#3 Fonctions d'une variable aléatoire

(1)

3. Caract´

eristiques et fonctions d’une v.a.

MTH2302D

S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal

A2017

(2)

Plan

1. Caract´eristiques d’une distribution

2. Fonctions d’une variable al´eatoire

3. Distribution d’une fonction d’une variable al´eatoire

(3)

1. Caract´eristiques d’une distribution 2. Fonctions d’une variable al´eatoire

3. Distribution d’une fonction d’une variable al´eatoire 4. Esp´erance et variance de fonctions de v.a.

(4)

Esp´

erance math´

ematique

Soit X une variable aléatoire. L’espérance mathématique (ou moyenne) de X est

I µ = X

xi∈RX

xipX(xi) si X est discr`ete.

I µ = Z +∞

−∞

xfX(x)dx si X est continue.

(5)

Exemple 1

Une boˆıte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boˆıte. Soit X : le nombre de DVDs défectueux dans l’échantillon. Calculer l’espérance de la v.a. discrète X.

(6)

Exemple 2

L’erreur commise lors de la mesure du diamètre d’une pièce produite en série est approximée par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densité est

f (x) = ₃

4(1 − x

2₎ _{si − 1 < x < 1,}

0 sinon. Calculer l’esp´erance de la v.a. continue X.

(7)

Variance et ´

ecart-type

Soit X une variable al´eatoire. La variance de X est

I σ2 = X

xi∈RX

(xi− µ)2pX(xi) si X est discr`ete.

I σ2 = Z +∞

−∞

(x − µ)2fX(x)dx si X est continue.

L’´ecart-type de X est σ =√σ2_.

(8)

Variance (suite)

I V(X) = E[(X − E[X])2] = E[X2] − (E[X])2.

I Si X est discr`ete, V(X) = P xi∈RX (xi− µ)2pX(xi) = P xi∈RX x2_ipX(xi) ! − µ2_. I Si X est continue, V(X) = +∞ R −∞ (x − µ)2fX(x)dx = +∞ R −∞ x2fX(x)dx ! − µ2_.

(9)

Exemple 3

Montrer que dans l’exemple 1, σ2 = 0.36, et que dans l’exemple 2, σ2 = 0.2.

(10)

In´

egalit´

e de Bienaym´

e-Tchebychev

Th´eor`eme

Si E(X) = µ et V(X) = σ2, alors, pour tout a > 0, on a P (µ − aσ ≤ X ≤ µ + aσ) > 1 − 1/a2.

(11)

Moments d’ordre sup´

erieur

Soit X une variable al´eatoire et k ≥ 0 un entier.

1. Le ke moment de X par rapport `a l’origine est

I µ0k=

X

xi∈RX

xkipX(xi) si X est discr`ete.

I µ0_k= Z +∞

−∞

xkfX(x)dx si X est continue.

2. Le ke moment de X par rapport `a la moyenne µ est

I µk=

X

xi∈RX

(xi− µ)kpX(xi) si X est discr`ete.

I µk=

Z +∞

−∞

(12)

Moments d’ordre sup´

erieur (suite)

3. Moyenne : µ = µ0₁. 4. Variance : σ2 _{= µ} 2. 5. Relation entre µk et µ0k : µk= k X j=0 (−1)j k j µjµ0_k−j . Exemple 4

Utiliser ces relations pour montrer que σ2_{= µ}0 2− µ2.

(13)

Coefficients de forme

I Coefficient d’asym´etrie (skewness) :

I γ1= µ3/σ3.

I Si γ1> 0, la distribution est ´etal´ee vers la droite. Si γ1< 0,

c’est vers la gauche. Si la distribution est sym´etrique, alors γ1= 0. L’inverse n’est pas vrai.

I Coefficient d’aplatissement (kurtosis) :

(14)

M´

ediane

I La m´ediane de la v.a. X est une valeur ˜x telle que P (X ≤ ˜x) ≥ 1/2 et P (X ≥ ˜x) ≥ 1/2 ou bien

P (X ≤ ˜x) ≥ 1/2 et P (X < ˜x) ≤ 1/2.

I Utile si on a de grandes valeurs dans RX car cette valeur est

moins influenc´ee que la moyenne par les valeurs extrˆemes.

I On n’a pas forc´ement ˜x ∈ RX.

I Si X est discr`ete, alors ˜x peut ne pas ˆetre unique.

I Si X est continue, ˜x est unique et peut ˆetre trouv´ee avec P (X ≤ ˜x) = P (X ≥ ˜x) = 1/2.

I Dans le cas continu, la m´ediane est un cas particulier de la notion de quantile.

(15)

Les centiles (quantiles ou percentiles)

On considère une v.a. X continue et p un nombre réel avec 0 ≤ p ≤ 1. On appelle le 100p-ième quantile (ou quantile d’ordre p, ou centile, ou percentile) de X le nombre xp tel que

P (X ≤ xp) = p et P (X ≥ xp) = 1 − p.

I Le 50-i`eme centile est la m´ediane : ˜x = x0.5.

I Quartiles : Q1 = x0.25, Q2 = ˜x = x0.5, Q3 = x0.75.

I Ecart interquartile : IQR = Q´ 3− Q1. Mesure la dispersion de

la moiti´e de la distribution car P (Q1 ≤ X ≤ Q3) = 50%.

(16)

Autres caract´

eristiques

I Mode de X : c’est la (ou les) valeur x∗ telle que

pX(x∗) ≥ pX(x) pour tout x ∈ RX (cas discret). Dans le cas

continu, remplacer pX par fX.

(17)

(18)

´

Ev´

enements ´

equivalents

Soit X une variable al´eatoire et H une fonction. Alors Y = H(X) est une autre variable al´eatoire.

On calcule la probabilité d’un événement C de RY en considérant

l’événement équivalent B de RX :

B = {x ∈ RX|H(x) ∈ C} .

La probabilit´e est donn´ee par

(19)

Exemple 5

Le diam`etre d’un fil est une v.a. de densit´e

fX(x) =

200 si 1 ≤ x ≤ 1.005 , 0 sinon.

Quelle est la probabilité que l’aire de la section de ce fil soit inférieure à 1.01π/4 ?

(20)

(21)

Cas 1 : X et Y sont discr`

etes

Si X est une v.a. discrète et Y = H(X) est discrète, alors la fonction de masse de Y est donnée par

pY(y) = P (Y = y) =

X

{x∈RX|H(x)=y}

P (X = x).

Exemple 6

Soit X une v.a. dont la fonction de masse est donn´ee par la tableau suivant :

x -2 -1 0 1 2 pX(x) 1₈ 1₄ 1₈ 1₄ 1₄

(22)

Cas 2 : X est continue et Y est discr`

ete

Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est discr`ete alors la fonction de masse de Y est donn´ee par

pY(y) = P (Y = y) =

Z

{x∈RX|H(x)=y}

(23)

Exemple 7

Pour 1 kg d’un certain alliage la teneur en magn´esium est une v.a. X de densit´e fX(x) =    x 8 si 0 ≤ x ≤ 4 , 0 sinon.

Chaque kg de cet alliage génère une perte de 100$ si la teneur est inférieure à 2, aucun profit si la teneur est supérieure à 2 mais inférieure à 3, et un profit de 400$ si la teneur est supérieure à 3. On considère 1 kg de cet alliage.

D´eterminer la fonction de masse du profit Y et le profit moyen E(Y ).

(24)

Cas 3 : X et Y sont continues

Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est continue alors il y a deux fa¸cons de d´eterminer la fonction de densit´e de Y ,

d´ependamment de la fonction H.

Premi`ere fa¸con, qui s’applique toujours.

1. D´eterminer la fonction de r´epartition de Y : FY(y) = P (Y ≤ y) = P (H(X) ≤ y).

2. Obtenir la densit´e fy en d´erivant FY :

fY(y) =

d

(25)

Cas 3 : X et Y sont continues (suite)

Deuxième fa¸con, si H est strictement croissante ou décroissante. Dans ce cas, la densité de Y est donnée par

fY(y) = fX(x) dx dy

(26)

Cas 3 : X et Y sont continues (suite)

Exemple 8

Premi`ere fa¸con.

Un courant électrique d’intensité aléatoire X traverse un appareil de résistance constante r. La puissance obtenue est alors donnée par la v.a. Y = rX2 (loi d’Ohm).

Supposons que la fonction de densit´e de X soit fX(x) =

2xe−x2 si x ≥ 0 , 0 sinon. D´eterminer la fonction de densit´e de Y .

(27)

Cas 3 : X et Y sont continues (suite)

Exemple 9

Deuxi`eme fa¸con.

Soit X une v.a. de densit´e fX(x) =

e−x si x > 0 , 0 sinon et Y = 3X − 2.

(28)

(29)

D´

efinition

Soit X et Y = H(X) des v.a. L’esp´erance math´ematique de Y est

I E[H(X)] = X

xi∈RX

H(xi)pX(xi) si X est discr`ete.

I E[H(X)] = Z ∞

−∞

(30)

Cas particuliers

1. Si H(x) = x, alors E[H(X)] = µ (moyenne de X).

2. Si H(x) = (x − µ)2, alors E[H(X)] = σ2 (variance de X).

3. Si H(x) = (x − µ)k, alors E[H(X)] = µk (moments par

rapport `a la moyenne).

4. Si H(x) = xk, alors E[H(X)] = µ0_k (moments par rapport `a l’origine). 5. Si H(x) = 1A(x) = 1 si x ∈ A 0 sinon , alors E[H(X)] = P (X ∈ A).

(31)

Variance

Soit X une variable al´eatoire et Y = H(X). La variance de Y est V[H(X)] = Eh(H(X) − E[H(X)])2i

= Eh(H(X))2i− (E[H(X)])2.

Cas particulier important

Si H(x) = ax + b (H est lin´eaire) alors

I E(aX + b) = aE(X) + b.

(32)

Exemple 10

Soit X une variable al´eatoire de densit´e

fX(x) =    1 2 si − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 sinon.