PROBABILIT´
ES
Le terme probabilit´e poss`ede plusieurs sens : venu historiquement du latin « probabilitas », il d´esigne l’op-pos´e du concept de certitude. Il est ´egalement une ´evaluation du caract`ere probable d’un ´ev´enement, c’est-`a-dire qu’une valeur permet de repr´esenter son degr´e de certitude. La probabilit´e est devenue une science math´ematique et est appel´ee th´eorie des probabilit´es.
Les probabilit´es au programme de PCSI ont les probabilit´es dites finies, c’est `a dire qu’on supposera pour cette ann´ee que l’univers Ω est un ensemble fini. Il s’agit de la continuit´e des chapitres de probabilit´e au programme en Tale S o`u nous aborderons cette fois des exp´eriences al´eatoires plus complexes.
Pour information, il y a ´egalement :
— des probabilit´es dites discr`etes : Ω ensemble fini ou d´enombrable, par exemple Ω = N (au programme de deuxi`eme ann´ee),
— probabilit´es continues : Ω intervalle de R (hors programme en classes pr´eparatoires scientifiques mais au programme de Tale S : les lois normales).
Jeux de lancer de d´es Tirage dans des urnes
22 PROBABILIT ´ES 1
I G ´EN ´ERALIT ´ES . . . 3
I.1 EXP ´ERIENCE AL ´EATOIRE ET UNIVERS . . . 3
I.2 ´EV ´ENEMENTS . . . 3
I.3 VOCABULAIRE ENSEMBLISTE - VOCABULAIRE PROBABILISTE . . . 5
II ESPACES PROBABILIS ´ES FINIS . . . 6
II.1 D ´EFINITION . . . 6
II.2 PREMI `ERES PROPRI ´ET ´ES . . . 6
II.3 CARACT ´ERISATION D’UNE PROBABILIT ´E . . . 7
II.4 CAS PARTICULIER DE L’ ´EQUIPROBABILIT ´E . . . 8
III QUELQUES EXEMPLES DE D ´ENOMBREMENT . . . 9
IV PROBABILIT ´E CONDITIONNELLE . . . 10
IV.1D ´EFINITION . . . 10
IV.2FORMULES DES PROBABILIT ´ES COMPOS ´EES . . . 11
IV.3FORMULE DES PROBABILIT ´ES TOTALES . . . 12
IV.4FORMULE DE BAYES . . . 13
V IND ´EPENDANCE . . . 14
V.1 D ´EFINITION . . . 14
I
G´
EN´
ERALIT´
ES
I.1 EXP´ERIENCE AL´EATOIRE ET UNIVERS D´efinition.
• Une exp´erience al´eatoire est une exp´erience dont on ne peut pr´edire avec certitude le r´esultat. • On appelle univers l’ensemble, souvent not´e Ω, de tous les r´esultats possibles.
• Un ´el´ement de cet ensemble Ω est appel´e une ´eventualit´e ou une issue, et g´en´eralement not´e ω.
Exemple. Voici quelques exemples d’exp´eriences al´eatoires.
• ε1 : On lance un d´e cubique et on note le num´ero de la face obtenue.
Ω1= . . .
• ε2 : On lance deux d´es t´etra´edriques de couleurs diff´erentes et on note le couple de num´eros obtenus. Ω2= . . .
• ε3 : On lance n fois une pi`ece de monnaie et on note les r´esultats obtenus.
Ω3= . . .
• ε4 : On tire simultan´ement 3 boules dans une urne qui en contient 20 et on note la liste des boules obtenues. Ω4= . . .
• ε5 : On lance une pi`ece jusqu’`a ce qu’elle tombe sur pile et on note le nombre de lancers effectu´es.
Ω5= . . .
Remarque. En PCSI on ne s’int´eresse qu’aux situations o`u Ω peut ˆetre d´ecrit par un ensemble fini : Ω = {ω1, . . . , ωn} c’est `a dire pas l’exp´erience . . .
D´efinition.
On appelle cardinal de l’univers, not´e |Ω| ou Card(Ω) est le nombre d’´el´ements de l’univers.
Exemple. Pour ε1 : |Ω1| = . . . Pour ε2: |Ω2| = . . . Pour ε3 : |Ω3| = . . . Pour ε4 : |Ω4| = . . .
I.2 EV´´ ENEMENTS D´efinition.
Soit ε une exp´erience al´eatoire d’univers fini Ω = {ω1, . . . , ωn}.
On appelle ´ev`enement toute partie A de Ω. L’ensemble des ´ev`enements est donc P(Ω). On dit qu’un ´ev`enement A se r´ealise si le r´esultat de l’exp´erience w ∈ A.
• On note ∅ l’´ev`enement impossible. • On note Ω l’´ev`enement certain.
Exemple. Voici quelques exemples d’´ev`enements et leur ´ecriture ensembliste. • ε1 : On lance un d´e cubique et on note le num´ero de la face obtenue.
A : « Obtenir un nombre pair » donc A = . . .
• ε2 : On lance deux d´es t´etra´edriques de couleurs diff´erentes et on note le couple de num´eros obtenus.
B : « Obtenir un double. » donc B = . . .
• ε3 : On lance 2n + 1 fois une pi`ece de monnaie et on note les r´esultats obtenus. C : « Obtenir autant de Pile que de Face. » donc C = . . .
• ε4 : On tire simultan´ement 3 boules dans une urne qui contient 20 boules num´erot´ees de 1 `a 20 et on note
la liste des num´eros obtenus.
D : « La somme des num´eros vaut 10. » donc D = . . .
D´efinition.
Soit Ω un univers fini, A et B deux ´ev´enements.
• Le compl´ementaire de A dans Ω, not´e A, est appel´e ´ev´enement contraire. • La r´eunion A ∪ B de A et B est un ´ev´enement, appel´e « A ou B ».
• L’intersection A ∩ B de A et B est un ´ev´enement, appel´e « A et B ».
Exemple. On lance 2 fois une pi`ece de monnaie truqu´ee.
On note A : « la premi`ere pi`ece montre Pile » et B : « la deuxi`eme pi`ece montre Pile » alors :
A = { } et B = { }
• L’´ev`enement A∪B est « » et A∪B = { }.
• L’´ev`enement A∩B est « » et A∩B = { }.
• L’´ev`enement A est « » et A = { }.
Remarque. On peut g´en´eraliser les op´erations ´el´ementaires ci-dessous : • l’´ev`enement
n
S
i=1
Ai se r´ealise si, et seulement si, au moins un des Ai se r´ealise.
• l’´ev`enement
n
T
i=1
Ai se r´ealise si, et seulement si, tous les Ai se r´ealisent.
D´efinition.
Soit Ω un univers, A et B deux ´ev´enements de Ω.
• Les ´ev´enements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅. • On dit que l’´ev´enement A implique l’´ev´enement B si A ⊂ B.
Exemple. On lance 2 fois une pi`ece de monnaie truqu´ee.
D´efinition.
On dit que (A1, . . . , An) est un syst`eme complet d’´ev`enements (not´e s.c.e.) si :
1. (A1, . . . , An) est une famille d’´ev`enements incompatibles 2 `a 2 : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i 6= j ⇒ Ai∩ Aj = ∅.
2. (A1, . . . , An) forme une partition de Ω : Ω = n
[
i=1
Ai.
Exemple. Donner diff´erents s.c.e. pour ε1 : On lance un d´e cubique et on note le num´ero de la face obtenue.
I.3 VOCABULAIRE ENSEMBLISTE - VOCABULAIRE PROBABILISTE
Langage probabiliste Langage ensembliste
Univers Ω Ensemble Ω
´
Eventualit´e ω ∈ Ω ´el´ement ω ∈ Ω
Nombre de cas |Ω|
´
Ev`enement A ⊂ Ω partie de Ω
P(Ω) ensemble des ´ev`enements P(Ω) parties de Ω ´
Ev`enement impossible Partie vide
´
Ev`enement certain Partie pleine
ω ∈ Ω, {ω} ´ev`enement ´el´ementaire Singleton {ω}
« A et B » A ∩ B
« A ou B » A ∪ B
´ev`enement contraire A Compl´ementaire de A dans Ω ´
Ev`enements incompatibles A et B A ∩ B = ∅ disjoints (A1, . . . , An) s.c.e. (A1, . . . , An) partition de Ω
A ⇒ B A ⊂ B
D´efinition.
Soit Ω un univers fini, (Ω, P(Ω)) est appel´e espace probabilisable.
On va maintenant s’attacher `a d´efinir une loi de probabilit´e sur (Ω, P(Ω)), c’est `a dire d´efinir une fonction P qui `a chaque ´ev`enement de Ω associe un nombre r´eel entre 0 et 1 et respecte certaines conditions.
II
ESPACES PROBABILIS´
ES FINIS
II.1 D´EFINITION D´efinition.
Soit (Ω, P(Ω)) un espace probabilisable fini. Soit Ω un univers fini. On appelle probabilit´e sur Ω une application P : P(Ω) → [0, 1] v´erifiant : • P(Ω) = 1 ;
• pour tous ´ev´enements incompatibles A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On appelle espace probabilis´e fini un couple (Ω, P) o`u Ω est un univers fini et P une probabilit´e sur Ω.
Remarque. Mod´eliser une exp´erience al´eatoire ε c’est expliciter (Ω, P(Ω), P) l’espace probabilis´e.
Remarque. Le deuxi`eme point se g´en´eralise par une r´ecurrence imm´ediate :
Si (A1, . . . , Ap) sont des ´ev´enements incompatibles, P(A1∪ · · · ∪ Ap) = P(A1) + · · · + P(Ap).
Exemple. On consid`ere le lancer d’un d´e `a 6 faces. L’univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Une probabilit´e sur Ω est P1:
P(Ω) → [0, 1] A 7→ 1 6Card(A)
(d´e non pip´e).
• On peut aussi d´efinir P2 :
P(Ω) → [0, 1] A 7→ 0 si 6 /∈ A 1 si 6 ∈ A
(d´e pip´e pour tomber sur 6 `a tous les coups).
II.2 PREMI`ERES PROPRI´ET´ES
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini, A et B deux ´ev´enements. On a : 1. P(A) = 1 − P(A).
2. P(∅) = 0.
3. Si A ⊂ B, alors P(A) 6 P(B). De plus, P(B \ A) = P(B) − P(A). 4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Propri´et´e (Propri´et´es de base d’une loi de probabilit´e).
Exemple. Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini. Soient A et B des ´ev´enements.
Soit (A1, . . . , An) un syst`eme complet d’´ev´enements et B un ´ev´enement quelconque. Alors : P(B) = n X i=1 P(B ∩ Ai)
En particulier avec B = Ω, on obtient : 1 =
n
X
i=1
P(Ai).
Th´eor`eme.
II.3 CARACT´ERISATION D’UNE PROBABILIT´E
Soit Ω = {ω1, ..., ωn} et p1, ..., pn des r´eels. On a l’´equivalence entre les deux assertions suivantes :
(i) Il existe une probabilit´e P sur Ω telle que : ∀i ∈ [[1, n]], P({ωi}) = pi.
(ii) Tous les r´eels pi sont positifs ou nuls et n
X
i=1
pi= 1.
Dans ce cas, la probabilit´e P est unique et on a :
∀A ∈ P(Ω), P(A) = X
i∈[[1,n]] tels que ωi∈A
pi
Th´eor`eme (Caract´erisation d’une probabilit´e).
Remarque. On retiendra que :
• la somme de probabilit´es vaut toujours 1.
• les probabilit´es sont des r´eels compris entre 0 et 1.
• la probabilit´e d’un ´ev`enement A est la somme des probabilit´es des ´ev`enements ´el´ementaires qui le compose.
D´emonstration :
(i) ⇒ (ii) Soit P une probabilit´e sur Ω telle que : ∀i ∈ [[1, n]], P({ωi}) = pi.
P est `a valeurs dans [0, 1] donc tous les pi sont positifs.
De plus, {wi}i∈[[1,n]] est un syst`eme complet d’´ev´enements donc n X i=1 pi= n X i=1 P({ωi}) = 1.
(ii) ⇒ (i) On raisonne par analyse synth`ese.
• Analyse : Supposons avoir une probabilit´e P qui convienne. Pour A ∈ P(Ω), on a A = [
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
{ωi}. Les ´ev´enements ({ωi})i∈[[1,n]]tel que ωi∈A sont deux `a deux disjoints, donc
P(A) =
X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
pi=
X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
pi
• Synth`ese : On pose P : P(Ω) → [0, 1] A 7→ P i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
pi .
P est bien d´efinie car pour A ∈ P(Ω), comme les pi sont positifs,
0 6 p(A) = X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
pi 6 n X i=1 pi= 1. On a P(Ω) = n P i=1 pi = 1.
Soient A et B deux ´ev´enements incompatibles. Comme A ∩ B = ∅, on a P(A ∪ B) =
X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A∪B
pi =
X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈A
pi+
X
i∈[[1,n]] tel que ωi∈B
pi= P(A) + P(B)
donc P est une probabilit´e. Ainsi on a existence.
II.4 CAS PARTICULIER DE L’´EQUIPROBABILIT´E Remarque.
Soit Ω = {ω1, . . . , ωn} un univers fini. Il existe une unique probabilit´e P telle que :
∀i ∈ [[1, n]], P({ωi}) =
1 Card(Ω).
D´efinition.
Cette probabilit´e est appel´ee probabilit´e uniforme sur Ω. On dit aussi alors qu’on se trouve dans un cas ´equiprobable. Dans le cas ´equiprobable, on a donc :
P(A) = X ω∈A P(ω) = X ω∈A 1 Card(Ω) = Card(A) Card(Ω) =
nombre de cas favorables nombre de cas possibles
Exemple. On lance un d´e ´equilibr´e `a 6 faces. La probabilit´e de tirer un nombre pair est 3 6 =
1 2. ATTENTION, cette formule n’est valable que pour les cas ´equiprobables !
III
QUELQUES EXEMPLES DE D´
ENOMBREMENT
Exemple.
On consid`ere 6 d´es non pip´es de couleurs diff´erentes (donc discernables). Quelle est la probabilit´e que toutes les faces donnent un chiffre diff´erent ?
Exemple. Une urne comporte 10 boules : 3 blanches et 7 noires.
On tire 2 boules de l’urne. Calculer la probabilit´e que les 2 boules soient de couleurs diff´erentes si : 1. il s’agit d’un tirage successif avec remise.
2. il s’agit d’un tirage successif sans remise. 3. il s’agit d’un tirage simultan´e de 2 boules.
IV
PROBABILIT´
E CONDITIONNELLE
Exemple. Consid´erons le lanc´e d’un d´e ´equilibr´e.
Notons A l’´ev´enement « on obtient un 2 » et B l’´ev´enement « on n’obtient pas 1 ».
L’´ev´enement A∩B est ´egal `a A car si on obtient 2 et pas 1, c’est qu’on a obtenu 2 tout court. Donc P(A∩B) = 16. De plus, P(B) = 56 car il y a 5 r´esultats favorables sur 6 si on n’obtient pas 1.
Supposons maintenant qu’on sache que B est v´erifi´e, c’est-`a-dire qu’on n’a pas obtenu 1. Dans ce cas, la probabilit´e d’obtenir 2 est de 15, car il n’y a plus que 5 r´esultats possibles (et on est toujours dans un cas ´equiprobable). On remarque que cette probabilit´e vaut exactement P(A∩B)
P(B) .
C’est ce qu’on appelle une probabilit´e conditionnelle.
IV.1 D´EFINITION
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e.
D´efinition.
Soit A et B deux ´ev´enements tels que P(B) 6= 0. On appelle probabilit´e conditionnelle de A sachant B (c’est-`a-dire sachant que B est r´ealis´e), not´ee P(A|B) ou PB(A) le quotient :
P(A|B) = PB(A) = P(A ∩ B)
P(B) .
Pour tout ´ev´enement B tel que P(B) > 0, l’application : PB: P(Ω) → [0, 1]
A 7→ PB(A)
est une probabilit´e sur Ω, appel´ee probabilit´e conditionnelle `a B.
Propri´et´e (Probabilit´e conditionnelle).
Exemple.
On consid`ere une famille de deux enfants. On suppose que chaque enfant a une chance sur deux d’ˆetre une fille. — Quelle est la probabilit´e que les deux enfants soient des filles sachant que l’aˆın´e est une fille ?
IV.2 FORMULES DES PROBABILIT´ES COMPOS´EES
Le plus souvent, on ne calcule pas PB(A) `a partir de P(A ∩ B) et P(B). Au contraire, c’est la connaissance
de PB(A) et P(B) qui permet le calcul de P(A ∩ B).
Pour tous les ´ev´enements A et B d’un espace probabilis´e, on a :
P(A ∩ B) = P(B)PB(A) si P(B) 6= 0 P(A ∩ B) = P(A)PA(B) si P(A) 6= 0
Propri´et´e.
On cherche `a g´en´eraliser la formule ci-dessus.
Soit n > 2 un entier et n ´ev`enements A1, . . . , An tels que P n−1 \ i=1 Ai ! 6= 0 alors : P n \ i=1 Ai !
= P(A1) × PA1(A2) × PA1∩A2(A3) × . . . × PA1∩...∩An−1(An).
Propri´et´e (Formule des probabilit´es compos´ees).
D´emonstration : On montre par r´ecurrence sur n > 2 la propri´et´e P(n) correspondant `a l’´enonc´e.
Soient A1 et A2 des ´ev´enements tels que P(A1) > 0. Alors P(A1∩ A2) = P(A1)P(A2|A1) par d´efinition des
probabilit´es conditionnelles, donc P(2) est vraie.
Soit n > 2 tel que P(n) est vraie, et soient A1, . . . , An+1 des ´ev´enements tels que P(A1∩ · · · ∩ An) > 0. On a
P(A1∩· · ·∩An+1) = P(A1∩· · ·∩An)P(An+1|A1∩· · ·∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) . . . P(An+1|A1∩· · ·∩An)
par hypoth`ese de r´ecurrence. Ainsi, P(n + 1) est vraie. En conclusion, pour tout n > 2, P(n) est vraie.
Exemple. Dans une urne qui contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher, on tire 3 boules successivement sans remise.
IV.3 FORMULE DES PROBABILIT´ES TOTALES
Soit (A1, . . . , An) un syst`eme complet d’´ev´enements de l’espace probabilis´e fini (Ω, P) tel que pour
tout 1 6 i 6 n, P(Ai) > 0. Pour tout ´ev´enement B, on a :
P(B) =
n
X
i=1
PAi(B)P(Ai)
Corollaire : Si A est un ´ev`enement de Ω et 0 < P(A) < 1, on obtient : P(B) = PA(B)P(A) + PA(B)P(A)
Th´eor`eme (Formule des probabilit´es totales).
Remarque. On peut pr´esenter cette formule sur un arbre
Exemple. Mat et Matic s’entraˆıne au tir `a l’arc. Mat atteint la cible 9 fois sur 10, Matic atteint la cible 6 fois sur 10. Matic joue deux fois sur 3. Quelle est la probabilit´e que la cible soit atteinte ?
IV.4 FORMULE DE BAYES
• Soient A et B deux ´ev´enements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0. Alors P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) .
• Soit (A1, . . . , An) un syst`eme complet d’´ev´enements de l’espace probabilis´e (Ω, P) tel que pour
tout i ∈ [[1, n]], P(Ai) 6= 0. Pour tout ´ev´enement B tel que P(B) 6= 0, on a pour tout i ∈ [[1, n]] :
P(Ai|B) = P(B|Ai)P(Ai
) n P j=1 P(B|Aj)P(Aj) .
• En particulier, pour tous ´ev´enements A et B tels que 0 < P(A) < 1 et P(B) 6= 0, on a :
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A)
Th´eor`eme (Formule de Bayes).
Exemple. (Suite de l’exemple pr´ec´edent )
L’un des joueurs a atteint la cible. Quelle est la probabilit´e qu’il s’agisse de Matic ?
Exemple (Probl`eme du Monty Hall). Dans un jeu t´el´evis´e, trois portes sont ferm´ees. Derri`ere l’une d’entre elles se trouve une voiture, derri`ere chacune des deux autres, une ch`evre. Le candidat choisit l’une des portes. Le pr´esentateur, qui sait quelle porte se cache la voiture, ouvre alors l’une des deux autres portes, derri`ere laquelle se trouve une ch`evre. Il propose alors au candidat de changer de porte.
V
IND´
EPENDANCE
Soit (Ω, P) un espace probabilis´e fini.
V.1 D´EFINITION D´efinition.
Les ´ev`enements A et B sont dits ind´ependants si P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Remarque. Si A et B sont de probabilit´e non nulle alors :
P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ PA(B) = P(B) ⇔ PB(A) = P(A)
Deux ´ev`enements A et B sont ind´ependants pour la probabilit´e P si la probabilit´e de l’un des ´ev`enements est la mˆeme, que l’on sache oui ou non si l’autre s’est r´ealis´e.
Remarque. Attention `a ne pas confondre incompatibles et ind´ependants.
Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On consid`ere les ´ev´enements A « la carte tir´ee est un pique » et B « la carte tir´ee est une figure ». Montrons que les ´ev´enements A et B sont ind´ependants.
Si A et B sont ind´ependants si, et seulement si, les couples A et B, B et A, et enfin A et B le sont.
Propri´et´e.
V.2 IND´EPENDANCE MUTUELLE D´efinition.
Soient A1, . . . , An des ´ev´enements de l’espace probabilis´e (Ω, P). On dit que A1, . . . , An sont
mutuelle-ment ind´ependants (ou ind´ependants) si pour tout sous-ensemble non vide I de [[1, n]], on a :
P \ i∈I Ai ! =Y i∈I P(Ai).
Exemple. On lance deux d´es ´equilibr´es et on note : A : « Le premier d´e porte un r´esultat pair »,
B : « Le deuxi`eme d´e porte un r´esultat pair », C : « La somme des r´esultats est paire ».
Montrer que A, B et C sont ind´ependants 2 `a 2. Sont-ils mutuellement ind´ependants ?
Remarque. L’ind´ependance mutuelle assure l’ind´ependance 2 `a 2 mais la r´eciproque est fausse.
Soient A1, . . . , An des ´ev´enements mutuellement (resp. deux `a deux) ind´ependants. Pour i ∈ [[1, n]],
on note Bi = Ai ou Bi = Ai. Alors B1, . . . , Bnsont mutuellement (resp. deux `a deux) ind´ependants.
Propri´et´e.
Soit A1, . . . , An sont des ´ev´enements mutuellement ind´ependants et soit p ∈ [[1, n − 1]],
• A1∩ · · · ∩ Ap et Ap+1∩ · · · ∩ An sont ind´ependants.
• A1∪ · · · ∪ Ap et Ap+1∪ · · · ∪ An sont ind´ependants.
• A1∩ · · · ∩ Ap et Ap+1∪ · · · ∪ An sont ind´ependants.
• A1∪ · · · ∪ Ap et Ap+1∩ · · · ∩ An sont ind´ependants.
D´emonstration :
On montre par r´ecurrence sur p ∈ [[0, n]] la propri´et´e P(p) :
« si p des Bi sont Ai (et les autres Ai), B1, . . . , Bn sont mutuellement ind´ependants ».
Les ´ev´enements A1, . . . , An ´etant mutuellement ind´ependants, P(0) est vraie.
Soit p ∈ [[0, n − 1]] tel que P(p) est vraie.
On suppose que p + 1 des des Bi sont Ai (et les autres Ai). Quitte `a remplacer B1, . . . , Bn par la sous-famille
consid´er´ee, il faut montrer que P(B1∩ . . . Bn) = P(B1) × · · · × P(Bn). Quitte `a r´eordonner les Bi, on suppose
que Bi= Ai pour i ∈ [[1, n − p − 1]] et que Bi = Ai pour i ∈ [[n − p, n]]. On a :
P(A1∩ · · · ∩ An−p∩ An−p+1∩ · · · ∩ An) + P(A1∩ · · · ∩ An−p−1∩ An−p∩ An−p+1∩ · · · ∩ An)
= P(A1∩ · · · ∩ An−p−1∩ An−p+1∩ · · · ∩ An)
= P(A1) . . . P (An−p−1)P (An−p+1) . . . P (An)
par hypoth`ese de r´ecurrence. Ainsi
P (A1∩ · · · ∩ An−p−1∩ An−p∩ An−p+1∩ · · · ∩ An)
= [P (A1) . . . P (An−p−1)P (An−p+1) . . . P (An)] − [P (A1) . . . P (An−p)P (An−p+1) . . . P (An)]
= P (A1) . . . P (An−p−1)P (An−p+1) . . . P (An)[1 − P (An−p)]
= P (A1) . . . P (An−p−1)P (An−p)P (An−p+1) . . . P (An)
Ainsi, P(p + 1) est vraie.
En conclusion, pour tout p ∈ [[0, n]], P(p) est vraie. D´emonstration :
• On a, par d´efinition de l’ind´ependance :
P(A1∩ · · · ∩ An) = P(A1) . . . P(An) = P(A1∩ · · · ∩ Ap)P(Ap+1∩ · · · ∩ An).
• D’apr`es la proposition pr´ec´edente, A1, ..., An sont mutuellement ind´ependants.
Les ´ev´enements A = A1∩ · · · ∩ Ap et B = Ap+1∩ · · · ∩ An sont donc ind´ependants par le premier point.
De mˆeme A = A1∪ ...An et B = Ap+1∪ · · · ∪ An sont ind´ependants.
• D’apr`es la proposition pr´ec´edente A1, . . . , Ap, Ap+1, . . . , An sont mutuellement ind´ependants.
Les ´ev´enements A = A1∩ · · · ∩ Ap et B = Ap+1∩ · · · ∩ An sont donc ind´ependants par le premier point.
De mˆeme A et B = Ap+1∪ · · · ∪ An sont ind´ependants.