A. GIORDAN, J.-L. MARTINAND et D. RAICHVARG, Actes JIES XXV, 2003
RECONNAISSANCE DE LA PROPORTIONNALITE
DANS LA RELATION ENTRE LE POIDS ET LA MASSE
PAR DES ELEVES DE TROISIEME ET DE SECONDE
Elise BALDY
LIRDEF, IUFM de l’académie de Montpellier
MOTS-CLES : POIDS – MASSE – PROPORTIONNALITE – CADRE DE RATIONALITE – CONCEPTION – INTERDIDACTIQUE MATHEMATIQUE / PHYSIQUE
RESUME : Nous étudions la reconnaissance de la proportionnalité dans la formule P = mg par des élèves de troisième et de seconde. Ils répondent à deux questionnaires, avant et après enseignement. Nos résultats soulignent le rôle du registre graphique, l’imprécision de la signification de g et la supériorité des performances relatives à la proportionnalité lorsque l’habillage de l’exercice est mathématique. Ces observations sont interprétées à l’aide des notions de cadres de rationalité et de « méta-cadre ».
ABSTRACT : We study the recognition of proportionality in P = mg formula by French pupils of grade 9 and 10. Pupils answer two question papers, before and after teaching. Our results show : the importance of the graphic register, the bad-known meaning of g and that pupils’abilities about proportionality are best in a mathematical context. Our observations are analysed using frame of rationality and “over-frame” notions.
1. INTRODUCTION
Ce travail porte sur l’acquisition et l’utilisation de la formule P = mg par des élèves de troisième (grade 9) et notamment sur la reconnaissance de la proportionnalité entre le poids (P) et la masse (m). Les élèves de troisième établissent-ils le lien entre la formule P = mg étudiée en physique et la proportionnalité étudiée en mathématique ? Comment ce lien éventuel s’établit-il ? Comment évolue-t-il de la troisième à la seconde (grade 10) ?
La notion de « cadres de rationalité » développée par Lerouge (1992) nous permet de distinguer les différents aspects sous lesquels les élèves « pensent » la relation entre le poids et la masse. Le cadre de rationalité didactique qui correspond au savoir à enseigner se divise en un cadre mathématique et un cadre physique. Le cadre de rationalité personnel de l’élève se divise en un cadre mathématique, un cadre physique et un cadre de sens commun (conceptions). D’après Malafosse (1999), ce modèle suppose que le sujet dispose en permanence de plusieurs systèmes explicatifs et que suivant la situation l’interprétation, il sollicite un cadre de rationalité plutôt qu’un autre. Il nous permettra d’étudier la relation entre le contexte ou l’habillage d’une question et le cadre de rationalité de la réponse.
2. L’EXPERIMENTATION
Quarante-huit élèves de 2 classes de troisième ainsi que 58 élèves de 2 classes de seconde participent à l’expérimentation. Les élèves de troisième ont passé un pré-test pendant une séance de 1 heure, au début du mois d’avril, après la leçon sur les forces et les mouvements. Pendant cinq semaines ils ont suivi un enseignement traditionnel des notions de poids, de masse et de leur relation. Ils ont ensuite passé un post-test, durant une séance de 1 heure. Les élèves de seconde n’ont passé que le questionnaire correspondant au post-test, après avoir révisé, avec leur enseignant, les notions de poids, de masse et la relation liant ces 2 grandeurs.
Le pré-test présente des questions de reconnaissance de la proportionnalité dans un contexte mathématique, des questions d’application (compréhension de graphique, calcul de proportionnalité) ainsi que des questions dont les réponses nous permettent d’inférer les conceptions des élèves. Le post-test propose des questions de reconnaissance de la relation de proportionnalité dans la formule P = mg, des questions d’application similaires à celles posées lors du pré-test avec cette fois un habillage physique, des questions de connaissances des concepts (P, m et g) et quatre exercices d’application de la proportionnalité.
3. RESULTATS
- Reconnaissance de la proportionnalité en maths et en physique
Tableau 1 : reconnaissance de la proportionnalité avant enseignement par 48 élèves de troisième et après
enseignement par ces mêmes élèves de troisième et 58 élèves de seconde
reconnaissance de la proportionnalité (nombre de bonnes réponses)
le pré-test le post-test
situations nombres graphique formule un des trois cas relation entre P et m emploi spontané dans un QCM sur un graphique troisième 11 18 1 20 3 0 20 9 seconde 0 38 19
Lors du pré-test, 20 élèves de troisième sur 48 reconnaissent au moins une des situations mathématiques de proportionnalité proposées (entre deux séries de nombres, entre deux symboles représentés graphiquement ou entre deux symboles dans une formule algébrique). La situation la plus reconnue (18 élèves sur 48) est celle de la représentation graphique. Dans la question de la relation entre le poids et la masse, 3 élèves répondent en terme de proportionnalité.
Lors du post-test, aucun élève n’utilise le terme de proportionnalité pour traduire la formule P = mg. Ils sont 20/48 en troisième et 38/58 en seconde à choisir la proposition « quand l’intensité de la pesanteur est constante, le poids est proportionnel à la masse » dans un QCM. Ils sont 9 en troisième et 19 en seconde à utiliser le terme de proportionnalité pour décrire l’allure du graphique de P = mg, la plupart d’entre eux font partie des élèves qui reconnaissent la proportionnalité dans le QCM.
- Connaissance des concepts de poids, masse et gravitation
Le résultat le plus important est qu’un tiers des élèves de troisième et un quart des élèves de seconde ne savent pas ce que représente le symbole « g » après enseignement. Ils le confondent avec le g de gramme ou avec le mg de milligramme.
- Effet de l’habillage (mathématique ou physique) dans des tâches identiques
Le tableau suivant montre que la tâche la plus réussie est le choix du graphique de type y = ax. La tâche la moins réussie est l’utilisation de cette formule pour effectuer un calcul. En troisième, les performances sont meilleures lorsque l’habillage est mathématique que lorsqu’il est physique. Les performances avec un habillage physique s’améliorent entre la troisième et la seconde.
Tableau 2 : performances de 48 élèves de troisième et de 58 élèves de seconde dans des tâches identiques proposées
avec des habillages différents. Les pourcentages sont donnés pour faciliter les comparaisons.
habillage
mathématique habillage physique habillage
tâche troisième troisième seconde choix du graphique correspondant
à une formule du type y = ax / P = mg
44 91,7 % 29 60,4 % 53 91,3 %
influence de la valeur de a / g
sur la pente de la droite 38 79,2 % 27 56,2 % 46 79,3 % calcul de proportionnalité 35 72,9 % 26 54,2 % 36 62 %
- Cadres de rationalité et résolution d’exercices
Tableau 3 : exploitation des cadres de rationalité dans la résolution d’exercices par 48 élèves de troisième et 58 élèves
de seconde
troisième seconde utilisation du cadre physique 25 52,1 % 37 63,8 %
utilisation du cadre mathématique 4 8,3 % 13 22,4 %
utilisation du cadre de sens commun 19 39,6 % 8 13,8 %
En troisième, le cadre de rationalité le plus exploité est le cadre de rationalité physique : les réponses reposent sur la connaissance des concepts physiques (la masse est invariable, la valeur de g sur la Terre doit être égale à 9,8 N/kg). Le cadre le moins exploité est le cadre de rationalité mathématique : 4 élèves ont explicitement recours à la proportionnalité, utilisent le produit en croix ou un tableau de proportionnalité. Dix-neuf élèves se placent dans un cadre de sens commun, ils répondent intuitivement, sans mettre à profit leurs connaissances physiques ou mathématiques. Leurs réponses reflètent leurs conceptions initiales. En seconde, le cadre de rationalité physique est aussi le plus représenté et le cadre de sens commun ne prédomine plus sur le cadre de rationalité mathématique.
4. DISCUSSION
Le registre graphique est le plus adapté pour représenter la proportionnalité, il fait le lien entre les mathématiques et la physique. La représentation graphique correspond à la représentation mentale « prototypique » que les élèves ont de la proportionnalité (tableau 1). Ce registre sémiotique (Duval, 1993) fait le lien entre les deux disciplines, mathématiques et
physique, car les seuls élèves qui reconnaissent la relation de la proportionnalité (en dehors de l’item du QCM) le font après avoir choisi la représentation graphique de P = mg.
Les élèves ne connaissent pas la signification de g. Un grand nombre d’élèves n’associe pas le signifiant « g » avec le bon signifié et le confond avec le symbole du gramme ou mg avec celui du milligramme. Ils ne savent donc pas « lire » la formule, si bien que la question de sa compréhension ne se pose même pas. L’analyse des ouvrages scolaires et des entretiens avec des enseignants suggèrent que cette confusion est liée à la négligence du registre langagier dans l’enseignement de cette notion.
Les connaissances déclaratives et procédurales de la proportionnalité sont dissociées. Certains élèves sont capables de manipuler algébriquement une expression de la forme y = ax, alors qu’ils ne reconnaissent pas un calcul de proportionnalité (tableau 2). La proportionnalité semble être une connaissance procédurale avant de devenir une connaissance déclarative. La relation de proportionnalité est appliquée en « acte » comme une « connaissance outil » avant de faire l'objet d'une transformation « épistémique », c'est-à-dire de devenir une « connaissance objet », selon les termes de Vergnaud (1994). Cette analyse souligne l'intérêt didactique d'amener les élèves à réfléchir sur leurs procédures de calcul pour que celles-ci deviennent des connaissances facilement exploitables dans des contextes différents.
Pour une tâche identique, les performances des élèves dépendent du contexte. Les performances des élèves de troisième concernant la représentation graphique et les calculs de proportionnalité sont meilleures dans le contexte mathématique que dans le contexte physique alors qu’il s’agit des mêmes graphiques et des mêmes questions présentées avec des habillages différents (tableau 2). Le transfert des compétences d’une matière à une autre ne va donc pas de soi. Suivant l’habillage, les connaissances mobilisées (le cadre de rationalité exploité) sont différentes. Le tableau 3 montre qu’en troisième, il y a plus d’élèves qui traitent les exercices dans un cadre de rationalité de sens commun que dans un cadre mathématique et qu’en seconde cette tendance s’inverse. L’évolution de l’exploitation des différents cadres de rationalité peut être décrite de la façon suivante :
- Avant enseignement, le cadre de rationalité personnel de l’élève n’est pas dissocié en un cadre mathématique et un cadre physique. Toutes les situations sont assimilées par un seul cadre empreint de sens commun.
- Avec l’enseignement, l’élève acquiert des connaissances mathématiques et physiques qui s’intègrent à ses cadres personnels. Il semble donc à ce moment là pertinent de dissocier un cadre mathématique et un cadre physique. Mais le cadre de sens commun contenant encore les conceptions naïves reste présent. La réponse à une question peut donc solliciter l’un ou l’autre de ces trois cadres. Progressivement, l’influence du cadre de sens commun diminue, soit parce que
les conceptions naïves des élèves (qui faisaient obstacle au sens de Bachelard (1938)) ont été détruites et ne sont plus en concurrence avec les connaissances scientifiques, soit parce que les nouvelles connaissances scientifiques ont pris appui sur les conceptions naïves pour les faire évoluer et les transformer, soit parce que les nouvelles connaissances sont considérées plus performantes que les conceptions naïves auxquelles elles s’ajoutent.
- Lorsque les élèves utilisent des connaissances mathématiques dans un contexte physique, on peut formuler plusieurs hypothèses. On peut penser que les cadres sont « perméables », les connaissances passent d’un cadre à l’autre tout en restant ancrées dans la discipline de leur acquisition. On peut aussi supposer que les notions sont réorganisées de manière abstraite et « décontextualisée ». La proportionnalité appartient alors à un cadre supérieur qui englobe et dépasse les cadres mathématiques et physique, et que nous appelons « méta-cadre ». Les connaissances contenues dans ce cadre sont « décontextualisées » et peuvent être mobilisées dans n’importe quelle situation. Cette analyse complète les conclusions de Bassok et Holyoak (1989) selon lesquelles les élèves sont capables d’utiliser des connaissances mathématiques en physique que s’ils ont ré-élaboré les situations dans des termes abstraits. L’assimilation des exercices dans leur caractère abstrait et la réorganisation des connaissances de manière « décontextualisée » permettraient alors à l’élève de voir au-delà de l’habillage.
BIBLIOGRAPHIE
BACHELARD G. (1938). La formation de l’esprit scientifique. Paris : Librairie philosophique J. Vrin.
BASSOK M., HOLYOAK K.J. (1989). Interdomain transfer between isomorphic topics in algebra and physics. Journal of Experimental Psychology : Learning, Memory and Cognition, 1, 15, 153-166.
DUVAL R. (1993). Registre de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives de l’IREM de Strasbourg, 5, 37-65.
LEROUGE A. (1992). Représentation cartésienne, rationalité mathématique et rationalité du quotidien chez des élèves de collège. Thèse de doctorat, Université Montpellier II.
MALAFOSSE D. (2002). Pertinence des notions de cadres de rationalité et de registres sémiotiques pour l’analyse des processus de conceptualisation en didactique de la physique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 22/1, 64, 31-76.
