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Convergence complète des moyennes partielles dans les tableaux à rangées infiniment interchangeables

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Academic year: 2021

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(1)

CONVERGENCE COMPLETE DES MOYENNES

PARTIELLES DANS LES TABLEAUX A RANGEES

INFINIMENT INTERCHANGEABLES

par

Ahmed L'Moudden

memoire presente au Departement de mathematiques

et d'informatique en vue de Pobtention du grade de maitre es sciences (M.Sc.)

FACULTE DES SCIENCES

UNIVERSITE DE SHERBROOKE

(2)

1*1

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0-612-40597-4

(3)

Le 12 aoSt 1998 , Ie jury suivant a accepte ce memoire dans sa version finale.

date

President-rapporteur: M. Alain Boulanger

Departement de mathematigues-^fcT infoS1

^

Membre:

Membre:

M. Bmno Remillard

Universite du Quebec a Trois-Rivieres M. Jean Vaillancourt

(4)

Sommaire

Dans un premier chapitre portant sur les suites de variables aleatoires (v.a.) on va enoncer la loi forte des grands nombres de Kolmogorov, ainsi que la loi complete de Hsu-Robbins-Erdos pour les suites independantes et identiquement distribuees (i.i.d.). On va aussi demontrer des generalisations de ces deux theoremes pour les suites de variables aleatoires infiniment interchangeables, en utilisant Ie theoreme de deFinetti — la forme generale de la loi forte est celle de Taylor et Hu et celle de la loi complete est un resultat nouveau. Enfin, on fournira la demonstration de la convergence de toutes les sous-suites,

pour les deux modes de convergence.

Dans Ie deuxieme chapitre, on presente un resume des travaux publies recemment sur les convergences fortes et completes pour les tableaux a rangees de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (v.a.i.i.d.) ainsi que pour les tableaux a rangees infiniment interchangeables: ceux de DafFer, Patterson et Taylor; ceux de Taylor et Hu; et surtout quelques-unes des innovations de Gut.

Finalement, Ie troisieme chapitre rassemble nos resultats nouveaux sur Ie probleme de la convergence ou divergence complete dans les tableaux a rangees i.i.d., ainsi que dans les tableaux a rangees infiniment interchangeables. Une attention particuliere est apportee au comportement des moyennes partielles dont la croissance du nombre de termes ne peut pas etre ralentie indefiniment.

(5)

Remerciements

Je tiens a exprimer mes plus vifs remerciements a :

• Monsieur Ie professeur Jean Vaillancourt, mon directeur de recherche, pour m'avoir accueilli dans son equipe et pour avoir guide avec competence ce travail. Ses conseils avises, ses encouragements constants, ses remarques tres pertinentes et son aide materielle out grandement facilite la realisation de ce travail, dont 1'aboutissement est pour moi 1'occasion de lui exprimer toute ma gratitude.

• Mes parents, et surtout mon pere Khalil L'Moudden et mon frere Hassan L'Moudden pour leurs encouragements, leur patience et leur soutien, autant sur Ie plan financier que moral, qu'ils m'ont apportes en toutes circonstances durant mes etudes.

• Monsieur Ie professeur Jean-Marc Belley qui a soigneusement lu et corrige ce texte. • Toutes mes amies et tous mes amis.

(6)

Table des matieres

Sommaire ii

Remerciements iii

Table des matieres iv

Introduction 1

Chapitrel: La convergence forte et complete des suites 3

1.1 Interchangeabilite ... 3

1.2 La loi forte des grands nombres ... 7

1.3 La loi complete ... 10

1.4 La convergence partielle des suites ... 16

Chapitre2: La convergence complete des tableaux 18 2.1 La loi complete pour les tableaux a rangees de v.a.i.i.d. ... 18

2.2 La loi complete pour les tableaux a rangees infiniment interchangeables . 20 ChapitreS: Nouveaux resultats pour les tableaux 27 3.1 La convergence partielle des tableaux a rangees de v.a.i.i.d. ... 27

3.2 La convergence partielle des tableaux a rangees infiniment interchangeables 31

(7)

Conclusion 37

Annexe 38

Bibliographic 40

(8)

Introduction

II existe depuis la premiere moitie du siecle une foule de theoremes limites pour les

suites de v.a.i.i.d. Mentionnons les plus importants :

• Loi des grands nombres de Kolmogorov en 1933,

• Theoremes de la limite centrale de Lindeberg-Levy-Feller en 1922-24 et 1935-37,

• Loi du logarithme itere de Hartman-Wintner en 1941.

La theorie correspondante pour les suites interchangeables s'est developpee beaucoup plus tard, suite aux travaux originaux de Bruno deFinetti en 1937. Les theoremes limites correspondants a ceux cites plus haut sont les suivants:

• Loi forte des grands nombres de deFinetti en 1937 et, en version sous condition necessaire et sufHsante, celle de Taylor et Hu en 1987,

• Theoreme de la limite centrale de Chow et Teicher en 1958,

• Loi du logarithme itere de Taylor et Zhang en 1996. Dans ce dernier cas, la condition

sufHsante n'est peut-etre pas necessaire.

La convergence complete a ete introduite par Hsu et Robbins en 1947, mais n'a ete plus largement etudiee qu'au cours des vingt dernieres annees. Ces developpements recents sont presentes aux chapitres 1 et 2.

(9)

L'etude des tableaux a rangees dont les v.a. sont interchangeables remonte au moins au theoreme de la limite centrale de Lindeberg en 1923. Dans Ie contexte de la

conver-gence complete, les result ats connus a ce jour sont resumes au chapitre 2.

Notre travail consiste a generaliser ces resultats pour la convergence ou divergence complete dans les tableaux a rangees i.i.d., ainsi que dans les tableaux a rangees infiniment interchangeables. Une attention particuliere est apportee au comportement des moyennes partielles dont la croissance du nombres de termes ne peut pas etre ralentie indefiniment. Ces resultats sont presentes aux chapitres 2 et 3.

(10)

Chapitre 1

La convergence forte et complete des

suites

1.1 Interchangeabilite

Definition 1 Etant donne une famille de variables aleatoires {yi,I/2, ...,l/n} construites sur un meme espace de probabilite, on dit qu'elle est interchangeable (ou echangeable), si pour toute permutation TT des indices de {1, 2, 3, ... ,n} et tout choix d'ensembles

boreliens Ai, Az, Ag,... , An € B(/R), on a :

P{Y^eA^m=l,2,... ,n) = P(Y^ € A^,m= 1,2,... ,n).

Definition 2 On dit d'une suite de variables aleatoires (Yn)n construites sur un meme

espace de probabilite qu'elle est interchangeable (ou infiniment interchangeable )

si toute famille finie {Vi, Y^,... , Yn} est interchangeable, quel que soit n > 2.

Lemme 1 Soit (Yn)n une famille interchangeable infinie et soit (p une fonction reelle convexe, positive et bornee inferieurement telle que E((p(Y^)) < +00. Alors la suite

(11)

1^-(E(p(Yn))n est non croissante et convergente, ouYn= — V Vr

Demonstration : On a

i=l n+1 -, n+1 -, n+1 Yn+1 =

n+

^i|>.=^Di|».

Puisque (p est convexe, on a :

i=l •- ' ~ j=l " i=i i^J n+1 -, n+1 ^ n+1 ^ n+1

.(^) = ^E(^|» < ^E^iE^.)

3=^ '" i=l '" ' ^ j'=l '" *=1

w w

et comme les (Yn)n sont interchangeables, alors :

n+1

E^Y.Y^ = E(^(Yn)^ < n+ 1

n ^

w

d'ou n+1

Ey(Y^) < E^^v{^Y.) < Ey(Yn).

3=1 i=l

w

i.e. (E(p(Yn))n est non croissante. Comme (p est bornee inferieurement, (E(p(Yn))n est

aussi bornee inferieurement et done convergente.

Definition 3 On appelle filtration renversee sur un espace mesurable (f^, Jz) toute famille {^n : n = 0,1,2,...} de tribus contenues dans 7 telles que J^rn ^ ^n pour tout choix de 0 < m < n < oo.

Definition 4 Une suite de v.a. ((Xn)^n) est une martingale (respectivement, une sousmartingale, surmartingale) renversee par rapport a la filtration {J:n} si les conditions suivantes sont verifiees:

i) V n, Xn est J^n ~ mesurable

ii)Vn, E\Xn\ < oo,

(12)

Lemme 2 ( Generalisation d'une inegalite de Kolmogorov)

Soit (Yn)n une famille interchangeable infime telle que 2?(|yi|) < +00 et E(Y^) = 0.

Alors: \/e > 0 et Vm, n avec 1 <, m <: n < +00, on a :

P( max |Y, - Yk\ >£)< lE\Yn - Y^\.

m<A;<n E

Demonstration : D'apres Ie theoreme 23 (voir PAnnexe), si on prend f(x)=x, alors

Y,=-^Y,=E(Y^)p.s.

k=l

et (Yj,^Fj) est une martingale renversee. Si on pose

m

n

Yn ~ Ym pour 0 < k ^ ^n,k = ^ Yn—Yk pour m < k <

0 pour k >n alors (Xn,k^k) est aussi une martingale renversee. Or,

E\Xn,k\ < 2^|ri| < oo

d'ou {\Xnk\,^k) est une sousmartingale renversee. On pose done

X^ = \Xn,n-k+m\ et ^*fc == ^n-k+m pour fc = 0,1,...., n + m et X;^ = X^n,n+m et

^*k = ^*n+m si k > n-}-m. C'est evident que m <: k < n implique que m < n — k-\-m <

et (X^^^*k)m<k<n est done une sousmartingale. En effet, presque surement, on a :

^(^,k+l\^*k) = E(\Xn,n-k-l+m\\^n-k+m)

-n,(n-fc+m)-l| l^n-fc+m, :> \^-n,n-k+m\ = ^-n,fc

et d'apres Finegalite de Doob pour les sousmartingales, on a :

n

(13)

Comme

P(jnax_ X^ >e)= -P(jnax_ [V, - Yk\ > e)

et

E(X^) = E\X^\ = E\Yn - Y^\,

on obtient

P( max \Yn - Yk\ > e) <, l_E\Yn - Y^e > 0.

m<k<n £

Lemme 3 Soit (Yn)n une famille interchangeable infinie, d'esperance nulle et de variance finie. Alors, Y£ > 0, 3N tel que, Vm, n avec n^m ^ A^ on a

E\Yn - Y^\2 < £ et E\Yn - Y^\ < ^e.

i.e. (Yn)n est de type L^ — Cauchy et de type Li — Cauchy. De plus, elle est de type

Cauchy presque surement.

^

Demonstration : D'apres Ie lemme 1, (E \Yn \)n et (EYn )n sont monotones et conver-gentes dans 7^, et puisque (Yn,^n)n est une martingale renversee de carre integrable, alors Ve > 0,3N tel que, Vm et n ou n^m>^ N

E\Yn - Y^\2 = E\Y^\2 - E\Yn\2 < e

et

E\Yn - Y^\ <, ^E\Y\n -Ynp < Ve

i.e (Yn)n est de type L^ — Cauchy ei aussi de type Z/i — Cauchy. Par Ie lemme 2, on a

Urn P( max \Yn-Yk\ > e) = 0 et Urn P(sup \Yn -Yk\ > e) = 0

m — >+oo 'm<k<n ' ' ' m — >+oo 'k>m

(14)

1.2 La loi forte des grands nombres

La loi forte des grands nombres pour les suites de variables interchangeables, due a

deFinetti (1937), stipule que

Urn Yn=E(Y^T)p.sei Urn E(Yn) = E(Y^)

n — >+oo ~ ' ' ~ n — >+oo

sont vrais, pour toute suite interchangeable {Vi, Y^... ,Yn,...} satisfaisant a 1'hypothese ^(IVil) < +cx3 avec T = H (7(Yn+i, Yn+2? • • •); la tribu terminale associee. Nous allons

n=0

demontrer cette generalisation de la loi forte des grands nombres par Ie biais des assertions qui sont annoncees par L. Pratelli (1989). Mais d'abord, nous allons enoncer Ie theoreme de la loi forte des grands nombres pour les suites i.i.d. et les suites interchangeables, dont la premiere est due a Kolmogorov et la deuxieme a Taylor et Hu (1987).

Theoreme 1 ( Kolmogorov ) Soit {Xn)n>i une suite de variables aleatoires i.i.d. et d'esperance finie. Alors

1

^-Xn = — )> ,^ —^n-).+oo -E'^rl P.S.

n ^

i=l

Theoreme 2 [12] Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables telle que Ep(\Xi\) < oo p,—p.s. Alors

p,({F : EpX-i == 0}) = 1 si et seulement si Xn — >p.s. 0.

Ou EF(») = E(*\a(^)), a(^) etant defini au theoreme 25.

Demonstration : Si p'({F : EpX^ = 0}) = 1 alors, d'apres Ie theoreme 25 de deFinetti

(15)

P[\Xn\>£ i.s.] = lim __P[(]W>£}]

m—>-+oo n=m 00

^1 pp[[J {\x^\ > £}WF}

m-^+oo J^ n=m .°°.

lim Pp[ [ J {\Xn\ > e}]dp,(F) ( convergence dominee)

f$ m-^+oo

n=m

PF[\Xn\ > e i.s.WF)

f$

= 0 ( {Xn} sont F - i.i.d. pour tout F C <3))

Si ii({F : EpX^ = 0}) < 1 alors il existe un t tel que p.({F : \EpX^\ > t}) > 0. Done

par la loi forte des grands nombres, on a Pp[ \Xn\ > t i.s.] = 1 sur cet ensemble, d'ou

P[\Xn\ > t i.O.] = I PF[\XH\ > t i.s.}dp,(F)

r$

^ p.({F : \EpX^\ >t}) >0.

i.e. P(uj : lim Xn = 0) ^ 1.

n—^+oo

Definition 5 Etant donne un espace de probabilite (f^.F,?), une famille de variables aleatoires {Xg : s € S} quelconques , definies sur cet espace, est dite uniformement integrable (u.i.) si on a

Umsup£1[|XjJ(^)(|X,|)]=0.

c->-°° ses LI "' v"''

Lemme 4 Soit (Yn)n une suite de variables aleatoires interchangeables, d'esperance finie. Alors

Yn —>n-^+oo OP.S. Sl et seulement si lim E(\Yn\) = 0. n — >+oo

Demonstration : Si lim E(\Yn\) = 0 alors en utilisant Ie lemme 2, Pinegalite de

n — >+oo

(16)

P(sup \Yn\ >2e) = ^ lim P( max, \Y^\ > 2e)

'n>m ' ' ' ^—>+oo 'm<n<k

£

D'ou on obtient

< . Urn (P( max |F, - F^ > e) + P(\Yk\ > e))

k — >+oo ' 'm<n<k

$ \E\Y^-Y,\+\\Y,\

< 2E\Y^\=0

2 _,—

lim P(sup \Yn\ > 2e) ^ Urn :lE\Ym\ = 0, Vs > 0.

m—>-+oo 'n>m ' ' ' m —>+°° S

2..C. 1 n —^n—>-+oo U P.S.

Si maintenant Yn — >n->+oo 0 P-s- alors d'apres Ie theoreme 26 (voir 1'Annexe), Yn est uniformement integrable, d'ou

Urn E(\Yn\)=E Urn |F,| = 0.

n — >-\-oo " " n — >+oo

Theoreme 3 Si (Yn)n est une suite de variables aleatoires interchangeables d'esperance finie, alors

Yn ^n^+oo ^ll^oo) P.S. et Y, ^^ ^(^00).

Demonstration : D'apres Ie theoreme 27 (voir PAnnexe), la limite de Yn existe presque surement puisque lim Yn = lim E{Y^\J:n) = E{Y^\J:oo) p.s.; de plus, etant

unifor-n — >-+oo unifor-n — >-{-oo

mement integrable, on a

(17)

1.3 La loi complete

La convergence complete a ete introduite par Hsu et Robbins en 1947 mais n a ete plus largement etudiee qu'au cours des vingt dernieres annees. Nous allons enoncer la loi complete de Hsu-Robbins-Erdos pour les suites independantes et identiquement distribuees.

Definition 6 On dit qu'une suite {£/„, n > 1} converge completement vers une constante

00

C si et seulement si ^^P(\Un — C\ > e) < DO Ve > 0. On note Un — >n-^+oo C c.c.

n=l

Lemme 5 Si la suite {Un, n > 1} converge completement vers une constante C , alors

Un converge presque surement vers la meme constante C.

Demonstration : On a

00

P(sup ![/„ - C-| > e) = P(U^[|[/» -C-l >e]) < ^ P(|^ - C\ > e)

n>m ^m

d'ou

P(SUP \Un - C\ > £) — >m^+oo 0. i.e. Un — >n->+oo C p.S.

n>m

Theoreme 4 (Hsu-Robbins-Erdos) Si (Xn)n>i est une suite de variables aleatoires

i.i.d. telle que EX-^ = 0 alors,

00

^^P(\Xn\ > e) < oo Ve > 0 siet seulement si EX^ < co.

71=1

Lemme 6 Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables et soit f une

fonction borelienne sur R. Si E\f(X-i)\\f(X'2)\...\f(Xk)\ < oo pour un k > 1 alors

E\f(X,)\<oo.

(18)

Theoreme 5 Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables telle que

E(X^Xj) < oo, alors

00

^P(\Xn\ >e) < oo, Ve> Osi et seulement si E(X^\T) = 0 p.s.

n=l

OU r = H a(xn+l^ xn+2, • ..)

n=0

est la tribu terminale.

Demonstration: Si ^ P( \Xn\ > e) < OG,V£ > 0, alors par Ie lemme 5, Xn convergeL^i

n=l

presque surement vers 0. II s'ensuit par Ie theoreme 2 que E(X-^\T) = 0 p.s.

Montrons maintenant que si E(X^Xj) < oo et E(X^\T) = Op.s. alors

CX3

^P(\Xn\>£)<oo^e>0.

n=l

En efFet :

Puisque les Xk out la meme distribution, on peut poser ai = P(uj: \Xk(uj}\ > 2l). Done

00 00 00

E 22i-l». < E 22i(a' - a-+i) ^ JE1xi2 ^ i+E 221+2(a- - a'+i)

i=0 z=0 i=0 00

ce qui donne : V^ 22t^ < oo car EX^ < oo (voir lemme 6).

i==0

Soit n tel que 2i < n < 2i+l. On pose pour tout 7 fixe dans ]^, 1[ :

Sn = {Lj:\^X^)\>n}

k=l

Sw = {ijj : |Xfc(a;)| > 2l-2, pour au moins un k <, n}

5^) = {CJ : |X^(CJ)| > 7Z7, |X^(CJ)| > n7 pour au moins A;i et k-z tels que k^ < k'2 < n}

SW = {^.. 1^X^)1 >2-2}

k=l

(19)

avec X^ =

Xk si \Xk\ < n7

0 si \Xk\ > n\

On peut voir facilement que Sn C Sw U Sw U Sw car, si uj i Sw U Sw U S^\ on a

I ^x^)\ < \^Xk(^)i[W < rz7]| + I ^X^)I[\Xk\ > n^]\ ^ 21-2 + T-2 <

k=l k=l k=l

00

Done, pour prouver la convergence de la serie ^ P(Sn), il suffit de montrer que

n=l 00

^(P(S») + P(S^) + P(S^)) < oo.

n. n=l En effet, pour S^ on a

P(SW) < nP(|Xi| > 21-2) < 2i+lP(\Xz\ > T~2) < 2t+lP(4|Xi| > 2l)

et done

^P(Sm)=Y, ^ P(5^)<22^22i-lP(4|Xi|>2i)<64^<oo.

i=0 2i<n<2i+1 71=1 Pour Sn^} on a i=0

P(S^) < ^ P(a,: \X^)\ >n\\X^)\>n<)

Kki<k2<n

-l)-P(cj : \X^(u)\ > n\ |X2(a;)| > n^)

<

z^

Kki<k2<n

n(n — 1)

et done

< n2n-^(EX^XJ) = n2-^(EX^).

^P(S^)<EX^^>2-^<oo.

n=l n=l

Pour STi on a, d'apres Ie theoreme 24 (voir 1'Annexe) les variables (X^ .n)k s()nt aussi r-i.i.d. Soient E(X'^T) = £n et Yk = X'^-£n. Alors E(Yk\T) = 0 et e^ -> 0 presque

(20)

surement quand n —)• oo car E(X-L\T) = 0, et done

E((^Y,Y\r)=^E(Y^T)+6 ^ E(Y^2\T).

A;=l k=l Kk<l<n

Or max |lfc(^)| < n7 4- £n, et on peut trouver successivement des v.a. ci, 02, CB et 04

P-integrables telles que

E(^\T) < (ni ^£n)2E(Y^\T) == ci(a;)n27 ( car |^| < n7),

E(Y^\T) = E(YS\T)E(Yf\r) = c^),

E(C^Y^\r)<c^)n^1,

k=l

et, par Finegalite de IVtarkov,

n

p(\yY,\>^\r)<c,w-3.

L^i

k=l

16

Et puisque \X^\ < \Yk\+ £n et n/8 < 2t-2, alors

P(a,:|^X,(a,)|>2-2|T) < P^:\^X'^)\>^T)

fc=l

< P(^ : \^Y^)\ > ^\T)+P(^ : \^)\ > 1/16).

k=l Or on a k=l n

P(^:\^Y^)\>^\T)<c^)n1-'-3.

k=l

16

Et par Ie theoreme de deFinetti, on obtient :

^P(c.:\^Y^)\>^)<^.

n=l fc=l

16

(21)

Done pour assurer la convergence de ^-P(^ : I ^^rI(LJ)l > 2l-~2), il sufHt de montrer

n=l k=l

que E(X-[\T) = 0 implique :

00 00

^P(^ : \£^)\ > 1/16) < (16)2^(^) < oo.

n=l n=l

Puisqu'on peut ecrire En = —E[XiI^,oo)\T], on obtient par les inegalites de Cauchy-Schwarz et de Markov,

4 < (E[\xAi(n-,^)\r}Y

< E(X^\T)P(\X^ > n^T)

< E(X^T)2n-27.

On obtient, par EX^X^ < oo

00 00

^P(^:Ma,)|>l/16) < (16)^E(el)

n=l n=l 00

^ (16)2E(X^). ^n-27 < ex).

Done

z^

n=l

^P(SW) < C4^-3 + (16)2E(X^).^n-2r' < oo.

71=1 n=l n=l

Enfin, quitte a considerer les variables — dans Sn, on peut conclure que Ve > 0, il existe deux

constantes C\ = C\(e) et C^ = C^e) dans 7^+ telles que

{^: i y^x^)\ > ne)}) < C^EX2, + C,E(X^).

2—^

n=l k=l

Pour completer cette section, nous demontrons quelques resultats connexes sur la

con-vergence complete des sous-suites.

(22)

Lemme 7 Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables telle que EX-tX^ = 0 et EX^ < oo. Alors pour toute suite d'entiers positifs (kn)n telle que

< oo on a 00

y1

L^

^1 hn

^P(|^J>£)<00 V£>0.

n=l

Lemme 8 Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables telle que EX-tX-2 = 0 et EX'[ < oo. Alors pour toute suite numerique (un)n telle que

< oo on a 00 n

2-f<

n===l ~" 00

Y^P(\^-\>e)<oo V£>0.

u n=l n

Lemme 9 Soit (Xn)n est une suite de variables aleatoires interchangeables telle que EX^ < oo, alors la suite (Yn)n '•= (Xn — E(Xi\T))^ est aussi interchangeable avec EY^ = 0, EY^ = 0 et EYf < oo.

Demonstration : L'inter changeabilite des variables vient du fait que la fonction

genera-trice des moments ^y^yg de (YI,^) verifie

?,^(^1^2) = (pYz,Y^t^) V(^) € n2.

Montrons que EY^ = 0. En efFet

Y^ = XA - X^E(Xz\T) - X2E(Xz\T) + E(X^T)2.

Or EX^ < oo. Done EX^ existe, d'ou EY^ = 0. Enfin ,EYf ^ EX^ < oo, car

E[(X - E(X\r))2] < E[(X - Z)2], \/Z T-mesurable, en particulier Z = 0.

Lemme 10 Si (Xn)n est une suite de variables aleatoires interchangeables telle que

EX^ < oo, alors ^P(\s" ~ n^x I > e) < °o Vs > 0 et V^ > 0.

n=l

(23)

Lemme 11 Si (-X'n)n est une suite de variables aleatoires interchangeables telle que EX^ < oo, alors

00

^P(\Xn - E(X^\T)\ >e) < oo Ve > 0.

n=l

Demonstration : Si on pose Yn = Xn — E(X-^ 7~), alors

-2

£4P(|FJ >e) < ^- + 6^-^ car ^(VilT) = 0,

ns n^ d'ou 00

Y^P(\Yn\ >e)<oo V£>Q.

n=l i.e.

Y,P(\Xn - E(X,\T)\ >e) < oo Y£ > 0.

n=l

1.4 La convergence partielle des suites

Lemme 12 Si (Xn)n>i est une suite de variables aleatoires i.i.d. et d'esperance finie, alors pour toute sous-suite d'entiers positifs (kn)n telle que kn croit (/A) vers oo

on a

'n

^-kn = — Y \Xi — >n-^+oo EX^ p.S.

^s

Demonstration : D'apres la loi forte des grands nombres, on a

1

^n-lim ~Xn = ^n-lim — V^ ^ = -E% P.s. n — >+oo n — >+oo n

t=l

i.e. P(u) € f2 : lim Xn = EX^) = 1, et done pour uj fixe on a lim Xn(a;) = EXi.

n —— >-^-oo ' ' ~ n — >+oo

i.e. Xn(cj) est une suite convergente, alors pour toute sous-suite d'entiers positifs kn telle que kn /^ oo, la sous-suite Xk^(aj) de la suite Xn(uJ) converge vers la meme limite, done

P(cj € ^ : Urn X^) = -EXi) = 1.

n — >-+oo

(24)

'n

i.e. ~Xkn = 7- ^ Xi — >n^+oo EX^ p.s.

^s

bir de la loi forte des grands nombres de deFinetti pour les suites interchangeables, une meme demonstration donne:

Lemme 13 Si (Xn)n>i est une suite de variables aleatoires interchangeables et d'esperance conditionnelle finie (i.e. ^(|Xi||7~) < oo), alors pour toute sous-suite d'entiers positifs (kn)n telle que kn /^ oo, on a

x^n = T- Y.xi —^+°° E(X1\T) P-s-^n 7ZT

(25)

Chapitre 2

La convergence complete des

tableaux

Dans ce chapitre, on presente un resume des travaux publics recemment sur les convergences fortes et completes pour les tableaux a rangees de variables aleatoires in-dependantes et identiquement distribuees (v.a.i.i.d.) ainsi que pour les tableaux a rangees

infiniment interchangeables: ceux de Taylor (1982), Patterson et Taylor (1985), DafFer,

Patterson et Taylor (1985), Taylor et Hu (1987), et surtout quelques-unes des innovations

de Gut (1992).

2.1 La loi complete pour les tableaux a rangees de

v.a.i.i.d.

Definition 7 Soit {(Xn,k,^- < k < kn),n > 1} une suite double de v.a. On dit qu'elle est uniformement dominee s'il existe une v.a. X telle que

P(\Xn,k\ >x) ^ P(\X\ >x) Vrc > 0 , V n et k < kn.

18

(26)

Definition 8 Soit {(Xn,fc,l <i k < kn),n > 1} une suite double de v.a. On dit qu'elle est faiblement dominee en moyenne s'il existe une v.a. X et un 7 > 0 tels que

•n

^Y^P(\Xn,k\>x)<-yP(\X\>x) \/x>0etn>l.

^s

On remarque que la domination uniforme entraine la domination faible en moyenne

(7 = 1).

Exemple Soit {(Xn fc, 1 < k <:n),n> 1} une suite double de v.a. telle que

P(X^k = 1) = P(Xn,k = -1) = 1/2 pour A; = 1,2, .., n - 1

et

P(Xn,n = »I1/4) = P(X^ = -^/4) = 1/2.

On voit clairement qu'elle n'est pas uniformement dominee. Par contre elle est faiblement

dominee en moyenne, puisque

-"_ I 1 si

^Epd^i >-)={: M

nS ' I 0 si

1 si 1 <x < n1/4

sinon ,

la suite {(Xn,A, 1 < k <, n),n> 1} est faiblement dominee en moyenne par la v.a. X telle

que P(\X\ > k) = -^ pour k ^ 21/4.

Theoreme 6 voir [1] Soit (Xnk, 1 <i k < kn)n une suite double de v.a.i.i.d. pour chaque n ^ 1, les variables aleatoires pouvant etre dependantes d'une rangee a 1'autre, telle que i) EX^k = 0 V k etn.

ii) {(Xn,k, 1 <i k < kn\n > 1} est uniformement dominee par une v.a. X.

iii) E\X\2 < oo.

kr

iv) liminf— > 0

n->-+oo n

(27)

On a oo kn

^P(|^X^|>^)<oo V^>0

n=l z==l et done 'n n = ~j~~ ^ ^^n,i —>n—i-+oo u c-c-^"^I

Theoreme 7 voir [1] Soit (Xn,k, ^< k < kn) i.i.d. pour chaque n > 1, les variables aleatoires pouvant etre dependantes d'une rangee a Pautre, telle que

i)EX^k=OeiE\X^k\<oo.

ii) {(Xnk, 1 < k < kn),n>l} esi faiblement dominee en moyenne par une v.a. X.

iii) il existe p de (0,2) tel que E\X\P < oo.

iv) lim inf ^^ > 0.

n-^+oo ^-^ ^

On a

00 kn

^P(\^X^\>eky")<oo Ve>0

n=l i=l

et si de plus la condition iii) est vraie pour p=l alors

kn>n

n = 7 y? ^ ^-n,z ^n^+oo *-* C.C.

1=1

2.2 La loi complete pour les tableaux a rangees

in-finiment interchangeables

Theoreme 8 voir [8] Soit (Xn ,k, 1 ^ k <n) une suite infiniment interchangeable pour

n n+1

chaque ligne telle que Tnn = <70 ^n.k^ V ^(n+i),k, •••}• Sous les hypotheses suivantes:

k=l k=l i) EXn,lXn,2 —> 0 quand n — > +00.

EX^

ii) EX^^ = o(n) i.e. —>0 quand n — > +00.

Tt

(28)

iii) {E(Xn,i\Tnn)}n est une martingale renversee

on a n n = — ^ ^n,i —>n->-+oo ^ P-S. 1=1 1

X"-Demonstration : On a — ^ ,^n,i = E(Xn-^\Tnn) P-s. (voir 1'Annexe). Or, Pinegalite

n f~ 1=1

de Doob pour les sousmartingales renversees (voir PAnnexe et la page 86 de [8]) donne

1 ."

P[sup|^^X^|>£] = P[sup\E(X^\Tnn)\>e]

n>m ^ ,"i n>m

< - f .^. ^ ., .\E(X^\T^)\dP

- £ 7[sup |^(x,,i|r,,)| > e] ^v"m'il /mm/

n~>m

< \ f \E(X^ \Tmm)\dP

6 Jfl

m

< ^ /l^-E^m^lrfP

^'"^T"1'"

et par 1'inegalite de Holder pour p=q=2,

_m_ ^ ^ m

f^F^P < ^^w

m

= [^W,.+^EEX">,M/2

1=1 k^-l

-1- + —x——-/-EXm,iXm,2\/ par 1'interchangeabilite.

m mz ""'^ ""''

Puisque EXn,iXn^ — > 0 quand n — > +00 et EX^ = o(n), on obtient 1 v^

n = — ^ ,^n,i —>n->-+oo ^ P-S.n ^ '"'" i=l

Void un exemple ou Phypothese (iii) est satisfaite, i.e.{E(Xn ,i|7nn)}n est une martingale

renversee.

Exemple: Soit (Xn)n une suite de v.a.i.i.d. de variance finie, alors si on prend

(29)

1^-Xn,i = Xi — Xn aveC Xn = — ^ Xi. II vient que la suite {1^-Xn,i : 1 < i <: n} esi n ^i=l

interchangeable pour tout n. De plus les trois conditions du theoreme precedent sont verifiees:

i) EXn-^Xn^ — > 0 quand n — > +00 car

EXn^Xn,2 = E[(X-j^ — Xn)(X-z — Xn)]

= E(X,X,) - E(X,Xn) - E(X,Xn) + E{Xn)2

(EXi)2 EXl

n — > +00.

n n

ii) EX^ i = o(n) est trivial.

iii) {E(Xn-^\Tnn)}n est uue martingale renversee, car

n n+1

Tnn = Cr{^ ^Xn,k, ^ \ X(n+l),k, ...} = 0-{0, 0, ...}. k=l k=l

On peut obtenir aussi Ie meme resultat avec des conditions plus fines que celles du theoreme precedent.

Theoreme 9 Soient {Xn ^ 1 ^ k <,n) des v.a. infimment interchangeables pour chaque

n n+1

n > 1, avec Tnn = 0-{^-Xn,A;,^^(n+l),fc, •••}• Si : k=l k=l

i) i?|Xni| —> 0 quand n — > +00,

U) {E(Xn ,l|7nn)}n CSt UUG martingale renversee alors

1

v^-Xn = ~^ V ^-^n,i —>n->+oo 0

P-S-n t

1=1

(30)

1

V"-Demonstration : On a — ^ ,^n,i == E(Xn,i\Tnn) P-s- (voir 1'Annexe). Or n ^1=1 1 ^n

P[8Up|^>;X^|>£] = P[sMp\E(Xn,,\T^)\>£]

n>m ^ :_ n>m

, 1;

£

[SVLp\E(X^/Tnn)\ > ^]

\E(X^\T^)\dP

n>m

< ^

^ / \E(X^\U\dP

£ Jn

^ ^E\X^ \

d'ou si E \Xn,i\ — > 0 quand n — > +00, alors

.Y^ Y

n — „ / ^ ^^-n,zn ^—/ "'''' 1=1

'n—>+oo Op.s.

Theoreme 10 voir [10] Soient (Xn,k,k ^ 1) des v.a. infiniment interchangeables pour chaque ligne n > 1. Si

00

i)^E(Xn,,Xn^)<00.

n=l

00

ii) ^E(\X^\2q)/nq < oo pour un q > 1

71=1

alors

•n ~ ^ / ^ ^n,z

1=1

•n,i ^n-^+oo U C.C.

Demonstration: voir theoreme 19 du chapitre 3.

Theoreme 11 voir [10] Soit (Xn ,fc, ^ > 1) une suite infiniment interchangeable pour chaque ligne n ^ 1. Si

00

i) ^ E(X^X^) < oo,

n=l

ii) \Xnk\ < K p.s. pour tout n et k,

00

iii) (a,n,k)n,k est une suite de reels avec ^^ \an,k\ ^ 1 et max \a,n,k\ = 0(^-7) avec 7 > 0

k=l

(31)

alors

00

an,k^n,k\ —>n->-+oo u

c-c-Z-/ k=l

Theoreme 12 voir [10] Soient (Xn,k,k ^ 1) des v.a. infimment interchangeables pour chaque ligne n > 1. Si

00

i) ^I?(X,,A,2) < oo,

n=l

ii) P[Xn ,k ^ K] = 1 pour tout n et k, ou K un compact de 7^.,

00 00

iii) (dnk)n,k est une suite de reels avec ^ \a'n,k\ ^ 1 et ^ exp(—a/An) < oo VCK > 0

k=l n=l

avec An = ^ a^

k=l alors Gm.fc-^-n,.fcl —^Ti.—^-l-rx-i U C.C. 2-^ Ln,kyYn,k n—>-+oo fc=l

On peut obtenir un resultat plus explicite en modifiant les conditions du Theoreme 12.

Theoreme 13 Soient (Xn,k,k ^ 1) des v.a. infiniment interchangeables pour chaque ligne n > 1. Si

00

i)^ E(Xn^Xnft) <CX),

n=l

ii) P[Xn^k ^ K]=l pour tout n et k ou K un compact de 7?.,

h

iii) kn une suite d'entiers telle que lim inf, = oo

n-^+oo log n

alors

'71

^-n,k —>n-^+oo 0 C.C.

^^1

Demonstration: II suffit d'appliquer Ie theoreme 12 en prenant

Sl K ^ ^n

O'n,k = ^ hn

0 ailleurs.

(32)

kn

•n

"n

On a y^ \dn^\ = y^ 7- < 1, et An = —. Done, si liminf^ ^ v^u ^ JL7l — 7 • -a-^'v^J.J.v^ = 00

^ 1"'^' ^kn~~7 " "" kn ~ ""' " n^+00 log n

alors

00 00

^ exp(—a/An) = ^e2;p(—o;A;n) < oo.

n=:l n==l

Done la condition (iii) du theoreme 12 est verifiee.

Definition 9 voir [11] Etant donne une famille de variables aleatoires {Vi^s, ...,Yn} construites sur Ie meme espace de probabilite, on dit qu'elle est symetriqueraent in-terchangeable si, pour toute permutation TT des indices de {1, 2, 3, ... ,n} et tout

choix d'ensembles Ai,A2, As,... , An € B{'R), on a

P(Ym € Am, m = 1,2,... , n) = P(^r^) € A^, m = 1,2,... , n) pour tout choix de Vi = ±1, % = 1, ..., n.

Definition 10 voir [11] On dit d'une suite de v.a. {Vi,^;---} construites sur Ie meme espace de probabilite, qu'elle est symetriquement interchangeable si toutes les families finies {Vi, Y^,... , Yn} sont symetriquement interchangeables pour n > 2.

Theoreme 14 voir [11] Soit (Xn)n une suite de v.a. symetriquement interchangeable. Si E \X-L \p < oo pour un p > 2, alors

E\^Xi\f=0(kyE\X^).

i=l

Theoreme 15 voir [11] Soit (Xnk^k > 1) une suite infiniment et symetriquement

in-terchangeable pour chaque ligne n > 1. Si pour un p > 2 on a E \Xn,i\p <. M pour tout

n, alors

1

V"-n == ~a ^ J V"-n^ ^V"-n—^+oo ^ C.C. i=l

(33)

Demonstration: Par Pinegalite de IVEarkov et par Ie theoreme 14 (kn = n), on a

n n

p[I^EX».'l >£^< n~''£~''E\'^Xn,\r < E-"n-^'tcE\X^

n^\ ' ' ^

Puisque E \Xn,i\p ^ M et que p > 2, on a

oo -, n

EP[I^EX".'I>£]<°°'

n=l i=l

1^

i.e. Xn = — ^ ^^n,z —^n-H-oo 0

c-c-Voici une extension.

nt^

z=.

Theoreme 16 Soit (Xnk,k > 1) une suite de v.a. infiniment et symetriquement

inter-00

changeables pour chaque ligne n > 1. Si V^ , < oo, alors

Z-/ "I

n=l

1 ^

n = ~7~~ ^ j 'n,i ^n—>-+oo ^ C.C.

^n~^~l

Demonstration: Par Pinegalite de Markov et par Ie theoreme 14 on a

'n r"n

P[^Xn,>e\<k^e-2E\^X^=0(k^EX^).

Puisque 'kn^ -.---"- -^

V- E(X2^)

^~k^<00'

^1 rvn alors fc'n

n = ~i~ ^ ^n,i —>n->-+oo u c-c-kn^i

(34)

Chapitre 3

Nouveaux resultats pour les

tableaux

Dans ce chapitre, on va trailer Ie probleme de la convergence ou divergence complete dans les tableaux a rangees i.i.d., ainsi que dans les tableaux a rangees infiniment in-terchangeables. Une attention particuliere est apportee au comportement des moyennes partielles, qui ne peuvent pas etre ralenties indefiniment.

3.1 La convergence partielle des tableaux a rangees

de v.a.i.i.d.

Theoreme 17 Soit (Xnk,k >_ 1) i.i.d. pour chaque n > 1, les variables aleatoires pouvant etre dependantes d'une rangee a 1'autre, si les conditions suivantes sont verifiees:

i) EX^ = 0, Vn ^ 1,

ii) (p(t) = svipEe^xn'^ < oo, pour au moins un t > 0,

n k,

iii) lim inf, = co

n->-+oo log n

(35)

alors

'n

n = ~i — ^ ,An,i —>'n->-+oo u

c-c-^^1

Demonstration : En posant ipn(t) = Ee^xn'1^ il existe un t tel que ^n(t) < y(t) < oo

pour tout n puisque supEe^xn'^ = (p(t) < oo pour au mains un t > 0

n

Vs € (—t^t), (Rn(s) < oo C8tif(x) = ex est croissante

^n(t) est continue, de plus, elle admet des derivees de tous les ordres au point 0. Done on peut developper yn(t) en serie de Maclaurin:

+°° ^/[rn(Q^ +°° f]\}C \rn

^(t) = ylvln l'\ujtm = y^ ^1^";11 tm pour tout n et tout t > 0 assez petit .

z-/ m! " - z-/ m! »n=0 m=0 On a done

E\X^

-tm < Vn(t) ^ ^(t), Vn

mi

E\X^\m ^ y(t}t-mm\ = 2v(t)t-2m<^.

Done, si on prend c = -,i^ = 2(p(t)t et A = e^/kn, on peut appliquer 1'inegalite de Bernstein (voir PAnnexe) qui donne :

£2kn/2

P(Xn>e)<e^-^_^)

+oo +oo ^ ^2

EW>^E^(-^<2^)-n=l EW>^E^(-^<2^)-n=l 'n k,

Puisque lim inf = oo, alors ^/K > 0, on peut trouver NK tel que Vn > NK on a

n-r+oo [OK n kr— > K ==^kn> Klog n. D'ou,V^ > 0 log n

.£2fc»/2 ^ < ^ c^f ^Klogn)/2

^2y(t)t-2+rf-i; ^

_^e^-2y(t)t-2+rt-H>NK ' v / ' _^e^-2y(t)t-2+rt-H>NK £2/2 \~1

En prenant K = Kg = 2( _^^_'^ -, ^_i) ; on obtient

.E exp(-^yl^ ^ ^ ea:p(-210g ") = „£ A < °°-

£2kn/'2-2 n>N^ -T\-/- ' -- n>7\^ H>NK^

(36)

+00

Le. ^P(X^>E)<

z-^

n=l

00. +00

Un argument similaire donne ^ P{Xn < —£) < oo et on conclut par Ie lemme de

n=l

Borel-Cantelli que

n —^n—>-+oo U

c-c-Inegalite de Mill [5].

VA > °' (i - ^exp(-^) < pwo'1)>X)< ^exp(-xi)

Proposition 1 Soit (Xn,k)n,k une suite double de v. a. normalesA^n,A;;°n.A;) ^e^e (lue ^es ^n,A; sont i.i.d. \/n> 1,\/ k > 1. •n ^n,i

k:

Si lim inf

71-4-+00 Kn

^a2^ (log n)

i=l

Par contre si limsup

i=l

= oo, alors 1'enonce lim {Xn — — ——) = 0 p.s. est vrai.

n—>+oov--" kn

"n n—>-+oo

^a^(logn)

< oo, 1'enonce est faux.

i=l

Demonstration: On a (Xn, n~>_l) independantes, done par Borel-Cantelli

'n

Y^

? ^ P/n,i / ^ ^n,» ^

Urn (Xn-^- — )=0p.s. ^ Y^ P(\Xn - ^ ^ I >e) < oo Vs > 0

n — >+oo }n z-^ n>l 'n

^P(|^(0,1)|>^===)<CX) \/£>0

n>l

^

'n .2

2^

1=1

E

n>l

^

'71

E<.

-_-._/ _2

un

exP(-£\^ ^ )<°° (Mill).

d=l an,i

(37)

Done si liminf "n

n—H-c» ^n

^^i(^gn)

1=1

de confirmer Ie premier enonce.

= oo, alors 1'argument de preuve du theoreme 17 permet

Par contre si lim sup

kl

n—>-+oo kn

E^

i=l

kl

< oo alors il existe un K > 0 tel que

^n,i (log ^)

'n

^<, (log n)

i=l

<K,\/n>2

-^- < K(los n)

'n .2

2^a^i

i=l

d'ou pour tout e > 0 on a

E

71>1

^

'n .2

1^°^

i=l 'n exp(—et

i2-r)>E

2Efcl</'^^/^"

-.exp(—£2K\og n/2).

Done, pour e2 = K-l on a : V^ —=====exp(—£2K\og n/2) =

"""-"" " -"•^^To^—----o'-'-/ ^^KWnVn

Puisque lim = 0, il existe un N-^ tel que pour tout n > N-^ on a < 1.

n — >+oo n

1

/log n

1 . 1 ./..r .. .V^ 1 1 . V^ I 1

> —= Vn > A^i. Ainsi > ; —===^=—= > > '. —=z-

1" ^IIBI ^ 7^^^ ' ^ 7^"

n = oo, ce qm

^

E^<z

i=l •exp(—e "n vn. rr2 n=l an,i -) = oo et que 1'enonce

permet de conclure que

'n

n>l

•n

^^

? ^n,i

lim (Xn — — — ) = 0 p.s. est faux.

n — >+oo ' /Cn

Corollaire 1: Soit {Xn,k)n,k une suite de variables N(0,1) i.i.d. Vn> l,Vfc ^ 1. Alors,

Sl

lim inf

n-^+oo log n = 00

(38)

on a

lim Xn = 0 p.s. n — >+oo

k,

Par centre, si lim sup , < oo 1'enonce est faux. n^+oo log n

3.2 La convergence partielle des tableaux a rangees

infiniment interchangeables

Theoreme 18 Soient (Xn,k,k > 1) des v.a. infiniment interchangeables pour chaque ligne n > 1 et telles que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

i) il existe une constante K > 0 telle que \Xnk\ < K < oo, Vn et \/k

00

U) ^EX^Xnft < 00.

71=1

Sous ces conditions,

k,

Xn — >n-^+oo 0 c-c- des que lim inf, = oo n-^+oo log n

Demonstration: Si on pose Y^ = ^n,fc - ^?,i|7n), alors, pour n fixe, {Yn,k)k est

\m-2

7n -i.i.d. De plus, Vn et k, EY^ = 0 et ^(|yn,fc|m|7n) < (2K)m < 2(2K)2^ — m!,

Vm > 2. Et par Pinegalite de Bernstein pour VK = 2 (^K)2, c = 2K et A = e^/kn on a, pour une version reguliere de P(»|7n);

^ > £lrnl ^

^(-2(2^2^)-Et d'apres Ie theoreme de deFinetti, on obtient

P[Xn>e] < P[Y^>-\+P[E(X^\T,)>-]

< P[Yn>^]+^~2E{X^X^)

^ exp(-w^^+^lE(xn-lx^

(39)

k,

Si liminf 7— = oo alors VM, 3 N tel que Vn > N on a, kn > M log n.

n^+oo log n

)2 + eK}

Done, si on prend M = Mg^ = --v v--/o ———, on

P[Xn >e]<^+ ^£-2E(X^X^) \fn > N

et done

^ P\X, > E\ < 00.

n>N

Similairement on prouve ^r^ P\Xn < —e] < oo et done

n>N

n —>n-i-+oo u

c-c-Theoreme 19 Soient (Xn,k,k > 1) des v.a. infimment interchangeables pour chaque ligne n > 1 telles que :

00

i) ^E(X^X^) < oo,

n==l 00 E\Xn,1Ln,l| ^ ^ __ __..„ ..„ _ ^ 1 -i___^2q u) ^ —' ,7^' — < oo pour un q > 1 donne, 'n n=l alors n —>n->-+oo u

c-c-Demonstration: Soit 7n la cr-algebre telle que, pour tout n fixe, la suite (Xn ,k)k est Tn-i.i.d. et soit v^ 1'esperance conditionnelle E(Xn-^\Tn)- Pour prouver que

n —>n— >+oo U

c-c-il suffit de prouver que

00 00 kn

^P(|^| >e) < oo et ^P[|^(X^ - ^)[ > A;^] < oo, Ve > 0.

n=l n=l i==l

La premiere serie converge grace a la condition i) car Finegalite de Markov donne

£2P(\^\ >£)< E(V^ = E(X^Xn^)

(40)

Et pour la deuxieme serie, on a par Pinegalite de Marcinkiewicz-Zygmund (voir [12])

kn \ / kn

E ( | ^(X», - v^\Tn ) $ (8g)<£; ( | ^(X», - ^)T|T» ) Vg > 1.

Et par les inegalites de Markov et de Holder, on obtient :

'71

(kn£)2qP[\ J^(Xn,i - ^)| > knE\Tn} < (Sqk^E[\X^ - Vn\2q\Tn], \/£ > 0

i=l

et finalement, la condition ii) donne

00 kn q9^, 00 ^| Y" J2g

E P[\ E(x»,. - I/")l > M ^ (^)' E "14^c < °° v£ > °

'n n=l n==l i=l et done 'n n = Kn 7 y •A-n,i ?'n^+oo u c-c-i=l

Theoreme 20 ; Soient (Xnk,k > 1) des v.a. infiniment interchangeables pour chaque ligne n > 1 telles que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

00

i) ^EX^iXnft < oo,

n=l

-°2- 7?1 V J2g

ii) SMp^x^\(t) < oo pour un t > 0 avec ^\Xn,i\(t) = 1 + ^ /^-! ^2<7.

^1

n Alors kr ^n —^n^+oo 0 C.C. si liminf-,—— = oo n-).+oo log n

Demonstration: On reprend la demonstration du theoreme 19 qui demeure inchangee jusqu'au passage suivant

'n

(kn£)2qP[\ Y^Xn, - Vn}\ > k^\Tn] < (Sqkn)qE[\X^ - Vn^Tn} V^ > 0 et V(? > 1

1=1

(41)

Par la Formule de Stirling, \/q> 1 on a

q\ = ea^g+l/2e-9V/27T avec Alors 'n

P[\^(-^n,i - ^n)\ > kn£] <

i=l

12q

'n'

+1

]<

^

00

E

?=0 ! 'n

12q

£2t2 q.

/64e)g

I -1

(1

+

00

E

?=1

E\X^

/2q7T

^).

Done par la condition ii) , on obtient

oo kn oo

Y^P[\^Xn,i - Vn\ > M < sup^x^(t)^exp(-kne2t2/64:e).

n=l i=l " n=l

k.

Ainsi, si liminf—— = oo, alors

n-r+oo log n

00 kn

Y^P[\ Y^X^i - Vn\ > kne\ < oo \fe > 0.

n=l i=l

Theoreme 21 Soient (Xn,k,k ^ 1) des v.a. infiniment interchangeables pour chaque ligne n > 1 telles que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

00

l)^EX^X^ < 00.

n=l

ii) s\ipEe^xn'^ < oo pour au moins un t > 0

n

n

iii) Urn inf -^^ > 0 ou M(n) = V" k,

n^'+oo M(n) ' ---—V-/ ^

alors

^^

1=1

n = Kn ? j'A'n,i >n—>-+oo u

c-c-2=1

Demonstration: On reprend encore une fois la demonstration du theoreme 19 qui demeure inchangee jusqu'au passage suivant

(k^P[\ ]^(X»,, - !/„)! > kn£\Tn] < (KqknYE\\X^ - ^\2"\Tn] Ve > 0.

i=l

Par la serie de Maclaurin d'exponentielle et de cosinus hyperbolique plus 1'inegalite

suiv-ante, (2q)\qq < (2q)\q\eq < (3q)\ qui reste vraie pour tout q > 0, nous avons

Pl\Y,(Xn,i-^)\>kn£\Tn]^

i=l

E

L 9=0

(kn£2t2/32^

w

-1

E(cosh[(t/'2)\X^-Vn\]\%).

34

(42)

Et puisque eu - 2 < eu + ecu + ec2u = 3^u39/(3Q)! Vu > 0 et C = e2m/3, alors q=0 00 kr,

Y,P(\^(Xn,i-^)\ >kne) < 00

n=l i=l k,

car si liminf ,^7 \ > 0; alors il existe un 6 > 0 tel que kn+\ > JM(n) pour un n assez

n-).+oo M[n\

grand, et avec un simple calcul, on montre

^+i > 6(1 + J)n-lA;i = cAn+1 Vn > 7V((^)

ou c = 6(1 + S)-2k^ et A = 1 +^ > 1, d'ou 00

supEcosh[(t/2)\X^ - ^|]^e^( - [^2/32]1/3)

n=l 00

< supEcosh[t\Xn,i\]^exp[ - [^2^2/32]1/3) < oo.

n=l

Remarque Si liminf ,77\ > 0 alors liminf-,—— = CK).

n-)-+oo M[n) n-^+oo log n

Theoreme 22 Soient (Xnk,k > 1) des v.a. infiniment et symetriquement interchange-ables pour chaque ligne n >_ 1 telles que :

SUP (p\Xn ,l|2(^) < °° pour un t > 0. n Alors k. Xn —>n-^+oo 0 C.C. si Um inf , = 00. n->+oo log n

Demonstration: On deduit de Pinegalite de Khintchine (voir [11] p 331) que

pt^i E^",'i > £i ^ ^2p£-2^i Ex",'i2p ^ (^2V)''^(i^,>,ii2p).

i=l i=l

Done, pour un t > 0, il vient

(43)

f. (£2t<;»)ypnf^.| ; ;-^ < y E(\X^")t^ ^ ^^

2^ ~~M~^ 2^An'll > /i;n£J s 2^ "r^'n! — =

(p\x^\2[t)-p=i bp'- 7=i ^1

^~-Lr-Or, si sup (p\Xn,i |2 W < °° pour un t > 0 alors, sup y?^ ,i|2(^) < °°? pour |^| ^ ^

n n d'ou

oo kn oo

^P[\^X^i\ > knE\ < tsup(p\^^(t)^exp(-£2tkn).

k,

Done, si on suppose que lim inf, = oo , alors

n-)-+oo log n 00 kn

J^p[\^xn,i\ >kn£}

<°°-n=l i==l

i.e. Xn — >n-^+oo 0 c.c.

Dans les cas de v.a.i.i.d. ou v.a. symetriquement interchangeables, la proposition

suivante montre que si les deuxiemes moments sont uniformement bornes sur toutes les lignes, alors il y a convergence complete pour les sous-suites a croissance rapide.

Proposition 2 Soit (Xn,k^k > 1) une suite infiniment et symetriquement interchange-able pour chaque ligne n > 1 telle que sup E\Xn,i\ < oo alors

n ^ n^ ~Xn — )^+oo 0 C.C. si liminf ^\ > 0 ou M(n) = V^^ n-^+oo M(n) ' ' ^-l==l k,

Demonstration: On a montre que si liminf ,7/ \ > O? alors il existe un c > 0 et un

n->+oo M(n

A > 1 tels que kn > c\n Vn > N(\), d'ou par 1'inegalite de Markov, on obtient

oo A;n oo oo 2

^P[|^X»,,| > /;„£] < ^e-2£|X»J2 $ sup£|X»,i|2^^ < oo

n n=l i=l n=l '" n=l et done Xn — >n-^+oo 0 c.c.

36

(44)

Conclusion

Dans Ie premier chapitre, Ie theoreme de Hsu-Robbins-Erdos montre que la conver-gence complete, la loi du logarithme itere et Ie theoreme de limite centrale sont equivalents pour les suites i.i.d.; ce qui nous amene a dire que la condition suffisante de la convergence complete pour les suites infiniment interchangeables que nous avons montree, est aussi necessaire dans ce cas puisque cette condition se trouve dans les deux resultats cites plus haut. Dans Ie troisieme chapitre, on a vu que si la fonction generatrice des moments est finie sur chaque ligne d5 un tableau a rangees de v.a.i.i.d. ou infiniment inter changeables, on a la convergence partielle; mais considerant la proposition 1 pour Ie cas des v.a.i.i.d. et la proposition 2 pour Ie cas des v.a. infiniment interchangeables, nous pensons que cette condition n'est pas necessaire si on est capable de controler Ie comportement des

moyennes partielles de ces v.a.

(45)

Annexe

Theoreme 23 [8] Soii(Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables et f: 7^- —> 7i une fonction Borel-mesurable, telle que E\f(X-^)\ < oo.

m m

Si Tm = a(^f(Xk),^Xk,Xm+i,Xm+2, •••) alors

k=l k=l

m

^^f(X,)=E[f(X,)\^]p.s.

A;=l

De plus (^Fm)m est une filtration renversee et (E[f (X-^)\J:~m], 7^) est une martingale

ren-versee.

Theoreme 24 [8] Soit (-Xn)n une suite de variables aleatoires interchangeables. Alors il existe une tribu T telle que

m

P(XI ^ Q-i, ..,X^ < a^ = i np^i ^ cxj\T)dP

^;=T

00

pour tout o;i,..., 0'm € 7^. On peut choisir T = f ] (7(Xn+i, Xn+2^ • • •) n=0

Theoreme 25 (deFinetti) Soit ^ la collection des fonctions de distribution sur 7^-,

les nombres reels, munie de la topologie faible. Alors pour toute suite interchangeable

(46)

(Xn)n, il existe une mesure de probabilite p, sur la tribu Borel cr(^) telle que, pour tout B € a(^>) et tout g : /Rn — > /R Borel-mesurable, on a

P[g(X^X^ , , .Xn) e B] = / p^(Xi,X2,, , .x^) e B]^(^) Vn

'$

ou Pp[9] = -P[®|(7(^>)]- De plus (Xn)n est F-i.i.d. par rapport a la mesure de probabilite

p"

Lemme 14 (Borel-Cantelli) Un espace de probabilite (^, ^~, P) quelconque est donne.

+00

a) Pour toute suite Ai,A2, ..., € 7 verifiant ^ P(An) < oo, on a

71=1

P(limsupAn) = 0.

n

b) Pour toute suite Ai,A2,...,€ T d'evenements mutuellement independants et

satis-+00

faisant ^ P (An) = oo, on a

n=l

P(HmsvipAn) = 1.

n

Inegalite de Doob 1 Etant donne une sousmartingale X^, on a pour tout c > 0 et tout

entier n

cP(max Xm > c) < E(X^) ^ E\Xn\.

Inegalite de Doob 2 Etant donne une sousmartingale renversee Xn, on a pour tout c > 0 et tous entiers n et m

cP(jnax_^ > c) ^ £'(X^) < 2i|X^|.

'm<k<n

Theoreme 26 [4] Si (Xn,Sn)n est une martingale renversee telle que Xn — >n-f+oo X P-s. alors (Xn)n est uniformement integrable, et on a aussi Xn — >Li X.

Theoreme 27 de convergence de Levy [4] Pour toute suite de v.a. {Yn} formant une martingale renversee, la limite HmnYn = Voo existe p.s., est P-integrable et la suite {Yn} est u.i.

(47)

Inegalite de Bernstein [5] Si (Xk)k est une suite de variables aleatoires independantes telles que EXk = 0 et E\Xk\m < ^m!cm-2/2,Vm > 2, ou c > 0. Alors VA> 0 on a

P(VnX > A) ^ exp[ - _„_ y1'1 ^ ) .

fc==l

Vk , CA.,

n \fn

(48)

Bibliographie

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