Le groupe de renormalisation appliqué au modèle de Hubbard étendu unidimensionnel

Hubbard etendu unidimensionnel

par

Marc Menard

memoire presente au departement de physique

en vue de l'obtention du grade de maitre es sciences (M.Sc.)

FACULTE DES SCIENCES UNIVERSITE DE SHERBROOKE

1*1

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ISBN: 978-0-494-61448-8

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Bien que ces formulaires aient inclus dans la pagination, il n'y aura aucun contenu manquant.

1 * 1

Canada

le jury a accepte le memoire de Monsieur Marc Menard dans sa version finale.

Membres du jury

Professeur Claude Bourbonnais Directeur de recherche Departement de physique

Professeur Christian Lupien Membre

Departement de physique

Professeur David Senechal President rapporteur Departement de physique

Sommaire

Ce travail est consacre a l'application de la methode du groupe de renormalisation au modele de Hubbard etendu unidimensionnel. La methode est d'abord utilisee pour repro-duce les resultats existants dans 1'approximation du continuum et est ensuite generalisee de maniere a tenir compte des effets de reseau. Parmi les effets dus au reseau qui sont explores, on peut noter la courbure de la relation de dispersion et l'interaction avec les premiers voisins. Nous explorons plus en detail la region U = 2V du diagramme de phase ou U est l'interaction locale et V, l'interaction aux premiers voisins.

Nous demontrons l'existence d'une phase d'onde de densite de lien dominante sur une plage finie de valeur de V pour un U donne que certaines theories negligeant les effets non locaux ne peuvent voir. Nous demontrons aussi l'existence d'un gap de spin fini dans une mince region ou le gap de charge s'annule. Pour finir, nous comparons nos resultats, obtenus de fagon analytique, avec ceux obtenus a l'aide de methodes numeriques.

Remerciements

Je voudrais remercier mes collegues de bureau, particulierement les deux Jonathan, pour leur soutien moral. Je voudrais aussi remercier la communaute swing pour m'avoir permis de vivre de bons moments ces deux dernieres annees et plus specifiquement a Dany pour m'y avoir initie et Genevieve pour tout ce qu'elle a fait pour moi, autant en swing que du cote personnel. Je voudrais aussi remercier ma famille pour avoir toujours ete la pour moi. Je voudrais remercier plus chaleureusement celle qui a donne un sens a ma vie ces derniers mois, c'est-a-dire, ma douce moitie, Nadia, ainsi que son fils, Nathan.

Sur un plan plus professionnel, je voudrais remercier Claude, mon directeur, pour m'avoir guide dans tout le processus de la recherche et de la redaction.

Table des matieres

Sommaire iv Table des matieres vi

Liste des tableaux viii Liste des figures ix

Introduction 1 1 Modele du gaz d'electrons des conducteurs unidimensionnels 3

1.1 Hamiltonien et decomposition en g-ologie des constantes de couplage . . 3 1.2 Fonction de partition . 5

1.3 Approche du groupe de renormalisation 7

1.4 Fonctions de reponse 12

2 Modele de Hubbard en dimension un 19

2.1 Relation de dispersion non lineaire . 19

2.1.1 Constantes de couplage 20 2.1.2 Fonctions de reponse 24 2.2 Temperature finie . ' 25

2.2.1 Constantes de couplage 25 2.2.2 Fonctions de reponse 28

3 Modele de Hubbard etendu 31

3.1 Espace direct et espace reciproque 31 3.2 Couplages locaux et non locaux 32

3.3 Fonctions de reponse 37

3.3.1 Ligne U = 2V 41 3.3.2 Comparaison avec d'autres resultats 43

Conclusion 46

A Calculs diagrammatiques des gt 48

B Calculs des intensites des boucles des differents canaux 51

C Calculs diagrammatiques des z^ 55

D Remise a l'echelle 57 E Pente des phases secondaires au point fixe 59

F Equation d'ecoulement de t 63 G Equations d'ecoulement et facteurs non locaux 65

G.l Diagramme en echelle electron-trou 65 G.2 Diagramme en echelle electron-electron . 66

G.3 Diagramme semi-ouvert 68 G.4 Diagramme ferme 69

Liste des tableaux

Liste des figures

1.1 Relation de dispersion 4 1.2 Representations diagrammatiques des constantes de couplage 5

1.3 Trajectoire de |g3| vs gi — 2<?2 11 1.4 ln(z) vs t pour differentes constantes de couplage 17

1.5 Diagrammes de phase en fonction des constantes de couplage 18

2.1 ivst 24 2.2 gi vs I pour differentes approximations 27

2.3 Diagramme de phase a temperature finie 30

3.1 t(iT) vs T = EFe~eT . . . . 37

3.2 g vs £ 38 3.3 Diagramme de phase {U,V} 39

3.4 gap vs V a U — t tres pres de la transition ODL - ODC 42 3.5 Resultats de la methode de simulation de Monte Carlo quantique . . . . 44

3.6 Resultats de la methode du groupe de renormalisation fonctionnel . . . . 45

A.l Calcul de gi ; . . . . ' 49 A.2 Calcul de #2 49 A.3 Calcul de g3 50 A.4 Calcul de <74 . . . . 50 C.l Calcul deznp 55 C.2 Calcul d e zK . 56

G.l Diagramme en echelle electron-trou 65 G.2 Diagramme en echelle electron-electron 67

G.3 Diagramme semi-ouvert 68

Introduction

La description theorique de systemes d'electrons correles en dimension un tient une place essentielle dans la physique des systemes de basse dimensionality, comme c'est le cas pour les conducteurs et supraconducteurs moleculaires organiques. Parmi les techniques utilisees, le groupe de renormalisation pour fermions en interaction [1,2], ainsi que celle dite de bosonisation [3], occupent un espace important en tant qu'approches controlees au probleme des correlations a grande distance ou de basse energie a une dimension. Cepen-dant, dans l'etat actuel, ces techniques sont utilisees seulement si le spectre electronique est considere comme strictement lineaire au voisinage du niveau de Fermi et si l'inter-action est purement locale, ce qui revient a une approximation du continuum ou le pas discret du reseau cristallin sur lequel les electrons se deplacent tend vers zero. Une telle approximation fonctionne relativement bien a tres basse energie ou les deviations a la linearite du spectre sont relativement faibles. II en est autrement a plus haute energie ou les degres de liberte electroniques sont sensibles au reseau, ce qui correspond aux regions ou le spectre devie sensiblement de la linearite. L'etude de l'impact de ces degres de liberte a plus haute energie sur ceux de basse energie situes pres du niveau de Fermi reste encore mal connue. C'est dans cette optique que se situe le present travail qui est consacre a la formulation du groupe de renormalisation pour fermions en interaction sur reseau. Ce travail s'inscrit en continuity de ceux entrepris par B. Dumoulin [4] et Y. Lemonnier [5] dans le cadre de la chaine de spins unidimensionnelle.

L'influence du reseau peut aussi se situer au niveau des interactions, lesquelles peuvent avoir une composante dite non locale ou de portee spatiale finie. On peut done se de-mander quel en sera l'impact sur les proprietes du systeme electronique unidimensionnel. L'etude du modele de Hubbard etendu (U — V) s'inscrit dans ce contexte. Ce modele per-met de tenir compte non seulement de l'interaction locale (U), mais aussi de l'interaction aux premiers voisins (F).

Dans cet ouvrage, on s'interessera tour a tour au modele du continuum ou modele

du gaz d'electrons, au modele de Hubbard avec relation de dispersion non lineaire, et au modele de Hubbard etendu qui admet aussi des effets non locaux pour le spectre et les interactions. Pour l'etude des correlations electroniques pour ces modeles unidimension-nels, on fera appel a la methode du groupe de renormalisation de Kadanoff-Wilson. La generalisation de cette technique au cas du modele de Hubbard etendu avec un spectre d'energie de type liaison forte sera traitee en detail. On solutionnera le tout a l'ordre d'une boucle et on determinera les diagrammes de phase. On evaluera aussi les limitations de 1'approximation lineaire du spectre.

On comparera finalement nos resultats obtenus de fagon analytique autour de la ligne de transition de phase U = 2V du modele de Hubbard etendu. Cette ligne a fait l'objet de plusieurs etudes recentes en simulations numeriques [6-8]. Nos resultats demontrent que la structure du diagramme de phase autour de cette ligne est une consequence directe de l'existence du reseau pour les spectre et les interactions.

Chapitre 1

Modele du gaz d'electrons des

conducteurs unidimensionnels

1.1 Hamiltonien et decomposition en g-ologie des

constantes de couplage

Les conducteurs unidimensionnels admettent une description a l'aide de l'hamiltonien modele du gaz d'electrons. En seconde quantification et dans l'espace reciproque, il prend la forme : ( 1 . 1 ) p,k,a {k,q,a} 7TVF f t / > 5,3Cp)/Cl+g,<TlCp.t |A;2_qi(T2c-p,fe2,<r2C-p,'£l,ffl {p,k,q,a} OU £p,fe = vF(pk - kF) (1.2) 3

est la relation de dispersion lineaire utilisee, L represente la longueur de la chaine et cpk a

est l'operateur de destruction (creation) d'un electron avec le vecteur d'onde k et le spin

a sur la branche p = ± . La branche fait ici reference au signe de k.

On peut voir sur la figure 1.1 que le spectre liaison forte est tres bien approche par l'approximation lineaire pres de k = ±kF = ±ir/2a ici pour une bande a demi-remplie,

ou a est le pas du reseau, meme si elle l'est un peu moins aux frontieres et au centre de la zone de Brillouin. On remarque aussi que la largeur de bande se trouve augmentee par 1'approximation lineaire. Alors qu'elle est de 2 v p j a pour un spectre liaison forte, elle est augmentee a 2 v p k p = irvp/a avec le spectre lineaire.

F I G U R E 1.1 - Relation de dispersion a demi-remplissage, approximation lineaire vs rela-tion cosinusoi'dale (liaisons fortes) plus realiste lorsque les sauts sont limites aux premiers voisins.

II est possible de representer chaque constante de couplage Qi par un diagramme comme dans la figure 1.2. La nature continue ou pointillee des lignes permet de distinguer les branches positive et negative de k alors que le sens des fleches permet de distinguer les particules detruites et les particuleis creees par l'interaction.

Ici, <?i represente l'interaction de deux particules sur les branches opposees qui echan-gent une grande quantite de mouvement pour changer de branche l'une avec l'autre. C'est done une diffusion vers l'arriere. Dans le cas de les deux particules interagissant sont aussi sur des branches opposees, mais elles n'echangent qu'une faible quantite de mouvement de sorte que chacune reste sur sa branche. C'est done une diffusion vers l'avant. Pour il faut faire intervenir le vecteur du reseau reciproque G = Akp pour la conservation de la quantite de mouvement entre les particules, car a l'entree, les deux vont dans la meme direction et ils changent tous les deux de branche. II s'agit done d'un processus Umklapp. Quant au processus <74, il s'agit de deux particules sur la meme

94

F I G U R E 1.2 - Representations diagrammatiques des constantes de couplage du modele du gaz d'electrons unidimensionels

branche qui echangent une petite quantite de mouvement.

1.2 Fonction de partition

En physique statistique, on utilise la fonction de partition Z pour l'etude des pro-prietes a l'equilibre. En statistique grand canonique, nous avons :

Z = Tre~0H (1.3)

Ici, la trace s'effectue sur les etats a N particules de l'espace de Fock. Dans le but d'utiliser le groupe de renormalisation, il est cependant commode d'exprimer Z sous la forme d'une integrate fonctionnelle. Ainsi, d'autres [9] ont demontre qu'on pouvait effectuer cette transformation de la fonction de partition par l'introduction de variables de Grassman anti-commutantes (tp) decrivant les degres de liberte electroniques. A l'aide d'une serie de transformations standards, on peut alors reecrire la trace sous la forme

d'une integrale fonctionnelle sur les champs tp :

Z = JJlhl;*Vrpes[r^] (1.4)P

ou

s\rM = soir^+stir,^}- (1.5)

est Taction totale,

v r v ^ = ^ M * ) (1-6)

p,k,ct

est la mesure d'integration, ou k = {k, uin} = {k, (2n + 1)7tT} et n € Z et un represente

les frequences de Matsubara de fermions.

Dans l'espace Fourier-Matsubara, la partie sans interaction est donnee par :

Soir,^} = E (L 7)

p,k,a

OU

-G°p^ = iun - €p(k) = mT{2n + 1) - vF(pk - kF) (L8)

est appele le propagateur libre a une particule ou T est la temperature. La partie avec interaction de Taction est donnee par :

s^rM = - ™ft- 9 i r + , a i & i + 2 - q ) T p+,a 2( h ) ^a i( h ) {k,q,a}

y • _ _ _

- ™ F - Y ^ 92ip*+,ai(k + qW-,a2{h - q)i>-,a2(k2)ip+,ai(ki)

{k,q,a}

ou q = {q,u>m} = {q,2rmrT} avec m € Z et G = { 4 ^ , 0 } . Ici wm represente les

frequences de Matsubara de bosons.

1.3 Approche du groupe de renormalisation

Dans le cadre du groupe de renormalisation, il faut integrer de maniere successive les degres de liberte de haute energie dans la fonction de partition. A chaque etape, on separe done ladite fonction de partition en deux parties, soit celle avec des ip^ et ip ne contenant aucun degre de liberte de haute energie et celle avec des ip* et Pp, elements d'une coque externe en energie (c.e.). Ainsi, chaque somme apparaissant dans les equations (1.7) et (1.9) peut-etre decomposee en deux parties, exterieure (^2k e c e interieure (J2k <) a la coque externe. II s'ensuit que Taction prend la forme :

4

= + + (i-io) i=i

ou Sjti est l'interaction avec un nombre i de champs ip dans la coque externe. Une fois transposee dans la fonction de partition, nous avons :

Z = eAWJJvip*V7pes[r^< j j v ^ v ^ e ^ ' ^ e x v i ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (1.11)

ou A(£) est une constante a la densite d'energie libre a l'etape I.

L'exponentielle de la somme des Sjti etant une perturbation par rapport a S0 qui est

quadratique, il est alors possible d'utiliser le theoreme de Wick, ainsi que celui des graphes connexes. Une fois ces deux theoremes combines, il est possible d'exprimer differemment l'integrale partielle sur les i p ^ et d'arriver a l'expression suivante :

Z = + ^ j (1-12)

ou (f[ip*, tp, 4>*, e st la moyenne sur les dont chacun des termes constituent des graphes (diagrammes) connexes.

a l'expression suivante a l'etape I + :

s i r , / = s i r , ri>]< + ^ ( { S i i i r , ^ r , r f ) _o c + . . . (1.13) Pour laquelle nous n'avons retenu que les differents termes de ((5/i2)2)6 c. Ces derniers

auront quatre champs ip et tp* et seront done des corrections a Sj[ip*,

Vu le grand nombre de termes, une approche diagrammatique est tres utile pour evaluer les moyennes statistiques. Elle est faite dans 1'annexe A. Les termes ainsi obtenus peuvent se regrouper en quatre categories selon le canal de diffusion associe de la boucle. II y a le canal de Cooper (Ic), le canal de Peierls (Ip), le canal de Landau (II) et le canal de Cooper parallele (/<?')•

Apres avoir effectue la moyenne sur les graphes connexes, on peut regrouper les termes selon la combinaison de variables de Grassman contenue dans ceux-ci. Le gt associe a cette

combinaison sera done module pour incorporer la moyenne des graphes connexes. Comme 1'approximation selon laquelle l'interaction est purement locale nous permet de negliger toute dependance en q des differents gi que Ton considerera comme non pertinente, il est alors possible d'exprimer ceux-ci comme suit :

9 I( £ + AE) = + (1.14)

jk

Les coefficients sont obtenus a l'aide des calculs en annexe A. La multiplica-tion par ± 2 est purement arbitraire et sert uniquement a simplifier les expressions des equations d'ecoulement des gt. On verra plus tard que le signe des differents est positif

pour les deux canaux de Cooper et negatif pour les deux canaux electron-trou et aussi qu'un facteur 1/2 est inclus dans chacune de ces intensites.

Avec un demi-remplissage et/ou une relation de dispersion lineaire, on a une symetrie electron-trou qui nous mene a l'identite suivante pour l'emboitement («nesting») k q() = 2 kF :

€-p(k.-pq0) = ~eP(k) (1-15)

Nous avons egalement une symetrie d'inversion qui nous mene a l'identite suivante :

Ces identites nous amenent a d'autres relations pour le propagateur nu Gp(k) :

*•-*<-*> -

=

W

<L17)

En posant q = 0 pour les canaux de Cooper et de Landau et q = ±qo pour les deux autres canaux, on peut done calculer les differentes integrates Ii reliees a chacune des boucles. Si on definit EF = vFkF, on obtient les resultats suivants pour l'etape de

renormalisation I < l n ( l , 1 3 S f / T ) dans l'approximation basse temperature ou T —> 0 (voir calculs detailles en annexe B) :

rp rp 2 AO

Ic = *vFj- E G°+(k)G°_(-~k) = irvF— E | g ° (fc)|- = — (1.19)

fcgc.e. fe€ c.e.

IP = «VFIj2Gl(.k)G°_(k-q0) = = ~*c (i-20) feGc.e. c.e. h = ™f T- E (G°p(k))2 = 0 (1.21) fc€ c.e. Ic = 7 T VFj Y , G °p( k ) G °p( p q0- k ) = -IL = 0 (1.22) fee c.e.

A partir de l'equation (1.14) et des intensites ci-haut, l'expression de la derivee des Qi devient :

^ = E (

L23

>

jk li=C,P

au systeme d'equations differentielles suivant : = -g( (1-24) dgi _ 2 d£ ^ ( 2 g2-gi) = g\ (1.25) ^ f = ( 2 5 2 - 3 i ) 5 3 (1-26) t - ° ^

On constate que l'equation pour g\ est decouplee de celles de 33 et de la combinaison

2g2 — 31. Ce decouplage est relie a la separation spin-charge [1-3]. 31 sera associe au spin

alors que 33 et la combinaison 2g2 — gi seront associe a la charge. La solution pour 54 est

evidente :

g4(£) = 04(O) (1.28)

La solution pour gi est bien connue [10]

On peut voir que g\ divergera s'il est negatif a une valeur critique ta — —1/31(0) indi-quant un gap d'excitation dans les degres de liberte de spin et sera ainsi marginalement pertinent.

Les solutions pour gi et g:i sont connues elles aussi [10] :

2g2{£)-gx(£) = Cl tan(Cl£ + c2) ' (1.30) g3(tj = s i g n e d ) Ci sec(c^ + c2) (1.31)

ou ci = y/gl - (232 - 3 i )2 et c2 = arcsin 2g2[°3)(0^|(0) •

Aussi, on peut voir que si gi~2g2 < I33I (regions 2 et 3 de la figure 1.3), ces constantes seront marginalement pertinentes et divergeront a une valeur critique £p telle que :

\ = c ^ + 02 (1.32) 7r „ prrms 2g2(0)-gi(0)

gl-2g2

F I G U R E 1.3 - Trajectoire de renormalisation de |G3| vs g\ ~2g2 dans le secteur charge. Les

fleches representent les derivees de l'abscisse et de l'ordonnee en fonction de la position dans le graphique alors que les lignes courbes representent les trajectoires des combi-naisons de parametres. Les lignes grasses separent les regions ou les parametres c,, avec

i € {1,2,3,4}, passent de reels a complexes ou vice-versa. Dans la region 1, on peut

remarquer que les deux parametres convergent vers une valeur finie pour g1 — 2g2 et vers

0 pour g3. Cependant, dans les regions 2 et 3, les deux parametres divergent ensemble a

une valeur finie de i.

Cette divergence marque l'existence d'un gap d'excitation, mais dans le secteur charge cette fois-ci.

Si \2g2 — 5i| > |<?3| (regions 1 et 3 de la figure 1.3), on aura des parametres complexes.

II est cependant possible de modifier les expressions pour obtenir des parametres reels dans ces conditions.

2 0 2 ( 0 - 0 1 (*) = C3COth(-C3£ + C4) (1.34)

g3(i) = signe(g3) signe(2g2 - g\) c3 cosech(-c3£ + c4) (1.35) 2g2(0)-gi(0)

93(0) ou c3 = ~s/{2g2 - ffi)2 - g\ et c4 = signe(2g2 - g{) arccosh ^ ^

Dans le cas 2g2 —gi> |<?3| (region 3 de la figure 1.3), l'expression de la valeur critique lp avec des parametres reels sera done :

-c:ilp + c4 C4 c3 arccosn (s3(0)| (1.36) (1.37)

qui tend vers 1/ |^3| dans la limite ou 2g2 — gi tend vers |g3|.

Dans le cas gi — 2g2 > |g3| (region 1 de la figure 1.3), ces deux constantes de couplage ne divergeront pas. convergera rapidement vers 0 et sera done marginalement non

pertinent tandis que gi — 2g2 convergera encore plus rapidement vers C3 qui sera done

marginal et tendra vers une valeur non universelle. De meme, dans le secteur spin, si g\ est positif, il ne divergera pas, mais convergera lentement vers 0 et sera marginalement non pertinent.

1.4 Fonctions de reponse

II est possible d'ajouter a Taction un terme de couplage avec un champ externe :

Sh[r,ip,h*,h] = Y/z^i)Otl(q)h;(q) + c.c. (1.38)

L'action devient done :

s[r,ip) = Soir^ + swM + Shir^^M (1.39)

Dans Texpression ci-haut, h ^ represente le champ externe couple aux fermions. Le terme z^ est un facteur purement numerique valant 1 lorsque I vaut 0. Le terme O^ represente quant a lui le champ composite du canal /i. On considerera les possibilites suivantes : 0 l i w = W ^ V ® (,4 0 ) O „ „ . o ® = f ^ ' E r - ^ k - ? > + , » ( * ) ' (1.41) k,a O w ® = (1.42) k,a,/3 Ow=o(?) = (1.43) k,a 0 , c M Q ) = (1-44) k,a,f3

ou a"'13 est le terme en position (a, /3) dans la matrice de Pauli On pourrait inclure le cas fi — 0 aux autres valeurs possibles de fj, en prenant la matrice identite pour a0. Les champs composites O^ du canal de Peierls sont associes respectivement a l'onde de

densite de charge (spin) sur le site pour Hp = 0 (fip ^ 0) et sur le lien fj,p = 0 (/ip ^ 0). Les champs composite du canal de Cooper sont plutot associes a la supraconductivite singulet (fic — 0) ou a la supraconductivite triplet (fie ^ 0).

Comme on s'interesse a la reponse lineaire du systeme dans la limite des faibles champs, on peut considerer Sh comme une perturbation au meme titre que Si. Le terme

perturbatif sera done la somme de ces deux termes. Tout comme precedemment avec les couplages, on se limitera aux termes a l'ordre d'une boucle, ce qui nous limite a quelques termes d'ordre 2. On aura done :

| < ( 5/,2 + 5 , )2>6 C = L I S D ^ + I S J ^ ^ + L I S L ) ^ ( 1 . 4 5 )

Le terme en (Sj2)gc est le meme que celui deja present dans la section sur les couplages.

Le terme en (Sj,2<S/i)e c donne une correction a une boucle au terme deja present de S^,

i.e.

{Si,2Sh)0iC = + C.E. ( 1 . 4 6 )

ou g^ est la combinaison de g.t associee au canal /i et elle sera explicitee plus loin. Le

signe ± devant est la pour compenser le signe de Ip^c de fagon a uniformiser la definition de fly

Le terme en (S%)gc donne quant a lui un nouveau terme :

Ce nouveau terme peut etre associe a la susceptibilite du canal /i. En effet, la derivee seconde de Taction par rapport a h^ et /i* est etroitement reliee a la derivee de la densite d'energie libre par rapport a ces memes champs qui doit nous donner la susceptibilite

Xn-On a done :

Skle + i S ^ - ^ + liSl)^ =

qui nous mene aux equations d'ecoulement suivantes :

- f

(1

'

49)

z * = £ ( 1-5 0 )

A l'etape i de la renormalisation, la susceptibilite sera done donnee par :

= (1-51)

Alors que le facteur de renormalisation z^ sera donne par :

z,{l) = e x p Q j T ' ^ ) d ^ (1.52)

II reste g^ a determiner. Pour y arriver, on utilisera une approche diagrammatique a revaluation de (Sit2Sh)5c de l'equation (1.46). Cette approche est explicitee en annexe C et le resultat est le suivant :

^ ± =0 = 9 2 - 2 gx^ gz (1.53)

= 92 ± 93 (1-54) 9nc=o = -9i-92 (1.55)

Les facteurs de renormalisation zM sont done respectivement : (1.57) I signed) ^ 2 (1.58) ZHC=0 _{\ sec c} 2 J (1.59)

z ^ o = (l+.Si(0)£) i /sec(ci^ + c2) _{\ sec c2} (1.60) On peut associer le canal de Peierls aux diverses ondes de densite. On associera done

HP — 0 aux ondes de densite de charge (ODC et ODL) et //p ^ 0 aux ondes de densite

de spin (ODS et ODSL). Le signe + sera associe aux ondes sur site (ODC et ODS) alors que le signe - sera associe aux ondes sur lien (ODL et ODSL). Le canal de Cooper sera quant a lui associe aux deux types de supraconductivite. On aura la supraconductivite singulet (SS) pour fic = 0 et la supraconductivite triplet (ST) dans le cas contraire.

Dans la figure 1.4, on peut remarquer comment le logarithme du coefficient z evolue avec £ dans differents secteurs. On remarque aisement que tout varie de fagon lineaire loin de l'origine dans le secteur domine sans gap. Dans tous les autres secteurs, on peut voir que les coefficient z divergent ou convergent a 0 dans les autres secteurs. Le fait que 2 diverge a £c fini indique l'ouverture d'un gap et la valeur de £c depend de ce gap. (A/£o oc e~lc). Le type de gap dependra de quels couplages divergent. Ceci affectera

aussi les phases qui seront singulieres. Les divergences des differents termes selon les differentes conditions initiales seront discutes dans les prochains paragraphes.

Les differentes phases qu'on peut observer dans ces regions sont indiquees dans la figure 1.5. Celui de droite utilise les memes axes que la figure 1.4 soit g2 en abcisse et g\

en ordonnee avec en variable externe, alors que celui de gauche utilise plutot gt — 2g2

en abcisse et g3 en ordonnee. Les deux graphiques sont des representations differentes d'un meme diagramme de phase, l'un dans le secteur charge (graphique de gauche) et l'autre dans le secteur spin (graphique de droite).

Autour de I = £a, l'expression (1 + gi(0)£) converge vers 0 en {£„ — I)1. Done, si

en (£„ — £)1//4. Les phases ODC, ODL et SS seront done singulieres comme on peut le constater sur la figure 1.4 dans le secteur rouge et dans la figure 1.5. Si l ^ j < gi — 2g2, g:i sera non pertinent et la SS dominera sur les deux autres. Elle sera intercalee entre les

deux phases d'ondes de densite de charge si |g3| > \g\ — 2g2\; et finalement, ces dernieres

domineront toutes les deux sur la phase SS si I33I < 2g2 — gi. Pour savoir laquelle des deux phases d'ondes de densite de charge sera la plus forte, il faut regarder le signe de

g3. Si <?3 < 0, ce sera la phase ODC qui sera la plus forte des deux alors que ce sera la

phase ODL qui sera la plus forte dans le cas contraire.

Autour de £ = lp, la secante et la tangente divergent toutes les deux en (£p — £)~l. Si

un gap de charge s'ouvre avec g3 < 0 (<?3 > 0), on aura 2 +<-)„ et z -<+>,„ qui divergeront _{/ip — U fj, p}

en [ip — £)~3/4 et les deux autres termes de Peierls qui convergeront en (£p — i)1/4 avec les termes de Cooper. Les phases pertinentes seront done ODC (ODL) et ODSL (ODS). Si gi est positif, ce seront les ondes de densite de spin qui domineront alors que les ondes de densite de charge domineront dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut observer dans le secteur gap de charge de la figure 1.4

Lorsqu'un gap s'ouvre, que ce soit un gap de charge ou de spin, les exposants critiques sont toujours (£c—£)~3/4 pour les zfl qui divergent et (£c — £)1^4 pour les z^ qui convergent.

La susceptibilite varie done en 1 j\/£c — £ pour les termes qui divergent alors qu'elle variera en (£c — £)3/2 pour les termes convergents.

Dans le cas oil aucun gap ne s'ouvre, on a des coefficients C\ et c2 complexes qui

transforment la secante et la tangente en leur version hyperbolique ou hyperbolique associee. La tangente convergera done vers une constante non nulle alors que la secante convergera vers 0 en e~°3e. Tous les termes zp p convergeront done vers 0 en e_ C 3^4 alors

que les zp c divergeront en eC3^4. Les susceptibilites associees varieront done en e±C3^2. Les phases pertinentes seront done les deux phases supraconductrices soit ST et SS. La contribution du terme 1 + gi (0)£ amenera une correction logarithmique qui renforeera ST et affaiblira SS. ST domine done toujours face a SS lorsqu'il n'y a aucun gap. On peut observer ceci dans le secteur superieur gauche de la figure 1.4.

F I G U R E 1.4 - ln(^) vs I pour differentes constantes de couplage. La couleur de fond represente le type de gap rencontre. Bleu : aucun gap; rouge : gap de spin; vert : gap de charge. Les phases pertinentes et non pertinentes dependent uniquement du type de gap rencontre et du signe de pour le gap de charge. A l'interieur d'une region ou le gap ne change pas, seul l'ordre des phases peut changer. Sur les graphiques du haut, pi (0) = 1 alors que 0i(O) = —1 sur les graphiques du bas. 02(0) = ± 2 selon la position horizontale (gauche ou droite) du graphique et 03(O) — 1 sur tous les graphiques. Les lignes grasses representent des transitions dans la phase dominante alors que les lignes minces representent plutot des transitions dans la phase secondaire. Changer le signe de 03 revient a echanger la phase ODL avec ODC ainsi qu'echanger ODS avec ODSL.

F I G U R E 1.5 - Diagrammes de phase en fonction des constantes de couplage. Dans chaque section, la phase entre parentheses est la phase secondaire. La couleur depend du signe du parametre externe (gi pour le diagramme de gauche et g3 pour le diagramme de droite). Lorsque la phase est inscrite en noir, elle ne depend pas du signe du parametre externe. Les lignes rouges du diagramme de gauche separent des zones ou la phase secondaire est differente uniquement lorsque gx est negatif.

Chapitre 2

K

Modele de Hubbard en dimension un

2.1 Relation de dispersion non lineaire

Dans le modele de Hubbard, l'interaction est purement locale et les sauts sont limites aux premiers voisins. On part done du hamiltonien suivant dans l'espace reel :

ou Ct|CT est l'operateur de destruction (creation) d'un electron au site r avec le spin a et

nr<a = est l'operateur nombre d'electron au site i avec le spin a.

Dans l'espace reciproque, le hamiltonien est le meme que celui utilise au chapitre precedent (voir equation (1.1)) a une exception pres : la relation de dispersion n'est plus la meme. On utilise la relation de dispersion suivante de type liaison forte :

II est ainsi possible d'associer 2at a vF et aU a iTVp9i pour tous les gi avec i allant de

1 a 4. Par souci de rester general (certaines perturbations ayant pour principal effet un decalage des valeurs de depart des differents gi), on gardera l'expression de l'hamiltonien du chapitre.precedent (equation (1.1)) avec les intacte, ainsi que l'expression de Taction qui en decoule.

La relation de dispersion prend la forme suivante :

H ( 2 . 1 )

ep(fc) = — 2t cos ka ( 2 . 2 )

ep(k = pkF + k o) = —2tcos(pakF + o,ko) = 2ptsinako (2.3)

oil ko est l'eeart entre k et le point de Fermi. La derniere egalite est obtenue en remplagant

akp par 7t/2 (vrai a demi-remplissage) et en tenant compte que p ne peut valoir que ±1.

2.1.1 Constantes de couplage

En conservant l'approximation les equations (1.24) a (1.27) demeurent presque

inchangees a un facteur multiplicatif pres lie a l'evalution des boucles (equation (1.19) et (1.20)) en presence du spectre (2.2) :

d 9i v ^ M d ft v ^ ^ vF{e)k0{t) .

jk JK n=c,p v=c,p

ou k0{f-) = pour le modele de Hubbard a demi-rempli et represente l'eeart entre

la coque externe a l'etape I et le niveau de Fermi. On peut done conclure que dl =

-d\nk0(£).

Pour le modele de Hubbard a demi-rempli, on obtient :

d 9i 7re_V 2 ^ M .

d£ = sin( 7re-72) ? ^ s 9 k ^

3*

/ i = C , P

Pour arriver a cette expression, on a simplement pris l'equation (B.8) en annexe B pour evaluer Ic,p en conservant l'approximation pour la tangente hyperbolique comme etant egale a 1, valide dans la limite T —> 0.

En prenant un spectre d'energie non lineaire, il peut etre interessant de remettre les constantes de couplage a l'echelle pour mieux mettre en evidence comment evolue la pertinence de celles-ci.

Commengons par regarder l'effet de cette remise a l'echelle sur la relation de disper-sion. II est possible de definir une fonction ((k, f ) telle que :

4 ( U ) = c ( k , e ) 4 w (2.6)

ou s ( 2.7 )

En annexe D, on montre en effet que :

dlnegtofcjr+fcoW)

Dans le cas du modele de Hubbard a demi-rempli, on obtient :

((k,£) = (2.9)

La frequence de Matsubara iujn est proportionnelle a la temperature, laquelle est

additionnee a la relation de dispersion dans 5,o['0*, puisque G® 1 = iun — ep{k). Par

consequent, dans la fonction de partition, ces deux parametres seront remis a l'echelle de la meme fagon i.e. , S0[ip*,ip] = (,~l(k,£) J^ki^n ~ e'p(k))fp*'>p- Pour conserver S0[ip*,ip]

sans dimensions, il faudra aussi remettre les variables de Grassman a l'echelle :

4\

'KA

'KJ

') = (2.io)

ak^WUk>'PAk') = (2-n)

l & w = c H k M & W (2-12) Ces remises a l'echelle affecteront le calcul de l'intensite des differents canaux.

Defi-nissons d'abord des fonctions qui nous serviront a exprimer les intensites calculees avec les variables remises a l'echelle.

h(£)d£ = {Ic-Ip]t ( 2 . 1 3 )

h(£) d£ = {Ic'-hh (2-14)

Lorsque nous avons une symetrie entre electrons et trous, comme dans le cas qui nous interesse, nous avons Ip = —Ic et II = —Ic1- fidi devient done [2Icje ou — 2Ip et f2d£ = 21c =-2Il,

Dans 1'approximation basse temperature, chacune de ces deux fonctions demeure constante. f2{£) demeure nulle et a l'aide des calculs en annexe D, on obtient pour fi(£)

(voir eq. (D.10)) :

qui vaudra n/2 dans le cas du modele de Hubbard a demi-rempli.

Les constantes de couplage seront aussi affectees par cette remise a l'echelle. Avant la remise a l'echelle, le facteur t est celui qu'on avait a l'etape £, mais on veut exprimer le tout avec t a l'etape £ + d£, car c'est ce dernier qui est present dans la relation de

dispersion qui sera utilisee a la prochaine etape. De maniere schematique : t(£ + d£)((k,£)T N/s d l C ' f a W l4 (2-16) . t(£) ((k,£) t(£ + d£) s 9l dlne+(fc(£)) g d In _{( 2 . 1 7 )}

L'effet du facteur t{£)/t{£ + d^) peut etre inclus dans la derivee de la relation de dispersion, car ep(k) est proportionnel a t.

On peut definir une fonction fg{£) qui servira a remettre les a l'echelle.

Comme la vitesse de Fermi est constante dans ce modele avec interaction purement locale, la derivee de In t est nulle. Les equations d'ecoulement devront tout de meme etre ajustees pour la remise a l'echelle :

Le fait de prendre une relation de dispersion non lineaire, mais toujours symetrique n'a pas change les liens qui relient les differents couplages et les modifications sont les memes pour tous les couplages. On peut supposer que l'effet de la non linearite peut etre obtenu en modulant l'amplitude des Qi obtenus au chapitre precedent et en ajustant revolution de £ de la fagon suivante :

( 2 . 1 8 ) jk FI=C,P ( 2 . 1 9 ) m = Ag{£)9im) ( 2 . 2 0 ) En derivant, on obtient : ( 2 . 2 1 ) FI=C,P

II est possible de faire l'association terme a terme avec l'equation (2.19). -fg(£)Ag(£) (2.22) d Ag(£) d£ d£ d£ - = M£)Ag(£) (2.23)

On arrive done rapidement a :

P, . M m )

qui, dans le cas du modele de Hubbard a demi-rempli, peut s'exprimer ainsi :

A,(i) = e - ' e s e g e - ' ) ^ (2.26)

Comme ce modele n'admet pas de renormalisation de vitesse, le terme t(0)/t(£) vaut 1.

Ag(£) va done de 1 a 2/ir.

Alors qu'on obtient pour £ : .

qui, dans le cas du modele traite ici, peut s'exprimer ainsi : adfco _ , „ ^ a k0( £ ) 'feo(O)

/" o( ) adkQ , ak0(£) , Tre"' , nn.

£U) = - / - = in c o t_ _ 2 1 ^ = inc o t — — (2.28)

V 7 L(0) sinak0 2 4 V 7

Sur la figure 2.1, nous pouvons observer que l'echelle logarithmique £ des bulles de Co-oper ou Peierls varie differemment selon le spectre utilise. Les singularites seront atteintes plus rapidement avec un spectre liaisons fortes qu'avec un spectre lineaire.

Les solutions pour les constantes de couplages remises a l'echelle (g'i(£)) seront done tres semblables aux solutions trouvees au chapitre precedent pour gi(£). Elles seront seulement reduites par un facteur allant graduellement de 1 a TT/2 (cf. equations (2.20) et (2.26)) a la meme cadence pour tous les gi, alors que leur vitesse devolution sera augmentee pendant que l'amplitude se reduit. Les singularites seront done exactement

F I G U R E 2 . 1 - Variable £ des bulles de Cooper ou Peierls dans le flot de renormalisation vs £. Nous avons 1'approximation en spectre lineaire (ligne continue), la tendance au depart (tiret-point), la tendance a basse temperature (pointillee) et le calcul exact (tirets).

les memes et arriveront seulement un peu plus rapidement. Les modifications sont ainsi purement quantitatives. On peut conclure que pour des interactions purement locales dans l'espace, l'approximation lineaire n'a aucune incidence qualitative. Elle demeure done une excellente approximation.

2.1.2 Fonctions de reponse

De la meme fagon, les fonctions de reponse ne changeront que d'un point de vue quantitatif. D'un point de vue qualitatif, rien ne sera change. Comme toutes les moyennes de S2 sont proportionnelles a Ic ou a Ip, les derivees des et des Xn seront affectees de la meme fagon que celles des gi, e'est-a-dire en ajoutant le meme facteur multiplicatif

- i n = my >•< aMn) ^ de"' 2 M)M*) oM)) aM)) d i 2 d£ (2.29) = In z ^ l f j ) ) (2.30) 2 d f " Jo 2

amplitude. On ne peut eependant pas en dire autant pour la susceptibilite.

( 2 . 3 1 )

Histoire de mieux comparer la susceptibilite avec la meme echelle, on peut diviser cette equation par d£jdI. On obtient alors que la derivee de la susceptibilite par rapport a £ est inversement proportionnelle au facteur Ag(£(£)). Sur cette echelle, on obtient done

que la susceptibilite varie de la meme fagon au debut que si on avait une relation de dispersion lineaire. Par contre, des que £ est plus grand, la susceptibilite augmente plus rapidement, mais par un simple facteur multiplicatif. Les singularites sont done les memes et il n'y a aucune raison pour que le diagramme de phase soit altere par rapport a ce qu'on avait pour une relation de dispersion lineaire. Meme si on se trouve exactement sur une ligne de transition de phase, le fait de tenir compte de la non linearite de la relation de dispersion ne favorisera pas davantage une phase plutot qu'une autre.

2.2 Temperature finie

Lorsque nous levons l'approximation de basse temperature, les contributions aux equations de renormalisation se modifient. D'une part, les canaux de Peierls et de Cooper ont une dependance en temperature qui varie selon £. Voir equation (D.10).

fl(£)d£ = [Ic-IP]t = ^ | Y T A N H ^ L D F ( 2 . 3 2 )

D'autre part, lorsque les canaux de Cooper et de Peierls s'affaiblissent, les canaux de Landau et de Cooper parallele amenent une contribution finie. Cet apport est non nul essentiellement dans la gamme d'energie e+(k(£)) < 2T, communement appelee coque

thermique (voir equation (D.ll)) :

h{£) d£ = \Ic-h\t = e0+{m) 2T 2T ( 2"3 3 )

2.2.1 Constantes de couplage

En prenant en compte les canaux de Cooper parallele et de Landau, <74 doit aussi etre renormalise et sa valeur interviendra aussi daris les equations d'ecoulement des autres

„ / 2

constantes de couplage. L'equation (1.14) devient done :

W + M) = [ l - f S W ) m + W ) Y K k ^ d i + M e ) ] T aijk9j9kdP (2.34)

jk jk

H=C,P N=C' ,L

En prenant les coefficients trouve en annexe A, on obtient done :

^ = + (2.35) ^ = M e )9 - ^ ^ + M £ ) ( 9 [ - g '2) 9 '4- fgm (2.36)

^ = h m ^ - M - f i W ^ - m g ' t (2.37)

M = ^(39?-l29>-9[?-g'Z + 9 f ) - m g ' 4 (2.38)

En levant 1'approximation basse temperature, il n'est done plus possible d'obtenir une expression exacte pour les couplages et encore moins pour les fonctions de reponse. Meme si e'etait possible, 1'interrelation entre tous les termes donnerait lieu a des expressions d'une grande complexity qu'il serait difficile d'analyser. II reste cependant aise de resoudre numeriquement le systeme d'equations differentielles obtenu.

Sur la figure 2.2, on peut comparer les 4 approximations suivantes : Dans l'approxi-mation standard, on suppose a la fois la relation de dispersion lineaire et la temperature nulle. Dans 1'approximation T — 0, on utilise la relation de dispersion de type liaison forte, mais on conserve la temperature nulle. Dans 1'approximation lineaire, on considere une temperature finie, mais une relation de dispersion lineaire. Pour ce qui est du cas exact, on traite a la fois la relation de dispersion de type liaison forte et la temperature finie.

On voit rapidement sur la figure 2.2 que l'approximation lineaire a une incidence pour t < 2, alors que l'approximation basse temperature a plutot un effet notable pour (•> iT ou

= l n M | ^ = l n « = l n ( 1 , 1 3 ^ ) = l „ 3 5 5 » 5,87 (2.39) Comme on l'a vu dans la section precedente, l'effet d'une relation de dispersion non lineaire peut se resumer en deux volets (cf. equation (2.25) et figure 2.1). Le premier effet est de reduire les constantes de couplage par un facteur 7r/2. Cet effet est tres visible sur

8 1 §2

0.10

0.08

0.06

0.10

8

s t a n d a r d

l i n e a i r e

e x a c t e

0.06 ^

FIGURE 2.2 - gt vs I pour differentes approximations. <7,(0) = 0 , 1 Vi e t T = t j 100 pour les deux approximations a temperature finie, soit lineaire et exacte. Les points au bout des lignes avec les approximations a basse temperatures sur les graphiques de g\ et <74 sont les points ou les calculs cessent parce que les autres constantes ont diverge.

chaque graphique de la figure 2.2. Le deuxieme effet est de decaler l'echelle de £ de ln4/7r. Ainsi, alors que <72 et g3 devraient diverger a £ = 10, on note plutot une divergence a

£ = 10 — l n 4 / 7 r = 9,76.

L'effet de la temperature finie peut aussi s'exprimer en deux volets. A temperature nulle, certains parametres vont diverger a £ fini. Par contre, a temperature finie, les constantes de couplage n'ayant pas encore diverge a leur entree dans la coque thermique {£ ~ In EF/T) vont saturer pres de la valeur atteinte a ce moment-la. L'apport des canaux

de Cooper parallele et de Landau s'ajoute a ce moment-la, mais cette contribution n'est evidente que pour <74. Si on prenait une valeur de <74 plus pres de 0 pour partir, cette contribution serait encore moins visible, par contre, avec une valeur de <74 de l'ordre de l'unite, cette contribution serait nettement plus visible sur les trois autres graphiques. La correction etant finie et proportionnelle au produit de <74 par gu la correction relative

correction amenee a sera d'autant plus grande.

2.2.2 Fonctions de reponse

Etant donne qu'on ne regarde que les fonctions de reponse des canaux de Cooper et de Peierls, aucune contribution des canaux de Landau et de Cooper parallele ne viendra s'ajouter aux equations. Le seul effet direct d'une temperature finie sur les fonctions de reponse sera la saturation amenee par la tangente hyperbolique dans f\ {€). Ceci aura pour effet que des phases qui devraient normalement s'effondrer pourront etre toujours presentes voire meme sous-dominantes pres des lignes d'apparition d'un gap. Ainsi, il sera possible d'avoir, par exemple, une phase ST sous-dominante dans une partie de la region ou on atteint la coque thermique sans diverger, ce qui etait impossible a temperature nulle. II sera aussi possible d'obtenir une phase d'onde de densite de spin sous-dominante avec une phase ST dominante.

Sur la figure 2.3, on peut voir la zone ou ST est la phase secondaire. La frontiere est continue meme en franchissant la ligne g\ = 0. Comme dans les deux regions, ST cede sa place a la phase ODL, ce n'est pas si surprenant. On peut remarquer la meme chose pour la frontiere ou la phase ODS est secondaire. Celle-ci cede sa place a la phase SS dans les deux regions et le passage de la frontiere — 0 se fait de fagon continue. On peut calculer la pente de ces deux frontieres pres du point (<?i, <72) = (0, — \g3\ /2). On a

deja montre que les effets de la relation de dispersion non lineaire peuvent etre elimines par un simple changement de variable (cf. equation (2.19)). On peut done utiliser les relations simples obtenues au chapitre 1. II est demontre en annexe E que la pente de chacune des deux frontieres autour du point ne depend que du produit | c/3(0) | C\C-T) de la fagon suivante :

=

« + »l»(Q)l%)

.

2 ± 4 + |93(0)| <(<!•)

ou &+(-) est Tangle que forme la frontiere entre la zone secondee par ST (SS) et la zone secondee par ODL (ODS) avec l'axe de g2.

On peut simplifier cette relation en l'inversant :

cot0± = - ± — ^ (2.41)

A temperature nulle ou a grand couplage Umklapp (|<?3(0)| £T 1), les deux frontieres se superposent a la frontiere separant les phases dominantes avec une pente de 2. Dans le cas inverse (temperature elevee et/ou faible couplage Umklapp), les pentes seront plutot respectivement t a n 0+ = 2/3 et tan 6L = —2. La pente de la frontiere ST - ODL passera done de 2/3 a 2 de fagon continue a mesure que la temperature diminue alors que la pente de la frontiere SS - ODS passera de -2 a 2 en passant par la verticale. A mesure que la temperature s'eleve, le cone ou les phases secondaires sont changees par rapport a ce qu'elles sont a temperature nulle s'elargit done. Dans le cas present, on a |g3(0)| = 0,2 et £(£T) = £(5,87) = 6,11. Pour tan0, on a done :

tan0+ = 0,892 & tan0_ = - 8 , 2 9 (2.42) Ce resultat semble coherent avec les pentes qu'on peut observer sur le graphique meme

si ce calcul a ete fait en negligeant les effets des canaux de Cooper parallele et de Landau qui deviennent moins negligeables lorsque £c > £T comme c'est le cas lorsqu'on approche du point fixe.

La contribution des canaux de Cooper parallele et de Landau pourra affecter les constantes de couplage un peu avant que leur contribution aux fonctions de reponses ne s'estompent completement, mais il n'y a que tres pres des lignes de transition de phase que cet effet pourra permettre de favoriser une phase plutot qu'une autre et uniquement lorsque £c > £T- Cet effet dependra du signe de <74 et ne sera pas le meme sur tous les gi. Pour un g4 positif, g± s'eloignera de 0 alors que g\ — 2g2 et <73 s'en approcheront, sans toutefois pouvoir changer de signe. Cependant, <71 — 2g2 s'en approchera davantage que

<73. Dans ces conditions (<74 > 0), la ligne de transition de phase gi — 2g2 — \gz\ sera

legerement decalee vers la gauche, mais ce deplacement est tellement petit qii'il n'est visible que par le fait que les points exactement sur la ligne montrent tous une phase j d'onde de densite dominante. Lorsque £c < £T, cet effet devient encore plus negligeable. Si on changeait le signe de (74, le deplacement se ferait dans l'autre sens.

Comme la ligne separant les phases ST et SS ainsi que ODS et ODL est celle ou g\ — 0 et que <74 ne peut que rapprocher ou eloigner g\ de 0, cette ligne ne sera aucunement deplacee par des effets thermiques. Les lignes separant les ondes de densite de meme type sur site et sur lien ne seront pas affectees non plus, puisque c'est la ligne gi = 0 qui separe ces deux paires de phases et elle non plus ne peut franchir la valeur 0 par des effets thermiques.

FIGURE 2 . 3 - Diagramme de phase a temperature finie. G3(0) = G4(0) = 0,2, T = t/100.

Les conventions sont les memes que pour la figure 1.4. La couleur de fond bleue indique qu'on entre dans la coque thermique sans diverger (£c > IT). La couleur de fond rose (verte) indique une region ou on atteint le gap de spin (gap de charge) avant d'entrer dans la coque thermique (C(p) < ^r)- Les lignes minces indiquent des frontieres ou la phase secondaire change. Les phases dominantes sont indiquees en toutes lettres pour chaque region du graphique et les phases secondaires sont indiquees entre parentheses en-dessous. La ligne pointillee indique la frontiere entre la zone de gap de charge et de gap de spin a temperature nulle. Les graphiques inseres font intervenir In z vs I pour les points identifies dans les regions oil les effets thermiques changent la phase secondaire.

Chapitre 3

Modele de Hubbard etendu

3.1 Espace direct et espace reciproque

Un hamiltonien plus general pour un systeme unidimensionnel d'electrons en interac-tion serait le suivant :

H = - £ tryc\acrl > a + £ ^ C ^ C ^ t y ^ ' C V (3.1) { r , a } {r,cr}

ou try est le parametre de saut du site r' au site r et Ury est l'interaction entre un

electron au site r et un autre au site r'.

Dans le cas du modele de Hubbard etendu, on utilisera plutot l'expression suivante qui est un cas particulier :

H =

(4,

r,cr r ri{0'}

Pour travailler dans l'espace reciproque, on utilise les transformations suivantes :

tk = £tr,r-ReikR (3.4)

R

Uq = (3-5)

R

Apres quelques calculs, on obtient done :

H = - J 2t k Cl *C k' °+ E (3-6)

Dans le modele de Hubbard standard, on neglige toute interaction non locale. Seul le terme de saut contient des operateurs sur des sites distincts. En ajoutant une inter-action coulombienne entre premiers voisins, on peut cependant voir des effets qualitatifs importants. Ces effets constituent l'essentiel des resultats originaux de ce travail.

Avec le modele de Hubbard etendu, il est possible de faire quelques associations :

tr>r„R = t(6R!a + SR_a) => tk = 2t cos ka (3.7) Ur,r+.R = USRfi + V(SRia + SR_a) Uq = U + 2V cos qa (3.8)

3.2 Couplages locaux et non locaux

La partie sans interaction de Taction demeure inchangee. On utilisera le meme So qu'aux chapitres precedents avec la relation de dispersion non lineaire du chapitre 2, soit :

Soir,^} = E \it»n+itcos^jrPAk)^a(k) (3.9).

p,k,a -Cp(fe)

Par contre, la partie avec interaction sera modifiee. Chaque gi sera remplace par

Uq/2nt. En introduisant une dependance en q pour les gly il faudra repenser certains

aspects. Lorsque les particules en interaction sont toutes pres du niveau de Fermi, gi et

g3 font intervenir q ~ 2kF alors que g2 et g4 font intervenir q « 0. II faudra done traiter

les gi avec i pair et impair differemment; cela peut se faire en utilisant q = q0 + q oil qo — 2kF = ir/a pour gi et g3 :

01,3(9)1^0 = (U + 2Vcosqa) = (U + 2Vcos(q0 + q)a) (3.10) 27it 2nt

= ±-t(U-2Vcosqa) = + (3.11)

= ~(U +2V cos qa) = J - (u + 2V - 4V sin2 (3.12)

On pourra ainsi definir un nouveau gt pour la partie locale du couplage, calcule en

prenant la limite lorsque q tend vers 0, qui est independant de q, et un g% pour la partie non locale, qui depend de q :

g M t = # + (3-13)

ou et

Les termes <74=1,2,3,4 coincident avec les definitions du modele du gaz d'electron pour le modele de Hubbard etendu [1,11]. Ici, est defini de sorte que lorsque q « fc0, on a

9i 9i + 9i- 9i represente done la difference entre un couplage sans transfert d'energie

significatif et un avec echange d'energie faisant passer les particules du niveau de Fermi a la coque externe ou vice-versa.

Etant donne que le terme gl ne depend pas du vecteur d'onde, sa transformee de

Fourier le ramenera a un pic de Dirac dans l'espace reel. On l'appellera done le terme local. Par opposition, le terme g^ fait intervenir une dependance en vecteur d'onde, ce qui implique des interactions a distance finies dans l'espace reel; c'est pourquoi g% est appele

le terme non local.

En ajoutant ces couplages non locaux, on doit introduire des corrections a la vitesse de Fermi, done a t. En effet, la partie non locale du terme (5/)6 c amene une contribution en cos ka qui corrige le spectre (correction de type Hartree-Fock) :

(£7)o,c = £ (G°_p(k-PQ){9i+9i(l + cosqa))

k,q,a,p

+ G°p(k + pq)(g4 + <?4(1 - cos qa))

- 2 ( ^ ( J L F T + G 0 ^ ? ^ ) ) ^ ^ ^ ) ( 3 . 1 6 )

ou k est dans la coque interne alors que k ± pq est dans la coque externe.

01,3(* = O) = & 51,3(^ = 0 ) 32,4(^ = 0) = & 32,4(^ = 0) V 7rt V ~7Tt ( 3 . 1 4 ) ( 3 . 1 5 )

Apres quelques etapes de calcul en annexe F, on obtient :

(Si)*,

ou m

En ajoutant le tout a Taction, on obtient :

S + (Si)BtC = £ (iun + 2t(£)(l + (g4 - gi)/t(l) dl) cos a k f y j k t y j k ) (3.19) t(t+dt)

d'ou on peut tirer l'equation d'ecoulement de t :

• ^ T = ( & - & ) / « ( * ) ' (3.20) II faudra aussi adapter les calculs diagrammatiques donnes en annexe A pour trouver

le nouveau systeme d'equations differentielles incluant les gl. Pour savoir comment evaluer

la contribution des termes non locaux aux equations d'ecoulement des termes locaux, il faut se demander a quelle valeur on evalue le terme q associe au couplage choisi.

Dans les diagrammes en echelle (voir figure G.l et G.2), chacun des deux couplages impliques fait passer les electrons du niveau de Fermi a la coque externe ou Tinverse. On aura done = qj = k0 = it/(2a). Dans ce cas, 2 sin2 qa/2 = 1. Dans'les diagrammes fermes (voir figure G.4), aucun des couplages n'est responsable d'un transfert d'energie significatif. lis font tous deux interagir une particule au niveau de Fermi avec une particule dans la coque externe, mais chaque particule reste a son niveau. Dans ces cas, on prendra :

Qi — Qj = 0- Dans le cas d'un diagramme semi-ouvert (voir figure G.3), on aura un

couplage qui fera interagir une particule au niveau de Fermi avec une particule dans la coque externe sans echange d'energie alors que l'autre fera passer une particule d'un niveau a l'autre. On aura done % = 0 et qj — 7r/(2a).

II faudra remplacer par gt + g.t pour chaque diagramme ou le couplage gi est

res-ponsable d'un transfert d'energie significatif alors qu'il restera seul partout ou Techange energetique est negligeable. Ce changement devra se faire autant dans les equations d'ecoulement des constantes de couplage que dans celles des facteurs

C'est ainsi qu'on obtiendra les equations d'ecoulement suivantes pour nos constantes

= (34 - 9i)m d£ £ 21(£) cos ak (3-17)

k,a,p

1 • . > / „ \ , t(£) sinako(£)

= -Qfco(0)sinaA;o(0)tanh w r (3-1 8)

de couplage g% : dgi dt = /l [-01 - 5l(02+02) + 0303] + h [(01+01) (04 + 04)] - fg9l (3.21) ^ = Y [(03 + 03)2 - ( 0 1 + 0 l )2] + / 2 [(01+0l)04 - 02(04-04)]-/902 (3.22) dg3 _ _ /2 = /l [ ( 0 2 + 0 2 ) ( 2 0 3 + 0 3 ) - ( 0 1 + 0 l ) ( 0 3 - 0 3 ) ] - y [ ( 0 3 + 0 3 ) ( 0 4 + 0 4 ) ] - /90 3 (3.23) ^ r = J [2(01+0l)2 + 4(0!+0I)02 - 4022 - (03+03)2 + 04(04 + 404)] - /S04 (3.24)

II reste a etablir les equations d'ecoulement pour les facteurs 0j. On peut commencer par regarder comment ces parametres reagiront a la remise a l'echelle. Pour y arriver, on peut utiliser la meme strategie qu'a l'equation (2.16).

m S l S A f = (3.25)

N- . 2 LTJ N' 2

t{i) C(k, e) Sin2

t(t + di) s sin2 U

* _ (3.26)

Lors de revaluation des boucles, il faudra utiliser q — k0(i) = kFe Or, on peut

remarquer que :

sin ^r _ gin ^Mt^l _ s i n afeFe-«+i~2-d<) _ Smak0(£ + In 2 - dl)

s i n f ~ sin ~ sinaA;Fe-^+ln2) ~ sina£;o(£ + In2) ^ ' '

_ c o 8 a f c ( t + I n 2 - d ^ = c ( M + l n 2 ) , ' ^

cos a/c(£ + ln2)

= S 2 COt 2 = S 4 COt 4 — S 2 cot 2 (3.29)

En ramenant ce resultat dans l'equation (3.26), on obtient done :

g'. = s-^+afcoWcotafeoW-l-2(^mcot2M£l)_i ^ ^

= s - ^ % (3.31) ou on definit :

Ainsi, lorsque la derivee de lnt est negligeable, l'exposant fg de la transformation g't =

s~fogi va de 2,57 a 2 en fonction de I. Bien que ces couplages soient fortement non pertinents, ils apportent neanmoins des correctifs au plan qualitatif. Comme nous le verrons, ils permettent de lever une degenerescence accidentelle de 4 phases et de favoriser une phase qui n'aurait autrement pas pu etre dominante.

Etant donne que chaque diagramme apporte une contribution aux equations d'ecou-lement des couplages locaux, leur contribution aux equations d'ecoud'ecou-lement des couplages non locaux sont de petites corrections qui s'averent non triviales. Cependant, comme les couplages non locaux ne sont pas pertinents lorsque I devient grand, les corrections d'ordre superieur qu'il nous faudrait inclure pour davantage de precision n'apporteraient que peu d'interet. Le principal effet des couplages non locaux est plutot de lever les degenerescences accidentelles en deplagant virtuellement le point de depart des couplages locaux dans differentes directions.

En negligeant toutes les corrections d'ordre 0(g2) aux termes non locaux pour ne

conserver que leur remise a l'echelle, il devient possible de les traiter analytiquement. Comme les differents couplages non locaux ne different que d'un signe au depart et qu'ils sont seulement remis a l'echelle pour teni'r compte de leur evolution, ils seront tous identiques a un signe pres meme dans leur evolution. On peut done definir :

§ = §1,3 = ~§2,4 (3.33)

(3.34) (3.35)

Avec une expression analytique pour g, on peut trouver aussi une expression analy-tique pour t a temperature nulle ( ft = 7t/4).

® = - m m m = - f s ( o w o ) e- < t a n ^ ^

t(£) = m ( l - 3(0) In ( 2 cos2 (3.37)

Etant donne que le groupe de renormalisation est issu d'une theorie de perturbation, Ce qui nous mene a l'equation d'ecoulement suivante :

\

%

si certains parametres divergent, on atteint les limites de cette theorie. Done, si g(0) > l / l n 2 , la divergence qui est amenee pour g(£) est un artefact de la methode et par consequent le changement de signe de la vitesse de Fermi aussi.

t</T)m

F I G U R E 3.1 - t(lT) vs T = EFe~lr. A noter que l'axe vertical ne montre pas la veritable

position du 0. Si 0(0) <C 1, la variation relative de t sera minime alors que si g(0) sa 1/ In 2, t pourra tendre vers 0. Aussi, dans le cas ou 0(0) serait negatif, la courbe serait inversee et la vitesse de Fermi serait plus elevee a temperature nulle.

3.3 Fonctions de reponse

Pour les fonctions de reponse, les equations d'ecoulement ont la meme structure qu'au-paravant :

d l n ^ _ W l /ooqA ~dT ~ — ( 3-3 8 )

Les gM sont cependant modifies pour incorporer les termes non locaux necessaires de la meme fagon que dans les equations d'ecoulement des couplages locaux :

9^=0 = ~29I + 92 + 92 T 03 ± 93 (3.39)

9^o = 92 + 92 ± 0 3 ± 0 3 (3.40)

9pc=o = - 0 1 - 0i - 02 - 02 (3.41) 9nc^ o = 01 + 0 1 - 0 2 - 0 2 (3.42) II resulte un systeme de 12 equations differentielles couplees. L'equation differentielle

m

F I G U R E 3 . 2 - g vs £ pour differentes valeurs de G(0). La courbe marginale qui ne converge pas vers 0 ni ne diverge est celle ou g(0) = 1/ ln2 1,4427) et elle tend vers 4/7T. Celles de part et d'autres partent respectivement a g(0) = 1,44 et #(0) = 1,45.

pour les couplages non locaux est resolue analytiquement selon (3.35), ainsi que l'equation differentielle pour la vitesse de Fermi (2at) a temperature nulle. A temperature finie, l'equation pour la vitesse de Fermi devient plus ardue a resoudre analytiquement. Les quatre equations differentielles des couplages locaux sont couplees entre elles et aux deux equations deja mentionnees. A temperature nulle, g4 devient constant et n'est plus couple aux autres non plus. II ne reste done que 3 equations differentielles couplees. Les six equations differentielles des fonctions de reponses ne sont pas couplees entre elles. Elles ne sont couplees qu'aux six equations precedentes. II est assez aise de resoudre numeriquement un tel systeme d'equations differentielles.

Etant donne que les calculs des chapitres precedents ont montre que le fait d'introduire une temperature finie n'avait aucune incidence sur les phases dominantes, les calculs suivants seront faits a temperature nulle. A temperature finie, des effets seraient observes sur les phases secondaires, mais ceux-ci seront discutes un peu plus loin.

Sur le diagramme de phase U — V a la figure 3.3, on peut remarquer la possibility de cinq phases en dominance, la phase ODSL n'etant jamais dominante; II y a autant de phases en sous-dominance, la phase ST n'etant jamais sous-dominante. Les seules frontieres ou la phase dominante d'un cote n'est plus pertinente de l'autre cote sont celles de part et d'autre de la ST. Entre les phases ODC et ODL, on pourrait croire que c'est le cas aussi, mais en y regardant de plus pres, on remarque la presence d'une mince region ou les phases ODC et ODL se partage la dominance. Cette region s'elargit

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 U/t

FIGURE 3 . 3 - Diagramme de phase { U , V } . La couleur de fond represente la phase domi-nante qui est aussi indiquee en toute lettre. Les points representent la phase secondaire avec le meme code de couleur. La phase en cyan est la phase ODSL qui n'est dominante nulle part. On peut noter que la zone ou cette phase est sous-dominante est finie. On peut aussi remarquer des points ou la phase ODC est sous dominante dans la region ou ODL domine.

a mesure qu'on s'eloigne de Porigine. Meme qu'au dela d'une certaine valeur, on peut faire le tour de la region ou l'ODSL est sous-dominante sans y entrer.

En comparant avec les resultats obtenus au deuxieme chapitre, a temperature finie, on pourrait s'attendre a ce qu'une partie de la region ou la SS domine ait de la ST en sous-dominance au lieu de ODL et a ce que les phases ODS et ST soit en sous-dominance sur une largeur finie a l'interieur de la region ou l'autre est dominante, mais il y aurait tres peu d'autres variations visibles.

Quant aux differents types de gap presents dans les differentes parties de ce graphique, on aurait tout simplement un gap de charge pour les regions ou des ondes de densite de spin (ODS et ODSL) sont pertinentes. II en est ainsi car, a temperature nulle, si le gap de charge est dominant, on aura gs qui di verger a dans une direction ou dans l'autre et celui-ci amenera gi a diverger vers les valeurs positives. Si un gap de charge est ouvert, on aura done necessairement une phase d'onde de densite de spin qui sera pertinente. Selon le signe de gi, elle pourrait etre dominee par une onde de densite de charge et le signe de la divergence de g3 determinera laquelle des deux phases d'onde de densite de spin sera pertinente. Si gi diverge avant g3, il amenera g2 a diverger vers des valeurs

negatives. Les ondes de densite de spin ne pourront done pas etre pertinentes. De plus, comme gi ne peut diverger que dans les valeurs negatives, la phase ST ne pourra pas non plus etre pertinente. On aura done un gap de spin partout ou des ondes de densite de charge (ODC et ODL) et la SS sont les phases pertinentes. Etant donne que chacun des deux types de gap tue la ST, pour que cette phase soit pertinente, il faut qu'aucun gap ne soit ouvert. Pour qu'aucun gap ne soit ouvert, il faut avoir gi > 0, ce qui amene necessairement la phase ST a etre plus importante que la phase SS. II faut aussi avoir 1031 < 0i — 2g2. Si on se refere a l'equation (1.34), on remarque que dans ces conditions, c3 sera reel et positif et que g2 tendra vers —c3/2 lorsque (. tendra vers l'infini. II sera

done negatif et fini ce qui affaiblira toutes les ondes de densite. A temperature nulle, on aura done une phase ST dominante si et seulement si on a aucun gap.

A chaque region de ce diagramme, on peut associer une region des diagrammes de la figure 1.5 (p. 18) obtenus pour un spectre lineaire. De plus, deux regions adjacentes dans un graphique le sont aussi dans l'autre. On peut done aisement associer les effets des couplages non locaux a un deplacement virtuel des valeurs de depart des couplages locaux. Si on negligeait les effets non locaux, on aurait comme point de depart <?i(0) = 03(0) = (U-2V)/{2irt) et g2{0) = gA(0) = (U + 2V)/(2?rt) comme dans le modele du gaz