ARTheque - STEF - ENS Cachan | Simulation de l'activité scientifique : le cas-limite de l'enseignement des mathématiques

(1)

SIMULATION DE L'ACTIVITE SCIENTIFIQUE

LE CAS-LIMITE DE L'ENSEIGNEMENT DES

MATHEMATIQUES

Jean-Philippe DROUHARD

Université de Paris VII

HOTS CLEFS.

[qûactIQlIe, [nSCUSS1ün,EA(l,tlatlri:rnatIQlIes, SHYIUlatlOn

RESUME.

Olle peut-on simuler de l'acUvlte nlathelllàtiQue dans une perspective (j'enseignement? SUivant les dlfièrents sens Que nous donnons aU mot

«sHnul er., , nous verrons plus 1eurs types de recrlerches dldact 1Ques,

r-e1evant de l'lisage des sys t èrnes experts, de l'EAü, du "debat sc 1fmt1IIQue" et de là "diSCUSSion ôutour de problernes"

SUHNARV •

l"I'hot can V'le slmulélte ûi rnatl,ernôtlcal ôcUvltles ln ô teôctnng pOint 01 vlew 'Î A(Conllng ta eôch rnetlrllng 01 the ward «SHYllIlete », we Will see dliierent t~pes ai IIlôttlernetlc educetlOn reseerch, releVant to Artlilclôl Intelligence, Cornputer Asslsled InstructIOn, "sclentlflc deoate" and "pr-otdern dIScussIon"

(2)

,. QUELLES fORMES PEUT PRENDRE L" SIMULATION OE L'ACTIVITE MATHEMATIQUE?

L I-simultltion-,

l'tir

un

système expert

Spi on le dictionn"lire "Petit Robert", 10 simulMion est IJne rel:lr~Sent"ltion

du coml;lortement de s~stèmes PJ:!YSlfJUeS (pBr des cl:1lculBt'~urs ôn~lQgimli)2, numériqill'2,~_) en sln1UIBnt RBr des sign"lu~; BRRropri~s les gr1ndeurs réelles A ~t-oprelllenl p'll-ler, 11:1 seule 'slrTlulôtion' de l'BCt.i'oit 6

1'1

nl'ltJlét1ll1tl(;pn, PSI relle que ré'lllsenl les systèmes e~~rerls (p'1r e~~pmp'e,

des progrflnHnes de démDnstrBtion eutometiqllE» Per "syst.ème e~~pert en mflthén.otilJ'.lp, Dn entl"nd un prDgnmune ;nfDrm"l!.i'lUe c!lp"Ibip d", ";"Il'ser ]ps tl-Dis t.~r:hes ',IJi\!"Infes (GEN5BITTEL, 1985)·

- produire un· r"lisonnpmenl", - l'''p~pliquer'',

- "rendr" compf.e' d,:,s résult."Its "Iuquel il est. pllrvenu

Une prermère fJpplicll!.ion

ô

l'enseignement peut être de feir,:, trt'l'!fliller des étudients directement S'Jr un tel système e~~pert Dens le domlline de l'enseignement de lïnformBtiq'Je, on peut citer les trflvflll~de J-R Erlnilis

BPfl/1,n'nç /i1('t-iJ-Pn?h~(J (1982), Binsi que les étu,jes concert16nt. rBpprentissBge du Pt-O'og

por

des étudit1l1ts en pS1:lchologie

6

113 Hlé-Univ"rslt.é de OuÉ'b"c(Op~n Universit'J)

En mllthémIlU'llle, 110 égljlement été tenté de foire trll'iôiller des étudillnts sur un ~rogrljmme de démonstrBt ion(n GENSBITTEL) A "usllge. il semble que le irllnsferi (le rÉ'lnvestisssemenU lies connoissllrces pt des

"liléf~conn"li'3s"ln(es" (i1" des connôissônces sur les cnnnôissôncesl mises en ŒUli,-e ~flrl"s él pves lors de construction du systènl" e~pert,pose un certBin nOlilbr" d", proo 1èmes

Il y Il (IlU mOll1s) deux types dïnterprételtion

il

ces difficultés

1ére inter-prétfltion . L'idée que l'opprentissoge de sevOirs et de sevoir-flllre mothémef.i'llJes peut être fflcllité por le !1lBnipulof.ion effective des règles "t métllrègles d'un système expert, repose sur l'hypott1ése pédllgOgiqllE'

(3)

SOUs-Jôcpol.e que l'p~(plicit(Jf.1on de ce qlli est l1ôtlituellP IJlollt i!'1~I'cll<~ d1'lP~

"tlcl.iv!t,~ mothèm~tiqu,=,en fOl/orise 1'1'l~~jmjlôtlon nr pro ~OU10ITl"II' c"''-te hypothi>se ne V/'l pôs d,=, soi, mois enco"e,

6

lô lumi o'-e rle~~pèrien(.,,, /'Iyônt pri:>ro'jè lô dém~ln:h", d", "discussion ôutour de pp't'Ièm.,s" (dl)nt _il _~e",j

ql.lestion eu chl'lp 2), no'.IS /'l','ons des rôtsoos de ponsel- q"",1ln 'lP'~t pô'3 did/'ldiquernent p",rl.inenl,f', voire qu'elle est 'in ô"Môr rj,=, cotto "'It'°US'" "illusion de tnlllspôrenee" relel/ée (sous des rjénonlinôtinn~ diffprpntoc) p'lr

des chercheurs /'Iussi diffèrent.s qu"r' Cl1evôllôrd",1. S 8APUf

2èrn", interprètl'ltion' On nedjspo~p rô" ~ !h,?IJle ~ft"pllp pt 110 Inln.(jIIl1P

b/'l~e complète de conMissôncl's et de rn~t(jrnnnfiF~lnces d", lôrl,I'·lité effectivp dl.1 môtl1"rnô!.lcien '3ur une questil}n rjfnillee i.PASTPE, ,gin Le prQbli>me n',=,st DOS seulement ql.Jont.itl'ltH NCll.Js SOlfilliPS portés ô croir-a _on

eff",t 'pie l'ôcl.jI.'il.é du nVll.hérl1ô!.ieien (étudiônt ou profesciclllllel) n8 pellt plto .-éduite

6

un môniem",nt d'ôlgorit.l1llles 'pilr:lI.è" P''ll' lino heuri'Otiq'JP "déqu'jlp, mois quelle présente égolement un ô'Opeet ,jiôlectique, ôrgumentôtif (celuI ,1e l"'expérience de lô contrtldiet.i!Jt1'"l, et d!Jnt I~tude (pour ce qui cone",rne

lenseignemonf.\ ne fôlt que commencer (PAOUEL lEP, 1gô6)

De fôit, q'.Iell'O' ntltur'e pouvons-nous ôss1gner

il

1 ~':périenee" (ce mol. étônt pris dons les deux sens du t.errne) en môt.hémôflqIJe" Nous ROSIJnc',..fIltre outres

,--.J.l1

ljQothèse gue l "'exRéri enee" f ondtlmentô 1e en môl.h~motiQ!Je e11 celle de 10 contrlldiction (rBtionnellement Blgumenfet? IIJI-'3 d'Un '1ébô t, réel ou infériorisé~

Cette position nous llmène

il

élBrgir le eh1lnlD de III sHnulôl1nn S1 c'est, une expérienc<:' qlfi 1 s' l'lgit de simuler, olors en mMhélllôt i'll.!e 1(l si mul ôl. iQn doit

d''lbord concerner lpxperience de 10 eontrôdict10n L'intérêt des mônip'.i1ôtions heuristiques ,je ri>gles de côleul ne peut ôpporoitre ql.l'I'lprès que le sens du tnMlii rnothéml'ltiql.e olt été dégogé, ôprès que l'élève oit. eu une expérience personnelle dl;' l'/'Icti'lil.é mtlthéml'ltique

Il fl'lu l noter que lô notion d"8xpérl8nce rJe lô ,:rmtrôI1irtion" tlp"t [tôs corôctèristique des môthémotiques, mois bien de toute discours rôtionnel Ce qui distingue pourfont 10 rnothémoti'lue des sciences expérimenttll"'s (p1r

(4)

"":,,mpl,,) c'"st ql("n rmtl1émllt IQU" c'est lel ""ul" "xp<'>ri "nu' P(I"Sil>10

1.3

Simulotion de 10 conlrodiction.

Consldér(lns donc 1(l simul(lti(ln de 1(l contrl'ldlctlOn C(ltlHW' ét~nt 1(l r"produclion, ptjr un ordiIHlI.eIJr, d'une situl'ltion d" ((lt)f'-Ildlcl.i(ln en

ml'llll~metiqlJ" En br"f, c'"st l'ordineteur qui contredit. lélèvE' Nous en'.rons 16 d(lns le 'Il'lst" dotlltjine de l'Enseignement Assisté pl'lr Ordin'lt"'lf (E A 0), d"s

Tests Assistés p'lr Ordintlteur (T A 0). 'Ioire de l'Ensoignem"nt IntplJI9"nWl"nt Assisté per fJrdlnl'lt"ur (El A 0

J,

ou plus pri>CI"orw·nt d'lns jP dorn'line, nettement moins 'l'lste des progrl'lmrnes réellement int.ertlctiis r-essort.issl'lnt flUXc'ltégori"s ci -d"ss'.JS

Inform'ltiquem"nt, deux pewti -PriS sont enViS'l9E'tlbl"s

1) Soit. d" f'lir" sim'.!l"r Il'l contrl'ldiction p'lr un progrllrnrnp 'lrborescent

pri>~t'lbli,erwIsFlg,,'lnt toutes les possibl"s réponses d" l'élèvp, ce qUI irnpo'3" '.!n '3Ulet r"'3trPlnt 'lU dépl'lrt ([tUIIONT, 1984, CHASTENET [lE GEP'( 1(85)

2) Soit d" f'lir" simul"r c"tl." contr'ld'ction pllr un "n""mbJ" do n?gles pennetlent

6

11l ml'lclline (qui utilise l'llors les reSSOIllTE'S de lînt"lIigE'nce ArtificIelle) de répondre tlUX productions de l'éloye On puurrl'l citer lci les trl'llll'ltr( d" QSI"emen ,,1. ,J S 8roYvn (Sté X"rox) 6 St'lnfor d, ceux de ,J-F NiC(lud 'l'.!lPlo Ors(l!:L de l'i>q'.!ipe du group" "lAet for-motion" ol'Imillefsité Pl'lns 6, de Il Vill"t (Unil/ersHé du Ml'linel. (f'UX d" Il Jonb (p(lris 6),_'-1-1 Vis"tti (LltlSI,Or~tlY), ~insi ~ue

''''.IX

de B Dumont. (INPP, P'm~)

On se heur-te toul"fOls lé encore l'lUX lirnll.tltlOns du di'llogue homme-ml'lchino d'unE' pl'lrt,

"t

IlU peu de connl'liss~lt1ces d"s rnéconism"s de l'(lrgumentôt ion r'ltionnelle en mtlthémotiQue d'nutre p'lrt

13 Simultllion por les condisciples de 18 contr8diclion_

le mot "simuler' ~ une outre ocr;"ption, Qlle nOlis n'~"ons pos encore considérée, celui d'Imiter un" l'lttitude'', dans le côs d un individu Cl' peut donc ~tre

6

des étudi(lnts, pt:lrt"noires d'un débt:lt rolionnel, (l'8pporter ln contTl'ldiction

è

un indIvidu Il s'ôgit l'ltors d'un /el/ de slmulotion, pt:lr un gr-oupe, celui de Itl clt:lsse, de l'e:-:périenc", e ~riori intime, de l'octivité

(5)

ml'll.h';ml'l\1qu o

[1"U~ ôpproches sonl ôlors possibles, pOllr lesQIJ"llE's 1"det;~l 1"1)1101111,,1 "st. envisl'l9'; comm" slmull'ltion, ,,1)1\ d'une 11l1cro-socii>I'" ~rion'ifiQ'JO, '3':'1 1, d'l

'débl'lllntlme' d" l'étudiMt résolvônl un problèm"

Première flllproche : Simulotion d'une micro-société scientifique.

L',,~(p';rience de 11'l conlrl'ldiclion esl ôlors l'l'J CCf"ur d" 10 sit.uflt.iC'n didôcti'W", dJl" ôIOI'S "codldôct.iQue" (Al/BEPT, 1987) Cplô peul r"pr';s"nl."r

1.10 moyen d" rpl'lliser ltl l.êch" que Guy BPOUC;SEAU l,IQ_86), _,jl'lns _"Ô _tf'ps", l'l"slgn" l'lU prof"sseur'

{II) Ij':111 dolIC sim1mr r!ilns Sfl cl'1""o

'In"

IPirro-<ncIPl.p SCi,,"l1fl,we " l "'>"ll que los ClJtltll'liS'3ilIlC,oS SUI"nl. 1e", '1)I)ljon~ "col"'miQ110S ['n'Ir ('OS,," ,lu ,""'Ines QIJe'3:t.i0tl'3 ",1. pe"lI' tt·il''''. "'" des d~b11s, s',1 veul que I"s 1ôn9ô9'?s soi"nl. des mOIJ"n< d" môilnsel' 1,,< SilIJiltY'!I" do formulôtion et. 'lU" l"s démonslrôtions soi'?nt d"s pn:>I.l",''?s''

L'èt'Jd" de

r"

t.YPE' d" sit.uôt.ion d'ensE'ign"ment (1""dèbôl _{sci"ntifi'lU"') ost}

m"n,;p d"p'JIS plusi"urs ônnéps

il

Grenoble pilr 1'e'l'.npe réUIll€' lIut.our d"rll1tT LEC,PMW (1°84, 1965, 1966\

Deuxième opproche Jeu de simulation, por une classe, de

l'ottitude critique d'-un" élève avisé (Il YIlIl 1l'i ê!.re "plu<lelws dllns Sl'l !.é!.,,') ('"sl II'l dém~rcile, proche en bi"n des point.s d" lil prècéd€'nt", dl> "discussi'Jn IIIJtour dl> pr-oblèmes', btlsè" S'W d"s sill _l1ltions _{fil\.'orislIl'il} l'èchllr,,~e d pno!1cP" et d't:lrg.Jtr1E'n t s tnil1hérrll'lll'1Ul>S pilr les êludl,llnt.s ~

l'o[[ilsion de III recherche dE' ll'l solulion d'un problème

2 QUELQUES CARACTERISTIQUES DES SEANCES DE -DISCUSSION AUTOUR DE PR06LEMES' MIS EN PLACE EN

1985-

19B6 AU CNAN Le Con'3er'lllfoire r~iltionll!des Art.s el M':>!.ier, (cr'IAIl), sit.ué

il

Poris, est.'In èlf'lblissement d'ensl>lgnemenl supériE'ur pOlli' fldultes L'€'~pèrJ€'nC:l> de disclJS"IOn l'lut.')llr do problèmes' conceme 1,,0 ",:>lIncp_{s d" Tril'lOUY [lingés}

(TEl) dun enselgnoment. lippe!'; "Elèm"nt.s d" f111 l hs" dr:>nt. l'obJ"ctif "s' Ime

(6)

A litre II1ljic(J\1f, le progr~mm'O' d~bt.Jleovec les (I::lI(IJls Sllr les pt,JiSSl:lnc<o>s el 10 r'O'pri>sentolion groDhique des tOl1ct,ions offme", et se termine pot" les coniqlJes, lïnf.~gl-I:ltIl)n et les nombres complexe,

Nl)us renvo'Jons le lecteur' ~ (DROUHAP(I, , 987) pour IIne description de l'ensemble de 10 démarclle d'enseignem"nt : nous indiq'JOns simplement ci -dessl)!!s le schéma d'O' déroulement d'o.lne s~onc'O' "id~ole" de discussi"n outollr de prl)bli>mes

o

B

S Ecritlll" alJlabl-"'J(3) E 1mpas1i bililé(4) R

Pé,j.diondtJPlo~l~fT'0(1' E<laid'~n11Iro1 pl'inli . deIcOOtH'U3 et dé>I~,hes ,

- fj~h g~~tif)n fjPh,1i~(;'l~~if)n

A

T Ç••tio~ de~,d-b1ts sa01 1 pnndre plrfi(4).écriture des

o

uQUmenlatjons au tableau

Amphi Eludianl Phase

PRE·

PA-RA·

TIIlN

F'r~paraliondu problème chez soi (2)

PropositlOn 1e '1 solution~l'amphi S E A Vole (5) N

"OiSCI_JS1ion" _{AHaque ou dHense}

(6) 31'l'HMntéel d's C dh'erses propositions E Enseignant Groupe de recherche "fermeture" ("insti'utlon-. nalisatioo", rw/oi

â

pl us

tard, inler'.entionl dtla discussion (7)

EVA·

LUA· TION, ----

_ .

(7)

-Notes sur le tllbleltu précédent

(1) L':'s DIlJQlêllles, court.s, "Opl ChOI"IS n'OHl:, [:''''W l"".w d1fflCUll.ês t.~(;llnl'lueS 'lU'" [:'01I1"Doser un problème'

il

l'èt'Jdiont. l<:'ur fonnul~lton p<:"Jl donc étre Ill1lb'g'.I';, et. Ils sont. I,ou)our" rellltiv",ment. "ouverl.s

(2) les [:'roblêmes sont. donnés

il

l'/l"!/lnc~ /lUX étudlll'"tf.'O, 'l'Ii r"t! D'"1t" conSIgne de le', prépIH,:n ôvônt. le

TD

Ali débul de cfll'lq l le ç'''ôncP, t.Ollt,

1"

nlOnde "st c"nsé /l'loirl1n~Idée de rI" rJnnt t.1,~ile le r,n'tdt-tl''', ,,1 ";"011" 'l"elqu o choseÔdire ~son sl.J]et.

CH Le f'll!. d'êcTil"'~/lU tôblellu [:'ro[:'osilion" el 'lIglJrll P'ltc _{,jP,:nIJle de ce 'l'IP} les ét.udillnts ent.endent. génénllement. tn/llleUl:' !lIier·,,.'entio'l": rospecl, .... ec

(4) L'irnRl'lssibilité de l'en"eignllnt pendejflt. q'!ll nc,In l'lU tl'lblell'I le-:,

"ol'.!I.;'1I1s Cll.! les l'lI 9',1111ent.s d",~ ét.udillnts

"",;1.

un élêlw'nl i'lIJlsr":'f)',/lttle 1j1.J t"!11 déroulplnen t de III diSCUSSIon Sil nHlrque pl'lr "on "lltltude (line mo'Je 'J'lbilô',ive suffit.) qu'il désôp[:'rol.Jv" III [:'ro[:'ositifJn ,jlfll éttlrlll'lni.. lô ·,...~le'lr do "i>rlt.è IO'JIIl pe"tlnence) de celle-ci cesse l'llors Instônt'lnément d êlre 'onl""1 réel de le dlsrusslOn Il esl éVident pOlir tous quelle ne peut êtl'e qlJe f~u'Os'.'

ou bl~n non-p",rtinente L~ diSCUSSion devient un siP1llll'lcre, r"l les un~ el 1,,'0

Flilfres t.letlilenf _{('l'IS ou I11ClII1S consciemment} _{letH" roi."} _{m'lis ,Joli 1. III fin} de',,'lpnt l(l "'ltI'3fllc!.Jon du mllitre C'est le retour ~ Il'l cClncepl,nn'J'lrldiQlle' de" Ifj~Ihêrn~tlQu"S,011 il importe de "bien' fôlre, plut"'t qllo de s'lntenngor-S'lr !esen~ et III "Illellr de son discours

(:oi) Les différentes solutions proposées en

TD

sont. nwes l'lll "-lot"," (dôccord " [:'flS d'lccord

1

Je ne SfllS pflS) Ce vote, qui bien entendu ne sorl, PIlS ~ do?termlner l'l v"'fït.è dun énoncé, possède le t.riple Intérét. de cC'ntl'/llndl., les él'Idillnt.s ~ sengflger sur l'objet de lô discussion (lI' minimum p~r III mot.lon "Je no SôlS PIlS". de fourmr

ô

l'enseignôn t. des inf'JnTI"ltions lUI [:'ermett.l'lnf. de gérer III discussion, et d'offrir II'l possibilité de p't0urs en ~ITi"'-e rèfl",<ifs stlt'les erreurs et leurs CÔUSlO'S, en cherchônt ce quil

y

Il"1l1l. de tent'lnt. dl'lns les convictions erronné'?s

(6) Les différentes solut.ions proposées donnent. ôlors lieu~

'm'?

dIscussion ent.r", l'?s êf.lI'ilônt<, gér-élO' pôr l'enseignent.. q'li n'pst pôs fr;>nsé, '.'n pnnc IrP,

(8)

intervenirSUI le cC'nlenu

(7)L~ t~chpde clore 10 discussion est dévolt.Je

il

l'enseignl'ln t , 'lui peu' 'lIClrS intervenir 'lU nivel'lu molhémetique, en institutionn~lisonl des ,-ésultet,s

1\ ve de soi que le schéme ci -dessus ne représente q,,'lln "Inodi>le" de diSCUSSion 0'.lt011r de problèmes, dont se sont plll<; ou n,o'no, écer-!. ôe'3 les sHuotions réelles L'ônolyse de ces écorts feit_ porlle lIItégrente ,je l'étude de l'ensembl e de 1e demerche d'enseignement.

3 CONCLUSION

On pO'.lrn'l, en guise de conclusion, envis~get' de considér'er '_C'III

enseigt1emenl, de rnôthérnotique du point de vue de 1'1 oiml/lôf,inn de

l'p~ppripnre fonrj,~nlen'ôle de llJ contrfldir: t;C'n Ain',i, 1» rJie1nq"e "rhètnli'l',le rJ" profeS'3P1_1t' f'l'/ec lui -même, qUi, devenl ses étudierlts, se rose des probl ,>n1Ps

ft

lUI -m~mp pour

y

répondre ensui!.e, peut ôpp'jrô it."p comme IIne forme de sirnulô'_ion de le cont,r'edict.ion, 11Hlis une forme'dégôné"ée' puisql.le "tu"llis;'e Pt. rédllIIe

ft

un seul individu

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(ô

pôrô;'r»)

(9)

OUtl0NT, B Enql/Ptf:' l'té(l/L~l~lf:'

i

/~ Cl'n,fltlill(',,? (~~D (('5f!" 'I:'S:"'::((,5 ['8

erdil"ftf'l,',r f:'!"1 tr!trt.7pmtrt 1(71/pS . lreâlN?.', (1 l?ô4),F?~ppf)rt.di> rfO>chfO>rchfO>, LIER

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6

Il.ll"i;>rn~Ecnli>

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SI//'" l'!"ItpÇlr tr l

e

Wl

DEUG A

lP.re "1'1f/PP, Cl"lhler d~ did~ct.ique dfO>S

ml"lthém~tlqufO>S

wn,

IREM Pôris-Sud

LEGRAND, ft, ALIBERT, D, GRENIER, D, RICHARD, F (IQ₈₆₎ _{intrl7(fl/ctf(ll'l}_dl

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pt de

i

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