Statique et dynamique d'un front de fissure en milieu hétérogène

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Julien Chopin

To cite this version:

Julien Chopin. Statique et dynamique d’un front de fissure en milieu hétérogène. Analyse de données,

Statistiques et Probabilités [physics.data-an]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010.

Français. �tel-00541139�

THÈSE

pour obtenir legrade de

Docteur de l'Université Pierre et Marie Curie - Paris 6

Spécialité Physique

Ecole Doctorale :

La physique, de la particule à la matière condensée

présentée par

Julien Chopin

Statique et dynamique d'un front de ssure en

milieu hétérogène

Soutenue le 19 octobre 2010 devant le jury composé de :

M. Mokhtar Adda-Bedia Invité

M. ArezkiBoudaoud Directeur de thèse

M. Pascal Damman Examinateur

M. Eytan Katzav Invité

M. Jean-Baptiste Leblond Président

M. Stéphane Roux Rapporteur

Table des matières . . . v

Avant-propos 1 1 Adhésion et rupture des solides 3 1 Cohésion de la matière . . . 4

1.1 Attractionuniverselle . . . 4

1.2 Energiede surface . . . 5

1.3 De l'élasticitélinéaireà larupture . . . 6

2 Les fondements de la mécanique linéairede larupture . . . 10

2.1 Lathéorie en bref . . . 10

2.2 Flux d'énergie élastique vers la ssure. . . 11

2.2.1 Modes de rupture. . . 11

2.2.2 Taux de restitution de l'énergie G. . . 12

2.2.3 Champélastique auvoisinagede lapointede ssure 15 2.2.4 Equivalenceentre G etK . . . 16

2.3 Critères de propagation. . . 17

2.3.1 Critèrede Grith . . . 17

2.3.2 Critèred'Irwin-Orowan . . . 18

2.3.3 Stabilitéhors du plan . . . 20

2.3.4 Propagationquasi-statique. . . 20

2.3.5 Quelquesremarques sur la théoriede Grith-Irwin-Orowan . . . 24

3 Les fronts de ssure . . . 24

3.1 Elasticitéd'un front de ssure . . . 24

3.1.1 Expressiondu facteur d'intensitéde contrainte . . . 25

3.1.2 Equilibre etstabilité . . . 25

3.2 Piégeagede laligne par un défaut isolé . . . 26

3.2.1 Forme d'équilibre . . . 27

3.2.2 Stabilitéethystérèse . . . 27

3.3 Propagationd'un frontdans un paysage désordonné . . . 28

3.3.1 Concepts d'invarianced'échelle . . . 29

3.3.2 Lesdiérentsmodèlesde front de ssure . . . 30

2 Techniques expérimentales 33

1 Présentation des matériaux. . . 33

1.1 Substrats en verre . . . 33

1.1.1 Compositionchimique . . . 33

1.1.2 Propriétés de surface . . . 34

1.1.3 Nettoyage des surfaces . . . 34

1.1.4 Propriétés mécaniques . . . 35

1.2 L'élastomère . . . 35

1.2.1 Préparation . . . 36

1.2.2 Propriétés physiques . . . 36

1.2.3 Test JKRet énergied'adhésion . . . 37

2 Préparation de l'échantillon . . . 39

2.1 Moulage . . . 39

2.2 Démoulage etnitions . . . 39

3 Modication de laténacité de l'interface . . . 41

3.1 Les diérentes stratégies . . . 41

3.2 Lithographie. . . 42

3.2.1 Nettoyage des substrats . . . 42

3.2.2 Etalement de la résine . . . 44

3.2.3 Insolation etdéveloppement . . . 45

3.3 Impression du motifen chrome . . . 45

3.3.1 Principedu dépôt par évaporation . . . 45

3.3.2 Révélation des motifs de chrome . . . 45

3.4 Collage etnitions . . . 46

3.5 Performances . . . 46

4 Dispositif de pelage . . . 48

5 Acquisitionet traitement d'images. . . 51

5.1 Dénitions etnotations . . . 51

5.2 Détection rapide . . . 52

5.3 Détection ne . . . 53

5.4 Détection àla main . . . 54

3 Front de ssure dans une interface homogène 55 1 Equilibre de la ssure . . . 55

1.1 Quelques grandeurs mécaniques . . . 56

1.1.1 Ligne neutre . . . 56

1.1.2 Moment,chargement eténergie élastique . . . 56

1.1.3 Taux de restitution de l'énergieet force d'extension de lassure . . . 57

1.2 Mesure des énergies de fracture . . . 58

1.2.1 Protocole . . . 58

1.2.2 Forme du frontet mesurede lapositionmoyenne . . 59

1.2.3 Mesure des énergies de fracture . . . 61

1.3 Discussions . . . 62

1.3.2 Eetde l'épaisseur . . . 64

1.3.3 Eetde lapesanteur . . . 64

2 Dynamique . . . 65

2.1 Equation du mouvement . . . 65

2.2 Evolution temporelle de lavitesse . . . 66

2.2.1 Miseen formedes données . . . 66

2.2.2 Relaxationen loide puissance . . . 67

2.2.3 Relaxationlogarithmique . . . 68

2.2.4 Cas de l'interfacePDMS-Chrome . . . 70

2.3 Lien avec larupture sous-critique . . . 72

3 Conclusions . . . 73

4 Réponse d'un front de ssure à une hétérogénéité élémentaire 75 1 Bande transversale . . . 75

1.1 Position du problème . . . 75

1.2 Passage Chrome-Verre - Piégeage . . . 76

1.3 Passage Verre-Chrome- Avalanche . . . 78

1.4 Bandes de largeur nie - Etat métastable . . . 79

2 Bande longitudinale. . . 80

2.1 Position du problème . . . 80

2.2 Forme d'équilibredu front . . . 81

2.3 Résultatsexpérimentaux . . . 84

2.3.1 Expérience 1: saturation des déformations . . . 84

2.3.2 Expérience 2: bande adhésive simple . . . 88

2.3.3 Expérience 3: interaction entre bandesadhésives . . 89

3 Défaut isolé . . . 93

3.1 Dynamique en bout de bande . . . 93

3.2 Filamentation . . . 95

3.3 Relaxationde ladéformation . . . 97

4 Conclusion . . . 99

5 Front de ssure dans une interface désordonnée 101 1 Conditions expérimentales . . . 101

1.1 Présentation des substrats . . . 101

1.2 Propriétés statistiquesdu désordre . . . 102

1.3 Présentation des expériences . . . 104

2 Dynamique diusive biaisée . . . 104

2.1 Extractiondes uctuations. . . 106

2.2 Statistiques temporellesdes uctuations . . . 107

2.2.1 Distributionsde uctuations de positions. . . 107

2.2.2 Queues exponentielles . . . 110

2.2.3 Loid'échelle des distributions . . . 112

2.3 Discussions . . . 113

3 Morphologie d'une ssure dans un milieuhétérogène. . . 116

3.1 Courbes auto-anes . . . 116

3.3 Tests d'auto-anité . . . 119

4 Discussions . . . 121

Conclusion 123

A Article 127

Figure1Lesfrontsdessuredéforméspardesrégionsdeforteénergiedefracture.

Comment un matériau se casse, se décolle, se ssure, se fragmente, se déchire,

se craquelle ou s'écaille? Ces problèmes tombent dans l'escarcelle de la mécanique

de la rupture au sens large. Cette science, relativement jeune, a connu un essor

considérable après la seconde Guerre Mondiale, essentiellement tiré par des enjeux

économiques. Un livre entier ne surait pas à retracer le cheminement des idées

mais deux avancées particulièrement importantes méritentd'être soulignées.

Lapremièreconcerne l'hypothèsede séparationd'échelleintroduitepar Irwinau

débutdes années50qui permetd'isolerune régionde fracturation oùdominentdes

lois de comportement complexes (élasticité non-linéaire, eets visco-plastiques,...)

du reste du matériau, au comportement linéaire élastique. La ssure s'identie à

une singularité du champ élastique qui est régularisée par l'existence de cette zone

de fracturation. Il devient alors possible de considérer la ssurecomme un objet en

soiauquel sont associées des propriétés physiques.

Lesecondrésultat,dûàGaoetal.,concernejustementlamiseenévidenced'une

élasticiténon-locale du front de ssure. Si, pour quelque raisonque se soit, le front

dessuresetrouveaccroché parundéfaut,ladéformationinduiteconcerne,nonpas

linéaireen laperturbation,ce comportementest exactement celuiduménisqued'un

liquide mouillantpartiellement lesubstrat sur lequel il setrouve.

Cerésultataouvertlavoieàl'étudedesdéformationsdu frontdessurepar des

hétérogénéités.Ilestconnudepuislongtempsquelaprésence decavités,d'inclusions

ou d'inhomogénéités chimiques contrôle la resistance du matériau. D'un point de

vue expérimental, ce n'est que très récemment que les problèmes de fracture sont

étudiés du point de vue de l'inuence des hétérogénéités sur la morphologie et la

dynamique du front. L'objet de cette thèse est de proposer une caractérisation des

lois de comportementde la ssure dans un matériau présentant des hétérogénéités

simples ouplus complexes.

Aprèsavoirintroduit,danslechapitre 1,lesélémentsthéoriquesliésàla

méca-niquedelaruptureetlapropagationd'unfrontdessuredansunmilieuhétérogène,

nous décrivons en détail, dans le chapitre 2, le dispositif expérimental que nous

avons monté au laboratoire ainsi que le protocole de fabrication des échantillons.

Ces échantillons sont réalisés par la mise en contact d'une lame de verre et d'un

élastomère de silicone,lepoly(diméthyl)siloxane ouPDMS. A l'aide des techniques

de lithographieoptique, lalame de verre peut être texturée chimiquement en la

re-couvrantd'une couche nanométriquede chrome présentant des motifsde verre.Les

hétérogénéités sont donc introduites dans l'échantillonpar une modulationspatiale

de l'énergiede fracture de l'interface. Les matériauxont, en outre, été choisis pour

leur tansparence an de visualiser lassure, astreinteà se déplacer dans l'interface

(Fig. 1).

Lechapitre 3présente une caractérisationdes propriétésphysico-chimiques du

verreetdu chromevis-à-visdeschaînesdel'élastomère.Lesénergiesde fractureont

pu être mesurées et une équation du mouvement de la ssure dans une interface

homogène est proposée. La technique mise aupointpermetune maîtriseinéditede

la taille, de ladistribution spatiale etde l'énergiede fracture des hétérogénéités.

Le chapitre 4 propose une étude de lamodication de la formeet de la

dyna-mique du front induite par un défaut unique imprimésur lesubstrat. Les résultats

sont comparés avec un modèle faisant intervenir l'élasticité de front de Gao et al.

et les eets de déformationnon linéaire sont discutés. En particulier, l'étude de la

lamentation du front au contact d'un défaut est présentée. Dans le chapitre 5,

nous présentons une description statistique du front lorsqu'il se propage dans une

interfaceoùungrandnombredemotifsdeverre ontétérépartisaléatoirement.Nous

nous sommes intéressés, d'unepart, aux uctuations locales de la position du front

en fonctiondu temps et, d'autre part,à la rugositédu front.

Dansl'annexe A est reproduit une étude que nous avons réaliséesur la

propa-gation quasi-statique d'une ssure àl'interface d'un lmplastique etd'un substrat

de verre [24]. L'adhésion est assurée par une couche liquide présente entre les deux

matériaux.Lagéométrieaxisymétriqueimposéepar lemode de chargement conduit

Adhésion et rupture des solides

(a) A.A. Grith (b) G.R.Irwin

Nousanalysons, dans un premiertemps,le problèmede l'adhésion etlarupture

des solides par des arguments d'échelle, ce qui permettra de capter l'essentiel de

laphysiquede manièrerelativementsimple. Nousproposerons, ensuite,une version

plus rigoureuse. De manière générale, un problème de rupture peut se décomposer

en un problème d'élasticité linéaire et un problème de critère de propagation. La

deuxième partie s'intéresse donc au problème d'élasticité et introduit des concepts

importants comme le taux de restitution de l'énergie et le facteur d'intensité des

contraintes. Latroisièmepartietraiteleproblèmedes critèresdepropagationetdes

mécanismes de dissipation en pointe de ssure. La dernière partie s'intéresse à la

formedu frontlorsqu'ilsepropage dansun matériauhétérogène.Nousprésenterons

dans un premier temps ladéformationdu front en présence d'une unique

hétérogé-néité, et, dans un second temps, nous exposerons le concept d'invariance d'échelle

Figure 1.1 Potentiel d'interaction entre deux particules, atomes, molécules,

col-loïdes.Deux échelles apparaissent:lalongueurdelaliaison

a

0

etl'énergiedeliaison

U

0

.

1 Cohésion de la matière

L'un des enjeux fondamentaux de la mécanique de la rupture est d'établir un

lienentre lescaractéristiquesmicroscopiquesdu matériauetsoncomportement

ma-croscopique en terme de résistance à larupture.

1.1 Attraction universelle

L'immensemajoritédes composés chimiques setrouventdans un état condensé,

liquide ou solide, dès lors qu'une température susamment basse est atteinte. A

l'échelle microscopique,celatraduitlatendancedes particules 1

àexercerentre elles

uneinteractionattractive.L'existenced'unétatcondenséreposesuruneforme

"uni-verselle" de l'énergied'interaction entre particules : une répulsion intense àcourtée

portée, une attraction à moyenne distance, et enn une interaction nulle à l'inni

(Fig. 1.1). L'échelle de longueur

a

0

et d'énergie

U

0

caractérise ce potentiel. Il est possible d'exprimer simplement des grandeurs macroscopiques comme le module

d'Young, noté

E

, à partir des deux échelles précédentes. Le développement limité de l'énergie

U

auvoisinagedu minimum s'écrit :

U(a)

_{≈ U}

0

+

1

2



d

2

_U

da

2



a

0

∆a

2

(1.1)

En réarrangeant les termes, on obtient une expression de la densité d'énergie du

matériaulorsque les atomes sesont écartésde leur position d'équilibre:

U(a)

_{− U}

0

a

3

0

≈

1

2a

0



d

2

_U

da

2



a

0



∆a

a

0



2

(1.2)

Matériaux

E

(GPa)

Γ

(J.m

−2

_{) K}

Ic

(MPa

√

m) Acier 200 - -Aluminium7075-T6 72 7800 25 Verre borosilicate 70 9 0.8 Epoxy 2-3 200 0.4 PMMA 2 - -Elastomèrede silicone 0.002 -

-Table 1.1 Module d'Young

E

et énergiede fracture

Γ

de quelques matériaux.

Auniveaumacroscopique,l'expression 1.2s'identie àladensitéd'énergie élastique

1

2

E

2

où

 = ∆a/a

0

étantl'allongementrelatifdumatériau. Onen déduitlarelation entre la courbure du puits



d

2

U

da

2



a

0

et lemodule d'Young

E

:

E

_≈

1

a

0



d

2

_U

da

2



a

0

(1.3)

Enordre de grandeur,lemoduled'Young s'écritcomme une densitéd'énergie

volu-mique :

E

_∼

U

0

a

3

0

L'énergiedeliaisondessolidespeutêtreestiméeàpartirdel'énergiedevaporisation

U

vap

(en J.m

−3

). Pour un solide covalent,

U

vap

est de l'ordre de 100kJ.mol

−1

soit 10

−10

J.m

−3

, la longueur de liaison est de l'ordre de

a

0

∼ 10

−10

m, on obtient alors

E

∼ 10

GPaenbonaccordaveclesvaleurstabulées.LeGPaserévèleêtreunebonne unité de mesurede larigiditédes solidescovalents ouioniques, par contre, pour les

élastomères,commelecaoutchouc,l'élasticitéest d'origineentropiqueetleMPaest

une unité plus appropriée (Fig.1.1).

1.2 Energie de surface

La cohésion de la matière se manifeste aussi par l'existence d'une énergie de

surface, notée

γ

. Elle est dénie pour un liquide ou un solide, en contact avec une phase gazeuse, par rapport au travail

γdA

nécessaire pour créer réversiblement, à température constante, une surface élémentaire

dA

. Elles'exprime en J.m

−2

. Cette

dénitiongarantitquel'énergiedesurfaceest unepropriétéintrinsèquedumatériau

etque nous pouvons l'estimerà partirde grandeurs microscopiques.

Pour un liquide à température

T

, l'énergie d'interaction par molécule est de l'ordrede

k

B

T

où

k

B

est laconstantedeBoltzmann.Lesmoléculesensurfacesonten interaction avec moitiémoinsde voisinessi bienqu'elles ontun surcoûténergétique

d'environ

1

2

k

B

T

. L'énergie de surface

γ

peut donc être estimée comme le rapport entre le surcoûténergétique et lasurface

a

2

0

occupée par une molécule :

γ

_≈

1

2

k

B

T

a

2

0

(1.4)

En prenant

a = 0.2

nm et

k

B

T = 3.10

−21

J à

T = 300

K, on trouve

γ

≈ 0.1

J.m

−2

ce

qui correspond à une légère surestimation par rapport aux valeurs expérimentales

qui sont plutôt de l'ordre de

0.01

J.m

−2

. L'énergie de surface des solides peut être

estimée àpartir de l'énergie de vaporisation

U

vap

:

γ

_{≈ U}

vap

a

0

(1.5)

En prenant une longueur de liaison

a

0

= 10

−10

m, on trouve alors des énergies de

surface de quelques J.m

−2

. Cette ordre de grandeur est en bon accord avec les

données expérimentales. L'une des premières déterminations d'énergie de surface

de solide remonte à l'expérience de clivage du mica réalisée par Obreimo [103]. Il

mesure une énergiede surface de

1.5

J.m

−2

.

A partir des énergies surfaces, on dénitl'énergie de fracture

Γ

A

d'un matériau A comme :

Γ

A

= 2γ

A

(1.6)

où

γ

A

est l'énergiede surface du matériauA. S'ils'agit d'un bimatériauc'est-à-dire d'un solide composé de deux matériaux en contact l'un avec l'autre, l'énergie de

fracture

Γ

A,B

d'une interface entre un matériauA etun matériauB s'écrit :

Γ

A,B

= γ

A

+ γ

B

(1.7)

où

γ

A

(resp.

γ

B

) est l'énergiede surface du matériauA (resp. B). Il est intéressant de noterles loisd'échelles suivantes liant énergiede fracture

Γ

,module d'Young

E

, énergie de liaison

U

0

etlongueur de liaison

a

0

:

Γ

_{∼ a}

0

E

∼

U

0

a

2

0

Ces lois d'échelle sont raisonnables lorsque l'on traite de la rupture de matériau

commeleverremaiselles sontclairementinadaptées pourlarupture desmétaux où

Ea

0

 Γ

(voirtab. 1.1).

1.3 De l'élasticité linéaire à la rupture

L'expérience couramment employée pour déterminer les propriétés mécaniques

d'un matériau est le test en traction. Un échantillon est maintenu par deux mors

mobiles dont onmesurele déplacementrelatifen fonctionde la traction.La courbe

typiquedecharged'unmétalestprésentée danslaFig.1.2oùlechargementlointain

σ

∞

(en N.m

−2

) est tracé en fonction de l'allongementrelatif

∆L/L

. A faible défor-mation,lematériauaune réponselinéaireélastiquequiest quantiée parlemodule

d'Young. A plus forte déformation, la loi de comportement devient plus complexe

à mesure que les atomes explorent les parties non-quadratiques du potentiel

d'in-teraction (voir Fig. 1.1). Mais le régime qui nous intéresse désormais est celui qui

Figure 1.2  Test en traction d'une éprouvette de longueur

L

soumise à un char-gement

σ

∞

.

Rupture fragile Certains matériauxrompentlorsqu'ils sontdans lerégime

élas-tique linéaire, entre O et A sur la Fig. 1.2 . Cette rupture est qualiée de fragile

ets'observe généralementpour lesverres etlescéramiques, plutôtàbasse

tempéra-ture, pour des ssures se propageantrapidement. Le travailde fracture correspond

essentiellement autravail nécessaire pour créer deux interfaces, il est de ce fait

di-rectementrelié àl'énergiedesurfacedu matériau.Onobtientdes énergiesde l'ordre

de quelques J.m

−2

.

Rupture ductile Lorsque lematériauromptaprèss'être déforméplastiquement,

la rupture est qualiée de ductile et s'observe par exemple pour les métaux, les

polymères, plutôt à haute température, pour des ssures lentes. La contribution

des déformations plastiques au travail de fracture domine les énergies de surface.

On peut obtenir des énergies de fracturation de l'ordre de 10 à plus de 1000J.m

−2

.

D'un point de vue pratique, les matériaux dissipant beaucoup d'énergie, comme

les métaux ou les élastomères, sont très prisés dans l'industrie et leurs propriétés

mécaniques sont sans cesse optimisées à cet eet.

Rupture par fatigue Le termede fatigue regroupeun certain nombre de modes

de rupture qui ont en commun des vitesses de propagation de ssure très lentes, de

quelques

µ

m.s

−1

à quelques

0.1

nm.s

−1

. Un mode très connu est celui qui consiste

à rompre un matériau par application d'un chargement périodique, c'est de cette

manièrequ'onpeutcasserun lde ferbeaucoup plus facilementqu'en exerçantune

simple traction. Les surfaces ainsi fracturées présentent des stries caractéristiques

(Fig. 1.3(c)). Un autre mécanisme est la corrosion sous contrainte qui intervient

lorsqu'unmatériausous chargementconstantest soumis àdes processuschimiques.

L'humiditédel'airestpar exempleconnue pourdiminuerleseuilde rupture de

ma-tériaucommeleverre.Enn,ilpeutarriverqu'unmatériausoumisàun chargement

réarrange-(a)

(b)

(c)

Figure 1.3  a) Surface en acier après rupture par impact à une température de

−190

°C. La présence de surfaces facétées est la signature d'une rupture fragile. b) Surface en acier après rupture par impact à températureambiante. La présence de

multiplescavitésest lasignature d'une rupture ductile par initiationetcoalescence

de microcavités.c)Surface d'un alliage d'aluminiumaprès rupture par fatigue.Les

lignes visibles à plus grand grossissement sur l'image de droite sont appelées des

striationsdefatigue.Ellessontcausées danscecas par unchargementoscillant,une

mentsplastiques, peut être responsable,soit, d'un arrêt de la propagation, soit, au

contraire,d'une propagation lente[135].

Quelque soitle type de rupture, onpeut toujoursdénir une contraintede

rup-ture commeétantlacontraintemaximaleque l'échantillonpeut supporter avantde

casser :

σ

r

= max(σ())

(1.8)

A l'aide d'un bilan d'énergie, nous allons établir un premier critère de rupture.

Comme précédemment, notre raisonnement sera basé sur l'existence d'une échelle

delongueur

a

0

etd'uneéchelled'énergie

U

0

.Onconsidère,poursimplier,un cristal parfait avec des plans atomiquesséparésd'une distance

a

0

. Tout aulong du test de tractionetjusqu'à sarupture, l'échantillonsuit un comportementélastique linéaire

régit par laloi de Hooke, sadensité d'énergie élastique est donc donnée par :

u

E

=

1

2

σ

2

E

(1.9)

où

u

E

est la densité d'énergie élastique en J.m

−3

et

σ

la contrainte. Le matériau se fracture lorsque l'énergie élastique emmagasinée en volume est susante pour

fracturer les

L/a

0

plans cristallins du solide. En ordre de grandeur, cela se traduit par :

σ

2

r

E

LS

∼ Γ

L

a

0

S

(1.10)

où

σ

r

est la contrainte théorique de rupture,

Γ

l'énergie de fracture,

S

la surface des plans cristallins. On trouve alors une expression de la contrainte théorique de

rupture [39,105] :

σ

_r

th

=

r

ΓE

a

0

(1.11)

où

Γ

est l'énergiede fracture,

E

le module d'Young,

a

0

la distance entre plans ato-miques. A l'aide d'arguments un peu plus sophistiqués, Orowan [105] propose la

mêmeestimation de

σ

th

r

. Pour gagner en généralité, nous n'avons pas utilisé

l'argu-mentd'échelle précédent :

Γ

∼ a

0

E

qui n'est valable que pour la rupture fragile. On est alors tentéde proposer le critère de propagation de ssure suivant:

σ

∞

> σ

r

th

(1.12)

En prenant l'exemple du verre, on peut directement écrire en ordre de grandeur :

σ

th

r

(verre)

≈ E ≈ 10

10

J.m

−3

. Ce critère marche relativement bien pour des

ma-tériaux très particuliers comme des bres de verre très nes ou des monocristaux.

Mais dans la grande majorité des cas, les contraintes de rupture mesurées

expéri-mentalementsontconstamment plusfaiblesquelesestimationsthéoriques :

10

−2

_σ

th

r

oumoins pour les verres,

10

−1

_σ

th

r

pour les métaux.Grith [50] trouva l'originiedu

désaccord:lesmicrossuresprésentesdanslematériauinuentdramatiquementsur

sa résistance en focalisant le champ de contraintes. Nous allons modier les

argu-ments précédents en ajoutant une échelle de longueur supplémentaire : la taille

l

d'une microssure.

Figure 1.4  A gauche, plaque élastique percée par un trou elliptique. A droite,

la même plaque sous un chargement lointain

σ

∞

. Les points rouges désignent les endroits oùle champ de contrainteest maximal.

2 Les fondements de la mécanique linéaire de la

rupture

2.1 La théorie en bref

Ce qu'il y a d'erronné dans le critère proposé précédemment, ce n'est pas

l'éva-luation de la contrainte de rupture théorique mais l'hypothèse que l'intensité des

contraintes est homogène dans le matériau. Nous allons voir que les microssures

focalisent les contraintes et donc l'énergie élastique si bien que les seuils de

rup-ture sont atteints bienplus tôt. Plusieurs travaux ontportés sur la modicationdu

champ de contrainte dans un matériau par la présence d'une cavité. En

particu-lier, Inglis [59] considère une plaque mince traversée par une cavité elliptique (de

demi-axes

l > b

) supposée petite devant lataillede laplaque (Fig. 1.4). Lorsque la plaque estsoumiseàun chargementuniaxialàl'inni,ilmontre alors queladensité

d'énergieélastiquen'estpasuniformémentrépartiemaisqu'ellesetrouveconcentrée

auxextrêmitésdu grandaxede l'ellipse(pointsrougesde lagure 1.4).Ilcalculela

contraintenormale dans l'axede la ssure :

σ

yy

= σ

∞

1

q

x

l

2

− 1

(1.13)

On aimeraitpouvoir dire que la ssure sepropage lorsque la contrainte dépasse un

seuil.Seulementlacontraintedivergeen

x = l

,celaconduiraitàdirequetoutessure est instablece qui esten contradiction avec l'expérience. Enréalité,auvoisinagede

lapointedelassure,l'élasticitélinéairen'estplusvalide:des loisdecomportement

pluscomplexes(élasticiténonlinéaire,déformationsvisco-plastiques,...)régularisent

la singularité.Dans le cas d'unerupture fragileidéale,on pose généralement quela

[76].Nouspouvons ainsi estimerlacontraintemaximaleentête de ssureen faisant

un développement de l'expression 1.13 autourde

x = l + a

0

:

σ

max

= σ

∞

r

l

2a

0

(1.14)

En écrivant que la ssure se propage dès que

σ

max

> σ

th

r

, nous avons un nouveau

critèrede rupture :

σ

∞

>

r

2ΓE

l

(1.15)

Par rapport au premier critère énoncé dans la partie précédente, nous avons

for-mellementremplacé ladistance interatomique

a

0

par la longueur de lassure

l

. Le seuilde ruptureest donc clairementabaissé.De plus,ce critèrerend comptedu fait

quelesgrandes ssures sontplus dangereusespour l'intégritéd'un matériauqueles

petites. En posant

K = σ

∞

√

l

,

K

c

= 2

√

EΓ

et

G =

1

2E

σ

∞

2

l =

1

2

K

2

E

, nous pouvons reformuler l'inégalité1.15 pour obtenir lecritère de propagation de Grith :

G > Γ

(1.16)

où

G

, appelé le taux de restitution de l'énergie, sera déni rigoureusement par la suite. Unautre critère de propagation est dû àIrwin :

K > K

c

(1.17)

où

K

est appeléfacteur d'intensitédescontraintes (FIC)et

K

c

laténacité du maté-riau. Le tableau 1.1donne quelques valeurs caractéristiques de FIC et d'énergie de

rupture.

Lesdeux partiessuivantesétablissentlecadrethéoriqueconduisantauxrésultats

quenous avons obtenus par des arguments d'échelle.

2.2 Flux d'énergie élastique vers la ssure

2.2.1 Modes de rupture.

On distingue usuellement trois modes de rupture dénis à partir des symétries

du champ élastique en pointede ssure (Fig. 1.5). Le mode I oumode d'ouverture

correspond à la séparation des lèvres de la ssure sous l'action d'une contrainte

de traction. Le mode II ou mode de glissement (ou de cisaillement) correspond à

un cisaillement des lèvres perpendiculairement à la ssure. Le mode III ou mode

de déchirement (ou mode de cisaillement hors du plan de la ssure) correspond

à un cisaillement des lèvres parallèlement à la ssure. Ces modes de rupture ne

sont dénis que localement au niveau de la pointe de la ssure. A l'exception de

congurations très simples pour des matériaux homogènes isotropes, les symétries

du champ de déplacement ne se déduisent pas aisément du mode de chargement

lointain. Nous verrons que le chargement en ouverture d'une ssure à l'interface

Mode I

Mode II

Mode III

Figure1.5 Modes de rupture

ssuresepropageantdansunmatériauhétérogèneprésentedefortesuctuations,les

modes II et III peuvent apparaitre.Parla suite,si aucune précision n'estapportée,

le mode de rupture sera le mode I pur.

2.2.2 Taux de restitution de l'énergie G

Grith aborde le problème de rupture par une méthode énergétique mais sa

théorie de Grith peut être dérivée rigoureusement à partir des principes de la

thermodynamique [76,89,116]. On considère un matériau élastique présentant une

ssuredelongueur

l

etd'aire

A

etsoumisàunchargementlointain.Laseuleinconnue duproblèmeestlapositiond'équilibredelassure,elleestdéniecommelaposition

qui minimise l'énergietotale du système. Ecrivons l'énergietotale

U

en ne gardant que lestermes qui dépendent de la positionde lassure.

U = U

E

+ U

P

+ U

S

= U

M

+ U

S

(1.18)

où

U

M

est l'énergie mécanique,

U

E

est l'énergie potentielle élastique,

U

P

l'énergie potentielle de la charge appliquée et

U

S

l'énergiepotentielle de surface.

Supposonsquelassuresedéplaceetbalaieunesurface

dA

,lavariationd'énergie totale associée s'écrit :

dU =



∂U

M

∂A

+

∂U

S

∂A



dA

(1.19)

Irwin introduit le concept de tauxde restitution de l'énergie [61,62], noté G, égale

à lavariationd'énergie mécanique par unité de surface nouvellement créée :

G =

−



∂U

M

∂A



P

=

−



∂U

E

∂A

+

∂U

P

∂A



P

=

−



∂U

E

∂A



δ

(1.20)

Les indices spécient les conditions aux limites à l'inni : chargement imposé (

P

) ou déplacement imposé (

δ

). Endénissant l'énergiede fracture

Γ

:

Γ =

∂U

S

onpeut alors réécrirela variationde l'énergietotale de manièreplus condensée:

dU =

_{−(G − Γ)dA}

(1.22)

Il sera utile par la suite d'introduire le concept de force d'extension de la ssure

G

[116]égaleàlavariationd'énergietotalepar unitédesurface nouvellementcréée:

dU =

_−GdA

(1.23)

Nousallons maintenant donnerdeux exemplesde calculsde G.

(a) Test àchargementlointain

σ

_∞

imposé. A gauche,énergie totale dusystème

∆U

enfonctiondelalongueurdelassure

L

.Lacourbe présente un maximum correspondant à une position d'équilibre in-stable pourlassure.

(b) Testàdéplacement

d

imposé.Agauche,énergietotaledusystème

∆U

en foncion de la longueur de la ssure

L

. La courbe présente unminimumcorrespondantàune positiond'équilibrestablepourla ssure.

Figure1.6 Diérentstests de rupture. a) Test en tractionconsidéré par Grith

[50]. b)Test de clivage considéré par Obreimo[103].

Test de traction La conguration étudiée est présentée dans la Fig. 1.6(a)

et nous allons simplement utiliser des lois d'échelle qui captent l'essentiel de la

physique. Nous allons calculer la variation d'énergie libre d'une plaque d'épaisseur

w

, de surface

L

2

(

L

 w

) lorsqu'une ssure de longueur

l

apparaît. La présence de lassure permet de relaxer l'énergie mécanique dans un volume variant comme

wl

2

:

∆U

M

∼ −

σ

2

∞

E

wl

2

(1.24)

L'énergie de surface a augmenté:

∆U

S

∼ Γlw

(1.25)

Lavariationd'énergietotale,représentée danslaFig.1.6(b)àdroite,prendlaforme

suivante :

∆U

_{∼ −}

σ

2

∞

E

l

2

_{w + Γlw}

(1.26)

Le tauxde restitution de l'énergie

G

vaut alors :

G =

₋

d∆U

dA

∼

σ

2

∞

E

l

(1.27)

etl'on retrouve l'expression de

G

quiaconduitaucritère deGrith1.16. Lecalcul exact donne:

G =

2πσ

2

∞

E

l

(1.28)

Test de clivage On se place dans la conguration de la Fig. 1.6(b). Un coin

impose une déection

d

créant une ssure de longueur

l

. L'énergie élastique est essentiellement sous forme d'énergie de courbure donc proportionnelle au carré de

la coubure de la plaque

C

2

_∼

d

l

2

2

:

∆U

E

∼ B

d

2

l

4

lw

(1.29)

Pour un chargement à déplacement imposé

∆U

P

= 0

. L'énergie de surface a aug-menté:

∆U

S

∼ Γlw

(1.30)

La variationd'énergietotale, représentée danslaFig. 1.6(b)àdroite, prendalorsla

forme :

∆U

_{∼ B}

d

2

l

3

w + Γlw

(1.31)

Le tauxde restitution de l'énergievaut :

G

∼ B

d

2

l

4

(1.32)

Le résultatsera dérivérigoureusement dansle chapitre3.Au début de cettepartie,

nous avons insisté sur le fait que lecomportement de la ssure était dominé par la

forme du champ élastique auvoisinage de la pointe. L'objet du paragraphesuivant

Figure1.7 Système de coordonnées locales à lapointe de la ssure.

2.2.3 Champ élastique au voisinage de la pointe de ssure

On considère un milieu inni présentant une ssure plane. Le champ élastique

auvoisinagede lapointede ssureest donné parledéveloppementsuivant[60,134,

139,141]:

σ

ij

=

1

√

2πr

K

I

.f

I

ij

(θ) + K

II

.f

ij

II

(θ) + K

III

.f

ij

III

(θ)

(1.33) et

u

i

=

1

2E

r

r

2π

K

I

.g

I

i

(θ) + K

II

.g

i

II

(θ) + K

III

.g

i

III

(θ)

(1.34)

où

σ

i,j

et

u

i

sontrespectivementleschampsdecontrainteetdedéplacement,

K

I

,

K

II

et

K

III

sont les facteurs d'intensité des contraintes (FIC) associés aux trois modes de rupture et s'expriment en Pa

√

m. Ils sont déterminés à partir des conditions

aux limites à l'inni. Par contre la singularité en

r

−

1

2

et les fonctions

f

ij

et

g

i

sont indépendantes des conditions aux limites. Ainsi la donnée des 3 FIC déterminent

entièrementlechampélastiqueauvoisinagedelapointe.Atitred'exemple,calculons

le facteur d'intensité des contraintes en mode I pour

θ = 0

à partir de l'équation 1.13. Un développementautour de

x = l + r

, où

r

 l

, donne:

σ =

√

K

I

2πr

(1.35)

où

K

I

= σ

∞

√

πl

. On retrouve ainsi l'expression du FIC qui a conduit à l'établisse-mentdu critèred'Irwin 1.17.

Fissure interfaciale On appelle ssure interfaciale, une ssure qui se propage

à l'interface de deux matériaux. Cette situation est rencontrée dans les problèmes

d'adhésion où l'on étudie le décollement d'un matériau adhérant à un substrat.

On dénit alors un champ de contrainte complexe

σ = σ + iτ

où

σ

et

τ

sont respectivementlacontrainted'ouvertureetdecisaillement.Auvoisinagedelapointe

de ssure, leterme singulier de lacontraintecomplexe s'écrit [58,78]:

σ

_{∼ Kr}

−

2

1

+i

avec

i

2

₌

₋₁

,

K = K

1

+ iK

2

est leFIC complexe,



est une constante caractérisant le désaccord mécanique entre les deux matériaux. Si lesmatériaux sont identiques,

 = 0

,

K

1

= K

I

et

K

2

= K

II

, lesexpressions 1.33 et1.34 sont retrouvées. La forme du champ proposée présentedeux particularités:

•

l'exposant

i

conduit à une oscillation du champ élastique qui devient inni-ment rapide à l'approche de la pointe de la ssure. On admet généralement

que ces phénomènesapparaîssentdans la zone de dissipation oùleséquations

de l'élasticitélinéairene sont de toute façon plus valides

•

il n'est plus possible de décomposer une rupture en trois modes indépendants associésà3FIC.Unchargementlointainenmoded'ouverturepeutprovoquer

du cisaillement auniveau de la pointe de ssure. Cette situation est illustrée

par la gure 1.8. Prenons pour simplier le cas d'une ssure en mode

d'ou-verture (Fig. 1.8, à droite), l'importance du mode de cisaillement peut être

quantiéeen calculantletauxdemodemixte

Ψ = tan

−1



K

2

K

1



.

Ψ

estd'autant plus grand et le cisaillement important que les matériaux ont des propriétés

mécaniques ou des caractéristiques géométriques diérentes.

Nousavons misen évidence deux grandeurs, le taux de restitution et le facteur

d'intensité des contraintes, caractérisant le champ élastique d'un matériau ssuré.

Voyons maintenant quel lienlesunis.

2.2.4 Equivalence entre G et K

En1957, Irwin calculele travail exercé par les termes singuliersdu champ

élas-tique pour refermer une ssure et montre qu'il est égal au taux de restitution de

l'énergie

G

. Cette identité setraduit par [76,78]:

G =

1

E

K

2

I

+ K

II

2

+

1 + ν

E

K

2

III

(1.37)

où

E

et

ν

sont respectivement lemodule d'Young et lecoecient de Poisson. L'ex-pression 1.37 est très importante. Sauf dans des géométries très simples, il est en

généraldiciledetrouverl'expressiondutauxde restitutionde l'énergie,parcontre

il existe des méthodes puissantes permettant de calculer directement les facteurs

d'intensité des contraintes. La relation entre

G

et

K

a d'abord été établie dans le cadred'unerupturefragilemais peutêtreétendueaucasd'uneruptureductiledans

l'hypothèse de séparation d'échelle c'est-à-dire lorsque les processus de dissipation

sont connés dans une zone beaucoup plus petiteque les dimensionsdu matériau.

Dansle cas d'unessure interfaciale,on aaussi une relationentre Getles FIC,

K

1

et

K

2

.Prenons toujours lecas d'un mode d'ouverture (Fig.1.8, àdroite) [58] :

G =

1

E

?

K

2

1

+ K

2

2

=

1

E

?

K

2

1

1 + tan

2

Ψ

(1.38) où

E

?

estunequantitéhomogèneaumoduled'Youngprenantencompteledésaccord

mécaniqueentrelesdeuxmatériaux.

K

1

et

K

2

sontlacomposanteréelleetimaginaire du facteur d'intensitédes contraintes complexeintroduit dans larelation 1.36 et

Ψ

le tauxde mode mixte.

Figure 1.8  A gauche, chargement en ouverture d'un matériau homogène

iso-tropeconduisantà une rupture en mode I pur. Au milieu,chargement asymétrique

conduisantlocalementàunerupture enmodemixte:

K

II

6= 0

.

K

II

tendvers

0

pour les faiblesouvertures. A droite, chargement en ouverture d'un échantillon composé

de deux matériauxaux propriétésmécaniques et/ougéométriquesdiérentes. Cette

asymétrie conduit à une rupture en mode mixte.

K

II

tend vers 0 lorsque les deux matériauxsontidentiques :mêmemoduled'YoungetcoecientdePoissonetmême

épaisseur.

Dans la partie suivante, nous allons utiliser les concepts de taux de restitution

de l'énergie et de facteur d'intensité des contraintes pour établir des critères de

propagationde ssure.

2.3 Critères de propagation

2.3.1 Critère de Grith

Connaissant le mode de chargement, la géométrie et les propriétés mécaniques

du matériau, nous pouvons calculer le taux de restitution de l'énergie. Dans le cas

particulier où le matériau se trouve à l'équilibre, on peut relier l'énergie élastique

stockée en volume dans lematériau avec l'énergiede fracture associée à lacréation

d'uneinterface.Ilsutd'écrirequel'équilibrecorrespondàunextremumdel'énergie

libre,

dU = 0

, ce qui donne grâceà la relation1.22 :

G = 0

ou

G = Γ

(1.39)

l'équation1.39estappeléelecritèred'équilibrede Grith.Lorsque

G 6= 0

,lassure sedéplacespontanément vers une nouvelle positiond'équilibre.Le sens de

déplace-ment doit satisfaire la condition

dU < 0

. Si

G > 0

alors, d'après l'équation 1.22,

dA > 0

: la ssureavance. Si

G < 0

,la ssurerecule.

Pourconnaîtrelastabilitédel'équilibredénieparl'équation1.39,ilfautcalculer

lesdérivées secondes de l'énergielibre. Lecritère de stablité s'écrit alors :

−

∂

2

_U

∂A

2

=

∂G

Autrementdit,lassureeststablesiletauxde restitutiondel'énergiediminueavec

lapropagationde lassure.Appliquonsmaintenantcesrésultatssurdeuxexemples.

Test de traction En utilisant le critère d'équilibre de Grith, on en déduit la

relationsuivanteentrelapositiond'équilibredelassure

l

eq

etl'énergiede fracture:

l

eq

∼

EΓ

σ

∞

(1.41)

En ce qui concerne la stabilité, on a

∂G

∂A

∼

2πσ

2

∞

E

> 0

, l'équilibre de la ssure est instableetellesepropage àtraverstoutlematériausitôtquelacontrainteadépassé

un certain seuil.Il est alorsplus judicieux de dénirune contrainteseuilde rupture

pour une ssure préexistentede longueur

l

donnée :

σ

_∞

c

∼

r

EΓ

l

(1.42)

Test de clivage Danslecasdu test declivage,lapositiond'équilibredelassure

pour un chargement donnés'écrit :

l

eq

∼



B

Γ



1

4

√

d

(1.43)

Analysons la stabilitéde l'équilibre :

∂G

∂A

∼ −B

d

2

l

5

< 0

, ce qui signie que pour une déection

d

donnée,ilexistetoujoursunepositiond'équilibrestable.Cettegéométrie a l'avantage de permettre d'étudier lapropagationquasistatique d'unessure etde

minimiser,lorsque les vitesses sont susamment faibles, leseets visco-élastiques.

2.3.2 Critère d'Irwin-Orowan

Dans ces conditions, en s'appuyant sur le critère d'équilibrede Grith et de la

relation entre taux de restitution de l'énergieet facteur d'intensité des contraintes,

on établitle critèred'équilibre dû à Irwin:

K

I

= K

Ic

(1.44)

Le concept de facteur d'intensité des contraintes est essentiellement un concept

d'élasticité linéaire. Il s'en suit que la ténacité est liée à une rupture élastique et

il n'est pas évident qu'elle soitune grandeur intrinsèque d'un matériau. Enréalité,

on peut montrer que sous l'hypothèse de séparation d'échelle, les concepts de taux

de restitution d'énergie etde facteur d'intensité des contraintes sont équivalents et

ce n'estque par commoditéque l'on en préfère l'un àl'autre.Le critèrede stabilité

s'écrit :

∂K

∂A

< 0

(1.45)

A l'exception des verres, la théorie de Grith prédit des énergies de fracture de

plusieurs ordres de grandeur supérieures au travail thermodynamique d'adhésion.

Figure 1.9 Séparation d'échelle autour de la pointede lassure

matériauavaitsubitdesdéformationsplastiques.Irwinet,demanièreindépendante,

Orowan,ontproposé quel'énergiede fractureétaiten faitlasommede deuxtermes,

l'unest dû àlacréationd'uneinterface,l'autreauxeets visco-plastiques en pointe

de ssure :

Γ = 2γ + 2γ

p

(1.46)

A la diérence de

γ

,

γ

p

n'est pas une grandeur caractéristique du matériau, elle dépend en général de la géométrie du chargement et de l'histoiredes sollicitations.

Très souvent,

γ

p

 γ

. L'extension du critère de Grith-Irwin au cas de la rupture ductilenécessite quelques précautions.En eet, ilfaut pouvoirutiliser lathéoriede

l'élasticitélinéairepour calculer,Gou K,lorsd'unprocessus oùleseets de

plasti-cité ne peuvent pas être ignorés. Irwin, constatant que les déformations plastiques

étaient très souvent localiséesen pointede ssure, montra quelaThéorieElastique

Linéaire de la Ruptureétait valide en présence de plasticité si onpouvait faireune

hypothèsedeséparationd'échelle.Ondénitunezonedissipativeautourdelapointe

de la ssure qui s'étend sur échelle de taille

r

diss

, si la taille de l'échantillon

L

est grandedevant

r

diss

alors l'énergiedissipée ne correspond qu'àune petite fractionde l'énergieélastiquedu systèmeetilest légitimedeconsidérer quelematériaurépond

essentiellement de manière linéaire élastique. On dénit ensuite une zone autour

de lassure de taille

r

sing

où la partie singulièredu champ élastique constitue une bonne approximation. L'hypothèse de séparation d'échelle s'écrit alors :

r

d

 r

sing

< L

(1.47)

Lorsquecettehypothèseestvériée,lechampélastiquevuparlazonede dissipation

correspond aux termes singuliers calculés dans le cas d'un milieu inni. Bien que

les processus de dissipation soient particuliers au matériau et à la nature de la

sollicitation,leproblèmeestconsidérablementsimpliécarlesconditionsauxlimites

sontcellesdu champ élastiquesingulierdontlaformeest cettefoisindépendantede

2.3.3 Stabilité hors du plan

LecritèredeGrithoud'Irwinne donneaucune informationsur ladirectionde

propagation du front.Enfait,onpeut interpréter letauxde restitution de l'énergie

G

commeune forcedontladirectionesttangenteàlassureetquitire laligne vers l'avant si elle est plus importante que

Γ

[1]. Pour connaître la direction, il faut un autre critère.Il existe en réalitéunnombre assezconséquentde critèresprédisantle

cheminempruntéparlassuredontonpeuttrouverunerevuedanslaréférence[96].

Citons, par exemple,le principede symétrie locale pour lequel la ssurese propage

dans la directionoù

K

II

, le facteur d'intensité des contraintes en mode II, s'annule [47],lecritèredumaximumdutauxderestitutiondel'énergiepourlequellassurese

propage dans ladirectionoù

G

est maximale[57] ou encore lecritère du maximum de la contrainte circonférentielle en extension (en anglais, maximum tensile hoop

stress) [34]. Les prédictions de ces diérents critères sont sensiblement les mêmes

mais les travaux de Amestoy et al. ont montré que des diérences interviennent

pour des déplacements de ssure de taille nie [4]. En milieu homogène isotrope,

une ssure a donc tendance à sepropager en mode I et à minimiserle cisaillement

en pointe. La propagation peut quand même se produire en mode mixte lorsqu'il

existe un plan de faiblesse comme dans lecas d'une ssure interfaciale[58].

2.3.4 Propagation quasi-statique

Onparledepropagationquasi-statiquelorsquel'onpeutnégligerleseets

d'iner-tie. Reprenonsl'exempledutest declivageetsupposonsqueladéexion

d

n'estplus xée mais varie susamment lentement, à lavitesse

d

˙

, pour que le critère de Grif-th soitvérié àchaque instant.En identiant

G

à

Γ

dans l'expression 1.32, onen déduit que lavitesse d'avancée de lassure

v = ˙

l

eq

est proportionnelleà

d

˙

:

v

_∼

√

d

˙

d



B

Γ



1

4

(1.48)

Cette proportionnalité est rarement observée en pratique : la dynamique est plus

souvent gouvernée par les eets de retard liés à la visco-élasticité du matériau et

aux réactionschimiquesen tête de ssure.Ilest possiblede reformulerla théoriede

Grithdans lecadre delathermodynamiquedes processusirréversibles tantquela

ssure se trouve faiblement hors d'équilibre.Si onnote

˙h

la vitesse locale du front, le tauxde productiond'entropie

Λ

s'écrit [76,114,116]:

Λ =

1

T

Z

(G

_{− 2γ) ˙hds ≥ 0}

(1.49)

où

s

est la coordonnée curviligne le long du front, l'intégration porte sur toute la longueur du front de ssure,

T

est la température,

G

le taux de restitution de l'énergie,

γ

l'énergiede surface danslevide.Pour unessure rectiligne,

h(s)

≡ h

,le critère de propagation de Grith généralisé s'écrit alors :

L'inégalité 1.50 indique que la vitesse et la force d'extention de la ssure

G =

G

_{− 2γ}

sont toujours de même signe : si

G > 2γ

, la vitesse est positive etla ssure avance. Si

G < 2γ

, la ssure recule et à l'équilibre

G = 2γ

. En généralisant ainsi le critèrede Grith, nous obtenons une équation du mouvement de la ssure liant

v

à

G = G − 2γ

. En utilisant des méthodes classiques de calcul, l'expression de

G

peut être connue sans avoir recours à un modèle particulier. A l'inverse, il est toujours nécessaire d'introduire des lois de comportement rhéologiques pour tenir

compte de la viscoélasticité et des déformations plastique pour évaluer le terme de

créationd'entropie

Λ

. Laphénoménologie des processusdissipatifs àlapointede la ssureesttrèsricheetincluelesdéformationsplastiques,desprocessusdedissipation

plus complexes comme la brillation,les craquelures, la cavitation. Cette diversité

rend évidemment ladérivation d'uneéquation du mouvement àpartir des premiers

principes excessivement ardue. Des modèles de propagation viscoélastique ont été

proposés [7,48,55,123,124]. Ils dièrent entre eux suivant la modélisation de la

dissipationen tête dessure,l'utilisationd'uncomportement mécaniquelinéaireou

non, lesrégimes de vitesse envisagés.

Dansledomainedel'adhésiond'élastomèressursubstratsrigides,desprédictions

ont pu être faites à l'aide d'arguments portant sur le comportementdes chaînes de

polymères en interaction avec le substrat. A l'aide d'un modèle d'extraction de

chaînes, De Gennes et al. ont proposé une dependance linéaire entre la vitesse et

G

. Cette prédiction n'a été que très rarement vérifée [18,31]. Chaudhury et al. ont proposéunmodèlederupturedechaînesfacilitéeparactivationthermique(équation

d'Eyring) dans le contexte d'une adhésion chimique forte entre l'élastomère et son

substrat. Unedépendance logarithmiquede G avec lavitesse est obtenue etvériée

sur les expériences d'adhésion qu'ils ont réalisées. Pour des adhésions plus faibles

une équation du mouvement empiriquea été proposée [5,44,90,132] :

G

_{− 2γ = 2γ}



v

v

?

T



n

(1.51)

L'énergie dissipée par unité de surface, terme à droite de l'égalité 1.51, est

suppo-sée proportionnelleautravailthermodynamique d'adhésion.Intuitivement,on

com-prend qu'il ne peut pas y avoir une forte dissipation visco-plastique si l'énergie de

surface est trop faiblepour soutenirde fortes déformations dans le matériau[5,92].

Ladépendance en loide puissance avec lavitesse, proposée par Maugis etal., aété

vériéesurdiérentstypesdematériauxdansdes géométriesde pelageouJKR[90].

Bienqu'aucuneexpression n'aitété encoreproposée pour l'échelledevitesse

v

?

T

,elle

repose sur les propriétés viscoélastiques en volume du matériau considéré. Cette

vitesse possède une dépendance avec latempératureque l'on peut déterminer [38].

D'autres mécanismes peuvent être mis en jeu pour rendre compte de la

dyna-mique àbasse vitesse.Des expériences anciennes de Grenet [49]et Milligan[93] ont

misen évidenceun retard àla rupture pour lesverres : lorsque le matériauest mis

soustensionconstante,ilnecèdepas instantanémentmaisromptbrutalementaprès

un certain temps d'attente. Ce phénomène est appélé rupture sous-critique car la

rupture en traction apparaît pour un seuil

K

c

inférieur de 20 à 30% au seuil

K

˜

c

de rupture rapide. L'évolution de la vitesse en fonction de la tenacité est

Figure 1.10  Vitesse de propagation

v

d'une ssure interfaciale en fonction du facteur d'intensité des contraintes

K

. Le matériau est viscoélastique et est soumis à un chargement constant. La tenacité du matériau est

K

c

, leseuil de propagation rapide est

K

˜

c

.

seuil

K

c

, une diminution rapidede la vitesse et un arrêt completde lassure pour

K = K

c

, un régime intermédiaire,

K

c

< K < ˜

K

c

, où

v

varie comme une puissance de

K

etennunrégimedepropagationrapidede lassurepour

K > ˜

K

c

.Plustard, Wiederhorn [140]misen évidencelerôleimportantjouéparl'humidité.De manière

générale, lorsque l'atmosphèreest un facteur inuençant laresistance du matériau,

on parle de corrosion. On observe alors souvent une diminution de

K

c

(Tab. 1.2). Plusieurs mécanismes interviennent en pointe de ssure incluant des réactions

chi-miques, la diusion, la dissolution et l'échange d'ions, la microplasticité. Une loi

phénoménologique, indépendante des mécanismes sous-jacents, a été proposée par

Charles [20] :

v = A(T )K

m

(1.52)

où

v

est la vitesse moyenne du front,

K

le facteur d'intensité des contraintes,

T

la température,

A(T )

et

m

sont des paramètres empiriques caractérisant le matériau pourun mode de rupturedonné. Laloide Charlesest compatibleavec lemodèlede

Maugis et al., qui se réécrit en terme de vitesse en fonction du facteur d'intensité

des contraintes :

v = v

_T

?

(K

2

/K

₀

2

_{− 1)}

1/n

(1.53)

Dans la limite

K

 K

0

, on retrouve la loi de Charles avec

m = 2/n

. L'équation 1.53 a un domaine d'application plus important que la loi de Charles puisqu'elle

Humide Sec

Matériaux

K

c

Γ

K

c

Γ

Silice 0.37 0.9 0.8 4.4

Verre borosilicaté 0.25 0.45 0.76 3.9

Table 1.2  Variations de la ténacité et de l'énegie de fracture du verre en

atmo-sphère sèche ouhumide(d'après [88]).

plus, l'inuence de l'environnementpeut aussi être pris en compte dans lecadre de

lathermodynamique irréversible, en généralisant

Γ

.L'énergie de fracture peut être généralisée en tenant compte explicitement de son environnement et des réactions

chimiques oud'adsorption pouvant avoirlieusur lasurface nouvellementcréée [88,

116] :

Γ = Γ

vide

− 2∆γ

(1.54)

où

Γ

vide

est l'énergiede fracturationdans le vide,

∆γ

est lacorrection apportéepar la formule de Gibbs pour tenir compte de l'adsorption et des réactions chimiques.

∆γ

dépend de la température, de la pression, de la concentration de l'espèce chi-miqueconsidérée.Maugis[88]avancequelesvariationsded'énergiede fracturesont

susantes pour rendre compte des diminutions de quelques dizaines de pourcent

dans la rupture des verres (Tab. 1.2). Dans cette perspective, la rupture n'est pas

sous-critique : le critère de propagation de Grith est toujours valide moyennant

une généralisationde l'énergiede fracturation.

La loi de Charles peut être mise en relationavec la loide Paris qui gouverne la

propagationd'une ssure sous chargement cyclique [107,108] :

dl

dN

= C∆K

m

(1.55)

où

l

est la position de la ssure,

N

le nombre de cycles et

∆K

est l'amplitude de variationdu facteur d'intensitédes contraintes dénie par :

∆K = K

max

− K

min

(1.56)

C

et

m

sont des constantes empiriques. Elles dépendent de manière générale de la microstructure du matériau, de l'environnement et de la température. L'exposant

m

varieentre 2 et4pour lesalliagesmétalliquesductileetpeut prendredes valeurs beaucoup plus élevées pour lessolidesamorphes commelesverres oulespolymères.

Lorsque lesmécanismes de dissipation à lapointede lassure sontles mêmespour

unchargementcycliqueetstatique,ilest possibledelierl'exposantde laloide Paris

avec celui de laloi de Charles [135].

Les retardsàla rupture etla propagationlente des ssuresont été étudiésdans

des matériaux hétérogènes. Les mécanismes mis en jeu font intervenir de manière

crucialelamicrosctructuredumatériau.Lefrontdessurepeutalorssetrouverpiégé

par une zone de forte ténacité et s'arrêter. Il est aussi possible que la propagation

de dépiéger la ssure. La propagationest alors bien sous-critique dans le sens qu'à

température nulle, il n'y a pas de propagation et à température plus élevée, il y a

propagation. Les eorts expérimentaux et théoriques portent sur la prédiction du

temps d'attente avant la rupture rapide du matériau[122,136].

2.3.5 Quelques remarques sur la théorie de Grith-Irwin-Orowan

La théorie de Grith met de côté le problème de la nucléation et surtout elle

n'est pas capable de prédire le chemin qui va être emprunté par une ssure. De

même, lorsqu'il n'existe pas de défaut susamment important pour contrôler la

résistanceàlarupture, unethéoriestatistiquedelafractureest alorsnécessaire[53].

Weibullfutlepremieràproposerunethéoriequantitativedelafracturedematériaux

hétérogènes en s'appuyant sur la théorie de Grith. L'idée est de décomposer le

matériauenunitésélémentaireschacunepossédantsaproprerésistanceàlarupture.

En supposant une certaine distributionde resistance à la rupture, il a proposé une

distribution des contraintes àla rupture, appelée plus tard distributionde Weibull,

pouvant rendre compte de la variabilité des résultats de test de résistance [138].

De manière plus générale, la résistance des matériaux hétérogènes est très liée à

la théorie des valeurs extrêmes : une petite zone de faiblesse dans un matériau est

susceptible de le fragiliser globalement. Enn, le lien entre de fortes interactions

entre microssures et la résistance à grande échelle d'un matériauest un problème

de physiquestatistique encore largement ouvert [3,119].

3 Les fronts de ssure

Dans cette section, nous étendons l'étude au cas d'un front de ssure. L'ajout

d'unedimensionsupplémentairenous conduitàétudierlesproblèmes liésàlaforme

du front, sa stabilité et sa réponse, en régime quasi-statique ou dynamique,

vis-à-vis des hétérogénéités présentes dans le matériau. L'étude de la propagation d'un

frontde ssure dans un matériauhétérogène s'inscrit dans le cadre plus généralde

la dynamique d'une interface, 1D ou 2D, en présence d'un désordre. Ce problème

générique couvre un spectre assez large de la physique. Citons le déplacement de

ligne de vortex dans les supraconducteurs de type II, la propagation d'un front

de mouillage, l'imbibition dans un poreux ou encore le déplacement de parois de

domaines magnétiques. La dimension du problème, la portée des interactions et la

nature du désordre détermine en grande partie la phénoménologie.On verra quele

frontde ssureet de mouillagetombedans lamême classe de problème.

3.1 Elasticité d'un front de ssure

De manière générale, la morphologie etla dynamique d'une interface résultede

la compétitionentre un terme de rappel élastiqueet un terme de piégeage dû à des

hétérogénéitésprésentedanslemilieu.Lapremièreétapeconsistedoncàcaractériser

Figure1.11  Front de ssure plan chargé en mode d'ouverture.

3.1.1 Expression du facteur d'intensité de contrainte

Comme le comportement de la ssure est essentiellement dominé par le terme

singulier du champ de contrainte, le problème d'élasticité se réduit au calcul du

FIC. Prenons le cas d'une ssure se propageant dans un plan avec un chargement

lointainen mode d'ouverture(Fig.1.11). L'étatde base est un frontde ssure droit

h

0

auquel est associé un facteur d'intensité des contraintes

K

0

indépendant de

x

. Gao etal. donnentl'expression du facteurd'intensitédes contraintelorsque lefront

est perturbépar rapportà son état de base par une quantité

δh(x)

[42] :

K[x, h(x)] = K

0

+

dK

0

dy

δh(x) + K

0

1

2π

V P

Z

+∞

−∞

δh(x

0

₎

_{− δh(x)}

(x

0

_{− x)}

2

dx

0

(1.57)

avec

h(x) = h

0

+ δh(x)

et

h

0

 δh(x)

.

V P

désignelavaleurprincipaledel'intégrale. Lenoyaudansletermeintégralestlemêmequedanslecas d'unfrontde mouillage,

il est à l'origine de la forte analogie qui existe entre les deux phénomènes. Des

travaux ultérieurs ont poussé le développement au premier terme non linéaire en

δh

[67].Ilexiste une méthode itérativedéveloppée initialementpar Boweretal.[14] qui permetde connaître leFIC pour une perturbationnie du front.

3.1.2 Equilibre et stabilité

Connaissant le champ élastique d'un front faiblement perturbé, il est

intéres-sant d'étudier sa stabilité lorsqu'il se propage dans un milieu homogène. Le critère

d'équilibrepour un front de ssure s'écrit de la manièresuivante:

K[x, h(x)] = K

c

(x, y = h(x))

(1.58)

Danslecas oùlematériauesthomogène, laténacité

K

c

(x, y)

est constante. L'étude de sa stabilité vis-à-vis d'une perturbation sinusoïdale

δh(x) = a cos(2π

x

à l'expression du FIC [78,117] :

K[x, h(x)] = K

0

+



dK

dy

−

K

0

λπ



a cos(2π

x

λ

)

(1.59)

Ladiscussionsurlastabilitéreposesurlesignede



dK

dy

−

K

0

λπ



auxpointsdufrontles

plus avancés c'est-à-dire pour

x = ...,

−λ, 0, λ, ...

. Si



dK

dy

>

K

0

λπ



, une perturbation

engendre en ces points une augmentation du FIC et ils sont donc encouragés à se

déplacer davantage. Dans l'autre cas, leFIC est plus faible pour les points les plus

avancés et plus fort pour les points en retrait, si bien que laperturbationn'est pas

ampliée. En résumé,le front droit est stable si :

dK

dy

<

K

0

λπ

(1.60)

Dans le cas du test de clivage,

dK

dy

est négatif : le front de ssure est stable vis-à-vis d'une perturbation de n'importe quelle longueur d'onde. A l'inverse, pour le

test en traction, il existe une longueur d'onde critique au delà de la laquelle une

perturbation commence à croître. Le problème de l'instabilité de front de ssure

peutêtre étudiédans lecontexte de l'adhésion. Ilne s'agitpas d'un matériauinni,

homogènemaisdelmélastiqueminceenadhésion,sécheouhumide,surunsubstrat

rigide.Deuxcongurationsexpérimentalessontprésentées.Lapremièreaétéétudiée

par Ghatak et al. [2,45,46] : un élastomère assimilé à un matériau élastique est

connéentreunsubstratrigideetunelameexible.Ilsmontrentquepouruncertain

jeu de paramètres, une instabilité apparaîtlorsqu'une lame exible est pelée. Dans

ladeuxième,nous avonsétudié leproblèmede délaminationdelmmincedans une

géométrie axisymétrique[24].Nousmontrons quelorsquelesdéformationsimposées

dépassentun seuil,lefrontde formecirculairesedétastibilise.Deces deuxexemples

ont retiendra que des contraintes supplémentaires imposées au système comme le

connementouunegéométrie axisymétriquepeuvent être desfacteurs destabilisant

pour lefront. Ces études rentrent dans le cadre de génération de formes complexes

à partir d'instabilitéélastique.

3.2 Piégeage de la ligne par un défaut isolé

Lorsqu'unfrontdessurerencontreundéfaut,laformequ'iladopterésulted'une

compétitionentre l'énergieélastiquedelaligneetlaforcedudéfaut.Enpratiqueles

défauts peuvent être des inclusions (grains de sable, bres, ...), des cavités

(maté-riauxporeux,bulle d'air piégée),desdéfauts cristallographiques, des hétérogénéités

chimiques.Leur présence est modélisée par une dépendance de l'énergiede fracture

avec les coordonnées de l'espace. Nous allons considérer d'abord des défauts qui

conservent l'invariance par translation suivant la direction de propagation (Oy) et