Estimation de canal très sélectif en temps et en fréquence pour les systèmes OFDM

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Estimation de canal très sélectif en temps et en

fréquence pour les systèmes OFDM

Emmanuel Jaffrot

To cite this version:

Emmanuel Jaffrot. Estimation de canal très sélectif en temps et en fréquence pour les systèmes OFDM.

domain_other. Télécom ParisTech, 2000. English. �pastel-00001753�

fréquence pour les systèmes OFDM

Emmanuel Jaffrot

Liste des notations 8

Introduction générale 12

1 Systèmeet modèles 15

Introduction. . . 15

1.1 Principe et modèles dessystèmes OFDM. . . 16

1.1.1 Historique -principe . . . 16

1.1.2 Modélisationdessystèmes OFDM . . . 17

Modèleanalogique . . . 18

Passage au modèle numérique . . . 22

Interprétation temps-fréquence . . . 23

1.2 Modélisation delachaîne étudiée . . . 24

1.2.1 Caractéristiques dusignal transmis . . . 24

1.2.2 Modélisationdu signalreçu . . . 26

1.2.3 Caractéristiques ducanal de propagation. . . 28

1.2.4 Représentation ducanal de propagation . . . 31

1.3 Simplication de lareprésentation ducanal . . . 32

1.4 Conclusion. . . 34

2 Estimation de canal semi-aveugle au sens du Maximum a Posteriori 35 2.1 Introduction . . . 35

2.2 Étatde l'art . . . 36

2.2.3 Estimateurs desfacteursde gainducanal . . . 38

Estimation decanal ausens ducritère desmoindres carrés(MC) . . . 38

Estimation decanal par lecritère del'erreur quadratique moyenne minimale (EQMM) . . . 41

Estimation decanal avec retour de décision . . . 45

Estimation parltrage dansundomaine de transformation . . . 46

2.2.4 Conclusions . . . 48

2.3 Estimationde canal itérative baséesurle critèredu Maximuma Posteriori . . . 48

2.3.1 Formulationduproblème au sensdu Maximuma Posteriori . . . 48

2.3.2 L'algorithme Expectation - Maximization . . . 49

2.3.3 Expressionanalytique del'estimateur . . . 51

2.3.4 Cas particuliers . . . 52

2.4 Résultats . . . 53

2.4.1 Algorithmes de comparaison . . . 53

Estimation decanal MC . . . 53

Estimation decanal par laFFTbidimensionelle EC-FFT-2D . . . 57

Combinaisondesestimation surchaquebranche de diversité . . . 60

2.4.2 Contextedes simulations. . . 61

Signal émis . . . 61

Canal de propagation . . . 62

Paramètres del'estimateur . . . 62

2.4.3 Résultats desimulation . . . 62

2.5 Conclusion. . . 68

3 Estimation semi-aveugle avec prise en compte du codage : Turbo estimation de canal 69 Introduction. . . 69

3.1 Turbo estimationde canal . . . 69

3.1.1 Contexte . . . 69

3.1.2 Principe de l'algorithmede Bahl . . . 70

3.1.3 Écriture modiéede l'algorithmede Bahl . . . 71

3.3 Conclusion. . . 81

4 Estimation de canal au sens du Maximum a Posteriori à partir de symboles connus 82 Introduction 82 4.1 Estimationde canal baséesurl'innovation :Prédiction Linéaire . . . 83

4.2 Estimationde canal exploitant labase orthonormale étendue . . . 84

4.3 Construction simpliéede labaseorthonormale étendue . . . 86

4.4 Optimisationde lapositiondessymboles pilotes. . . 87

4.4.1 ModulationMDP-2. . . 87

4.4.2 ModulationMDP-4. . . 88

4.5 Résultats desimulation . . . 91

4.6 Conclusions . . . 95

5 Estimation semi-aveugle avec conditions initiales optimisées 96 5.1 Introduction . . . 96 5.2 Résultats desimulation . . . 96 5.2.1 Initialisation . . . 96 5.2.2 Partie Itérative . . . 97 5.2.3 Simulations . . . 97 Non codé . . . 97 Codé . . . 101 Conclusion générale 105 A Propriétésde l'algorithme EM 106 A.1 Théorème 1:Croissance desprobabilités a posteriori . . . 106

A.2 Théorème 2:Point critiquede laprobabilité a posteriori . . . 107

B Expressionanalytique de l'estimateur 108 C Cas particuliers 111 C.1 Modulation MDP-2. . . 111

D Harmonisationdu canal en temps et en fréquence 116

D.1 Étalement desretards . . . 116

D.2 Étalement Doppler . . . 118 D.3 Expressionde B d et T m en fonctiondu produitB d T m . . . 119

E Expressionde la variance de l'innovation 121

F Identité de l'estimée MAP et de la prédiction linéaire EQMM 123

G Probabilité d'erreur brute sur les symboles 124

G.1 Modulation MDP2 . . . 124

G.2 Modulation MDP4 . . . 124

H Expressionde l'estimée MAP à partir de la base étendue 126

I Constructionsimpliée de la base étendue 128

Liste des gures 130

Remerciements

Je tiens à remercier tout d'abord Monsieur Maurice Bellanger, Professeur au Centre National

desArts etMétiers, pour m'avoirfait l'honneurde présiderle juryde cettethèse.

Merci à Monsieur Philippe Loubaton, Professeur à l'Université de Marne la Vallée, pour sa

lectureattentive dece document etsontemps précieux consacréà desdiscussionsconstructives.

Merci àMadameInbarFijalkow,Professeur aulaboratoireETISde l'ENSEA etde l'Université

de CergyPontoise, pour saténacité, pour toutes lesdiscussions passéesetà venir.

MerciàMonsieurArmandLévy,ResponsabledudépartementIIMdeFranceTélécomRecherche

etDéveloppement oùs'estdérouléecette thèse,pour m'avoirdonné lachancederéaliserce travail.

MerciàMonsieurMohamedSialapoursoninspiration,sonamitiéettoutescesheuresdetravail

en commun.

Merci à Monsieur Robert Vallet, Maître de Conférences à l'Ecole Nationale Supérieure des

Télécommunications deParis,pour saparticipationà ce juryde thèse.

Merci également àMonsieurPierre Duhamel,pour l'ensemble desesconseils avisésetsa

dispo-nibilité.

Merci à l'ensemble de l'équipe IIM, Daniel, Mohamed, Roland, Raphael, Noura, Thierry,

Pa-trick,Yi,Sabrina,Sylvie,Antoine,Hatem.Ainsiqu'àGurvan,Céline,Christophe,Céline,Christine,

Benoit, Stéphane...

Merci àChut!, Rabi, Djoule,Choa, Luka, Vincent,Karine, Chrystèle,Björk, Johanna, Fanou,

Charlotte, Eli, Amélie,Growin' Hair,Anne, Pauline, Bertrand, P.J. Harvey,Robert, Marie-Agnès,

Djeeps, Vera Cruise, Antoine, Stéphanie, Radiohead, Paolo, PeeWee, Roland, Zal, Sabrina, Ivan,

Elsa, Mer2 et2mer, Lulu, Stéphane, Mélanie, Nath, Alex, Gabi, Santiago, Curly,Cess ... pour ce

qu'on apartagé, ce qu'onpartage, ce qu'onpartagera ...

Merci à mafamille,mes parents, àSimon etEtienne.

Résumé

L'orientation des telecommunications vers les hauts-debits fait de la technique de modulation

OFDM l'un des centres d'intérêts privilégies de la recherche actuelle. Cette technique basée sur

le principe d'orthogonalité des "ltres" réalisant la modulation ne nécessite pas d'égalisation a

proprement parler, mais requiert une estimation de la réponse fréquentielle du canal pour chaque

symboletransmis.Lescontextesde propagationrencontresaujourd'huiencommunicationsmobiles

a hautsdebits peuvents'avérer extrêmement diciles aestimer précisément.

Nousproposonsdanscetmémoiredethèse deuxméthodesd'estimation decanaltrèssélectifen

tempsetenfréquencebasessurlecritèreduMaximumaPosterioritraitantlesignalreçuparblocs.

Cesalgorithmesreposentsurunmodèledecanalobtenusuivant ladecompositionorthogonaledela

matrice d'autocorrélation du canal selon lethéorème de decomposition orthogonale de

Karhunen-Loève.Nousprésenterons égalementlesperformancesdecesnouvellestechniquescomparéesacelles

de méthodes classiques d'estimation de canal ainsi que la robustesse de ces techniques a l'erreur

d'estimation desstatistiques du canal.

Abstract

High bit rates services focusing in the telecommunications domain is leading to an increasing

interestforOFDMmodulationinactualresearch.Thistechniqueisbasedonorthogonalmodulating

ltersanddoesn'tneedtheuseofanequalizer,butitrequirestheestimationofthechannelfrequency

response for each transmitted symbol. Today's propagation contexts met in high bit rate mobile

communications maybereally toughto precisely estimate.

In this document, we propose two channel estimation methods for highly frequency and time

selective channels, based on the Maximum a Posteriori criteria, processing blockby block the

re-ceived signal. Thesealgorithmsusea channel modelbasedon theorthogonaldecompositionof the

autocorrelation matrix of the channel obtained by means of the Karhunen-Loève orthogonal

ex-pansion theorem.Wealso present these newtechniques performance compared toclassical channel

a mn

Symbole de données MDP de l'alphabet à la position ( m;n) du bloc

temps-fréquence

a Æ( k)

SymbolededonnéesMDP del'alphabetàl'index Æ( k)dubloc

temps-fréquence

a n

Vecteur dessymboles dedonnées dun  eme

symboleOFDM

A Æ( k)

Symbolede donnéesnormalisé àl'index Æ(k) dubloc temps-fréquence

A Vecteur dessymboles dedonnées normalisésdu bloc temps-fréquence

B d

Largeur de labande Dopplerdu canal

B l k

Vecteur propre numéro k de lamatrice F l

c mn

Facteurde gaindu canalà laposition(m;n) dubloc temps-fréquence

c l mn

Facteurdegainducanalvuparlal  eme

branchedediversitéàlaposition

(m;n) dubloctemps-fréquence

c l Æ( k)

Facteur de gain du canal vu par la l  eme

branche de diversité à l'index

Æ(k) du bloc temps-fréquence

c n

Vecteur des facteurs de gain du canal correspondant au n  eme symbole reçu C l Æ( k)

Facteurde gainnormalisédu canalvupar lal  eme

branche de diversité à

l'index Æ(k) du bloctemps-fréquence

C l

Vecteur des facteursde gainnormalisés du canal vupar la l  eme

branche

de diversitédu bloc temps-fréquence

E mn

F Espacement fréquentiel entre deux symboles adjacents du bloc

temps-fréquence

F l

Matrice d'autocorrélation ducanalvu parlal  eme

branche de diversité

G l k

VariableGaussiennecentrée devariance l k

- représentationdu canalde

propagation

J 0

(:) Fonction deBessel de première espèceetd'ordre 0

K Nombrede porteuses dusystèmeOFDM

L Nombrede branchesde diversité en réceptiondu système

~

n(t) Bruit decanal additif complexe blancGaussien

~ n

mn

Échantillondubruitdecanalàlaposition( m;n)dubloctemps-fréquence

~ n n

Vecteurdeséchantillondubruitdecanalcorrespondantaun  eme symbole reçu N 0

Variance du bruitde canal

N D

Nombre de symboles de donnéesdu bloc temps-fréquence

N P

Nombre de symboles pilotes dubloc temps-fréquence

N l mn

Échantillon du bruit reçu à la l  eme

branche de diversité à la position

(m;n) dubloctemps-fréquence

N l Æ( k)

Échantillondubruitreçuàlal  eme

branche dediversitéàl'index Æ(k) du

bloctemps fréquence

p(t) Fonction prototype du modulateur OFDM (interprétation

temps-fréquence)

r(t) Signal OFDMcontinu reçu

R l mn

Échantillon du signal reçu sur la l  eme

branche de diversité à laposition

(m;n) dubloctemps-fréquence

R l Æ( k)

Échantillondusignalreçusurlal  eme

branchede diversité àl'indexÆ( k)

du bloc temps-fréquence

R l

Vecteur des échantillons d'un bloc temps-fréquence reçus sur la l  eme branche de diversité s(t) Signal OFDM s l (t) SymboleOFDM

S D

Ensemble bidimensionnel des positions dessymboles de données dansle

bloctemps-fréquence

S P

Ensemblebidimensionnel despositions dessymboles pilotesdanslebloc

temps-fréquence

T Longueur d'unsymbole OFDM - espacement temporel entre deux

sym-boles adjacentsdu bloctemps-fréquence

T m

Étalement desretardsdu canalà trajets multiples

T pc

Longueur du préxecyclique

T s

Longueur d'unsymboleMDP del'alphabet

W Largeur de bande dusystèmeOFDM

y mn

Échantillondu signalreçuà laposition(m;n) dubloc temps-fréquence

T Longueur d'unsymbole OFDM - espacement temporel entre deux

sym-boles adjacentsdu bloctemps-fréquence

T m

Étalement desretardsdu canalà trajets multiples

T pc

Longueur du préxecyclique

T s

Longueur d'unsymboleMDP del'alphabet

W Largeur de bande dusystèmeOFDM

y mn

Échantillondu signalreçuà laposition(m;n) dubloc temps-fréquence

y n

Vecteur deséchantillons dun  eme

symboleOFDMreçus

( ;t) Réponseimpulsionelle continue du canalde propagation

n

() Réponse impulsionelle du canal de propagation correspondant au n  eme

symbolereçu

n

Vecteur deséchantillons de laréponseimpulsionelle du canal

correspon-dant au n  eme

symbolereçu

l k

Valeur propre numéro k de lamatrice decorrélation F l

Æ(k) Fonctiond'indexationde fkg k=N 1 k=0

versl'ensemblebidimensionnel S D [ S P Æ P ( k) Fonction d'indexationde f kg k=N P 1 k=0

versl'ensemble bidimensionnel S P Æ D (k) Fonction d'indexationde f kg k=N D 1 k=0

versl'ensemblebidimensionnel S D

Æ k;k

0

 k

(t) Formed'onde dumodulateur OFDMcontinu

 mn

(t) Formed'ondedumodulateur OFDMàlaposition( m;n)dubloc

temps-fréquence

(
f;
t) Fonction d'autocorrélation temps-fréquenceducanal

m

(t) Formed'onde dudémodulateur OFDMcontinu

L'internet,latélédiusion ainsiquelaradiodiusiononété,aucoursdesdixdernièresannées,à

l'originedelarésurgence dessystèmesmultiporteusesOFDM.Cettetechnique,apparueàlandes

années 60 [10 ] a peu été exploitéeavant les années 90.Ses qualitésintrinsèques l'ont amené à être

utiliséedanslesnormesde diusionnumériquede programmesradio(Digital AudioBroadcasting :

DAB) [24] ettélévisés(Digital Video Broadcasting :DVB) [25], pour latransmission de donnéesà

hautsdébits surlignesbilaires(Asynchronous DigitalSubscriber Line :ADSL)ainsiquepour des

systèmes hauts-débitsde typeHIPERLAN (HIghPERformancesLocalArea Network).

Aujourd'hui, la préoccupation grandissante des télécommunications pour les hauts débits fait

de la technique OFDMl'un des centres d'intérêt privilégies de la recherche actuelle. Tous les

pro-blèmes inhérents à la méthode OFDM dans les contextes de transmission mobiles et hauts débits

sontétudiés:synchronisationtemporelle,synchronisationfréquentielle,égalisationetestimationde

canal.

Les systèmes OFDM sont fondés sur le principe d'orthogonalité des ltres réalisant la

modu-lation. Ces méthodesfonctionnent intrinsèquement par bloc,la modulation d'un bloc de symboles

étant réalisée le plus souvent par une Transformée de Fourier Discrète Inverse (TFDI).

L'intro-duction d'un intervalle de garde de durée supérieure à l'étalement des retards du canal, comme

le montre lagure suivante, permet d'éliminer l'Interférence Entre Symbole (IES) générée lors du

passage dans lecanal. L'égalisation en est donc simpliée, mais nécessitetoujours une estimation

de laréponsefréquentielle ducanal pour chaque symboleOFDM.

Cependant, aucune technique dans la littérature ne s'est réellement intéressé à l'estimation de

canal très sélectif en temps et en fréquence. Beaucoup de méthodes considèrent la sélectivité en

temps ou la sélectivitéen fréquence, mais pasles deux àla fois.L'estimationde canal très sélectif

Modèlediscret classiquedessystèmes OFDM

ce mémoire, où nous présenterons outre ses modèles classiques, le modèle de représentation en

treillis temps-fréquence du signal OFDM, ainsi qu'une modélisation originale ducanal basé sur la

décompositionde Karhunen-Loève [2 ].

Le deuxièmechapitreprésenteunnouvelestimateuritératifdecanaltrèssélectif entempseten

fréquence, utilisant l'algorithme EM. Cetestimateur traite lesignalreçu par bloc temps fréquence

comprenant toutoupartie desporteusesde plusieurssymboles OFDM.Danscette partie,les

sym-boles seront supposés non codés. C'est pourquoi le troisième chapitre seconsacrera au traitement

deblocstemps-fréquencecomposés desymbolescodés.Cetteméthode d'estimationdécoulant dela

premièreréaliseraundécodagedessymbolesconjointementàl'estimationdecanal.Nousappellerons

cette technique turbo-estimation de canal.

Lequatrièmechapitreprésenteunetechniqueautonomed'estimationdecanalbaséeuniquement

surl'utilisation dessymboles pilotes.Cetteautreméthode d'estimation decanalpeut existerd'elle

même et peut également être utilisée comme phase d'initialisation de l'algorithme itératif. Cette

dernière combinaisonsera étudiée danslecinquièmeetdernier chapitre.

La gurequi suit présente l'ordre de lectureconseillédu mémoire,suivant l'intérêt dulecteur.

Cette étudea éténancée par FranceTélécom Recherche etDéveloppement et adonnée lieuà

Système et modèles

Introduction

Dans ce premier chapitre, nous nous attacherons à présenter les principales modélisations des

systèmes utilisant la technique OFDM en tant que modulation, ainsi qu'une représentation

origi-nale du canal de propagation. Nous xerons également les principales notations utilisées dans ce

document.

Historiquement, les premières techniques multiporteuses ont vu lejour à l'ère des

communica-tions analogiques. Ces méthodes ont donc tout d'abord fait l'objet de représentations continues,

caractérisées par des fonctions orthogonales continues. Le modulateur et le démodulateur étaient

alors des bancsde ltres théoriquement orthogonaux, maisla réalisation de ltre analogiques

par-faitement orthogonaux estrigoureusement impossible ets'en approcher estdonc très coûteux.

Cette représentation a donc progressivement été remplacée par une modélisation discrète des

élémentsde cessystèmes.Aujourd'hui, lestransformées orthogonales lespluscouramment utilisées

dans les systèmes OFDMsont laTransformée de Fourier discrète Inverse et sa transforméeduale,

laTransformée de Fourier Discrète,préférées pour leur faible complexité et leurfacilité de miseen

oeuvre.

Nous nous intéresserons plus particulièrement à une modélisation plus globale du principe de

transmission OFDM en considérant l'existence d'un treillis bidimensionnel dans le plan

temps-fréquencesur lequelsont émisles symboles d'information.

1.1 Principe et modèles des systèmes OFDM

Une dessolutions utiliséespourtransmettreun signalàtraversun canalsélectifen temps eten

fréquence,sansinterférence entresymboles,estdechoisirlalargeur debande dusignalplusgrande

quelalargeurde labande Doppleretplusfaible quelalargeur de labande de cohérence ducanal.

Ces hypothèsescorrespondent à ladénition d'unsignalbande étroite à faible débit.Pour réaliser

unetransmissionàhautdébit,ilestalorsnécessairedetransmettreungrandnombredecessignaux

bande étroite surdesporteusessituées en fréquenceaussiprochesquepossible lesunesdes autres.

Tel estleprincipe de basedessystèmes detransmissions multiporteuses dont fait partie l'OFDM.

1.1.1 Historique - principe

Les origines des modulations multiporteuses actuelles remontent aux systèmes de transmission

parallèle de la n des années 50 et 60. La technique de modulation synchronisée des porteuses

bande-étroite et leur transmission sur des spectres se recouvrant a été utilisée dans des systèmes

militaires hautes fréquences tels que les systèmes Kineplex, ANDEFT et KATHRYN. Puisque la

synchronisationétaitassuréeentrelesporteuses,l'orthogonalitéentrelesdiérentscanauxparallèles

pouvaitêtreutiliséepourrestituerl'informationcontenuedanslesignal,malgrélerecouvrementdes

spectres.CesancêtresdessystèmesOFDMutilisaientdesensemblesdesignauxorthogonauxlimités

dansletemps, despectre largement étalé enfréquence (despectrede type sinx/xpar exemple).

En 1966,Changproposalatechniquecorrespondantepourles systèmedetransmissionàbande

limitée [10]. La méthode qu'il propose à l'époque consiste à synthétiser des fonctions temporelles

orthogonales à bande limitée en utilisant des ltres de Nyquist avec un roll-o doux. Les canaux

de transmissionétroits crééspeuvent êtreconsidérés commedescanaux plats,de tellefaçon quele

systèmeglobaldevient moinssensibleaubruit.Deplus,lalimitation delalargeur debande génère

moinsd'interférenceentre symboles etentre canaux.

Weinstein et Ebert établissent [72 ] que le signal multi-fréquences est en fait latransformée de

Fourierdelaséquencededonnéesoriginale.Latechniquenumériquepermetd'éliminerlebanc

d'os-cillateurs à l'émetteur et de démodulateurs cohérents au récepteur habituellement nécessaires aux

systèmes à multi-porteuses analogiques. Ils sont remplacés par descalculateurs réalisant la T

rans-formée de Fourier Rapide Inverse (TFRI)à l'émetteur etleTransformée de Fourier Rapide (TFR)

aurécepteur[72].Cessystèmesutilisentencorel'impulsionrectangulaire,générantunedensité spec-2

causéesparcettelargeurdebandeinniesontminimiséesparl'introductiond'unintervalledegarde.

En 1981, Hirosaki présente lapremière versionà bande limitée d'unsystème numérique

multi-porteuses.Il étend letravail de Weinstein etEbert [72] au ltrage en bande de base etdéveloppe

la théorie numérique des modulations d'amplitude en quadrature multiplexées orthogonalement

(O-QAM). Ainsinomme-t-onaujourd'hui latechnique proposéepar Chang en 1966.

En 1985, Cimini propose et analyse l'application de l'OFDM à la transmission sur un canal

radiomobile. Il insiste notamment sur ladiversité fréquentielle intrinsèquedes modulations

multi-porteusespermettant dedécoréler l'inuencedu canalàévanouissement surlessymbolestransmis.

Jusqu'àaujourd'hui,l'intérêt pour lesmodulationsmultiporteusesappliquéesauxsystèmes

mo-bilesestresté grandissant. DanslecadreduprojetDAB(DigitalAudio Broadcasting)Eureka 147,

AlardetLassaleontproposéunsystèmedediusionnumériquedontlapartiemodulationestbasée

surlatechnique OFDM.L'argument majeurde l'OFDMest qu'iltransforme un canallarge bande

très sélectif en temps et en fréquenceen une multitude de canaux à bande étroitenon sélectifsen

fréquence.Encombinantunentrelacement entrelessous-porteusesetuncodageadaptéàlanature

del'évanouissement ducanal,onobtient,aurécepteur,lescaractéristiquesd'uncanalGaussien.Ce

type desystème estappeléCOFDM.

D'autrestravauxsurlesujetontétél'objetdel'applicationdel'OFDMauxcanauxradiomobiles

à modulationde fréquence(MF) et de discussions surde nouvellesformes d'ondes mieuxadaptées

aux canaux sélectifs. Les dernierstravaux sur l'algorithmique s'intéressent plus particulièrement à

laréductionde complexité etaugaind'ecacité spectraledanslecasde spectresne serecouvrant

pas.L'OFDMestaujourd'huiconnusouslenomde multiporteusesdiscrètes(Discrete Multi-Tone :

DMT)danslanormemondialeADSL.Ilestégalementutilisédanslanormedusystèmede

télédiu-sionnumérique DVB-T. L'OFDMavaitmême étéenvisagépour lanorme dusystèmeinternational

UniversalMobile Telecommunication System(UMTS).

Depuisquelquesannées, ungrandnombred'étudesconcernant lacombinaisonde l'OFDMavec

l'AMRCapparaissent, an d'unier les avantages desdeux systèmes etainsi d'ouvrir de nouvelles

voies dansles applicationsradio cellulaires.

1.1.2 Modélisation des systèmes OFDM

L'OFDM peut êtremodélisé de plusieurs manières. Cette méthode a une longue histoire,et la

technolo-laquelle nous ferons surgir la modélisation discrète en bande de base, ainsi qu'une modélisation

bidimensionnelle dansleplantemps-fréquence.

Modèleanalogique

Le modèle dusystème OFDMcontinuen bande de baseestreprésentésurlagureI.1.

Fig. I.1:Modèle dusystèmeOFDMcontinu en bande debase

Émetteur

Considérons unsystèmeOFDMcomportant K sous-porteusesdansune bandede largeurW et

transmettantdessymbolesdeduréeT ,comprenant unpréxecycliquededuréeT pc

.Cetémetteur

utilise les formesd'ondesuivantes :

 m (t)= 8 > < > : 1 p T Tpc e j2 W K m( t T pc ) pour t2[0;T] 0 ailleurs ; (1.1) où T = K/W +T pc

.Ces formesd'ondevérient évidemment la relationd'orthogonalité

Z +1 1  m (t)  m 0 ( t)dt=Æ m;m 0 ;( :)  (1.2)

représentant l'opérateur de conjugaisoncomplexe etÆ m;m

0 le symbolede Kronecker déni par

Æ m;m 0 = 8 < : 1 pour m=m 0 0 pour m6=m 0 : (1.3) Notons que  m (t)= m

(t+K/W) lorsque tdécrit lepréxe cyclique [ 0;T pc

]. Puisque  m

( t) est

 m

(t)modulent les symboles d'information à émettreet lesignal transmisen bande de base pour

len  eme

symboleOFDMest

s n (t)= K 1 X m=0 a m;n  k ( t nT); (1.4) oùlesa 0;n ;a 1;n ;;a K 1;n

sontlessymbolesd'informationdeduréeT s

= T/Ktransmissurl'intervalle

[0;T] . Ce sont des nombres complexes provenant d'un ensemble de points d'une constellation.

Lorsqu'une séquence innie de symboles OFDMest transmise, lesignal ensortie de l'émetteur est

une juxtaposition de symboles OFDM:

s(t)= +1 X n= 1 s n ( t)= +1 X n= 1 K 1 X m=0 a m;n  m (t nT): (1.5) Canal physique

Nous supposonsque lesupportde laréponseimpulsionelle du canalphysique (;t) - variable

entemps etenfréquence-estrestreintà l'intervalle  2[ 0;T pc

];c'estàdireaupréxe cyclique.Le

signalreçu devient

r( t)=( ?s)(t)= Z T pc 0 (;t)s(t )d+n~(t); (1.6)

où ~n( t)représente lebruitde canal additif complexe blancGaussien.

Récepteur

LerécepteurOFDMconsisteenunbancdeltres,adaptéàladernièrepartie[T pc ;T]desformes d'ondede l'émetteur  m (t), c'està dire m (t)= 8 < :   m (T t) sit2[0;T T pc ] 0 sinon. (1.7)

Ceci signie en clair que le préxe cyclique est retiré à la réception. Puisque le préxe cyclique

contient, par dénition, toute l'interférence entre symboles provenant du symbole précédent, le

signaléchantillonné ensortiedubancdeltresdurécepteurne contientpasd'IES.Enutilisant1.5, 

y mn = ( r? m )( t)j t=nT = Z +1 1 r(t) m ( T t)dt (1.8) = Z T Tpc Z T pc 0 (;t) " K 1 X m 0 =0 a m 0 n  0 m (t ) # d !   m (t)dt+ Z T Tpc ~ n(T t)  m ( t)dt: (1.9)

Considérons que le canal ne varie pas sur la durée d'un symbole OFDM et notons n

( ) le

facteur d'atténuation ducanalsur len  eme

symbole.Nous obtenons:

y mn = K 1 X m 0 =0 a m 0 n Z T T pc Z Tpc 0 n () m 0 (t )d    m (t)dt + Z T Tpc ~ n(T t)  m ( t)dt: (1.10)

Lesintervallesd'intégrationsont T pc

<t<T et0< <T pc

ceciimpliqueque0<t  <T et

l'intégraleintérieure R T pc 0 n () m 0 (t )d devient : Z Tpc 0 n () m 0 (t )d = Z Tpc 0 n () e j2m 0 ( t  T pc )W/K p T T pc d = e j2m 0 (t T pc )W/K p T T pc Z Tpc 0 n ()e j2m 0 W/K : (1.11)

La dernière partie de cette expression est la réponse fréquentielle échantillonnée du canal à la

fréquencef = m 0

W/K,c'està diresurla m 0eme fréquenceporteuse: c m 0 n = Z Tpc 0 n ( )e j2m 0 W/K d, (1.12) c m 0 n

est donc l'échantillon à la fréquence m 0

W/K de la transformée de Fourier de n

( ). En

y mn = K 1 X m 0 =0 a m 0 n Z T Tpc e j2m 0 ( t Tpc)W/K p T T pc c m 0 n   m ( t)dt + Z T T pc ~ n(T t)  m ( t)dt (1.13) = K 1 X m 0 =0 a m 0 n c m 0 n Z T T pc  m 0 (t)  m ( t)dt+n~ mn , (1.14) où n~ mn = R T Tpc ~ n(T t)  m

( t)dt.Puisque lesltres d'émission  m (t)sont orthogonaux, Z T Tpc  m 0 (t)  m ( t)dt= Z T Tpc e j2m 0 ( t Tpc)W/K p T T pc e j2m( t Tpc)W/K p T T pc dt=Æ m;m 0 ; (1.15)

Æ représentant lafonction de Kronecker.Nous pouvonsà nouveau simplier 1.14pourobtenir

y mn =c mn a mn +n~ mn , (1.16) où n~ mn

est un bruit blanc Gaussien additif. Nous voyons alors que le système OFDM peut se

représenter souslaforme de K canaux Gaussiensparallèles (cfg.I.2).

Fig. I.2:Le système OFDMcontinus'interprète commedescanaux Gaussiensparallèles

La gureI.3représente schématiquementlaréponsefréquentiellede chacunedessous-porteuses

d'un symboleOFDM.

Fig.I.3:Schémasymboliquedessous-porteusesdusystèmeOFDMàK porteusesetdelargeur de

bande W

dusystèmeOFDMdécroîtdoncenf 2

.Danscertainscas,cen'estpassusantetdesméthodes[72 ,

?, 32,27]ontété proposées pour fairedécroître lespectredu systèmeplusrapidement.Dans toute

notre étude,nousconsidérerons quelamiseen forme estrectangulaire dansledomaine temporel.

Passage au modèlenumérique

MettreenoeuvreunsystèmeOFDMcontinutelquenousl'avonsdécritprécédemmentnécessite

l'utilisationdeK ltresanalogiquesenparallèleparfaitementorthogonaux.Detelsltressont

prati-quementimpossiblesàréaliseretleurimplantationesttrèscoûteuse.C'estpourquoicetteopération

estaujourd'huiréaliséenumériquement.Lemessagenumériqueainsicréésubituneconversion

numé-rique-analogiqueavant d'êtreémis.DanslemodèleOFDMdiscret,lesbancsdeltresdel'émetteur

et du récepteur sont en règle générale remplacés par une transformée de Fourier discrète inverse

(TFDI) et par une transformée de Fourier discrète (TFD), respectivement. Le canal réalise une

convolution linéaire discrète dansledomaine temporel.Le préxe cycliqueopèreexactement de la

même façon dans ce système que dans le modèle continu et les calculs peuvent être menés de la

même façon.

Du point de vue du récepteur, l'utilisation d'un préxe cyclique plus long que la réponse

Fig.I.4:Modèle discretdu systèmeOFDM. dantau n  eme symboleOFDM: y n =TFD(TFDI(a n )~ n +~n n ) =TFD(TFDI(a n )~ n )+n n (1.17) où y n

contient les K échantillons reçus, a n

les K symboles appartenant à transmis, n

la

réponse impulsionelle du canal échantillonnée et ~n n

le bruit de canal. Puisque le bruit de canal

est considéré blanc et Gaussien, le termen n

=TFD(~n n

) représente un bruit Gaussien décorrélé.

Deplus, laTFD de deux signauxsubissant une convolution cyclique estégale au produit de leurs

transforméesdeFourier.Ennotant'Æ'lamultiplicationélémentparélément,l'expressionprécédente

peutdonc s'écrire :

y n =a n ÆTFD( n )+n n y n =a n Æc n +n n (1.18) où c n = TFD( n

) est la réponse fréquentielle du canal. Nous obtenons donc le même type de

canauxGaussiensparallèlesquedanslemodèlecontinu.Laseule diérenceprovientdu faitqueles

atténuations ducanalc n

sont donnéesparlaTFDdetailleK ducanaldiscret temporel,aulieude

laréponsefréquentielle échantillonnée vue dans(1.16).

Interprétation temps-fréquence

Les modèles décrits précédemment sont deux modèles classiques de l'OFDM avec préxe

cy-clique.Un modèleplus général estde voirl'OFDMcommeun systèmede transmissionde données

sur un treillis bidimensionnel dans le plan temps-fréquence. Considérons tout d'abord un signal

OFDMs(t) . s(t)= n=+1;m=K 1 X a mn  mn (t); (1.19)

où la fonction  mn

(t) est la translatée d'une fonction prototype p(t) de n 0 en temps etde m 0 enfréquence,soit: mn (t)=p(t n 0 )e j2m0t

:Cetteconstatationmontrel'existenced'untreillis

bidimensionnel dansle plantemps-fréquence(g.I.5) [27],[32 ].

Fig. I.5:Représentation temps-fréquenced'unsystèmeOFDM.

La fonction prototype peutêtre lafenêtre rectangulaire

p(t)= 8 < : 1 0 0t 0 0 ailleurs : (1.20)

danslecasd'unsystèmeOFDMnonltré oubiendesltresen racine deNyquistdanslecasd'un

systèmeOFDMltré.L'espacementfréquentielentredeuxsymbolesestalorsde 0 = 1/(  0 T cp ) , où T cp

estla longueur dupréxe cyclique. Chaque symbole de donnéetransmissubit un

évanouis-sement plat, ce qui simplie l'égalisation et l'estimation de canal. Les atténuations du canal en

chaquepoint dece treillis sont évidemment corrélées.

1.2 Modélisation de la chaîne étudiée

La chaîne présentée ci-dessous est la chaîne complète considérée dans ce mémoire. Pourtant,

danscertaines parties,certainsblocscommelecodeuretl'entrelaceurneserontpasprisen compte.

1.2.1 Caractéristiques du signal transmis

temps-Fig. I.6: Chaîne dusystèmeétudié.

ment dunombredeporteusesdusystèmeOFDMetpeutprendreencompte toutou partied'unou

plusieurs symboles OFDM.Sa formeet sataillesont donc libres, de manière às'adapter au mieux

au système.

Chacun de ces blocs, de dimensions n s

n p

, n s

étant le nombre de symboles OFDM et n p

le

nombre de porteuses appartenant au bloc,est composéde N =n s n p symboles fa mn g d'énergie fE mn

g et de position bidimensionelle (mF;nT) où F et T sont respectivement l'espacement en

fréquenceet entemps entre deuxsymboles adjacents. Il contient N D

symboles de donnéesindexés

dans l'ensemble S D

et N P

symboles pilotes indexés dans l'ensemble S P

. On considérera dans la

suite de ce mémoire que les symboles appartiennent à un alphabet d'une modulation de phase

(MDP). En eet, nous verrons que l'hypothèse de symboles à enveloppe constante est nécessaire

pourles nouvelles méthodes d'estimation de canalprésentéesdans cemémoire.

Fig. I.7:Exemple de bloctemps-fréquence

plus de précision, mais risque d'introduire des interférences au niveau de la porteuse elle même

et par conséquent de réduire la capacité du système OFDM dans un contexte de réutilisation de

fréquence.L'estimationdecanalselonles techniquesprésentéesdanscemémoire permet deréaliser

une estimationde canal optimalequelle quesoit lavaleur delapuissance dessymbolespilotes.

1.2.2 Modélisation du signal reçu

Commenousl'avonsdéni,lerécepteurtraitelesignalreçuparbloctemps-fréquence.Cesignal

est reçu sur un réseau de L capteurs décorrélés spatialement, créant L branches de diversité. Sur

chacune des branches de diversité, le signal reçu est en premier lieu démodulé par la transformée

de Fourier discrète. On suppose que le signal en sortie de la l  eme

branche de diversité associé au

symbolea mn s'écrit : R l mn =c l mn a mn +N l mn (1.21) oùc l mn

est lefacteurde gainducanaldiscret delal  eme

branche vupar lesymbolea mn

et N l mn

est

un bruit blancGaussien additif complexe de variance N 0

. Lesfacteurs de gainssont indépendants

d'unebranchedediversitéàl'autre,maiscorrélés entreeuxentempsetenfréquencesurunemême

 Æ(k)=[m(k);n( k)]entrel'ensemblemonodimensionnelf kg N 1 k=0 etl'ensemblebidimensionnel S=S D [S P ;  Æ D

( k) = [m( k);n( k)] entre l'ensemble monodimensionnel fkg N D 1 k=0 et l'ensemble bidimen-sionnelS D ;  Æ P

(k) = [m(k);n( k)] entre l'ensemble monodimensionnel f kg N P 1 k=0 et l'ensemble bidimen-sionnelS P .

Fig.I.8:Représentation schématique desensemblesd'indexation

Soit (:) T

l'opérateur de transposition, écrivons levecteur signal en sortiedu ltre adaptéde

lal  eme branche de diversité: R l = h R l Æ( 0) ;:::;R l Æ( N 1) i T : (1.22)

couple d'indices ( m;n),nousdénissons levecteur normalisédu bloctransmis : A=  A Æ(0) ;:::;A Æ(N 1)  T (1.23) avecA Æ( k) = a Æ( k) Æ   a Æ( k)  

.Surcettebase,ilestpossiblederéécrirelescomposantesduvecteurreçu

surlal  eme branche dediversité : R l Æ( k) =C l Æ( k) A Æ(k) +N l Æ( k) (1.24) où C l Æ( k) est lad  eme composante du vecteur C l = h   a Æ( 0)   c l Æ(0) ;:::;   a Æ( N 1)   c l Æ( N 1) i T (1.25)

desfacteursde gainnormalisés du canaldiscret multiplicatif équivalent surlal  eme

branche.

1.2.3 Caractéristiques du canal de propagation

Comme l'indique le titre de ce mémoire, les canaux auxquels nous nous intéressons sont des

canaux sélectifs en temps et sélectifs en fréquence. Nous noussommes attaché ici à travailler avec

descanauxmultitrajetsàévanouissement.Lecanalmultitrajetestunenvironnementdepropagation

dans lequel le signal parvient au récepteur depuis plusieurs trajets dus à des eets de réexion et

de dispersion. Ces facteurs peuvent aisément mener à des uctuations rapides de la phase et de

l'amplitude du signal. Chaque trajet est caractérisé par sa puissance moyenne, par le retard de

propagation qu'il subit etpar son spectre de puissanceDoppler dépendant de l'environnement, de

lavitesse du mobile ainsique de laporteuseà laquelle est émislesignal. Le canal de propagation

estgénéralement représentéde lafaçon suivante :

g( ;t)= X q  q ( t)e j2fcq( t) Æ(  q ( t)) (1.26) où q

(t)représentelefacteurd'atténuationvariantdansletemps,f m lafréquenceporteuseet q (t) leretarddepropagationduq  eme

trajet.Maisdansl'étuded'unsystèmeOFDM,onémetl'hypothèse

quesurune porteuseetsurune périodesymbolelecanal peutêtreconsidéré commeinvariant.Sur

une porteuse donnée m et pour le n  eme

symbole OFDM reçu de durée T s , le facteur de gain du canal devient: c mn = X  q e j2f c  q Æ(   q ): (1.27)

Les évanouissements subis par chaque trajet peuvent être aussi bien de type Rayleigh que de

type Rice. Le canalest donc caractérisé[60] par sonétalement DopplernotéB d

etpar l'étalement

des retards noté T m

. Dans cette étude, nous nous sommes uniquement intéressés aux canaux de

typeRayleigh, cecinerestreinten rienlechampd'applicationdestechniquesd'estimation de canal

présentéesdans cemémoire.

Au niveau d'un capteur enréception, lafonction d'autocorrélationtemps-fréquence du canalà

spectre de puissance Dopplerclassique età prol d'intensité multitrajets exponentiel de puissance

moyenne ( 0;0) estdonnéepar [60] :

(
f;
t)=( 0;0) J 0 ( B d
t) 1+j2T m
f (1.28) J 0

(:) représentant la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0,
t et
f respectivement

l'espacement temporel etfréquentielentre deuxsymboles adjacents.

Fig. I.9: Fonction d'autocorrélation ducanal àspectre de puissanceDopplerclassique

età prol d'intensité multitrajetsexponentiel

Un canal de propagation, comme nous l'avons déjà armé, peut être caractérisé par ses

para-mètres étalement Doppler B d

et étalement des retards T m

. Nous avons choisi de prendre comme

paramètre du canal le produit B d

T m

. Mais à une valeur du produit B d

T m

xé correspondent une

innité de valeurspour B d

etT m

dant,dansunsoucidenepasfavoriserl'uneoul'autredesdimensionssélectivesducanal(entemps

ou en fréquence), nousavons choisi de xer le rapport B d

=T m

de telle façon que les variations en

tempsetenfréquencesedérouleselonlesmêmesrèglesstatistiques.C'estàdirequelavariancedes

retards etlavariance delafréquence Doppler soient égales.

Le détailde cescalculs estdonné en annexeD et mène àlarelation :

B d =2 p 2 T m

Ce quidevient, sil'on pose B d T m = : B d = q 2 p 2 T m = r  2 p 2

La gureI.11ci-dessousdonne unexemplede réalisationdechacun descanaux utilisésdansles

simulationsprésentéesplusavant.CescanauxvérientlarelationentreB d

T m

donnéeci-dessus.On

vérie bienqueles variations temporelles etfréquentiellessont homogènes.

Fig.I.10:Exemples de canauxpour diversesvaleursdu produitB d

T m

porteuses.Surdetels blocs,nousconsidéreronsquelescanauxdeparamètreB d T m =1=8 2 et1=16 2

sont très sélectifs, le canal B d

T m

= 1=32 2

est moyennement sélectif etle canal B d T m = 1=64 2 est faiblement sélectif.

1.2.4 Représentation du canal de propagation

Pourréaliseruneestimationdecanalsemi-aveugleausensdumaximumaposteriori,nousavons

besoind'unereprésentationprécise ducanal. Notrereprésentation estbaséesurune version

discrè-tedu théorème d'extension orthogonale de Karhunen-Loève [2]. Pour une question de clarté, nous

considéreronsque lestrajets ducanal obéissenttous àdesatténuations de Rayleigh.

Proposition 1 Le vecteur représentant le canal - observé au l  eme

capteur lors de la transmission

d'un bloc de données temps-fréquence -peut s'exprimer sous la forme :

C l = N 1 X k=0 G l k B l k (1.29) où les f B l k g L 1 l =0

sont les vecteurs propres normalisés de la matrice d'autocorrélation F l = E  C l C T l  deC l etlesfG l k g N 1 k=0

sontdescoecientsGaussienscomplexesindépendantsetcentrés.

Lesvariancesdecescoecients,que l'onsupposeraparlasuiteclassésdansl'ordre décroissant,sont

égalesauxvaleurspropresf l k g N 1 k=0 delamatricehermitienneF l .LessystèmesfB l k g N 1 k=0 -lvariant

de 0 à L 1 -forment L bases orthonormales de l'espace canonique complexe à N dimensions.

Démonstration. Cetteproposition estuncasparticulierduthéorèmed'extension orthogonale

de Karhunen-Loève continu [59 ].

Eneet, d'aprèslethéorème dedécomposition orthogonalede Karhunen-Loève etpuisque lecanal

depropagationsurchacunedesbranchesdediversitéformeunprocessusstochastique,ilestpossible

d'écriredevecteurC l

représentantlecanalobservéparunebrancheréceptricelorsdelatransmission

d'unbloc temps-fréquencede lafaçon suivante:

C l = N 1 X k=0 G l k B l k (1.30) Les vecteursfG l g L 1 l =0 ,où G l =(G l 0 ;G l 1 ;:::;G l ;N 1 ) T

,sont notre représentation du canal discret

vuensortiedelal  eme

antennederéception. Noussavonsquel'enveloppe ducanalestdeRayleigh,

c'estàdirequechaquefacteurdegainC l Æ( k)

1.30. Les fG l k

g

l =L 1;k=N 1 l =0;k=0

sont donc des variables complexes Gaussiennes de variance l k .D'où Re[ G l k ]etIm[ G l k

]sont desvariables Gaussiennesde variance l k /2.Onendéduit que p( G l k )=p(Re[G l k ])p(Im[G l k ]) = 1 p  l k e jRe[G lk ]j 2 lk  1 p  l k e jIm[G lk ]j 2 lk = 1  l k e jG lk j 2 lk : (1.31)

D'où lafonctionde densité deprobabilitédu vecteur G l

estrégie par l'expression:

p(G l )= N 1 Y k=0 e jG lk j 2 / lk  l k : (1.32)

Quandlerécepteuralaconnaissanceexactedescaractéristiquesducanalévanescentàmultitrajets,

le (p;q)  eme

élément de lamatrice hermitienne F l

correspondant à la l  eme

branche de diversité est

explicitement donnée par :

F l pq = q E Æ( p) E Æ(q)  l ( (m(p) m(q))F;(n(p) n(q))T): (1.33)

Enpratique,lesstatistiquesducanaldepropagationnesontpasprécisémentconnuesdurécepteur,

maislesparamètres B d

etT m

peuvent yêtreestiméspar destechniquesquenousn'aborderons pas

dansce mémoire.

1.3 Simplication de la représentation du canal

L'utilisation du modèle de canal tel que déni dansles paragraphes précédents peutamener à

destraitementstrèscomplexes.Eneet,lecanalobservésurunebranchedediversitéestreprésenté

par autant de vecteurspropres quelenombre N de symboles formant unbloc traité.

C l = N 1 X k=0 G l k B l k

Cependant,nous savonsqueles paramètres fG l

kg N 1 k=0

sont desvariablesaléatoires gaussiennes

de variance  k

=2. Ceci signie que lorsque la valeur propre  k

associée au vecteur propre B k

est

faible,le vecteur propreB k

necontribue quefaiblement àla représentation ducanal C l

.

Les simulationque nousavonsprésenterons par lasuite ont étéréalisées pour des canauxdont

nousavonschoisiles paramètresB etT telsque leurproduitvalent 1=64 2 ,1=32 2 ,1=16 2 et1=8 2 .

LagureI.11représente les valeurscumulées des40premièresvaleurspropresdesmatrices

d'auto-corrélationde chacun de cescanaux.

Fig.I.11:Valeurspropres cumulées pour lescanaux depropagation àB d T m =1=64 2 ,1=32 2 ,1=16 2 et 1=8 2

Cette gure nous montre que pour représenter le canal à 99% de sa puissance, il est susant

deneprendreencomptequ'unnombrelimitédevaleurspropresreprésentédansletableausuivant:

Nombreutile B d T m devaleurspropres 1=64 2 2 1=32 2 6 1=16 2 13 1=8 2 35

Tableau 1.1:Nombre de valeurspropres susantes

pour représenterlecanal à99% desapuissance

Il est donc très simple de simplier lemodèle de canal et ainside minimiser la complexité des

1.4 Conclusion

Dans ce premier chapitre,nous avons présentéles modèles classiquesd'unsignalOFDM. Nous

nous intéresserons particulièrement dans la suite de ce mémoire à une modélisation en "treillis"

du signal OFDM, permettant de considérer le signal OFDM reçu par blocs temps-fréquence de

symboles,chaquesymboleétant aectépar un canalmultiplicatif etpar un bruitadditif.

Nous avons également introduit une nouvelle modélisation du canal de propagation basée sur la

décomposition orthogonale de Karhunen-Loève de la matrice d'autocorrélation du canal. Cette

représentation du canal permet de représenter un canal de propagation de manière très simple et

grâce àun nombre relativement peu élevéde paramètres.

Dans le chapitre suivant, nousprésentons une technique d'estimation de canal semi-aveugle basée

Estimation de canal semi-aveugle au sens

du Maximum a Posteriori

Dans cette partie, nous nous sommes xé comme objectif de réaliser une estimation du canal

de propagationgrâceà l'information apportée pasles symbolespilotes contenus par lebloc

temps-fréquencetraité. De plus, pour améliorer l'estimation, nouscherchons àutiliser lemodèle de canal

présenté danslechapitre précédent.

Nousconsidérons quelerécepteur a une connaissance a priori desstatistiques ducanal, ce qui lui

confèredirectement laconnaissancea priori delabasedevecteurspropresdelamatrice

d'autocor-rélationducanal. Ceta priori nouspermetdepenserquelameilleure méthode àemployerdansce

casest celleduMaximuma Posteriori.

2.1 Introduction

Le canal de propagationvupar le récepteurpeutnon seulement varier de manièresignicative

d'unbloctemps-fréquenceàl'autre,maiségalementàl'intérieurd'unbloclui-même.Cettevariation

estprincipalement dueauxchangementsdesconditions depropagationentrel'émetteuret le

récep-teur. D'unpoint devue physique,lecaractère variabledu canalpeutêtre caractérisé, commenous

l'avonsdéjà vu, par leproduit B d

T m

. Plusce produitest grand, plus lecanal varie rapidement

danslesdomainestemporeletfréquentiel.Deplus,d'unsymboleàl'autrelecanalestcorrélé. Ceci

proscrit l'utilisation du critère du maximumde vraisemblance, puisque samiseen oeuvre dans un

posterioripermetdetenir comptede cette corrélation,nousbaseronsnotreestimationde canalsur

ce critère.

2.2 État de l'art

2.2.1 Introduction

Dans cette section, nous allons décrire les méthodes d'estimation de canal existantes dans des

contextes OFDM. Ces méthodes peuvent être simpliées par l'utilisation de modulations

diéren-tielles.Une modulationnumérique peutêtrequaliée dediérentielle oudecohérente.L'utilisation

d'unemodulation diérentielle permetdesepasser d'estimerlecanal puisquel'information est

co-dée dansla diérence de phase entre deux symboles consécutifs. Cette technique est couramment

utiliséedanslessystèmessanslpuisqu'elleréduitconsidérablement lacomplexitédurécepteurne

comportantpasd'estimateur decanal. Lamodulation diérentielle par déplacement dephase

(Dif-ferential PhaseShiftKeying :DPSK)estutiliséedanslanormeeuropéenneDigitalAudioBroadcast

(DAB)[24 ].Cettesimplicitén'estévidemmentpasdépourvued'inconvénients, eneet ladiérence

entre une modulation diérentielle et une modulation cohérente en terme de performances est de

l'ordrede3dBencanalGaussien[60 ]etlesmodulationsdiérentiellesclassiquesnepermettentpas

l'utilisation de constellations multi-amplitude. Bien qu'en général, ces méthodes n'en comportent

pas, ellespeuvent tirer partide l'aideapportée par unestimateur decanal [28 ].

Il existe une alternative intéressante aux modulations cohérentes et diérentielles classiques :

lesmodulationsdiérentiellespardéplacement d'amplitudeetdephase(Dierential Amplitude and

Phase Shift Keying : DAPSK) [22], [23 ], [61 ], [64]. Elles présentent une ecacité spectrale bien

supérieure aux modulations de phase classiques (MDP) puisque l'amplitude des symboles subit

également un codage diérentiel.

Lesmodulationscohérentespermettentl'utilisationdeconstellationsarbitrairesetsontunchoix

évident pour lessystèmeslaires oùlecanalnevariequetrès peu avec letemps.Danslessystèmes

sans-l,l'ecacitéspectraledesmodulationscohérentesenfontunchoixintéressantlorsqueledébit

esttrès élevé, commedanslanormedigital video broadcast (DVB) [25],[15].

La conception d'unestimateurde canalrepose fondamentalement surdeuxproblèmes :

 laquantité de symboles pilotes devant être transmise

pendent de laquantité d'information pilote émise. Cependant, quelques méthodesrécemment

ap-paruesn'utilisentaucuneinformation pilote. Cesméthodesditesaveugles sebasentsurl'utilisation

delacyclostationaritéintroduitepar lepréxecyclique[16 ],[34 ],[7 ],ousurlaméthodesous-espace

[53 ]initiée dans[52].Unedernièreméthodeproposéedans[12]réalise l'estimationaveuglede canal

au sensdu critère duMaximum deVraisemblance sansaucuneinformation surles caractéristiques

statistiques ducanal.

La littérature contient aujourd'hui un grand nombre d'article portant sur les techniques

semi-aveugle, utilisant des symboles pilotes multiplexés au signal transmis. Les symboles pilotes

per-mettent d'obtenir par interpolation uneestimation du canalsurl'ensemble dessymbolestransmis.

Cette technique est appelée Modulation Assistée par des Symboles Pilotes (Pilot-Symbol Assisted

Modulation -PSAM) etaétéintroduite pour dessystèmesmono-porteusepar MoheretLodge[50 ]

puisanalyséepar Cavers[8].Puisque,enOFDM,chaquesous-porteuseestsoumiseàun

évanouisse-ment nonsélectif,laméthode PSAMpeutêtregénéraliséeauxdeuxdimensions(temps-fréquence),

où les pilotes sont placés à certaines positions du treillis OFDMtemps-fréquence. L'estimationde

canalest alorsréalisée par uneinterpolationbidimensionelle.Hoëherproposed'utiliser desltresà

réponseimpulsionellenie(RIF)[35]pour cetteinterpolationetdeséparerl'utilisation des

corréla-tions temporelles et fréquentiellesdu canal. Celareprésente un bon compromisentrelacomplexité

etles performances.

L'espacement des symboles pilotes pour la méthode PSAM pour des systèmes mono-porteuse

a été étudié dans [8]. L'espacement optimal est proche du rythme d'échantillonnage de Nyquist,

c'est à dire l'inverse de la largeur de bande de la fonction de covariance du canal. Ce résultat se

généraliseauxdeuxdimensionspourletreillistemps-fréquencedel'OFDM.Utiliserunerépartition

densedessymbolespilotessigniequelecanalestsur-échantillonné,ceciimpliquequelesméthodes

d'estimationàréductionderang[21]peuventêtreecaces.Cetyped'estimateuràfaiblecomplexité

projette leséchantillons observéssurunespacede plusfaibledimension etréalise l'estimationdans

ce sous-espace. En sur-échantillonnant le canal, en plaçant les symboles pilotes proches les uns

des autres, les observations se trouvent essentiellement dans un sous-espace et les estimateurs à

réductionde rangsont très ecaces.

Danscequisuit,nousallonsprésenterdesestimateursdecanalutilisantuneinformationpilote.

La littérature s'est beaucoup étoée depuis une dizaine d'années concernant l'estimation de canal

grandestechniquesetcritèresd'estimation ontétéutiliséspour l'estimationdecanal OFDM.Nous

verrons cependant quetrèspeu decestechniquessesont souciéesdeprendreencompte àlafoisles

sélectivités temporelleetfréquentielle ducanal depropagation.

Les diérentes techniques d'estimation de canal sont présentées ici selon le type de sélectivité

qu'elles prennent en compte. Dans un premier lieu,nous verrons les méthodes n'exploitant que la

sélectivitétemporelle,ensecondlieulesméthodesconsidérantdescanauxsélectifsenfréquencepuis

les méthodes prenant encompte les deuxsélectivitésà lafois.

2.2.2 Estimateurs de la phase du canal

Dans lalittérature, unpetit nombre de publicationsconcernent lesestimateurs dephase. Cette

famille d'estimateur concerne plusparticulièrement leproblème dedémodulation diérentielle.

Ce-pendant,cesméthodespeuventêtreégalementappliquéesauxproblèmesdedémodulationcohérente

[65 ],[66], [54]ou quasicohérente [63 ].

2.2.3 Estimateurs des facteurs de gain du canal

Estimation de canal au sens du critère des moindres carrés (MC)

La méthode d'estimation de canal la plus simple, lorsque les symboles émis sont connus, est

l'estimation au sens des Moindres Carrés (Least Square : LS). Dans ce cas, le facteur de gain du

canal s'exprimesimplement

c mc ( k;l)= y k;l a k;l ; (2.2) y k;l étant l'échantillon du l  eme

symbole OFDM reçu sur la k  eme

porteuse, et a k;l

le symbole émis

(pilote ou démodulé) correspondant. On rencontre deux grandes familles d'estimateurs basés sur

les MC dans la littérature. La première est composée d'estimateurs avec retour de décision (ces

méthodessont présentées dansleparagraphe desestimateurs avec retourde décision),ladeuxième

familled'estimateurs MCconcerne dessystèmespourlesquelsl'information piloteestrépartiedans

l'ensembledel'espacetemps-fréquencedusignalOFDM.Cetyped'estimateursréaliseune in

terpo-lationsoit fréquentielle [38],[51],soit bidimensionelle[9] de l'estimationMCréalisée au niveau des

symbolespilotes à l'ensemble dessymbolesde donnée.

parsymbole.L'interpolationdel'estimée ducanalauniveaudespilotesestréaliséedansledomaine

fréquentiel. RinneetRenfors [62 ] proposent deuxestimateurs simples ausens des MC.Le premier

estime tout d'abord les valeurs des facteurs de gain du canal au niveau des pilotes et considère

quelecanalne varie pasdanslabande defréquence delargeur l'espacement fréquentielentre deux

symbolespilotes autourde lafréquence d'unpilote.

Fig.II.1:Interpolation MCconstante parmorceaux

Le deuxième réalise une interpolation linéaire considérant quele canalvarie linéairement entre

deuxpilotes.

Fig.II.2:InterpolationMC linéaire parmorceaux

Huang et Zhao [38] proposent une méthode d'interpolation polynômiale par morceaux. Dans

unsymboleOFDMlespilotessont régulièrement répartis parpaire.L'estimationinitialeau niveau

des pilotes est réalisée, puis chaque symbole OFDM est découpé en segments fréquentiels et le

canalsurchacun dessegmentestmodéliséparunpolynôme.L'estimationdecanalcomplètesurun

symboleOFDMest reconstruite à partirdes polynômesélémentaires obtenus surchaque segment.

L'interpolationestdoncsimpliéepuisqu'ellen'estréalisée qu'àpartirdequelquesporteusespilotes

par segment.

Chang [9] propose de réaliserune interpolationbidimensionelle au sens desmoindres carrésen

considérant que lecanalest une paraboloïde

etles coecients( a;b;c;d;e;f) sont déterminéspar laminimisation de X (k;l )2S P (c mc (k;l) f(k;l) ) 2 : (2.4)

Interpolation utilisant un ltre à réponse impulsionelle nie (RIF)

Dans [51 ], Moon et Choi présentent deux alternatives bidimensionelles aux techniques MC

simplesdeRinneetRenfors[62 ].Lestechniquesproposéesutilisentunltraged'interpolation

Gaus-sien ou un à splines cubique. Les ltres utilisés sont des ltres à réponse impulsionelle nie(RIF)

à 3 coecients et utilisent par conséquent les estimations du canal au niveau de 3 symboles

pi-lotes.Ici,l'interpolationestréalisée dansl'espace temps-fréquenceet passeulementsurunsymbole

OFDM. Cependant,contrairement à [9],l'interpolationbidimensionelle est réalisée pardeux ltres

monodimensionnels RIF, lepremierréalise l'interpolation dansledomaine fréquentiel,ledeuxième

dansledomaine temporel.L'estimationducanalobtenue estensuiteltréeanderetirerla

contri-bution du bruit tout en préservant la réponse impulsionelle du canal. L'estimée est transformée

dansledomainetemporelpar uneTFDI. Cetteestiméetransforméepeutêtre considéréecommela

réponseimpulsionelleducanal.Seulssont conservésleséchantillons correspondantaumaximumde

lapuissanceducanalpar unltragepassebasrectangulaire,et ceséchantillons subissent uneTFD

fournissantnalement lesfacteursde gainfréquentiels ducanal.

Fig.II.3:Filtrage basésurlatransforméede Fourier

Onizawaetal.[55 ]proposentuneméthodepermettant desélectionnerunltreRIFd'estimation

decanalparmiunensembleprédéni.CechoixsebasesurlesestimationMCréaliséesauniveaudes

symbolespilotes.LanormeduvecteurdiérenceentrelesestiméesMCducanalsurdeuxporteuses

adjacentesestutiliséecommecritèredechoixdultre RIFservantd'interpolateur àl'ensembledes

L'interpolation peutégalement être réalisée en adoptant un modèle de canalbasé surune base

depolynômesorthogonaux.Dans[33]estprésentéeuneméthodemodélisantlecanaldepropagation

à partirdespolynômesde Schmidt

C= M X m=0 m P m (2.5)

La projection du signalreçu auniveau dessymboles pilotespermetd'estimer les paramètres f m

g

etlecanal estétenduà l'ensembledessymboles de donnéesuivant 2.5.

Estimationdecanal parlecritèrede l'erreurquadratiquemoyenneminimale(EQMM)

Le critère de l'Erreur Quadratique Moyenne Minimale est très souvent rencontré dans la

litté-rature concernant l'estimation de canalpour dessystèmes OFDM.Ce critère estutilisé pour deux

grandesfamillesd'estimateurs.Lapremièreconcernel'application laplusconnueducritèreEQMM,

leltragede Wiener. Lesestimateurs de ladeuxièmefamille réalisent unltrage passe-bas au sens

de l'EQMM dansundomaine de transformation obtenu par transforméedeFourier.Dans ce

para-graphe,nousneprésentonsquelestechniquesbaséessurl'EQMM directes,lestechniquesutilisant

lecritère de l'EQMM dansundomaine de transformation sont présentées plus loin.

L'estimateur linéaireoptimalpour lessystèmesOFDMausensdel'erreurquadratiquemoyenne

(EQM) estleltrede Wiener2-D(temps-fréquence) [36 ],[43].Lacomplexité decetestimateur est

souvent trop grande pour une utilisation pratique. Des estimateurs sous-optimaux de plus faible

complexité ont, par conséquent, été présentés dans la littérature [35 ], [70]. Il existe deux classes

d'estimateurs, les estimateurs bidimensionnels etles estimateurs séparables. L'utilisation de ltres

séparables est une méthode courante pour réduire la complexité en terme de traitement de signal

multi-dimensionnel [19 ].

Ici, les atténuations du canalestimées ausens desmoindres carrés(MC)sont notées :

^ c mc =X 1 y= h y 0 x 0 y 1 x 1


y N 1 x N 1 i T (2.6)

Où y est levecteur desdonnées reçues etX le vecteur des symboles transmis. L'estimation nale

desfacteurs de gain du canalest réalisée par combinaison linéaire des ^c mc

(k;l) , où les coecients

delacombinaisonlinéairedépendent delastructuredel'estimateur.L'estimateur ausensducritère

de l'erreur quadratiquemoyenne minimale linéaire^c eqmml

estdonné par [67] :

^c eqmml =R cc  R cc + 2 XX H
1  1 ^c mc (2.7)

où R cc

est la matrice d'autocovariance du vecteur canal c. Le calcul de XX H

1

se révélant

gourmandencalcul,unesimplicationn'apportantquepeudedégradation[21 ]peutêtreétablieen

prenant lamoyenne stochastiquedecetestimateur.L'expression del'estimateursimpliéestalors:

^c=R cc  R cc +  SNR I  1 ^ c mc (2.8) où =E h j x k j 2 i E h j1/x k j 2 i et SNR =E h jx k j 2 i.  2 n . Estimation fréquentielle

Dans [20 ], puis [21], Edfors et al. présentent une méthode d'estimation linéaire au sens de

l'EQMM dont lacomplexité est réduite grâce à laréduction de rang optimale. Cette méthode est

obtenue parladécompositionenvaleurssingulièresdelamatrice d'autocorrélationfréquentielle du

canal R cc =UU H (2.9)

U étant une matrice unitaire contenant les vecteurs singuliers de R cc

et  une matrice diagonale

contenant lesvaleurssingulières deR cc  1  2 ::: N

sursadiagonale.L'estimateur optimal

de rangpest [20 ] : ^ c p =U
p U H ^ c mc (2.10) où
p =diag(Æ 1 ;:::;Æ N

)est une matricediagonale déniepar :

Æ k = 8 < :  k  k +  SNR ; k =1;2;:::;p 0; k =p+1;:::;N (2.11)

Fig.II.4:Réduction de rangbaséesur ladécomposition en valeurs singulières

La technique àréduction de ranga étéreprise par Hsieh dans[37],de lamême façon quedans

[20 ] cette méthode n'est pasutiliséepour interpoler les estimées desfacteursde gain ducanal aux

symbolesdedonnée,ellesertàaméliorerl'estimationducanalauniveaudespilotes.L'interpolation

estensuite réalisée linéairement ou par despolynômesdusecond degré.

Une méthodemulti-entréesmulti-sortiesbaséesurlecritèreEQMMavecdiversitéd'antenneest

également présentéedans [75].

Filtres séparables

Certainesméthodesproposéess'appuientsurlefaitquelafonctiondecorrélationtemps-fréquence

du canal peut s'écrirecomme leproduit desfonctions de corrélation en temps eten fréquence. Ce

constat permet d'établir qu'un ltrage bidimensionnel peut être réalisé par la succession de deux

ltresmonodimensionnels.

Dans [39], l'estimation fréquentielle est réalisée suivant la technique classique du ltrage de

Wiener. Hutter proposedeux interpolations temporelles :

 ltragepasse-bas utilisant la transforméedeFourier,

 ltrageà phaselinéaire.

Li et al., dans [74 ], proposent une extension de [21] en utilisant à la fois les corrélations en

fréquence eten temps du canal. Cetteméthode utilise deux ltresbasés sur latechnique proposée

dans [21], le premier basé sur la corrélation temporelle du canal et le second sur la corrélation

fréquentielle.

Filtres bidimensionnels

Le ltre deWiener 2-D estoptimal en termed'erreur quadratiquemoyenne, si on ne considère

pasla complexité. Quoiqu'il en soit,pour une complexité xée, lenombre de coecientsdu ltre

utiliséspeutêtreassezfaible.Ilexisteégalement uneversionàcomplexitéréduitedecetestimateur

utilisant lathéoriede réductionde rang.

Pour l'estimationdechaquefacteurde gainducanal,un setdeN P

pilotesestutilisé.Lespoids

optimaux du ltre de Wiener sont obtenus en utilisant ce set de N P

pilotes dans laformule (2.7),

[36 ],[43], [13].

Une versionmoinsclassiquedultredeWienerestprésentéeparFrenger etSvenssondans[28].

Le ltrage de Wiener est utilisé pour prédire le canal à l'instant l sur la porteuse k grâce à une

partie dessymboles reçusdansles symbolesOFDMprécédents.

Fig.II.5:Filtre de Wienerbidimensionnel

Fig.II.6:Schémade latechnique proposée par Frenger [28 ]

Yangetal.[76 ]proposentégalementuneméthodebaséesurlecritèredel'EQMM,cetestimateur

réalise en premier lieu une estimation des retards de chacun des trajets du canal de propagation.

Pourcela,laméthodeESPRITestutiliséepourinitialiseruneboucleàverrouillagederetards(BVR)

qui suivra les variations des retards. Les retards de propagation étant connus, une estimation des

facteursde gaindu canalcorrespondantsà cesretards ausens del'EQMM est réalisée.

Estimation de canal par Filtrage de Kalmann

Quelques techniques rencontrées dans la littérature se basent sur le ltrage de Kalmann. La

première d'entre elle est proposéepar Tufvesson etMaseng[71]. Ils'agit d'unltrage de Kalmann

l'autre. L'ensemble desfonctionsde transfert àun instantdonné s'écrivent :

C( k+1)=C(k)+(k) (2.12)

y(k)=M( k)C(k)+e( k): (2.13)

La matrice estune matrice diagonaleN N d'éléments

e k AR 2f d Ts (2.14)

dénissant leprocessusAR.T s

estladuréesymboleincluantletemps degardeou préxecyclique.

La matrice de covariance du bruit blanc (k) est R 1

: Le vecteur y( k) contient la fonction de

transfertmesurée, M(k)est unvecteur d'observationavec des1auxpositionsmesurées àl'instant

k et e( k) est un bruit de mesure de matrice de covariance R 2

: Le paramètre k AR

du processus

AR est choisi pour ajuster la mémoire du modèle du canal. Les équations typiques du ltrage de

Kalmann deviennent : ^ C(kjk)= ^ C(kjk 1)+K(k)  y( k) M(k) ^ C(kjk 1)  (2.15) ^ C(k+1jk)= ^ C(kjk 1)+K( k) h y( k) M(k) ^ C(kjk 1) i = ^ C(kjk) (2.16) K(k)=P(kjk 1)M(k)  [M(k)P(kjk 1)M( k)  +R 2 ] 1 (2.17) P(kjk+1)=P (kjk 1)  +R 1 K(k)[M(k)P (kjk 1)M(k)  +R 2 ]K( k)  (2.18) P(kjk)=P(kjk 1) P (kjk 1)M(k)  [ M(k)P (kjk 1)M( k)  +R 2 ] 1 M( k)P (kjk 1) (2.19)

K(k) étant le vecteur ltre de Kalmann, P(kjk 1) la matrice de covariance de la prédiction

d'erreur et P(kjk) lamatrice de covariance de l'estimation de l'erreur.

Deux autres méthodes [5], [6] utilisant le ltrage de Kalmann existent etsont présentées dans

leparagraphe suivant,ellessont avant toutdesméthodesd'estimation à retour dedécision.

Estimation de canal avec retour de décision

La plupart des techniques d'estimation avec retour de décision sont basées sur le critère MC.

Le processus itératif de ces méthodes est initialisé par l'émission d'un symbole OFDM contenant

uniquement del'information pilote,fournissant aurécepteur une estimationMCdu canal sur

l'en-sembledes porteuses. Cettepremière estimation estutilisée commeinitialisation de l'estimateurà

Inter-de décoder les données en fournissant une information sur la abilité des données décodées. Ceci

permetd'évaluerànouveaul'estimationducanalparlamême techniquedesMoindresCarrésaprès

re-codage etre-miseen formedesdonnées décodées.

Fig.II.7:Principe desméthodesavec retour de décision

Le même procédé est utilisé dans[56] où l'estimation de canal est réalisée au sens des critères

Zero-Forcing ou EQMM oubien par unltrage de Kalmann[5].

Bulumulla [6 ] a également développé une méthode d'estimation de canal à retour de décision

baséesurlecritèreduMAPdanslaquellelesprobabilitésaposteriorisontcalculéesgrâceaultrage

de Kalmann.

Estimation par ltrage dans un domaine de transformation

Ces techniques transforment le signal reçu ou bien une estimation préalable MC ou EQMM

du canalversun domaine intermédiaire dans lequel estréalisé un ltrage. La majorité des articles

traitant de ce sujetutilisent latransforméede Fourier inverse pourcréer leur domaine de

transfor-mation.

Domaine de transformation obtenu par la transformée de Fourier inverse

La grande majorité des méthodes appartenant à cette catégorie fonctionnent selon le modèle

représentésur laguresuivante :

Q étant unltre dépendant ducritère choisi.

Filtrage rectangulaire - Zero padding

Danscecas,leltreQestsimplementunefenêtrerectangulaireetils'agitdestechniquessimples

utiliséepour éliminerlacontribution dubruit dansl'estimation decanal rencontrées dans[9].

Filtrage EQMM

Fig.II.8:Principedes méthodesd'interpolation par TFD

Fig.II.9:Principe desméthodesd'interpolationpar TFDavec ltrageEQMM

Jones [42] propose également un système de ce type, mais comportant plusieurs antennes à

l'émissioneten réception.

Autres ltrages Danslalittératureonrencontre égalementd'autres typesdeltrage comme

les fenêtresde Hammingou deHanning [77].

Domaine de transformation obtenu par la TFD bidimensionnelle

D'autrepart,ilexisteuneméthodebaséesurlatransforméedeFourier bidimensionnelle

présen-tée dans [46]. Le principe de cette méthode est strictement le même que la technique précédente.

Le ltrageestréalisé dansl'espace de transformation à2 dimensions.

Autres domaines de transformation

ZhaoetHuangproposentd'utiliserleduoTFDI/TFDpourgénérerunespacedetransformation,

mais cet espace est obtenu dans [79] en utilisant tout d'abord la transformée de Fourier directe.

Ceci donne naissance à une représentation du canal dans un nouveau domaine de transformation

qui est ltrée selon la puissance obtenue sur les pseudo-fréquences observées puis transforméeà

nouveau par latransforméede Fourier inverse.

Une autreméthode estbaséesurlefaitqu'unsignalOFDMpeutêtregénéréparlatransformée