Analyse épistémologique des influences d'un logiciel et des interventions du maître sur la compréhension de la droite et de son équation

ANALYSE ÉPISTÉMOLOGIQUE DES INFLUENCES D'UN LOGICIEL ET DES INTERVENTIONS DU MAITRE SUR LA COMPRÉHENSION

DE LA DROITE ET DE SON ÉQUATION

Thèse présentée

✓

à l'Ecole des gradués de l’Université Laval

pour l'obtention du grade de Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

Département de didactique

FACULTÉ DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

JUIN 1990

Afin d'étudier les rôles de l'élève, du maître et d'un logiciel dans le développement de la compréhension, on a procédé à une analyse de concepts géométrico-algébriques dans le cadre du modèle constructiviste élargi de compréhension élaboré par Bergeron et Herscovics (1988). Cette analyse a servi à élaborer des instruments pédagogiques et à sélectionner les moments où on peut utiliser le logiciel choisi en vue de développer et d'analyser la compréhension chez l'enfant qui apprend.

Cette recherche peut être considérée comme un apport aux connaissances existantes de plusieurs points de vue: on y a brossé un portrait assez détaillé des grandes théories d'apprentissage en mettant en lumière leur influence sur la didactique et sur la pédagogie, on y a fait une analyse conceptuelle de la notion de droite et de son équation, on y a montré que l'analyse épistémologique de concepts favorise grandement l'atteinte de la compréhension et, enfin, les conclusions devraient conduire à une utilisation prudente et intelligente de logiciels d'enseignement.

L'objet de cette recherche est l'analyse épistémologique des rôles respectifs que peuvent jouer l'élève, le maître et un logiciel de même que les interactions de ces trois composantes dans l'apprentissage.

En didactique des mathématiques, le problème de la compréhension et la question de l’utilisation de l'ordinateur sont intimement liés à la nature des mathématiques et aux conceptions de l’apprentissage. Aussi, notre approche est-elle centrée sur l'analyse de concepts mathématiques (la droite et son équation) à l'aide d'un modèle de compréhension, le modèle constructiviste élargi de Bergeron et Herscovics (1988). Cette analyse permet l'intégration des aspects épistémologiques à l'aspect plus spécifiquement mathématique.

Le processus méthodologique s'est articulé autour de trois axes: une évaluation préliminaire de compréhension, des activités d'apprentissage avec l'utilisation non systématique de l'ordinateur et une évaluation finale de compréhension. Pour les évaluations, on a utilisé la méthode des entrevues cliniques et pour les activités d'apprentissage, on a utilisé l'expérimentation didactique; notre recours aux deux méthodes, s'est appuyé sur l'analyse conceptuelle.

Cette analyse conceptuelle a montré que le modèle de compréhension était applicable à la droite et à son équation, notions du secondaire, alors qu'il était originalement conçu pour des notions du primaire.

Les analyses des entrevues ont montré:

- que des élèves, ayant longtemps baigné dans un enseignement formel et considérés comme n'ayant pas compris, avaient une compréhension physique des concepts concernés, qu'ils avaient des compréhensions instrumentales au sens de Skemp et qu'ils n'avaient pas atteint la compréhension logico-mathématique;

- qu'après des activités d'apprentissage basées sur le modèle, leurs compréhensions se sont développées;

- que les interventions du maître étaient souvent guidées par ce qu'il sait du fonctionnement du logiciel et des mathématiques;

que le fonctionnement du logiciel pouvait tout aussi bien créer des obstacles au développement de la compréhension que d'être un outil permettant à l'élève l’exploration et l'expérience;

que l'élève peut développer, à l'égard de la machine, une confiance presque totale; mais qu'il peut aussi s'en servir pour justifier une assertion.

Le professeur Jean J. Dionne pense, comme on s'accorde à le penser, que beaucoup de termes n'expriment pas toujours pour les autres ce qu'on veut qu'ils expriment; il y a trois termes de ce genre: remerciements, reconnaissance et gratitude. Que le professeur Jean, J. Dionne trouve, ici, plus profond que ce que ces termes peuvent exprimer: il a été pour moi le directeur de recherche aux conseils judicieux et à la finesse qui dépasse la virgule ou le point, ce qui a développé en moi le sens de la réflexion exigeante et l'autonomie de la pensée. Il a été l'ami et le support qui m'ont aidé à parvenir au bout du long trajet de ce travail.

Comment pourrais-je remercier ce chercheur solitaire qu'est le professeur Fernand Lemay ? Je lui exprime ici ma gratitude pour m'avoir fait vivre un peu de son érudition et pour les très fines critiques qui ont fait fructifier mes efforts.

Que dire au professeur Nicolas Herscovics de l'Université Concordia qui, en travaillant avec lui autour d'un café, un samedi après-midi, m'a appris ce que signifie "jouir de la recherche scientifique" sinon merci.

Mes vifs remerciements et ma profonde gratitude vont au professeur J.C. Bergeron de l'Université de Montréal pour avoir supporté mes mille inattentions et maladresses.

Que dire au professeur Christian Laville, du département de didactique qui, bien que spécialiste de l'histoire, m'a beaucoup éclairé dans mon travail à travers les longues discussions, jamais lassantes, et qui m'a fait remettre en question les frontières qu'on se plaît à mettre entre les didactiques, sinon merci.

Mes remerciements vont aussi à toutes les professeures, à tous les professeurs et à toutes les secrétaires du département de didactique avec qui j'ai beaucoup appris dans le cadre de cours ou lors de discussions à bâtons rompus.

A tous les québécois et à toutes les québécoises, j'adresse mes remerciements pour l'hospitalité qu'ils m'ont accordée dans leur beau pays et dans cette prestigieuse Université Laval, hospitalité qui m'a permis de tisser de solides amitiés et d'établir des liens indéfectibles avec le Québec.

Amine, Directeur de l'Enseignement Secondaire et Technique au Ministère de l'Education Nationale du Maroc car, sans ses encouragements et son aide, le rêve même d'entamer et de continuer cette recherche ne m'aurait pas effleuré. À travers lui, je remercie mon pays pour m'avoir offert l'opportunité de devenir chercheur.

Ma tendre pensée et ce qui est au-delà des termes amour et reconnaissance vont à mon épouse Khadija qui, bien que très préoccupée par son travail, a su me soutenir et surtout supporter les affres de mes fausses présences et de mes véritables absences.

Enfin, que mes filles Rim et Salma me pardonnent de les avoir parfois privées de ce qui leur appartient de moi-même et de l'avoir accordé à cette recherche.

Avant-propos... iv

Table des matières...vi

Liste des annexes... xxv

Introduction...1

PREMIERE

ET

1

Le problème général

2 Question générale...7

chapitre

2 Ordinateur et

1.1 Un mot sur l'ordinateur... 9

1.2 L'enseignement assisté par ordinateur... 9

1.3 Un regard critique... 10

2 Recherches sur l'ordinateur et l'enseignement-apprentissage...10

2.1 Recherches centrées sur le matériel... 11

2.1.1 Les origines. Machines de Pressey...11

2.1.2 Skinner: machines et lois d'apprentissage...12

2.1.3 L'approche de Crowder...12

2.1.4 Les approches de l'enseignement par ordinateur... 14

2.2 Recherche sur les effets de l'enseignement avec ordinateur... 16

2.2.1 De l'efficacité de l'enseignement avec ordinateur...16

2.2.1.1 Efficacité en fonction du rôle ou des modalités d'insertion ...16

2.2.1.2 Efficacité selon les caractéristiques des élèves...17

2.2.1.3 Efficacité par rapport aux contenus... 17

2.2.2 Durée du temps pour l'apprentissage, motivation des utilisateurs, degré d'acceptation de l'ordinateur... 18

2.3 Conclusions et remarques... 19

3 Recherches en enseignement des mathématiques avec ordinateur... 20

3.1 Recherches centrées sur le matériel... 20

3.1.1 Méthode générale...20

3.1.2 Quelques exceptions... 21

3.2 Recherches centrées sur les effets... 21

3.2.1 Efficacité... 21

3.2.2 Effet sur les attitudes... 23

3.3 Recherches au plan cognitif...23

3.3.1 Logo et la résolution de problème...23

3.3.2 Processus, stratégies et erreurs d'élèves...26

3.3.3 Nouvelles significations des concepts... 27

3.3.4 Recherches sur la compréhension... 28

3.4 Synthèse et critiques... 29

3.4.1 Modèle général de recherche...29

3.4.2 Synthèse des conclusions... 30

3.4.3 Critiques du point de vue méthodologique... 30

3.4.4 Critiques du point de vue du contenu de l’enseignement...32

3.4.5 Critiques du point de vue des concepts... 32

3.4.6 Critiques au plan de l'intégration des théories...33

3.4.7 Remarques spécifiques aux recherches sur le plan cognitif...33

CHAPITRE

Aborder

cognitif

1.1 Quelques remarques préliminaires... 35

1.2 Les théories behavioriste-empiristes...36

1.2.1 Description brève... 36

1.2.2 La pédagogie qui en découle...37

1.2.3 Critique des théories behavioristes...38

1.3 Les théories constructivistes... 42

1.3.1 Description... 42

1.3.1.1 La théorie biologique... 42

1.3.1.2 La théorie cognitive... 42

1.3.1.3 Les grandes caractéristiques du constructivisme...43

1.3.2 De la théorie à la pédagogie: un pas difficile... 44

1.3.3 La pédagogie qui en découle... 45

2 La compréhension...49

2.1 Concepts et schèmes conceptuels...49

2.3 Les modèles de compréhension...50

2.4 Le premier modèle constructiviste de Bergeron et Herscovics... 50

2.4.1 Modifications dans le modèle...51

2.4.2 Le modèle constructiviste élargi... 52

2.5 Le modèle didactique... 54

3 Conclusion à propos du cadre conceptuel... 55

CHAPITRE 4 Vers le problème de cette recherche 1 Le concept de droite...57

1.1 Importance de la droite dans l'enseignement...57

1.2 Etude de la droite au secondaire...58

1.2.1 Enseignement par problèmes...59

1.2.2 Enseignement par rapport et proportion...59

1.2.3 Enseignement par espace vectoriel... 59

1.2.4 Enseignement par pattern... 60

1.2.5 Enseignement par fonction et graphe...60

1.2.6 Remarques complémentaires... 61

1.3 Regard sur l’enseignement de la droite au Maroc... 61

1.3.1 Le point et la droite au primaire marocain...62

1.3.2 La droite au secondaire marocain... 64

1.3.3 Regard sur la formation des enseignants... 67

2 Rôle de l’ordinateur dans une perspective constructiviste...68

2.1 Exemples de logiciels interactifs... 70

2.1.1 Euclid (Kimberling, 1986)... 70

2.1.2 Congruences (Melczareck et Kantowski, 1986)... 70

2.1.3 Géométrie transformation (Shigalis, 1982)...70

2.1.4 Fonctions (Boileau, 1985)... 71

2.1.5 Picasso (Warisse et Patenaude, 1985)... 71

3 La thèse d’Herscovics (1979)...72

3.1 Les conclusions du travail d’Herscovics... 73

3.1.1 Conclusions de l’étape d’apprentissage...74

3.1.2 Conclusion au post-test... 76

DEUXIÈME PARTIE

PLAN EXPÉRIMENTAL ET PLANS D’ANALYSE

CHAPITRE 1 Plan expérimental

1 Notre approche...81

2 Les principaux moyens... 82

2.1 Les tests écrits...82

2.2 L'examen à questions ouvertes... 83

2.3 L'analyse des erreurs... 83

2.4 L'entrevue clinique... 83

2.5 L'entrevue "critique" ou "clinique revisée"...85

2.6 L'expérimentation didactique... 86

3 Des études de cas... 87

3.1 Evaluation de la compréhension... 88

3.1.1 Déroulement de l'entrevue...89

3.2 Activités avec l'ordinateur... 91

Chapitre 2 Plans d'analyse 1 Plan d'analyse des évaluations de la compréhension... 94

2 Plan d'analyse de l'expérimentation didactique...96

TROISIÈME PARTIE ANALYSE CONCEPTUELLE, INSTRUMENT ET EXPÉRIMENTATION CHAPITRE 1 Analyse conceptuelle et instruments 1 Analyse de la droite... 99

1.2 Description de la compréhension du point... 100

1.2.1 Compréhension du point physique... 100

1.2.1.1 Intuition du point géométrique... 100

1.2.1.2 Compréhension procédurale du point géométrique...101

1.2.1.3 Abstraction logico-physique du point... 101

1.2.2 Compréhension du point mathématique... 101

1.2.2.1 Niveau procédural... 101

1.2.2.2 Abstraction logico-mathématique du point... 102

1.2.2.3 Formalisation du point...103

1.3 Description de la compréhension de la pente...103

1.3.1 Compréhension de l'inclinaison... 104

1.3.3.1 Intuition de l'inclinaison... 104

1.3.3.2 Compréhension procédurale de l'inclinaison... 104

1.3.3.3 Abstraction logico-physique de l'inclinaison... 104

1.3.2 Compréhension de la pente...104

1.3.2.1 Compréhension procédurale de la pente...104

1.3.2.2 Abstraction logico-mathématique de la pente... 105

1.3.2.3 Formalisation de la pente...105

1.4 Description de la compréhension de la droite...105

1.4.1 Compréhension de la droite physique...106

1.4.1.1 intuition de la droite géométrique ou physique... 106

1.4.1.2 Compréhension procédurale de la droite physique... 106

1.4.1.3 Abstraction logico-physique de la droite... 107

1.4.2 Compréhension du concept mathématique de droite... 107

1.4.2.1 Niveau procédural logico-mathématique... 107

1.4.2.2 Abstraction logico-mathématique de la droite...108

1.4.2.3 Formalisation... 108

1.5 Conclusion...109

2 Description et critères des instruments pédagogiques...110

2.1 Choix des contenus... 111

2.2 Instrument d'évaluation...112

2.3 Guide pédagogique... 114

2.4 Description du logiciel choisi... 115

CHAPITRE

Déroulement

1.1 Pourquoi expérimenter au Maroc?...119

1.2 Choix de l'établissement et des sujets... .119

1.4 Déroulement des entrevues... 120

1.5 Remarques sur les activités avec ordinateur... 121

QUATRIÈME PARTIE

ANALYSE

ENTREVUES

Le

sujet

1.1 Le concept point... 124

1.1.1 Le point géométrique...124

1.1.2 Repérage d'un point sur une droite graduée... 125

1.1.3 Repérage d'un point dans un repère cartésien... 126

1.1.4 Variation d’échelle et point...126

1.1.5 Correspondance couple de réels-points...127

1.2 Compréhension du point chez Hamid... 127

1.3 Notion de pente...128

1.3.1 Inclinaison... 128

1.3.2 La pente... 128

1.4 Compréhension de la pente chez Hamid...129

1.5 La droite... 130

1.5.1 Eléments de géométrie de la droite...130

1.5.2 Variation de l'échelle et droite... 131

1.5.3 Recouvrir la droite de point... 132

1.5.4 Caractéristiques d'une droite à partir de son équation... 132

1.5.5 Graphes d'équations...134

1.5.6 Génération d'équation...135

1.5.7 Correspondance entre les solutions d’équation et les points de la droite... 136

1.5.8 Forme de l'équation... 137

1.5.9 Transformation d'équation...137

1.6 Compréhension de la droite chez Hamid...139

2 Expérimentation didactique...139

2.1 Rencontre 1... 139

RI SI "Pointe", point algébrique, distance aux axes... 140

R1S1S S1 Déplacement du point et coordonnées...141

R1S1SS2 Une vérification... 141

RI S ISS3 Signification de l'abscisse... 141

R1S 3 Vanation d'échelle et point... 143

R1S3SS1 vérification la variation de l'échelle... 145

R1S3SS2 "Axes" et notation de l'échelle... 145

R1S3SS3 variation d'échelle et point...147

R1S3SS4 relation de variation d'échelle...148

2.2 Rencontre 2...151

R2S1 Mesure de l'inclinaison dans un escalier...151

R2SISS 1 Utilisation de l'intuition de pente: escalier... 152

R2S1SS2 Caractérisation d'un escalier à l'aide de deux nombres ... 153

R2S1SS3 Comparaison de deux escaliers avec deux nombres...154

R2S1S S 4 Mesure de la pente avec un seul nombre... 155

R2S1SS5 Comparaison d'escaliers à l'aide d'un nombre... 158

R2SISS6 Mesure de l'inclinaison d'une droite... 160

R2S1SS7 Vers la pente négative... 161

R2S2 La pente dans un repère... 164

R2S2SS1 Vérification de l'acquisition de la procédure...165

R2S2SS2 Procédure de mesure avec les coordonnées...166

R2S2SS3 Vérification et calcul direct...167

2.2 Rencontre 2...169

R2S1 Mesure de l'inclinaison dans un escalier...169

R2S1SS1 Utilisation de l'intuition de pente: escalier... 169

R2S1SS2 Caractérisation d'un escalier à l'aide de deux nombres ... 169

R2S1SS3 Comparaison de deux escaliers avec deux nombres...169

R2S1SS4 Mesure de la pente avec un seul nombre... 169

R2S1SS5 Comparaison d'escaliers à l'aide d'un nombre... 169

R2S1SS7 Vers la pente négative... 169

R2S2 La pente dans un repère... 169

R2S2SS1 Vérification de l'acquisition de la procédure...169

R2S2SS2 Procédure de mesure avec les coordonnées...169

R2S2SS3 Vérification et calcul direct...169

2.3 Rencontre 3...169

R3S1 Pattern liant les coordonnées d'un point d'une droite... 169

R3 S1S S1 Approche du pattern numériquement... 170

R3S1SS2 Le pattern formellement... 171

R3S2 Retour sur la variation d'échelle...172

R3S3 Formalisation de la notion de pente...174

R3S3SS1 Vérification de la procédure chez le sujet... 174

R3S3SS2 Pente formelle...174

R3S4 Renversement didactique...175

R3S4SS1 Tracé de droite ayant une donnée pente donnée (feuille) ...175

R3S4SS2 Tracé de droite ayant une pente donnée (ordinateur)...176

R3S5 Pente négative... 177

R3S5SS1 Vérification du tracé de la droite avec la pente... 178

R3S5SS2 Droites de plus en plus inclinées... 178

R3S5SS3 Émergence de la pente négative...179

R3S5SS4 Petite vérification...180

R3S6 Lien parallélisme-pente... 181

R3S6SS2 La pente et une famille de parallèles... 182

R3S6SS3 La pente et le coefficient directeur... 182

2.4. Rencontre 4... 183

R4S1 Variation d'échelle et droite... 184

R4S1S S1 Rappel et vérification...184

R4S1SS2 Position du problème...185

R4S1SS3 Expérience de changement d’échelle... 186

R4S2 Détermination de droite à l'aide de la pente...187

R4S2SS1 Connaissance du problème: pente insuffisante... 188

R4S2SS2 Résolution du problème: pente et un point... 189

R4S2SS3 Tracé de droite à l'aide de la pente et d'un point... 189

R4S3 Equation de la droite à l’aide de la pente... 190

R4S3SS1 Expression de la pente: équation de droite...191

R4S3SS2 Pente et ordonnée à l'origine dans l’équation...193

R4S3SS3 Des équations, généralisation des formes... 194

R4S3SS4 Des tracés de droites à l'écran avec l’équation...194

R4S3SS5 Reconnaissance de l'ordonnée à l’origine et de la pente 195 R4S3SS6 Opinion du sujet sur le travail fait... 197

2.5. Rencontre 5... 198

R5S1 Séries de vérifications...198

R5S2 Couples solutions de l'équation et points de la droite... 199

R5S2SS1 Connaissance du problème... 200

R5S2SS2 Une procédure: remplacer...201

R5S2SS3 Exprimer et généraliser la procédure...202

R5S3 Génération d'équation à partir de deux points... 203

R5 S 3 S S1 Procédure de génération...203

R5S3SS2 Vérification de la procédure... 205

R5S3SS3 Vérification de la compréhension de l'ordonnée à l'origine... 205

R5S4 Des équations de droites particulières... 206

R5S4SS1 Equation de droite passant par l'origine... 206

R5S4SS2 Autre forme d'équation de droite passant par l'origine 207 R5S4SS3 Des points de l'équation d'une horizontale... 208

R5S4SS4 Génération de l'équation d'une horizontale...209

2.6 Rencontre 6...210

R6S1 Une autre droite particulière...211

R6S1SS1 Equation de la verticale... 212

R6S1SS2 Graphe de l'équation x=b... 213

R6S1SS3 Pente de la verticale... 214

R6S1SS4 Une généralisation des équations de droite...216

R6S2 Variation d'échelle et équation de droite... 219

R6S2SS1 Position du problème... 219

R6S2SS2 Variation d'échelle et pente...221

R6S2SS3 Conscience de quelques difficultés...222

R6S2SS4 L'équation dans une nouvelle échelle... 224

R6S2SS5 Réversibilité de l'opération... 226

R6S3 Graphe d'équation sur papier... 228

R6S4 Équations non-linéaires... 229

R6S4SS2 Le tracé de y=x2...231

R6S4SS3 Le cas de y^=x... 232

3 Evaluation finale...232

3.1 Le concept de point...232

3.2 Compréhension de notion de pente... 233

3.3 Le concept de droite... 233

3.3.1 Eléments de géométrie de la droite...233

3.3.2 Variation d'échelle et droite,... et équation...234

3.3.4 Recouvrir la droite de points... 234

3.3.5 Caractéristiques d'une droite partant de son équation... 235

3.3.6 Graphe d'équation... 235

3.3.7 Génération d'équation... 236

3.3.8 Correspondance entre les solutions d'équation et les points de la droite...236

3.3.9 Forme de l'équation...237

3.3.10 Transformation d'équations... 237

3.4 Nouvelle compréhension de la droite chez Hamid...237

CHAPITRE 2

sujet

Brahim

1.1 Le concept de point... 239

1.1.1 Éléments de géométrie du point... 239

1.1.2 Repérage d'un point sur une autre droite, droite graduée...239

1.1.3 Repérage d'un point dans un repère cartésien...240

1.1.4 Variation d'échelle et point... 240

1.1.5 Correspondance couple-point...241

1.2 Compréhension du point chez Brahim... 242

1.3 Pente...242

1.4 Le concept de droite...243

1.4.1 Éléments de géométrie de la droite...243

1.4.2 Variation d'échelle et droite... 243

1.4.3 Recouvrir une droite de points...243

1.4.4 Caractéristique d'une droite partant de son équation... 244

1.4.5 Graphes d'équation...245

1.4.6 Génération d'équations... 246

1.4.7 Correspondance solutions d'équation-points de la droite...246

1.4.8 Formes de l'équation...248

1.4.9 Transformation d'équation... 249

2 Expérimentation didactique... 251

2.1 Rencontre 1... 251

RI S1 Droite graduée...251

R1S1S S1 Droite graduée et repère... 252

R1S1SS2 Repérer un point sur une droite graduée... 253

R1S1SS3 La distance formelle...254

R1S1SS4 Distance et valeur absolue...255

R1S2 Initiation au logiciel Picasso 1 et signification des coordonnées... 256

R1S2SS1 Quelques aspects techniques... 257

R1S2SS2 L’abscisse... 257

R1S2SS3 Distance et abscisse positives... 258

R1S2SS4 Distance et abscisse... 259

R1S2SS5 Signification des coordonnées d'un point... 259

RI S3 Variation d'échelle et point... 260

R1S 3 S S1 Encore de la technique...261

R1S3SS2 Variation d'échelle et point (visuellement)... 262

R1S3SS3 Variation d'échelle et coordonnées...263

R1S3SS4 Vérification... 263

2.2 Rencontre 2... 266

R2S1 Pattern entre les coordonnées d'un point de la droite...266

R2S1 SS 1 Le pattern numérique: une perception... 267

R2S1SS2 Vers la formalisation du pattern... 269

R2S2 Une utilisation de la variation d'échelle... 271

R2S2SS1 Voir le point (100... 271

R2S2SS2 Solution... 273

R2S3 Pente de la droite... 274

R2S3SS1 Montagnes, escaliers: caractérisation... 275

R2S3SS2 Vers une mesure de l'inclinaison d'escalier... 276

R2S3SS3 Procédure de calcul de la mesure de l'inclinaison... 277

R2S3SS4 Vérification de la procédure... 278

R2S2SS5 Escalier et droite...279

R2S3SS6 Formalisation de la pente... 280

2.3 Rencontre 3... 281

R3S1 Variation d'échelle et droite... 281

R3S1 SS 1 Tracé d’une droite hors de l’écran... 282

R3S1SS2 Effet de la variation d'échelle sur la droite... 283

R3S2 Équation de la droite... 285

R3S2SS1 Vérification du calcul de pente...286

R3S2SS2 Recherche de l'équation: un premier essai... 287

R3S2SS3 Équation de la droite...289

R3S3 Solutions d'équation et points de la droite...291

R3S3SS1 Coordonnées d'un point de la droite avec "Pointe"...292

R3S3SS2 Une stratégie de vérification avec l'équation...293

R3S3SS3 Deux autres essais...294

R3S3SS4 Coordonnées d'un point de la droite avec l'équation... 295

R3S3SS5 Transformation d'une équation... 296

R3S4 Ordonnée à l'origine... 297

R3S4SS1 Point de la droite d'abscisse 0... 298

R3S4SS2 Des points de l'axe des ordonnées...299

2.4 Rencontre 4...301

R4S1 Génération d'équation... 302

R4S1SS1 Vérification de l’acquis... 302

R4S1SS2 Génération d'équation de la forme y=mx+b... 303

R4S2 Équation de droite passant par l'origine... 305

R4S2SS1 Un premier essai... 305

R4S2SS2 Un deuxième essai... 306

R4S2SS3 Droite passant par l'origine...307

R4S2SS4 Équation de droite passant par l'origine... 308

R4S2SS5 Formes générales...309

R4S2SS6 Une autre forme générale...310

R4S3 Droites parallèles aux axes... 311

R4S 3 S S1 Droites parallèles à l'axe des ordonnées... 312

R4S3SS2 Droite parallèle à l'axe des abscisses...313

R4S4 Des généralisations et des vérifications...314

2.5 Rencontre 5... 315

R5 S1 Caractérisation de droite: pente et point...316

R5S1SS1 Une vérification de l'équation...316

R5S1SS2 Insuffisance de la pente... 317

R5S1SS3 Retour sur l'ordonnée à l'origine...319

R5S2 Retour sur certains concepts...321

R5S2SS1 Pente et parallèles... 321

R5S2SS2 Retour sur la caractérisation d'une droite... 322

R5S2SS3 Équation à partir de la caractérisation... 323

R5S2SS4 Transformation d'équation...324

R5S2SS5 Vérification de l'ordonnée à l'origine... 324

R5S2SS6 Retour sur la droite passant par l'origine... 325

2.6 Rencontre 6...328

R6S1 Retour sur la parallèle à l'axe des abscisses... 328

R6S1 SS 1 Une parallèle à l'axe des x, y=0... 329

R6S1SS2 Une autre droite parallèle à l'axe des x, y=2... 330

R6S1SS3 Généralisation...330

R6S2 Equations linéaires générales... 332

R6S3 Des vérifications... 333

R6S3SS1 Une caractérisation de la droite...334

R6S3SS2 Une autre caractérisation de la droite...335

R6S3SS3 Lien équation-points de la droite...336

R6S4 Graphe d'équation avec papier-crayon... 337

R6S5 Signification du graphe... 339

R6S5SS1 Equation non-linéaire... 340

R6S5SS2 Equation linéaire... 340

3 Évaluation finale...342

3.1 Le concept de point... 342

3.1.1 Éléments de géométrie du point...342

3.1.2 Repérage d'un point...342

3.1.3 Variation d'échelle et point... 343

3.2 Compréhension du concept de point chez Brahim... 343

3.3 Le concept de pente...344

3.4 Le concept de droite... 345

3.4.1 Éléments de géométrie de la droite... 345

3.4.2 Variation d’échelle et équation... 346

3.4.3 Recouvrir la droite de points... 346

3.4.4 Caractéristique d'une droite partant de son équation...347

3.4.5 Graphes d'équation...348

3.4.6 Génération d'équations...348

3.4.7 Correspondance solutions d'équations-points de la droite...349

3.4.8 Formes de l'équation... 349

3.4.9 Transformation d'équations...350

3.5 Nouvelle compréhension du concept de droite chez Brahim... 351

CHAPITRE 3 Le sujet Ahmed 1 Évaluation préliminaire... 353

1.1 Le concept de point... 353

1.1.1 Éléments de géométrie du point...353

1.1.2 Repérage d'un point sur une droite graduée...354

1.1.3 Repérage d'un point dans un repère cartésien...354

1.1.4 Variation d'échelle et point... 355

1.1.5 Correspondance couples-points... 355

1.2 Compréhension du point chez le sujet Ahmed...355

1.3 Pente...356

1.4 Le concept de droite... 356

1.4.1 Éléments de géométrie de la droite... 356

1.4.2 Variation d'échelle et droite...357

1.4.3 Recouvrir la droite de points... 357

1.4.4 Caractéristiques d’une droite partant de son équation...358

1.4.5 Graphe d'équation... 358

1.4.6 Génération d'équation...359

1.4.7 Correspondance solution d'équation-poims de la droite...359

1.4.8 Forme d'équations...360

1.4.9 Transformations d’équations... 361

1.5 Compréhension de la droite chez le sujet Ahmed... 362

2 Expérimentation didactique...362

2.1 Rencontre 1...363

R1S1 Droite graduée...363

R1S1SS1 Une première idée... 364

RI S2 Les points et les réels... 366

R1S2SS1 Repérer un point sur une droite... 367

R1S2SS2 Le segment comme ensemble de points... 368

RIS2SS3 Lien réels-points de la droite... 369

RI S3 Les points et les couples de réels... 370

R1S3SS1 Représenter un point à l'écran...371

R1S3SS2 Lien entre les couples de réels et les points de la droite 371 R1S4 Droite et direction...372

R1S4SS1 Reconnaissance de la droite... 373

R1S4SS2 Direction...374

R1S4SS3 Sens...374

R1S4SS4 Direction et droites parallèles... 376

2.2 Rencontre 2... 378

R2S1 Variation d'échelle... 378

R2SISS 1 Variation d'échelle et point...379

R2S1SS2 Variation d'échelle et coordonnées...380

R2S1SS3 Relation de changement d’échelle...381

R2S1SS4 Généralisation de la relation de changement d'échelle...382

R2S2 Mesure de l'inclinaison... 383

R2S2SS1 Inclinaison et montagne... 383

R2S2SS2 Inclinaison et escalier...384

R2S2SS3 Comparaison de marches d'escaliers... 385

R2S2SS4 Vers la mesure de l'inclinaison... 386

R2S2SS5 Comparaison et mesure... 386

R2S3 La pente dans un repère cartésien... 388

R2S3SS1 Premier essai... 388

R2S3SS2 Coordonnées des points et pente... 390

R2S3SS3 Distance et pente...390

R2S3SS4 Pente comme rapport... 391

R2S3SS5 La pente formelle... 392

2.3 Rencontre 3... 393

R3S1 Équation de droite...394

R3S1 SS 1 Comparaison de deux inclinaisons... 394

R3S1SS2 Un intermède: point et équation...395

R3S1SS3 Pente comme coefficient directeur... 396

R3S2 Variation d'échelle et coordonnées...397

R3S3 pattern des coordonnées d'un point de la droite... 398

R3S3SS1 Des points de la droite avec "Pointe"... 399

R3 S 3 S S 2 Appartenance de points à la droite... 400

R3S3SS3 le cas du point (0...401 R3S3SS4 Le pattern... 401 R3S3SS5 Le pattern formel... 402 R3S4 Lien pente-inclinaison-équation... 403 R3S4SS1 Un premier essai...404 R3S4SS2 Un deuxième essai...405

R3S4SS3 Vérification de la pente: distance... 406

R3S4SS4 Vérification de la pente avec les coordonnées...407

2.4 Rencontre 4...409

R4S1 Une caractérisation de la droite...409

R4S ISS2 Caractériser une droite par la pente et un point... 411

R4S2 Génération d'équation... 413

R4S2SS1 Générer une équation à l'aide de la pente et de l'ordonnée à l'origine... 413

R4S2SS2 Générer une équation à l'aide deux points... 414

R4S2SS3 Vérification sur machine...415

R4S3 Des équations de droite... 416

R4S3SS1 Droites parallèles à l'axe des abscisses...416

R4S3SS2 Axe des abscisses... 417Z R4S3SS3 Equation de l’horizontale et de la verticale... 419

R4S3SS4 Équations non-linéaires...420

3 Évaluation finale...421

3.1 Le concept de point...421

3.1.1 Élément de géométrie du point...421

3.1.2 Repérage d'un point sur une droite graduée...421

3.1.3 Repérage d'un point dans un repère cartésien...421

3.1.4 Variation d'échelle et point... 422

3.1.5 Correspondance couples-points...422

3.2 Nouvelle compréhension du point chez le sujet Ahmed... 422

3.3 Pente...423

3.4 Le concept de droite... 424

3.4.1 Éléments de géométrie de la droite...424

3.4.2 Variation d'échelle et droite...425

3.4.3 Recouvrir la droite de points...425

3.4.4 Caractéristiques d'une droite partant de son équation... 425

3.4.5 Graphe d'équation...426

3.4.6 Génération d'équations... 427

3.4.7 Correspondance solutions d'équation et points de la droite... 428

3.4.8 Formes d'équations...428

3.4.9 Transformation d'équation... 429

3.5 Nouvelle compréhension de la droite chez Ahmed... 429

CONCLUSIONS

DE LA THÈSE

2 Rappel de la méthode et des instruments... 433

3 Conclusions relatives à nos objectifs... 434

3.1 Compréhension de la droite et de son équation... 434

3.2 Compréhension initiale des trois sujets... 435

3.2.1 Compréhension des concepts au palier logico-physique... 435

3.3 Conclusions de l'expérimentation didactique (les interactions)... 436

3.3.1 Interactions intervenant-enfant...436

3.3.2 Interactions élève-ordinateur...438

3.3.3 Interactions intervenant-ordinateur... 441

3.3.4 Remarques sur Picasso 1... 442

3.4 Retour sur le modèle de compréhension... 444

3.5 Des idées pédagogiques... 446

3.5.1 Quelques généralités... 446

3.5.2 Des idées spécifiques à certains concepts...447

3.6 Compréhension finale manifestée par trois sujets... 450

4 Remarques annexes... 452

5 Limites de notre recherche... 453

6 Implications pédagogiques...455

6.1 Le modèle de compréhension... 455

6.2 L'analyse conceptuelle...457

7 Quelques pistes de recherche... 458

LISTE DES ANNEXES

ANNEXE 1... 479 ANNEXE II... 488 ANNEXE III... 505 ANNEXE IV... 513

Si "la didactique scientifique se donne pour tâche de déduire de la connaissance psychologique des processus de formation intellectuelle les mesures les plus aptes à les provoquer" (Aebli, 1963), et si à cette didactique il incombe de définir tant "comment l’enfant connaît" que "comment il apprend" et d'étudier les conditions les plus favorables aux processus de construction ou de reconstruction des schèmes conceptuels, notre travail se veut une contribution dans le cadre de cette didactique. Plus particulièrement, notre recherche se veut une contribution à la didactique des mathématiques, didactique qui est affectée par quatre problèmes principaux et fondamentaux puisqu'ils sont parvenus jusqu'à nous: l'insistance souvent vive et prématurée sur le symbolisme mathématique, l’influence trop grande du formalisme, la présence envahissante des théories behavioristes de l'apprentissage et la centration d’un grand nombre d'enseignants et d'enseignantes sur les réponses de leurs élèves (Dionne, 1988).

Ces quatre problèmes en posent un de taille, celui de la compréhension, problème aussi vieux que l'enseignement lui-même et qui, sans doute, ne trouvera jamais de solution globale. Il constitue pour nous une première préoccupation.

Sur un autre plan, on assiste à une intégration massive de technologies nouvelles, l'ordinateur notamment, dans l'enseignement et particulièrement dans l'enseignement des mathématiques. On comprend qu'on puisse se poser des questions quant à l'utilisation de l'ordinateur dans l'enseignement et l'apprentissage, étant donné qu'il peut être appelé à jouer un rôle et que celui-ci peut être à appréhender surtout lorsqu'on en examine certaines utilisations actuelles. Ce qui constitue pour nous une deuxième préoccupation.

L'idée directrice de notre travail est de lier ces deux préoccupations professionnelles, bien qu’elles paraissent disparates, la compréhension en tant que concept clef de l'apprentissage et but avoué ou non, conscient ou non de tout enseignant et enseignante et l'ordinateur en tant qu'outil pouvant permettre, par certains côtés, l'atteinte de cette compréhension par les élèves qui l'utiliseraient ou alors pouvant se révéler une source de blocages à cette compréhension.

Cette recherche vise plus particulièrement l’étude des rôles respectifs de l'élève, du maître et d'un logiciel de même que l'étude des interactions de ces trois éléments dans l'apprentissage. Le but poursuivi est de scruter les interventions les plus pertinentes et fructueuses au plan du développement de la compréhension chez l'enfant et d'identifier aussi celles qui s'avèrent stériles ou, pire, qui peuvent constituer des obstacles au progrès de ses connaissances.

Quatre chapitres constituent la première partie de cette étude. Dans le premier chapitre, nous décrirons le vécu d'où nous avons tiré les éléments de notre problème pour, ensuite, exposer notre question de recherche. Dans le deuxième chapitre, nous examinerons d’abord les recherches sur l'ordinateur en lien avec l'enseignement en général pour ensuite nous attaquer à l'examen des recherches sur l'ordinateur lié à l'enseignement des mathématiques en particulier avec un regard que nous voulons critique. Dans le troisième chapitre de cette première partie, nous exposons les théories d'apprentissage les plus dominantes, les théories behavioristes et les théories constructivistes. C'est dans le cadre de la perspective constructiviste que nous décrirons le concept clef de notre travail a savoir, la compréhension de concepts mathématiques, celle-ci sera décrite à l'aide du modèle constructiviste élargi de Bergeron et Herscovics (1988).

Dans le quatrième chapitre qui termine cette première partie, nous expliquerons notre choix de la droite et de son équation en tant que concept géométrico-algébrique qui se prête bien à l'analyse conceptuelle à l'aide du modèle de compréhension choisi. Cela va nous conduire à décrire les différentes pratiques courantes d'enseignement de ces concepts au secondaire en général et au secondaire marocain en particulier. Tout ceci nous amènera à préciser nos objectifs de recherche, objectifs qui viendront, à leur tour, préciser notre question générale.

Comment atteindre nos objectifs? C'est ce qui fera l'objet de la deuxième partie où, dans un premier chapitre, nous décrirons notre méthode de recherche. Notre processus méthodologique va s'articuler autour de trois axes: une évaluation préliminaire de compréhension d'élève, des activités d'apprentissage ou l'ordinateur est présent et dont l'utilisation ne sera pas systématique et une évaluation finale de la compréhension d’élèves. Parce que nous voulons analyser la compréhension au sens constructiviste, il nous fallait une méthode et des instruments qui puissent permettre d’aller sonder en profondeur la pensée de l’enfant. Ainsi, nous avons opté pour l'entrevue clinique dans l'évaluation de la compréhension et pour l'expérimentation didactique dans les activités d’apprentissage à l’aide

de l'ordinateur. Nous décrirons ensuite comment s'est fait le choix des sujets d'expérimentation, trois élèves de quatrième année secondaire marocaine considérés comme n'ayant pas compris les notions de droite et de son équation. Dans un deuxième chapitre, nous exposerons les deux plans d'analyse, celui des évaluations de la compréhension et celui de l'expérimentation didactique,

Un des objectifs de notre recherche est l'analyse conceptuelle de la droite et de son équation à l'aide du modèle de compréhension constructiviste élargi. Non seulement cette analyse est un objectif de recherche, mais c'est aussi un moyen qui va permettre d’élaborer l'instrument d'évaluation de la compréhension d’élèves et de fabriquer le guide pédagogique des activités d’apprentissage où l’ordinateur est présent. C'est ce qui fera l'objet du premier chapitre de la troisième partie où on trouvera aussi la description détaillée de nos instruments pédagogiques. Le vécu de l'expérimentation au Maroc fera l'objet du deuxième chapitre de cette partie.

Les analyses de toutes les entrevues avec les trois sujets d'expérimentation couvriront la quatrième partie, analyses très détaillées et par là cette partie s'en trouve très longue. Nous avons consacré, à chacun des sujets, un chapitre. Ces analyses se caractérisent par deux éléments:

1- elles ne sont que qualitatives, nous avons délibérément évité d'intégrer dans notre travail les aspects quantitatifs et ceci, compte tenu de la nature du concept clef de notre recherche -la compréhension- et de sa description dans le contexte constructiviste.

2- les conclusions sont appuyées sur la convergence de deux interprétations, la notre et celle d'un autre chercheur, puisque nous sommes nous-mêmes l'intervenant auprès des sujets d'expérience impliqués dans les activités d'apprentissage.

Enfin, la conclusion viendra clore cette étude. Nous y résumerons l'essentiel de la problématique, nous y rappelerons les objectifs de recherche et la façon dont ces objectifs sont poursuivis. Nous présenterons ensuite l'ensemble des conclusions expérimentales avec une critique des outils et de la méthode. Cette conclusion se terminera par les implications pédagogiques de cette étude et par quelques pistes de recherche future.

Le problème abordé dans cette thèse est issu de deux préoccupations à priori disparates, l'une touchant l'introduction de technologies nouvelles et prometteuses dans l'enseignement et l'autre s'arrêtant à un problème aussi vieux que l'enseignement lui- même, celui de la compréhension. Sans doute ce dernier ne trouvera-il jamais de solution globale mais peut être réussira-t-on à faire émerger certains espoirs - et certaines solutions ponctuelles - d'une utilisation intelligente de ces technologies nouvelles. C'est là notre vœu au départ de ce travail.

Le ministère de l'éducation nationale marocain a entrepris d'introduire l'informatique dans l'enseignement. Deux utilisations guident cette entreprise: l'informatique en tant qu'objet d'enseignement et l'informatique en tant que moyen d'enseignement. Si le premier volet est guidé par le souci d’être à jour en ce qui concerne la technologie et de ne pas être en retard d'une "révolution", le second volet viserait, lui, à résoudre des problèmes d'ordre pédagogique. Mais l'introduction de l’informatique et en particulier du micro-ordinateur au Maroc a suscité et suscite quelques commentaires et quelques réticences, que nous allons décrire dans ce qui suit.

1

vécu

Pendant les années soixante-dix, nous avons assisté au Maroc, dans le cadre des innovations du matériel didactique, à une entrée massive des moyens audio-visuels (magnétoscope, épiscope, etc...) dans les établissements scolaires et dans ceux de la formation des cadres de l'enseignement. Des notes ministérielles voulaient que les enseignants les utilisent dans toutes les disciplines. Si ces moyens ont trouvé une certaine utilisation, en sciences naturelles par exemple, utilisation à caractère surtout d'illustration, elles n’ont trouvé que très peu d’emploi, sans efficacité d'ailleurs, dans d'autres disciplines, en particulier les mathématiques. Ce qui a fait conclure à l'échec de ces moyens. Certains critiques sont allés jusqu’à parler de "la mode de l'audio-visuel" (au plan commercial) et déplorer que dans un pays comme le Maroc, les fabriquants ne cherchent qu'à vendre leur matériel et à expérimenter leur méthodes. Nous ne partageons pas cet avis, car nous pensons que s'il y a eu "échec" de ces moyens, c'est parce qu'on n'a pas suffisamment cherché à les adapter et à les utiliser comme aide à résoudre des problèmes pédagogiques ou comme soutien à une pédagogie issue d’un cadre théorique précis de

l'apprentissage, mais aussi parce que, dans plusieurs pays (Maroc, France, Canada ...), il y a eu peu de réflexions sur certains facteurs qui auraient pu transformer le "soi-disant échec" en réussite, notamment des facteurs comme:

-l'acceptation par l’enseignant; -la formation de l'enseignant; -l'insertion dans la pédagogie; -l’efficacité pour l'apprentissage.

Avec l'introduction, prudente il est vrai , du micro-ordinateur dans l'enseignement au Maroc, on parle aussi de "la mode de l’ordinateur" et certains esprits sceptiques associent cette "mode" à celle de l'audio-visuel dont ils ont vécu "l'échec". Ils prophétisent que l'utilisation du micro-ordinateur sera aussi un échec. Nous ne partageons pas non plus cette prophétie car nous pensons que le micro-ordinateur peut apporter beaucoup. Il ne vient pas dans la foulée de l'audio-visuel. Il pourrait avoir des impacts radicalement différents, plus développés et plus puissants. Bien entendu, si on l'utilise, à l'instar de ce qui se fait malheureusement souvent, comme un remplaçant du tableau noir ou qu'on y passe des logiciels qui font ce que tout enseignant peut aisément faire sans lui, l'échec nous paraît assuré. Nous croyons qu'il ne faut pas poser la question: "l'ordinateur étant là, comment l'utiliser ?" , mais plutôt le considérer comme un matériel didactique pouvant aider à résoudre des problèmes d'ordre pédagogique. Il faut donc partir de ces problèmes auxquels des solutions doivent être apportées et non d'un "outil-solution" pour lequel il faudrait inventer des problèmes... Or il est justement un problème qui nous préoccupe depuis longtemps et qui est central en enseignement et apprentissage: celui de la compréhension (Bergeron et Herscovics, 1982)

Bien souvent, on dira qu'un élève a compris parce qu'il a pu répéter correctement un algorithme, répondre à une question ou résoudre un exercice (du type répétitif en particulier), ou encore simplement parce qu'il affirme avoir compris quand le maître le lui demande. Mais comprendre signifie-t-il faire preuve d'une habileté ou savoir appliquer une chaîne d'opérations déjà vues en classe? Est-ce qu'un élève peut savoir s'il a compris?

Notre réflexion sur cette question particulière nous porte à faire quelques remarques préliminaires:

mathématicien de poser le problème de la compréhension en d’autres termes que ceux du contenu mathématique, alors que la réflexion sur ce problème doit aussi, sinon avant tout, s'arrêter à l'élève. Surtout si au plan du contenu mathématique, on s'arrête comme c’est trop souvent le cas, aux mathématiques formalisées des manuels, présentées comme pur édifice logique. C'est là, nous dit Skemp (1971) confondre approche logique et approche psychologique, la première visant à convaincre, l'autre à faire comprendre. De plus, cette présentation formelle n'est que le produit final de la découverte mathématique et ne dit rien des chemins de cette découverte. Elle enseigne des pensées mathématiques mais néglige les processus même de cette pensée.

Une deuxième remarque découle directement de ce qui précède: on ne peut dissocier la compréhension des situations d’apprentissage puisque la compréhension est intimement liée au développement de la pensée mathématique.

Une troisième remarque enfin est que, pour vérifier la compréhension, il faut procéder à une évaluation. Or, chez les élèves, les termes "évaluer" et "évaluation" évoquent immédiatement les idées de notes, de jugements, de sanction, de passage d'un niveau à un autre alors que, pour nous, il s'agit moins d'évaluer dans ce sens que de chercher un acte pédagogique qui permette de déceler où est rendu l'élève dans sa construction des concepts mathématiques. On parle alors d'une évaluation formative.

2

C'est à partir de ces préoccupations, somme toute professionnelles, que nous avons pensé entreprendre cette recherche. Notre réflexion nous a conduit à une association des deux éléments, implantation de l'informatique et compréhension, à l'intérieur d'une question générale qui vient quelque peu préciser ce qui se trouvait annoncé au tout premier paragraphe de ce travail:

l’

pourrait-il être

outil

efficace

d'étudier la

élèves, et

pédagogiques

de

développement

cette

Pour devenir sujet de recherche, cette question demande des explications, par exemple, qu'entend-t-on par "ordinateur judicieusement employé"? Comment décrit-on la compréhension? Que signifie "atteindre la compréhension" ou l'améliorer? Autant d'éléments qui appellent des définitions et des descriptions qui précisent le sens - et les limites- de la présente recherche.

Mais avant d'aborder ces questions, nous allons examiner où en sont les recherches sur l'enseignement avec ordinateur, enseignement en général et enseignement des mathématiques en particulier.

chapitre 2

Ordinateur

apprentissage

1

L'avènement de l'informatique et le développement des ordinateurs et des micro­ ordinateurs ont suscité beaucoup d'espoir face aux problèmes qui se posent en éducation. En effet, les capacités de l'ordinateur ont attiré et attirent encore bon nombre de chercheurs qui œuvrent dans ce domaine, tout autant les psycho-pédagogues et les didacticiens que les spécialistes de la technologie éducative, même si peu de recherches en technologie éducative se sont intéressées aux résultats des recherches en didactique et vice et versa.

1.1 Un mot sur l'ordinateur

Remarquons tout d'abord qu'en informatique, presque tout le langage lié à l'ordinateur (à l'exclusion des langages de programmation informatique) est métaphorique.

dira d'un ordinateur contrôle”, qu'il "traite”, qu'il "donne" ou qu'il "reçoit langage, jusqu'à un certain point, donne une âme à la machine. Nous sommes conscient de cette question mais il n'est pas commode d'en parler autrement. Ce ne sera donc que par commodité et pour alléger le texte que nous utiliserons ce même langage en ce qui a trait à l'ordinateur.

Qu'il soit grand ou petit, l'ordinateur est essentiellement un assemblage de circuits électroniques permettant de mémoriser l’information, de l'analyser et de "dialoguer" avec l'utilisateur. On considère en général ces trois fonctions de la machine comme "caractéristiques" (Merkazi, 1988). A partir d'elles dérivent d'autres fonctions dites "secondaires" et qui sont plus liées à l'enseignement (Brien, 1978). Par exemple, l'ordinateur véhicule l'information, peut prendre l'initiative de poser des questions, d’analyser les réponses et de produire une rétroaction à ces réponses. Il faut cependant demeurer conscient du fait que l’ordinateur n’accompüt rien de tout cela de son propre chef. Il dépend du concepteur de programme et ne peut que suivre à la lettre les instructions qu'on lui fournit suivant un système donné à l'avance. Ce sont ces programmes qui rendent l'ordinateur interactif, qui permettent simulation, modélisation, dialogue...

1.2 L’enseignement assisté par ordinateur

Assisté par Ordinateur ou EAO, (CAI en anglais pour Computer Assisted Instruction). Cet enseignement est caractérisé par l’automatisation d'objets pédagogiques. Il se fait selon des modes spécifiques dont on trouve des classifications dans beaucoup d'écrits. Notons, entre autres, les classifications de Salisbury (1971), de Scholer (1977), de Cohen (1983) et celle de Merkazi (1988). Ce dernier, se référant aux autres, présente une classification en six modes: exercices répétés, mode tutoriel, jeux éducatifs, simulation, traitement de texte, et résolution de problèmes.

1.3 Un regard critique

L'EAO et ses différentes pratiques ne donnent pas toujours satisfaction. La plupart de ces pratiques visent l'acquisition d'habiletés et guère plus. Les méthodes demeurent trop souvent le reflet des pratiques traditionnelles de l'enseignement et les contenus demeurent conventionnels au sens où on y retrouve "l'ensemble des notions et habiletés déjà objectivées et structurées que le système scolaire propose à l'élève d'acquérir" (Meynard, 1976). De plus, l'EAO actuel fait suite à l’enseignement programmé des années 60 -qui n'a pas disparu totalement- et de ce fait, il garde encore quelques unes des anciennes pratiques. Les partisans de ces dernières eux-mêmes le reconnaissent; par exemple "l'enseignement tutoriel, comme il existe de nos jours, est en fait une forme modifiée de l’enseignement programmé" (Boulet et Villeneuve, 1983). Or, comme le signale Hebenstreit (1980), l'enseignement programmé est une pratique conditionnée par le behaviorisme qui a joué et continue de jouer un rôle que "l’on peut qualifier de désastreux" (p. 80).

Examinons maintenant ce que disent les recherches sur l'enseignement avec l'ordinateur en général et en mathématique en particulier.

2 Recherches

sur l'ordinateur

1'enseignement-apprentissage

L'examen des recherches sur l'ordinateur en lien avec l'enseignement-apprentissage permet d'y retracer deux grandes directions: les recherches qui sont centrées sur le matériel et qui visent l’élaboration, le développement ou la validation de systèmes ou de dispositifs d'enseignement et les recherches centrées sur les effets de l'utilisation de la machine sur l'apprentissage, sur la motivation etc. et plus globalement sur les performances des élèves.

2.1 Recherches centrées sur le matériel

2.1.1 Les origines. Machines de Pressey

L'enseignement avec ordinateur trouve ses origines dans les premières machines à enseigner. Précisons ici que ces machines à enseigner ne sont pas des ordinateurs, ceux-ci n'apparaîtront que plus tard.

Les recherches dans ce domaine ont débuté avec les premières expérimentations de la machine de Pressey en 1926. Cette machine avait au départ pour fonction d'évaluer l'élève en lui posant des questions auxquelles il répondait en pointant vrai ou faux ou une réponse parmi trois ou quatre possibles. Pressey était donc préoccupé d'abord par l’automatisation de l'évaluation. Mais très vite, cette préoccupation s'est déplacée pour devenir celle de l'apprentissage. Un an plus tard en effet, Pressey (1927) propose une autre machine qui, à la suite d'un premier passage, présente à l'élève les items ratés et offre ainsi la possibilité à l'enseignant de les reprendre.

En 1950, Pressey continue toujours ces expériences en utilisant une machine appelée PUNCHBOARD pour l'enseignement du vocabulaire anglais et celui de concepts relevant d'un cours de psychologie. Ses conclusions montrent que le recours à la machine a permis à un groupe expérimental d'obtenir des résultats significativement supérieurs à ceux d'un groupe témoin, et il tire de sa recherche un argument favorable à l'idée de feedback immédiat. Stephens (1960) rapporte des conclusions semblables avec l'utilisation du DRUMTUTOR, une machine inspirée de celle de Pressey. Ces résultats et de multiples autres basés sur des recherches analogues appellent quelques remarques:

- on note que, dans la plupart des cas, l'enthousiasme l'a emporté sur le souci de les asseoir sur des bases expérimentales et théoriques solides. Les cadres conceptuels demeurent implicites et la méthode de recherche peu élaborée;

- on peut cependant ajouter que pratiquement toutes ces recherches sont d'inspiration behavioriste, comparant statistiquement les réponses à diverses formes de stimuli sans chercher à comprendre ce qui se passe dans la tête des enfants. En un mot, dans ces études, on constate des phénomènes sans souvent tenter de les expliquer,

- Enfin, dans la plupart des cas, on s'est peu préoccupé du contenu et du matériel à introduire dans les machines.

2.1.2 Skinner: machines et lois d'apprentissage

Il faudra attendre le milieu des années 50 avec Skinner pour voir un premier essai de mise en oeuvre systématique d'une théorie d'apprentissage reposant sur des machines dont la fonction consiste à contrôler les variables d'apprentissage. Auparavant, psychologues et pédagogues n'avaient jamais proposé une théorie cohérente du processus d'enseignement (Depover,1987). L'initiative d'établir un lien entre la psychologie et la pédagogie revient à Skinner (1954) avec son article "The Science of Leaming and the Art of Teaching" où il prône l'application systématique des lois d'apprentissage, élaborées par lui-même et d'autres psychologues, au processus d'enseignement.

Avec Skinner débute donc l'utilisation de machines à enseigner reposant sur une théorie d'apprentissage-enseignement. On peut citer comme exemples la machine arithmétique (Skinner 1954), SLIDER TEACHING BOX (Skinner, 1954) et la machine de Skinner (1958).

Il existe une convergence entre les points de vue de Pressey et de Skinner, mais ce dernier souligne que dans ses machines, à la différence de celles de Pressey,

1- la réponse est construite et non choisie;

2- la progression est soigneusement mise au point;

3- ses machines enseignent et ne sont pas seulement des répétiteurs.

Pour justifier l’intérêt de la machine, Skinner et ses collaborateurs avancent l'argument de l'individualisation. Celle-ci demeure sommaire puisque, dans un programme Skinérien (dit aussi linéaire), elle consiste à adapter le rythme de présentation des informations aux capacités de l'élève ou bien à orienter l'élève vers un cours de rattrapage. Cependant, on néglige tout à fait les stratégies d'apprentissage propres à chaque individu (Depover, 1987).

2.1.3 L'approche de Crowder

En plus des différences en rapport avec le rythme d'apprentissage (Skinner), les programmes de Crowder, appelés aussi programmes ramifiés, tiennent compte d’une autre variable, le comportement antérieur du sujet. Par comportement, on entend la dernière réponse fournie par le sujet. C'est ainsi que fonctionne notamment AUTOTUTORMARK1 (1959), système conçu pour la formation en matière de détection de panne de circuits

électroniques pour suppléer au manque de formateurs dans ce domaine.

Pour Crowder, un maître accomplit quatre fonctions essentielles qu'il veut faire accomplir à la machine:

1- présenter des informations;

2- exiger de l'élève l'utilisation de ces informations pour répondre à des questions;

3- évaluer la réponse fournie par l'élève;

4- prendre des décisions appropriées en fonction de la qualité des réponses de l'élève.

C'est la quatrième fonction qui constitue un des apports les plus significatifs de l'approche de Crowder. Il a développé ce qu’on appelle la programmation intrinsèque où l'itinéraire proposé à l'élève fait entrer en ligne de compte les réponses que celui-ci fournit en cours d'apprentissage (ce que la programmation dite extrinsèque ne considère pas). Cette approche permet, pour la première fois, de réaliser des ajustements individualisés en cours d'apprentissage (Depover, 1987). De plus, contrairement à l'approche de Skinner (1961) pour qui l'erreur ne serait pas essentielle dans la construction d'un comportement, l'approche de Crowder (1964) considère comme importante la possibilité pour l'élève de commettre des erreurs et ceci, aussi bien pour lui apprendre à les éviter ensuite que pour adapter des processus d'enseignement aux différences individuelles. Il estime qu'il n'est pas réaliste d'espérer mettre au point des instruments didactiques sans prévoir des possibilités d'ajustement en cours d'apprentissage (Crowder, 1961).

La programmation intrinsèque a été fortement influencée par les possibilités offertes par les machines disponibles au début des années 60. Par exemple, l'analyse du contenu des réponses étant hors de portée de ces machines, on a recours aux questions à choix de réponses. Cependant, comme les branchements réalisés à partir de conditions multiples exige un appareillage très lourd, on oriente l'élève uniquement en fonction de sa dernière réponse.

Cependant, dès cette époque, toujours dans la perspective d'ajustement, Pask (1960) propose une machine dans laquelle l'ajustement des situations repose sur une mesure obtenue à partir de l'ensemble des comportements manifestés par l'élève, ce qui va au-delà de ce que fait Crowder. Les machines de Pask sont à l'origine d'une approche nouvelle de l'individualisation, approche qui suppose la possibilité de disposer d’informations sur l'état

prometteuse est d’ailleurs reprise par des chercheurs travaillant sur l'intelligence artificielle (Self, 1974, 1977; Sleeman, 1975; O’schea, 1982).

La technique de branchement (ou programmation ramifiée) et le soucis d'adapter l'enseignement aux stratégies de l’apprentissage individuel connaîtront un développement considérable avec l'entrée de l'ordinateur dans le monde de l'éducation (Rath et al.. 1959). Bien qu'on ait souligné la prégnance des idées qui ont présidé au développement de la programmation ramifiée sur l'enseignement avec ordinateur, on a insisté aussi pour que celui-ci se définisse des stratégies propres (Zinn, 1967).

Il est à noter que depuis les premières machines à enseigner de Pressey jusqu'à l’élaboration des principes sur lesquels repose la conception actuelle de la technologie éducative, l'intérêt des chercheurs s'est d'abord focalisé sur le développement des machines pour s'atteler ensuite davantage aux techniques d'élaboration des programmes. Par ailleurs, on a senti aussi le besoin d'élaboration de principes d'enseignement sur lesquels baser les programmes.

2.1.4 Les approches de l'enseignement par ordinateur

Dans ce qui suit, nous allons nous pencher sommairement sur les tendances qui ont marqué le recours à l'ordinateur dans l'enseignement en général pour ensuite nous arrêter plus en détail à l’enseignement des mathématiques.

Depover (1987) identifie quatre approches qui ont conduit à des modèles d'enseignement avec ordinateur:

- l'approche cognitiviste; - l'approche formelle;

- l'approche de la programmation didactique; - l'approche centrée sur le choix de l'apprenant

L'approche cognitiviste met l'accent sur le concept de structure au sens où l'individu appréhende son environnement à partir d'une structure de représentation qu'il se construit en fonction de son expérience personnelle. Ce qui rappelle le processus d'assimilation- accomodation de Piaget. Beaucoup de chercheurs en enseignement avec ordinateur se réclament de cette approche (Stevens et al.. 1982; Brown et al..1978: Stanfield ,1974; Norman et al..1979: Norman, 1979).

Par ailleurs, la conception de l’apprentissage chez Piaget (processus constructiviste où l'exploration de l'environnement joue un rôle déterminant), reprise par des chercheurs en intelligence artificielle, a donné naissance au concept d'environnement réactif. On propose aux apprenants des situations à partir desquelles ils peuvent éprouver leur connaissance dans certains domaines (Brown 1975, 1982; Burton et al., 1982; Goldstein, 1982). Selon Depover (1987) un des apports essentiels du cognitivisme moderne est d'avoir mis le doigt sur la nécessité de disposer d'un système efficace de représentation des connaissances de l’apprenant (modèle de l'élève ) et des contenus à enseigner (modèle du domaine).

L’approche formelle consiste à élaborer des modèles d’un processus d'apprentissage susceptibles d'être intégrés dans l'ordinateur. Bien que l'intérêt de cette approche ait été souligné par plusieurs chercheurs comme Smallwood (1962), autour des années soixante, le recours à cette approche en EAO est resté très limité s'étant heurté à la complexité de la formalisation d'une activité mentale. Comme le soulignait déjà Suppes en 1950, la modélisation d'un processus psychologique exige un niveau de compréhension de ce processus qui dépasse celui où on se situe habituellement en sciences humaines.

L'approche de la programmation didactique consiste à mettre en œuvre, dans un cours avec ordinateur, un ensemble de techniques dont la cohérence globale est assurée à l'aide du modèle d'analyse systémique (Bunderson et al.. 1976). Cette approche est dénigrée par plusieurs chercheurs qui lui reprochent, entre autre, le fait d'amener l'élève à une représentation rudimentaire et très atomisée de la matière. Elle ne peut conduire à des stratégies pédagogiques réellement efficaces (Hartley et al.. 1973; Resnick, 1975; Howe, 1978).

L’approche centrée sur le choix de l'apprenant est basée sur une conception de l'enseignement dans laquelle on considère que l'apprenant peut exercer un contrôle sur son apprentissage. Cette philosophie suppose une interaction véritable entre la machine et l'élève et la possibilité pour l'élève d'exprimer ses besoins à l'aide d'un système de dialogue (Merril, 1975). On comprend que, étant donné le développement actuel des techniques de compréhension du langage naturel, les possibilités et la variété de contrôle qu'on offre à l'apprenant sont très limitées et le dialogue atrophié au point de se résumer à une manipulation très sommaire de quelques touches s'apparentant aux réponses d'examens dits objectifs..

2.2 Recherche sur les effets de l’enseignement avec ordinateur 2.2.1 De l'efficacité de l'enseignement avec ordinateur

La majorité des recherches dans le domaine de l'enseignement avec ordinateur ont pour objectifs de tester l'efficacité de systèmes. La notion d'efficacité est cependant loin d'être toujours clairement définie quoique, la plupart du temps, cette efficacité est associée à l'idée de performance au plan des habiletés ou savoir-faire. Cette efficacité a surtout été examinée en fonction de trois variables:

- le rôle ou les modalités d’insertion de l'ordinateur dans l'enseignement; - les caractéristiques des élèves;

- les contenus étudiés.

2.2.1.1 Efficacité en fonction du rôle ou des modalités d'insertion

Le premier rôle reconnu de l'ordinateur est celui d'aide ou de complément au travail du maître: presque toutes les recherches s'accordent à dire que l'ordinateur utilisé comme supplément à l'apprentissage entraîne une amélioration substantielle de la performance (Arnold, 1970; Bitter, 1970; Crawford, 1970; Culp, 1971; Fletcher et ah., 1972; Lagovski et ah, 1972; Suppes et ah, 1972; Martin , 1975; Pagliaro, 1983).

Dans d'autres cas, l'ordinateur joue le rôle de substitut puisqu'il vient remplacer le maître: Une méta-analyse menée par Kulik et al, (1980) examinant 41 recherches sur l'enseignement par ordinateur seul montre que 66% de ces recherches ne concluent pas à une différence significative, au niveau des résultats, entre cet enseignement et celui traditionnel; 33% concluent à une différence favorable au recours à la machine et seulement moins de 3% donnent des résultats inférieurs à l’enseignement traditionnel.

Dans le même esprit, on s'est aussi intéressé aux modalités d'insertion de la machine dans l'enseignement; comparant les résultats de son utilisation par des élèves suivant que ceux-ci travaillaient individuellement ou en groupe. Les travaux de Johnson et al. (1985) donnent des résultats favorables à l'utilisation par groupe, en ce sens que pour lui, non seulement cet enseignement par groupe est aussi efficace que par individu (par comparaison avec l'enseignement traditionnel), mais qu'il est supérieur si on incite les élèves à

collaborer entre-eux en cours d’apprentissage.

2.2.1.2 Efficacité selon les caractéristiques des élèves

Nous entendons par caractéristiques des élèves leur niveau scolaire, leur niveau de performance ou leur état mental par exemple. Des recherches, menées avec des enfants considérés comme attardés, ont conclu que l'enseignement employant la machine est plus efficace que celui sans machine (Sandals, 1973; England, 1979).

La plupart des recherches portant sur l'enseignement élémentaire concluent à des différences significatives favorables aux cours par ordinateur. Dans une synthèse d'une dizaine de recherches, Vinsonhaler et al. (1972) ont montré que des séances de cours par ordinateur améliorent beaucoup les résultats des élèves de l'élémentaire.

Les deux méta-analyses conduites par Kulik et al. (1980, 1983) montrent l'efficacité de l’ordinateur aussi bien dans l'enseignement secondaire que dans l'enseignement supérieur par rapport à l'enseignement traditionnel. Cependant, et selon Kulik et al., cette efficacité est légèrement plus élevée dans l'enseignement secondaire.

D'un autre côté, dans l'enseignement primaire, en plus du fait que l'emploi de l’ordinateur est plus efficace que l'enseignement traditionnel, des chercheurs ont conclu que cet enseignement est plus efficace lorsqu'il s'agit d'élèves à performance faible que ceux qui ont un niveau de performance élevé (Martin, 1973; Suppes et al.. 1972). D'autres chercheurs confirment ces résultats pour l'enseignement secondaire et supérieur (Bangert- Browns et al.. 1985).

2.2.1.3 Efficacité par rapport aux contenus

La question qu'on s'est ici posée était celle de l'efficacité de l'enseignement informatisé en regard des différentes disciplines.

Kulik, dans sa méta-analyse de 1983, n'a constaté que peu de variation de l'efficacité de l'ordinateur par rapport au contenu enseigné. Mais d'autres chercheurs ont montré cependant des effets positifs de la machine en mathématiques, en biologie, en physique et en lecture (Thomas, 1979), en formation des maîtres (Austin, 1983), en nursing (Conklin,