme f(0)=-3 alors (on remplace x par 0 et f(x) par -3) : b + × − = −3 4 0 −3=0+b −3=b Donc f(x)=−4x−3 Exemple 3 (droite) :

Soit la droite D passant par les points A(-1 ;7) et B( 2;1). Déterminer l’équation de D. D a une équation de la formey=ax+b.

2 3 6 ) 1 ( 2 7 1 ₌ − ₌₋ − − − = a doncD:y =−2x+b

Au choix pour trouver la valeur de b :

Comme A(-1 ;7) ∈D alors ses coordonnées vérifient l’équation de D (on remplace x par -1 et y par 7) :

b

+

−

×

−

=

2

(

1

)

7

Comme B(2 ;1) ∈D alors ses coordonnées vérifient l’équation de D (on remplace x par 2 et y par 1) :

b

+

×

−

=

2

2

1

Soient A(0 ;6) et B( -4;2). Déterminer l’équation de (AB). D a une équation de la formey=ax+b.

1 4 4 0 4 6 2 ₌ − − = − − − = a doncD:y =x+b

Au choix pour trouver la valeur de b :

Comme A(0 ;6)∈( AB) alors ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) (on remplace x par 0 et y par 6) :

b

+

=

0

6

ou

Comme B(-4 ;2)∈( AB) alors ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) (on remplace x par -4 et y par 2) :

b

+

−

=

4

2