L'effet de la consolidation des sols sur la propagation des contaminants

L'effet de la consolidation des sols sur la propagation

des contaminants

Mémoire

Bilal Top

Maîtrise en génie civil - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

L’effet de la consolidation des sols sur la propagation

des contaminants

Mémoire

Bilal Top

Sous la direction de :

Résumé

Les processus de transport et d'atténuation des contaminants dans un sol saturé sont déterminés en fonction de plusieurs facteurs parmi lesquels la consolidation à grande déformation joue un rôle majeur. L'étude de la consolidation d’un sol saturé tient généralement compte des aspects mécaniques et hydrauliques du milieu. Le facteur qui induit une modification structurale importante d'un sol saturé recevant une charge externe est l'expulsion de l'eau dans les pores. L'objectif de cette recherche vise à intégrer les équations de transport des contaminants avec les équations générales de la consolidation à grande déformation des sols (Foriero et Ladanyi, 1995 et 1998).

Il est important pour le spécialiste en sols et en environnement de connaître l’état des contraintes, la perméabilité, l’indice des vides, le degré de consolidation, mais aussi les concentrations de contaminants et leurs gradients en vue de faire des prévisions dans le cadre d’un projet affectant un sol contaminé ou à d’autres fins.

Pour ce faire, un programme informatique basé sur la méthode des éléments finis a été développé pour résoudre l'équation différentielle résultant du couplage de la consolidation et de la contamination. Les variables utilisées dans le logiciel sont les propriétés du sol, le coefficient de dispersion et la concentration initiale du contaminant.

Les résultats de recherche indiquent que le programme informatique peut être utilisé pour prédire les paramètres reliés à la consolidation à grande déformation du sol et à l’évolution de la concentration du contaminant.

Table des matières

Résumé ... ii

Table des matières ... iii

Liste des figures ... v

Liste des tableaux ... vi

Liste des annexes ... vii

Remerciements ... ix

Introduction ... 1

Chapitre 1 – Problématique ... 2

Chapitre 2 – Revue de littérature ... 3

2.1 Comportement rhéologique des sols ... 3

2.1.1 Cohésion et consistance ... 3

2.1.2 Principe de déformation ... 4

2.2 Consolidation ... 6

2.2.1 La consolidation à petite déformation ... 6

2.3 Les contraintes ... 10

2.3.1 Nature des contraintes ... 10

2.3.2 Distribution des contraintes ... 10

2.4 Les tassements ... 12

2.4.1 Évaluation des tassements ... 12

2.4.2 Déstructuration due aux tassements ... 13

2.5 Les contaminants ... 13

2.5.1 Problématique d’un sol contaminé ... 14

2.5.2 Classification des hydrocarbures et natures des constituant ... 15

2.5.3 Transport des contaminants ... 16

Chapitre 3 – Objectifs ... 20

Chapitre 4 – Hypothèse ... 21

4.1 Généralité : la théorie de Gibson à grande déformation ... 21

4.2 Hypothèse ... 22

5.2 Les lois de conservations et de comportements ... 27

5.2.2 Les lois de comportement ... 32

5.3 Les éléments finis ... 39

5.3.1 Résolution en élément fini ... 41

5.3.2 Consolidation à grande déformation ... 41

5.3.3 Résolution en élément fini de l’équation générale ... 55

5.3.4 Programmation ... 61

Chapitre 6 – Résultats ... 63

6.1 Simulations... 63

6.2 Interprétation des résultats ... 67

6.3 Influence de la conductibilité hydraulique ... 68

6.4 Influence du coefficient de partage ... 69

Conclusion et recommandations ... 71

Liste des figures

Figure 1 : Le phénomène de consolidation ... 7

Figure 2 : Contraintes engendrées par une charge ponctuelle ... 11

Figure 3 : Bulbes d’égales contraintes ... 12

Figure 4 : Contamination par les hydrocarbures ... 13

Figure 5 : Évaluation dans le temps du profil de concentration ... 17

Figure 6 : Degré de consolidation en fonction du temps ... 22

Figure 7 : Variation de la pression en fonction du temps ... 22

Figure 8 : Les coordonnées lagrangiennes ... 24

Figure 9 : Variation de l’indice des vides au cours de la consolidation ... 25

Figure 10 : Diagramme de phases ... 26

Figure 11 : Loi de conservation de la masse ... 28

Figure 12 : Loi de conservation de la masse ... 29

Figure 13 : Loi de conservation de la quantité de mouvement ... 30

Figure 14 : Dispositif de Darcy ... 33

Figure 15 : Loi de conservation de la quantité de mouvement ... 37

Figure 16 : Fonctions d’interpolation quadratiques sur K ... 45

Figure 17 : Indice des vides en fonction de H aux temps = 0 et 91 jours ... 53

Figure 18 : Contraintes effectives et pressions en fonction de H au temps = 91 jours ... 53

Figure 19 : Indice des vides en fonction de la H à différents temps ... 54

Figure 20 : Contraintes effectives et pressions en fonction H à différents temps ... 54

Figure 21 : Tassements en fonction du temps ... 55

Figure 22 : Indice des vides en fonction de la H aux temps = 0 et 365 jours ... 64

Figure 23 : Contraintes effectives et pressions en fonction de H au temps = 365 jours ... 64

Figure 24 : Concentration contaminant en fonction de H au temps = 365 jours ... 65

Figure 25 : Indice des vides en fonction de H à différents temps ... 65

Figure 26 : Contraintes effectives et pressions en fonction de H à différents temps ... 66

Figure 27 : Concentration du contaminant en fonction de H à différents temps ... 66

Figure 28 : Tassements en fonction du temps ... 67

Figure 29 : Comparaison modèles numériques versus essais pratiques ... 68

Figure 30 : Conductibilité hydraulique sur la redistribution du contaminant ... 68

Figure 31 : Conductibilité hydraulique sur la redistribution du contaminant ... 69

Liste des tableaux

Tableau 1 : Paramètres du milieu poreux utilisés dans le programme FEM_0702 ... 49 Tableau 2 : Paramètres de la consolidation à grande déformation (Gibson et al., 1981) ... 49 Tableau 3 : Paramètres reliés à la concentration du contaminant et à conductibilité hydraulique ... 63

Liste des annexes

Annexe A - Limites d’Atterberg ... 74

Annexe B - Programmes des éléments finis ... 85

Annexe C - Articles de recherche comparatifs ... 123

« Je dédie ce modeste travail à la mémoire de

mon père Amadou Moustapha Kamara pour

les valeurs qu’il m’a inculquées et le soutien

constant qu’il m’a témoigné tout au long de

sa vie. Que son âme repose en Paix. »

Remerciements

La rédaction de ce mémoire a été une entreprise longue et difficile que je n’aurais pu accomplir avec succès sans le soutien de mon directeur de recherche, le professeur Adolfo Foriero et de mon codirecteur, le professeur Antoine Karam, ma famille, mes amis et mes collègues de travail. C’est pourquoi je leur adresse mes plus sincères remerciements.

Mes plus forts remerciements vont au professeur Adolfo Foriero, mon directeur de recherche, qui m’a encadré et m’a fait confiance tout au long de ce projet. Sa disponibilité, ses conseils précieux et nos discussions enrichissantes m’ont permis de réaliser ce travail de recherche. J’aimerais aussi exprimer mes vifs remerciements à l’endroit de mon codirecteur de recherche, le professeur titulaire Antoine Karam.

Ce travail n’aurait pas pu arriver à terme sans le soutien indéfectible de ma mère Astou Lô et de ma chère épouse Aminata Ba. Mes remerciements vont aussi à mon ami Karounga Diawara et à ma collègue de travail, Micheline Moyen qui a été d’un apport considérable dans la présentation de ce rapport.

La recherche nécessite généralement un cadre stimulant pour la quête de savoir. Les relations interpersonnelles vis-à-vis des proches peuvent donc être parfois négligées au détriment des travaux. Je tenais alors à les remercier pour leur compréhension.

Introduction

Dans plusieurs domaines de l’ingénierie, comme par exemple la science des matériaux ou la géotechnique, les différentes réactions des corps matériels doivent être étudiées afin de prévoir leurs comportements (sources). Par conséquent, il serait important dans l’étude de déterminer, en premier lieu, les constituants du corps matériel, à savoir les trois états de la matière (solide, liquide, gaz). Il existe des interactions physico-chimiques entre les différents constituants du système. Ces interactions causées par la différence des constituants expliquent la complexité du comportement du milieu poreux. L’étude d’un corps matériel très dense (béton : pourcentage de pores ≈ 0) est différente de celle d’un sol où les trois constituants cohabitent. Un milieu poreux saturé est un milieu constitué d’une matrice solide et d’un espace poreux saturé par un fluide. Il est considéré comme la superposition de deux milieux continus appelés « squelette et fluide ». Les milieux poreux représentent de nos jours un domaine de recherche très actif en raison du large champ de ses applications.

Par essence transversale à la mécanique du solide et de la mécanique des fluides, l’étude du transport, de la consolidation, de l’écoulement et de la propagation d’ondes ou de contaminant en milieux poreux déformables devient très rapidement interdisciplinaire. Ceci justifie la prise en compte des couplages multi physiques et les phénomènes physico-chimiques qui peuvent s’y développer. Ces milieux sont souvent sollicités par des charges d’origines diverses qui peuvent affecter la disposition des différents constituants.

En génie, et plus particulièrement en génie civil, la consolidation des sols est un facteur important et suscite de plus en plus de nombreuses recherches (sources). Cette étude porte sur le comportement d’un sol considéré comme un milieu poreux. À part le couplage mécanique et hydraulique, l’étude de la consolidation à grande déformation va se faire en tenant compte du transport des contaminants. Ce travail va donc s’appesantir sur cinq principaux points qui sont la revue littérature, la problématique du sujet de recherche, les hypothèses de travail, les objectifs et la méthodologie qui sera utilisée pour ainsi prévoir le comportement du sol en tenant compte de ces trois paramètres. L’équation résultante va être résolue par la méthode des éléments finis d’où l’utilisation de l’outil informatique.

Chapitre 1 – Problématique

L’étude de la consolidation est généralement effectuée en tenant compte du couplage des propriétés mécaniques et hydrauliques du sol. L’évaluation du tassement résultant de la consolidation constitue une étape importante dans tout projet de génie civil où les sols représentent l’ultime élément de support. Un sol soumis à une sollicitation externe se comprimera à cause des facteurs qui sont la déformation des grains de sol, la compression de l’air et de l’eau contenus dans les vides, mais aussi l’expulsion de ces deux éléments contenus dans les vides. La charge est le facteur externe qui est responsable du changement de disposition des grains tandis que la teneur en eau et l’air constituent des facteurs internes. Dans le cadre de cette recherche, nous étudierons l’évolution des paramètres physiques liés à la consolidation avec l’application d’une source de concentration qui peut provenir de contaminants comme les hydrocarbures.

Quels seraient les gradients de contraintes effectives, des pressions interstitielles et les tassements résultant d’une charge appliquée à la surface du sol ? Quel serait la distribution de la concentration du contaminant avec l’effet de la consolidation ? Quels seront les facteurs déterminants spécifiques au sol et aux propriétés du contaminant pouvant affectant considérablement la distribution de la concentration ?

Il serait alors important de connaître le parcours des contaminants afin de prévoir tout problème qui pourrait être néfaste à l’environnement. L’analyse des contaminants dans les sols doit permettre non seulement de déterminer leur concentration, mais également de prédire leur mobilité.

Chapitre 2 – Revue de littérature

2.1 Comportement rhéologique des sols

2.1.1 Cohésion et consistance

Les schémas selon lesquels se produisent les déformations mécaniques des sols présentent une grande variété (source). La déformation sous compression implique une perte de volume qui peut résulter soit d’un écoulement latéral global du sol, soit d’une augmentation de la masse volumique apparente, qui ne peut provenir que d’une perte de porosité. La faible compressibilité des éléments solides du squelette et la mobilité des fluides expliquent cette perte de porosité. Le mode selon lequel la déformation se produit découle essentiellement de la qualité des contacts et frottements entre éléments solides du sol, soit la résistance.

La qualité de contact et des frottements découle de l’intensité des forces de cohésion qui lie les particules constitutives du sol entre elles. La nature de ces forces attractives est diverse : forces de Van der Waals1_,

forces électrostatiques, liaisons cationiques, etc. De plus, les forces liées à la tension superficielle de l’eau exercent une action cohésive parfois importante, notamment dans les sols sableux. Il apparait ainsi que la cohésion d’un sol varie avec sa teneur en eau. En effet, lorsque cette dernière augmente, l’intensité des forces de cohésion a tendance, dans un premier temps, à s’accroître du fait de la multiplication des zones de capillarité. Par la suite, l’hydratation progressive des particules provoque une diminution de l’intensité des frottements et la dispersion des ciments colloïdaux, soit une réduction de la cohésion, renforcée par la dilution de la succion. Si l’humidité augmente, l’atténuation des forces de cohésion peut entraîner la modification de l’état physique du sol, qui passe alors progressivement de l’état solide à celui de fluide visqueux.

L’état physique d’un sol est décrit par sa consistance. À l’instar de la notion de structure du sol, celle de consistance échappe à toute définition précise. Elle représente globalement la manifestation de l’ensemble des forces qui tendent à empêcher la déformation d’un sol et constitue, à ce titre, une expression des forces de cohésion.

1 _{Liaison de Van der Vaals est une interaction électrique de faible intensité entre atomes, molécules ou entre une}

Toutefois, la notion de consistance en tant que telle n’offre pas un intérêt sur le plan quantitatif, car l’état physique d’un sol et le mode de déformation qui lui est associé restent relativement constants à l’intérieur de domaines de consistance délimités. Ces domaines forment une succession d’états physiques caractérisés allant du corps solide au fluide visqueux. Les limites de ces domaines de consistance ou limites d’Atterberg2 sont définies par les teneurs en eau pondérales correspondant aux seuils de changement d’état. Comme le passage d’un état à l’autre s’effectue de manière progressive, ces limites possèdent une valeur essentiellement indicative. Les procédures permettant de les établir sont définies de manière détaillée. Voir Annexe A.

2.1.2 Principe de déformation

Les principes dont relève la déformation des corps dépendent de leur consistance. Toutefois, lorsque les contraintes croissantes leur sont appliquées, l’annihilation d’une partie des forces de cohésion peut induire une modification du mode de déformation. C’est la raison pour laquelle une distinction est faite entre les corps dont le comportement, dit simple, relève d’un mode de déformation unique, et les corps pour lesquels le comportement fait intervenir simultanément ou successivement plusieurs formes de comportements simples.

Aux deux extrémités du comportement rhéologique se trouvent d’une part, le solide indéformable, dit Euclide, et de l’autre, le fluide parfait, dit de Pascal. Dans le premier cas, la déformation relative ε est nulle, quelle que soit la contrainte de compression σ, alors que dans la seconde configuration, la déformation se produit même lorsque cette contrainte est nulle. Leurs équations rhéologiques peuvent donc s’écrire respectivement comme suit : 1 0 , 0 , 0

σ

σ

e

e

Les comportements de tous les corps réels se situent entre ces extrêmes. Ainsi, pour les états liquides et semi-liquides, les déformations sont décrites par les lois de comportement des fluides newtoniens et non newtoniens respectivement.

Dans les premiers cas, la vitesse de déformation est égale au produit de la viscosité dynamique η et de la contrainte de compression σ, soit :

2 0 * équation dt

d

e

_η

_σ

Dans le second cas, la vitesse de déformation est proportionnelle à une fonction de la contrainte de compression, soit :

( )

dt

d

e

_σ

À l’état physique, l’écoulement du corps, soit sa déformation irréversible, ne se produit que lorsqu’une contrainte seuil σ0 a été dépassée. La vitesse de déformation s’exprime dès lors comme le produit de sa

surcontrainte nécessaire à surnommer la cohésion du corps à limiter l’écoulement et d’un coefficient de plasticité β, selon la loi de Bingham3_{, soit :}

(

)

0

4

*

1

équation

dt

d

_σ

_σ

β

e

₌

₋

À l’état solide ou semi-solide, enfin, le comportement simple est caractérisé par la déformation élastique. Comme ce mode de déformation est réversible, sa description ne fait pas parvenir une vitesse de déformation, mais exprime simplement la déformation relative proportionnellement à la contrainte subie. Cette relation est connue sous le nom de la loi de Hooke4_{, E étant défini comme le module d’élasticité.}

5 0 équation E

σ

e

3_{Le fluide de Bingham est un modèle théorique de milieu viscoplastique qui correspond à un comportement de solide}

parfait sous faibles contraintes, et à un comportement de fluide visqueux au-delà d’une contrainte-seuil.

Comme le mode de déformation des sols varie généralement avec l’intensité des contraintes qui leur sont appliquées, leur comportement rhéologique est de nature complexe. La forme la plus courante de comportement complexe est celle qui caractérise les corps élasto-plastiques. Leur déformation comporte une phase élastique à laquelle succède, au-delà d’un seuil de contrainte donné, une phase plastique, suivie de rupture. Si la phase élastique est indécelable, ce qui est souvent le cas des sols secs, la phase élastique débouche directement sur la rupture et le comportement est alors réputé fragile. Les corps élasto-plastiques se distinguent par une propriété spécifique, qui se manifeste par un relèvement du seuil de plasticité entre chaque cycle de déformation. Ainsi, lors de l’application répétée de charges temporaires, la déformation permanente de ces corps ne s’accentue que si la contrainte imposée dépasse la valeur maximale atteinte précédemment.

Le mode de déformation varie cependant selon l’humidité du sol. Ainsi un sol peut présenter les caractéristiques d’un comportement élasto-plastique à une certaine humidité et celles d’un comportement fragile lorsqu’il est sec. Globalement, les déformations élastiques affectent en particulier les sols sableux et les sols argileux secs, ainsi que, de manière plus marquée, les tourbes. Le comportement purement plastique est quant à lui spécifique des argiles dont l’humidité est supérieure à la limite de plasticité.

La déformation du sol ne se produit toutefois généralement pas selon les schémas aussi nets et elle est souvent accompagnée de fissurations dues à la rupture de certains éléments structuraux.

2.2 Consolidation

2.2.1 La consolidation à petite déformation

Le phénomène de la consolidation peut être expliqué par la figure 1 tirée du livre Introduction à la

géotechnique de Robert, D. & Kovacs, W., paru aux éditons de l’école polytechnique de Montréal en 1991.

La Figure 1c représente un diagramme de la pression en fonction de la profondeur. Le sol représenté par le ressort se retrouve en équilibre avec la contrainte effective qui est égale à σ’v0.

À mesure que le temps passe, l’eau est évacuée par la soupape et la pression interstitielle en excès diminue. Il se produit donc un transfert graduel de la contrainte de l’eau vers le squelette du sol. Transfert qui se traduit

effective σv0, de l’augmentation de la contrainte effective σv0, et de la pression interstitielle en excès Δu qui

sera dissipée à t = t1. Les traits pointillés verticaux t1, t2 représentent le temps écoulé depuis le début de la

sollicitation.

Lorsque t tend vers l’infini, la pression interstitielle en excès Δu est dissipée et la contrainte effective est égale à la contrainte initiale σv0 à laquelle est additionnée la variation de contrainte Δσ. Durant ce temps, le piston a déterminé un tassement dont l’ampleur est proportionnelle au volume de l’eau expulsée du cylindre.

Une couche de sol réel est beaucoup plus complexe que le modèle présenté à la figure 1. Si on augmente le nombre de ressorts, de pistons et de soupapes, on peut représenter à la figure 1f la contrainte effective σv0 du

sol et l’accroissement de la pression interstitielle Δu induit par l’accroissement de la charge Δσ. Le drainage va se faire entre chaque piston à l’intermédiaire des soupapes, de façon à obtenir un drainage tant interne qu’externe. Ce drainage se traduira par une baisse immédiate de la pression interstitielle dans les cylindres et par une augmentation équivalente de la contrainte effective. Les isochrones ont tendance à se déplacer vers la droite (figure 1f). L’évacuation de l’eau des cylindres (ou des pores des sols) est liée physiquement au gradient i5 _{qui est donné par la relation suivante :}

.

tan

:

;

'

:

;

:

;

:

;

:

06

gravité

de

te

Cons

g

eau

l

de

volumique

Poids

hauteur

de

Différence

z

pression

de

Différence

u

e

hydrauliqu

Gradient

i

Avec

équation

z

g

u

l

h

i

r

r

D

D

D

∗

D

=

D

=

La pente des segments isochrones de la figure (1f) est égale à Δu/Δz. L’écoulement qui se produit exactement au centre de la couche est nul parce que le gradient est nul à cet endroit. Près des extrémités, le gradient tend vers l’infini et c’est en cet endroit que l’écoulement est le plus rapide.

Le phénomène décrit ci-dessus s’appelle la consolidation. Le tassement subi par le système ressort-piston est directement lié à la quantité d’eau évacuée des cylindres (ou des vides dans l’argile). Cette quantité d’eau évacuée, de même que la variation de l’indice des vides du sol, est directement proportionnelle à l’intensité des pressions interstitielles en excès qui ont dû se dissiper. Une équation ou une théorie qui permet de connaître la pression interstitielle et l’indice des vides à un point donné est nécessaire pour prédire la vitesse de tassement d’une fondation. De nos jours, la théorie la plus utilisée est celle proposée par Terzaghi. Elle constitue une théorie unidimensionnelle à petite déformation. Elle traite la consolidation d’une couche dans laquelle les déformations et les écoulements sont uniquement verticaux et où la charge est appliquée instantanément à l’instant initial. Les hypothèses de la théorie de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi sont les suivantes :

- Le sol est homogène;

- Le sol est saturé pendant toute la consolidation; il est donc composé de deux phases seulement : le squelette et l’eau interstitielle;

- L’eau et les particules solides sont incompressibles;

- Les déformations du squelette sont uniquement verticales et petites;

- Il existe une relation linéaire entre la contrainte effective appliquée au squelette et ses variations de volume;

- Le coefficient de perméabilité k est constant dans la couche de sol et pendant toute la consolidation; - L’écoulement de l’eau interstitielle est uniquement vertical et obéit à la loi de Darcy.

De nombreux chercheurs6 _{ont travaillé sur la consolidation et ont apporté de nombreuses contributions sur la}

théorie de Terzaghi, car la plupart de ces hypothèses ne sont que des approximations assez grossières de la réalité. L’homogénéité des sols est toute relative. Dans les dépôts de sols naturels, les propriétés physiques et mécaniques varient d’un point à un autre. Elles dépendent en particulier, de l’état initial des contraintes initiales, qui varient avec la profondeur. En outre, pour la plupart des sols, l’indice des vides est une fonction linéaire du logarithme de la contrainte effective et non de la contrainte effective elle-même. La linéarité de la loi de compressibilité n’est donc valable que pour des variations de contraintes d’amplitude limitée. Les sols contiennent aussi un certain pourcentage de gaz, même très faible, qui fait que la compressibilité, du fluide qui remplit les pores n’est pas du tout négligeable.

6 _{Gibson, R.E., Schiffman, R.L., Cargill, K.W. 1981. Theory of one-dimensional consolidation of satured clays, II finite}

non-linear consolidation of thick homogeneous layers.

Dans certains sols où pour les valeurs du gradient hydraulique sont très faibles, la loi de Darcy ne peut pas être rigoureusement applicable.

2.3 Les contraintes

2.3.1 Nature des contraintes

L’ampleur des déformations dépend en grande partie de la nature de ces contraintes et de leur distribution dans le sol. C’est la raison pour laquelle l’étude de ces caractéristiques constitue une étape inévitable de l’évaluation des déformations sur le plan quantitatif.

Les engins agricoles et d’autres sources d’efforts constituent, de par leur mobilité, des charges de nature temporaire. Cette mobilité se traduit par la transmission au sol de deux types d’efforts. Des contraintes de compression verticale sont en effet engendrées par leur poids, alors que les contraintes de cisaillement naissent des efforts tangentiels développés lors de leur déplacement.

2.3.2 Distribution des contraintes

Comme le sol constitue un milieu poly-phasique, la transmission des efforts subis s’effectue par l’entremise de ses trois phases constitutives. Les caractéristiques physiques de cette transmission varient d’une phase à une autre, notamment sur le plan de la compressibilité, si bien que la distribution des contraintes dans le sol est par essence hétérogène. À l’échelle macroscopique, il est toutefois possible de la considérer comme homogène et de définir la contrainte comme une contrainte moyenne.

En l’absence de toute charge externe, la contrainte totale verticale σz, provenant uniquement du poids propre

des constituants du sol, peut dès lors s’écrire de la manière suivante :

(

)

ρ masse volumique delaphase solide [kg / m ] ρ masse volumiquedela phaseliquide [kg / m ]

= +

= = =

Cette contrainte totale résulte de l’addition d’une contrainte effective, représentant la partie de la contrainte totale supportée par le squelette minéral du sol et une contrainte neutre, la pression interstitielle, représentant la partie de la contrainte totale supportée par la phase liquide. Il est à noter que la contrainte neutre n’affecte ni la compressibilité, ni la résistance au cisaillement. L’estimation des contraintes de cisaillement s’avère cependant très délicate dans la mesure où elles dépendent de nombreux facteurs difficilement identifiables

Les contraintes induites par l’application de charges s’ajoutent à ces contraintes de nature gravitaire, du moins dans le cadre de la théorie de l’élasticité linéaire, à laquelle nous nous limiterons ici. L’application d’une charge ponctuelle P engendre l’apparition des contraintes normales et tangentielles illustrées par la figure 2, dont la contrainte verticale est la plus importante. Elle s’exprime par la relation suivante, établie par Boussinesq7_.

( )

08

cos

*

*

2

*

3

*

*

2

*

*

3

équation

Z

P

d

Z

P

_π

_π

a

σ

=

=

•

Cette expression indique que la contrainte verticale diminue avec l’augmentation de la distance à la charge, ce qui implique que les courbes d’égales contraintes forment un bulbe, dont la formulation mathématique est la suivante :

09

équation

cte

d

Z =

Figure 2 : Contraintes engendrées par une charge ponctuelle

Figure 3 : Bulbes d’égales contraintes

2.4 Les tassements

2.4.1 Évaluation des tassements

La déformation due aux efforts de compression verticaux se traduit par une perte de volume du sol. Celle-ci peut résulter soit d’un écoulement latéral global du sol, soit d’une modification de la masse volumique, traduisant une perte de porosité. Ces deux processus se manifestent souvent simultanément, mais c’est essentiellement le second qui induit une modification structurale du sol. Cette forme particulière de déformation est désignée par le terme de tassement, lorsque la perte de porosité s’accompagne de l’expulsion d’air et par le terme consolidation, lorsque l’air ayant été chassé, la perte de porosité s’effectue par expulsion d’eau. Cette distinction repose sur la vitesse de déformation caractérisant le processus, qui dans le cas de la consolidation est beaucoup plus faible (plusieurs dizaines voire centaines d’années), en raison des différences de compressibilité et de viscosité existant entre l’eau et l’air.

L’évaluation des tassements est en général effectuée sur la base des contraintes estimées à l’aide de la loi décrivant les déformations élastiques (Hooke). Cette manière de procéder implique un degré d’approximation variable et d’autant plus élevé que le comportement du milieu s’éloigne de l’élasticité ou les contraintes sont proches du seuil de rupture. La distribution latérale des contraintes de compression confère aux tassements une répartition particulière. Les tassements maximaux ne se manifestent en effet pas immédiatement sous le

2.4.2 Déstructuration due aux tassements

La déstructuration du sol induite par les tassements provient essentiellement de déformations de nature plastique et de la fissuration provoquée par la rupture de certains éléments structuraux. Ces processus affectent particulièrement la porosité dite structurale, soit l’ensemble des vides existant entre les agrégats, et très peu la porosité dite texturale, soit la microporosité interne des agrégats. Il s’ensuit que les pores de grande taille disparaissent presque totalement. De surcroît, comme l’essentiel des contraintes se manifeste dans le sens vertical, le tassement correspond dans une certaine mesure à une « horizontalisation » des particules de sol qui se répercute sur les caractéristiques morphologiques des pores. Ceux-ci s’allongent en effet et prennent une orientation parallèle à la surface du sol. Ces modifications de l’espace poral peuvent affecter fortement les écoulements d’eau, qui se produisent précisément surtout dans le sens vertical.

2.5 Les contaminants

La pollution a atteint de nos jours une ampleur telle que les dirigeants sont en train de mettre en vigueur des politiques rigoureuses. L’étude de contaminant constitue un champ d’expertise très large. Elle ne sera pas traitée globalement dans la présente recherche. Nous nous concentrerons sur les contaminants que l’on retrouve dans les sols et plus particulièrement les hydrocarbures. Nous envisageons aussi évoquer les modes de transports de ces contaminants à travers le sol.

Source : www.fost.fr/img/ tarragone_1.jpg

L’Organisation américaine pour la protection de l’environnement EPA estime qu’il existe aux États-Unis 1,4 milliards de réservoirs de stockage souterrains (RSS) appartenant à diverses installations (usines, stations-services, etc.). Plus de 95 % de ces réservoirs sont utilisés pour le stockage des différents hydrocarbures. À ce nombre s’ajoutent plusieurs millions de réservoirs domestiques pour le stockage des huiles à chauffage. 80 à 90 % de ces RSS sont fabriqués en acier non protégé et sont donc ainsi menacés par la corrosion rapide. La plupart d’entre eux sont en service depuis plus de 10 ans; un tiers a plus de 20 ans. Dix à trente des réservoirs installés récemment doivent déjà connaître des fuites reportées comme étant supérieures à 200 ml (P.T. Kostecki [1899]). De quoi faire quelque peu frissonner. À ceci, ajoutons des milliers de sites industriels contaminés pour les enfouissements des déchets toxiques ou issus de déversements accidentels et nous pouvons nous faire une idée importante du nombre de sites contaminés aux États-Unis et par interpolation au niveau mondial.

2.5.1 Problématique d’un sol contaminé

Quand une phase liquide non aqueuse, moins dense que l’eau, s’échappe d’un RSS, ce liquide migre verticalement sous l’influence de la gravité et des forces de capillarité jusqu'à atteindre une barrière imperméable qui est la nappe phréatique ou alors il se répandra latéralement en fonction de la topographie et du gradient hydraulique. La figure 5 donne une représentation de ce phénomène. La contamination des sols se distingue plutôt par son caractère diffus, souvent perceptible, hétérogène et difficile à circonscrire dans l’espace. La plus importante caractéristique en matière de traitement des sols contaminés est le fait que ces sols constituent un système présentant trois phases en relation, soit une phase solide, une phase liquide et une phase gazeuse. Un sol contaminé possède, de plus, des caractéristiques physiques (granulométrie, porosité, degré de saturation, densité, etc.), chimiques (PH, alcalinité) et biologiques (microorganisme, contenu en O2, etc.) leur conférant une entité très particulière. Un procédé de traitement doit, tout en tenant

compte de tous les aspects intégrer les objectifs de décontamination à atteindre ainsi que les impacts environnementaux, sociaux et économiques qui lui sont associés.

Les hydrocarbures liquides consistent en un mélange complexe de nombreux composés, chacun avec des propriétés physico-chimiques ainsi que chaque composé se comporte différemment dans le sol. Ceux ayant une forte solubilité dans l’eau et une faible pression de vapeur saturante auront une forte tendance à se solubiliser dans l’eau.

Autre phénomène, au contact des contaminants des sols, les contaminants organiques et minéraux du milieu interagissent avec différents composés et quelques-uns seront absorbés ou liés à des surfaces particulières.

2.5.2 Classification des hydrocarbures et natures des constituant

Le terme « hydrocarbures » regroupe tous les composés organiques à base de carbone (C) et hydrogène et caractérisés par une ou plusieurs liaisons C-H. Les hydrocarbures peuvent être constitués de chaînes linéaires simples (hydrocarbures aliphatiques) ou multiples, ramifiées, cycliques ou aromatiques et supporter divers groupements fonctionnels (hydrocarbures substitués). Ce sont des substances non polaires8 _{qui ont}

généralement une solubilité limitée dans l’eau. L’industrie pétrolière répartit généralement les différents hydrocarbures en quatre grandes catégories:

- Les paraffines (CnH2n+2)

:

Hydrocarbures aliphatiques, alcanes (exemples : méthane, éthane, propane, butane, pentane, hexane, hexane, heptane, etc.);

- Les naphtènes (CnH2n)

:

cyclopropane, cyclobutane, cyclopentane, cyclohexane, etc.);

- Les oléfines

:

-

Le nombre de carbones a un effet direct sur les caractéristiques physico-chimiques du composé. Ainsi, les composés à chaînes aliphatiques (alcanes et paraffines) de moins de quatre carbones sont des gaz alors que ceux contenant jusqu'à 17 carbones sont des liquides dont la densité est inférieure à celle de l’eau (inférieur à 1). Les chaînes de plus de 18 carbones caractérisent les solides que l’on appelle communément des cires. La solubilité des alcanes (ou paraffines) en milieu aqueux de même que leur pression de vapeur, décroissent en fonction de l’augmentation du nombre d’atomes de carbones.

Les naphtènes (cycloalcanes) présentent des caractéristiques physico-chimiques comparables à celles propres aux chaînes aliphatiques. Leur densité est inférieure à 1 et leur solubilité, de même que leur pression de vapeur sont en fonction de la quantité d’atomes de carbones présents. Les hydrocarbures aromatiques ont des structures cycliques insaturées qui favorisent la délocalisation des électrons (phénomène de résonance), ce qui leur confère une stabilité accrue. Ils ont comme base le benzène. Les propriétés de ces substances sont, comme pour les naphtènes, fonction du nombre de carbones présents.

Les caractéristiques physico-chimiques des hydrocarbures dicteront leur comportement lors de leur rejet dans un milieu naturel. Elles auront également un impact sur leur devenir dans le milieu.

2.5.3 Transport des contaminants

Lorsque la phase liquide n’est plus considérée comme une solution homogène, assimilable à l’eau pure, mais comme une solution aqueuse hétérogène, les variations spatiales et temporelles de sa composition, découlant des phénomènes de transfert de solutés, confèrent une dimension supplémentaire à sa dynamique. Leur description, qui complète l’analyse quantitative du comportement de la phase liquide, peut être effectuée soit de manière globale, lorsque l’on peut admettre que toutes les espèces chimiques ont un comportement similaire, soit de manière détaillée, lorsqu’il est nécessaire de tenir compte des spécificités propre à chaque espèce.

La présence de solutés dans la phase liquide du sol découle d’une part d’apports externes (eaux de pluies et irrigation) et d’autres interactions avec la phase solide du sol. Les comportements des diverses espèces chimiques se différencient par les échanges avec la matrice solide. Une approche globale ne se justifie dès lors que si les interactions entre phases liquide et solide peuvent être négligées, ce qui est le cas lorsque les solutés sont essentiellement constitués des sels solubles, tels que chlorure de sodium (NACL). Par contre, l’étude du comportement spécifique de substances chimiques particulières, telles que les éléments nutritifs majeurs des végétaux (S, K, Mg, etc.) où divers polluants nécessitent une approche plus détaillée, mais également plus complexe, prenant en compte les interactions entre phase liquide et solide et les réactions chimiques se produisant dans la solution.

Figure 5 : Évaluation dans le temps du profil de concentration

Le sort d’un contaminant et son transport dans l’environnement varient selon les propriétés physiques et chimiques du composé ainsi selon la nature du matériau géologique (sols) à travers lequel le composé effectue sa migration.

La densité, la viscosité, la solubilité, la stabilité chimique et d’autres caractéristiques affectent la dispersion des contaminants dans le sol. Ils peuvent arriver à l’eau souterraine, soit dans l’eau miscible ou comme une phase immiscible dans l’eau. Suivant la taille des particules, on peut les considérer dissoutes ou non. La migration du contaminant sera la résultante de plusieurs phénomènes.

2.5.3.1 Dispersion

Ce phénomène est à la fois associé au mouvement du fluide et à la présence du milieu poreux avec sa complexité structure porale. Des particules fluides qui sont ensemble, à un moment donné, ont tendance à s’éloigner à cause d’au moins trois mécanismes physiques. D’abord, les particules qui se trouvent plus proches des parois des pores bougent moins vite que celles au centre des pores. Ensuite, la variation de la dimension des pores se traduit par des vitesses relatives différentes des particules. Enfin, les particules se trouvant au voisinage d’un point donné peuvent parcourir des chemins différents aboutissant aux différents

chenaux. Quand ces mécanismes se produisent en présence d’un gradient de concentration, le mouvement du fluide dans l’ensemble, est identifié par un mécanisme de dispersion.

Pour décrire ce nouveau, de nombreux auteurs ont proposé une loi de type Fickien9 _:

( )

10

.

grad

C

équation

D

d

=

q

Où

q

D est le coefficient de dispersion en (L2_T-1₎

C est la concentration

D est un tenseur d’ordre 2 appelé le tenseur de dispersion mécanique (M2_T-1_{) qu’on essaie souvent de relier}

aux caractéristiques de l’aquifère et du fluide. Différentes approches sont utilisées pour quantifier ce coefficient. Le modèle statistique établit le cadre général de la théorie classique de la dispersion. Elle est directement développée à partir du processus physique qui produit de la dispersion. Elle est basée sur la méthode de marche aléatoire qui permet également de décrire le cadre théorique du mouvement Brownien des molécules. Scheiddegger (1954) a développé un modèle statistique dans lequel il a introduit le constant de la dispersion qu’il a appelé la dispersion du milieu.

11

.

v

équation

a

D

=

-D est le coefficient de la dispersion (L2_T-1₎

-a est la dispersivité

-v est la vitesse du transport (LT-1₎

La dispersion mécanique dépend linéairement de la vitesse du transport et une caractéristique du milieu poreux appelé la dispersivité. Cependant l’évolution de la majeure partie des contaminants est essentiellement due à l’advection surtout dans les milieux très imperméables.

2.5.3.2 Advection

Il s’agit d’un déplacement du contaminant lié au mouvement du fluide vecteur, c’est-à-dire l’eau dans le sol, sous l’effet d’un gradient hydraulique suivant la loi de Darcy. L’advection constitue un mécanisme de transport qui n’entraîne aucune réduction directe des concentrations de contaminants. Le contaminant avance, moyennement, à la vitesse moyenne de l’eau. De ce fait, il faut une bonne estimation de la vitesse d’écoulement pour l’étude du transport des polluants.

12

.

équation

n

V

C

V

=

Où

φ

-

ν

-

ν

Chapitre 3 – Objectifs

Les objectifs de ce travail visent à déterminer, dans n’importe quel point du domaine, les grandeurs physiques liées à la consolidation et au transport des contaminants qui sont les hydrocarbures.

Ces grandeurs physiques sont les suivantes :

- Les indices des vides; - Les contraintes effectives; - Les pressions interstitielles; - Les tassements;

- Les concentrations.

Il serait donc important pour les spécialistes en sols et en environnement de connaître l’état des contraintes, la perméabilité, l’indice des vides, les degrés de consolidation, et aussi les concentrations et leurs gradients en vue de faire des prévisions quant à l’efficacité de décontamination du sol dans le cadre d’un projet affectant un sol contaminé.

L’utilisation d’un programme informatique ne serait qu’un modèle numérique destiné à des simulations qui pourront par la suite être utilisées pour prédire l’évolution de la concentration et les paramètres de la consolidation.

Chapitre 4 – Hypothèse

4.1 Généralité : la théorie de Gibson à grande déformation

L’équation gouvernant le processus de consolidation unidimensionnelle pour une argile saturée a été dérivée suivant les hypothèses beaucoup plus générales que celles utilisées actuellement (Gibson et al 1967). Il a été montré que si le sol est homogène et dépendant de tout effet lié au temps, l’indice des vides e est une variable privilégiée dans l’équation de consolidation. L’étude d’une couche mince, où le poids propre et le poids des pores sont négligeables par rapport aux forces appliquées, a montré que l’indice des vides obéit à une équation faiblement linéaire de type parabolique, résultat déjà anticipé par les chercheurs Mc Nabb (1960) et Mikassa (1965).

Dans la théorie de Gibson, le poids propre et le poids des pores d’une couche épaisse d’argile sont pris en compte. Il a été montré que l’indice des vides obéit à une équation linéaire qui peut être linéarisée sous des conditions un peu plus restrictives que celles qu’on impose pour linéariser l’équation de consolidation pour une couche mince. Cette équation linéarisée est résolue numériquement et les résultats enregistrés peuvent être utilisés pour un problème qui peut se produire dans la pratique.

Cette théorie tient compte de la variation des coefficients de perméabilité et de compressibilités en cours de consolidation. De façon à rendre la théorie plus consistante, les déformations finies sont autorisées. Les comparaisons avec la théorie conventionnelle, dans un exemple pratique, montrent que la théorie en déformation finie non linéaire perdit une progression du tassement de consolidation beaucoup plus rapide que ce que donne la théorie conventionnelle bien que la dissipation des pressions interstitielles puisse être plus lente. Les conséquences de ce résultat indiquent que la théorie de consolidation conventionnelle peut éventuellement sous-estimer de façon importante la surpression interstitielle dans une couche molle. Par conséquent, la résistance au cisaillement pourrait être surestimée dans une analyse en contraintes effectives, conduisant à un projet potentiellement non sécuritaire. La comparaison de ces deux théories est illustrée par les figures 7 et 8, tirées dans l’article « Finite element analysis for large strain consolidation of saturated

Figure 6 : Degré de consolidation en fonction du temps

Figure 7 : Variation de la pression en fonction du temps

4.2 Hypothèse

Dans le cadre de cette recherche, la théorie de Gibson à grande déformation semble mieux adaptée et plus conforme que la théorie conventionnelle dans la mesure où elle autorise les grandes déformations et elle tient en considération les variations des coefficients de perméabilité qui représentent un paramètre important dans le phénomène de la consolidation.

Chapitre 5 – Méthodologie

5.1 Notions générales sur la théorie à grande déformation

Avant la formulation des équations, il serait important d’aborder quelques notions mathématiques et physiques liées aux mouvements des particules, mais aussi des notions fondamentales en mécanique des sols. Ces notions sont expliquées dans les manuels de la mécanique des milieux continus et de la mécanique des sols indiqués dans la liste bibliographique.

5.1.1 Les systèmes de coordonnées

Le système de coordonnées généralement utilisé en géotechnique est le système Eulérien où la déformation matérielle est liée à un plan fixe dans l’espace. L’excès de pression dans les pores dans une couche d’argile consolidée est mesuré à un point, lequel est spécifiquement lié à une référence. Il est à noter qu’en dessous de ce système les particules solides bougent sous l’effet de la consolidation. Les théories de déformation infinitésimales de la consolidation supposent que l’épaisseur de la couche incompressible est constante et que la déformation est considérée petite par rapport à la couche. En utilisant ce système de coordonnées, un piézomètre placé à un point de la couche d’argile est référé à un datum. Il est fixe par conséquent la distance entre la référence et le piézomètre reste constant.

Si les déformations sont importantes comparativement à l’épaisseur de la couche compressible, l’utilisation du système eulérien présente un inconvénient majeur. Un piézomètre fixe dans le domaine ne pourra pas mesurer l’excès de pression interstitielle du fait que le sol se meut suivant l’effet de la consolidation avec le temps. Le système de coordonnées approprié pour mesurer cette pression, dans ce cas, est le système de coordonnées convectif (e,τ) où le piézomètre serait toujours entouré par les mêmes particules.

Les coordonnées lagrangiennes (a, t) consistent à attacher les propriétés aux particules dans leur mouvement. Les grandeurs physiques sont alors en fonction du temps, mais elles dépendent aussi de la particule qu’on choisit de suivre. Le repérage de la particule choisie s’effectue par ses coordonnées constituées par exemple par les trois coordonnées de la position qu’elle occupe à un temps donné.

À une dimension, la particule est définie suivant les coordonnées lagrangiennes par :

( )

a

,

t

équation

13

e

e

=

Figure 8 : Les coordonnées lagrangiennes

À une dimension, la particule est définie suivant les coordonnées convectives par :

( )

P P ε,τ équation 14 avec τ τ(t)

= =

La dérivée d’une fonction F (e,τ) par rapport à a est égale à :

a

F

a

F

a

F

∂

∂

⋅

∂

∂

+

∂

∂

⋅

∂

∂

=

∂

∂

τ

τ

e

e

15

0

équation

a

F

a

F

t

A

∂

∂

⋅

∂

∂

=

∂

∂

=

e

e

À l’instant initial (t=0), l’élément d’une couche est constitué de particules solides de dimension unitaire et d’indice de vides e0. Avec le processus de la consolidation (à l’instant t supérieur à 0) le volume des particules

a0 at

16

1

1

équation

e

e

a

+

+

=

∂

∂e

Figure 9 : Variation de l’indice des vides au cours de la consolidation

17

1

1

15

'

équation

F

e

e

a

F

devient

équation

L

e

∂

∂

⋅

+

+

=

∂

∂

La dérivée d’une fonction F (e,τ) par rapport à t est égale

18

équation

t

F

t

F

t

F

∂

∂

⋅

∂

∂

+

∂

∂

⋅

∂

∂

=

∂

∂

e

e

τ

τ

e

e

τ

τ

Un sol est défini par sa porosité :

20

équation

V

V

total

Volume

vides

des

Volume

n

=

=

Figure 10 : Diagramme de phases

La porosité est liée à l’indice des vides par la relation suivante :

21

1

n

équation

n

e

−

=

La perméabilité est une propriété du sol qui exprime ou définit comment l’eau circule à travers le sol. Le coefficient de perméabilité a la dimension d’une vitesse, car le gradient hydraulique i est sans dimension et la vitesse d’écoulement de l’eau elle-même a la dimension d’une vitesse. Il s’exprime en général en m/s et varie selon la granulométrie du sol.

22

)

(

e

équation

k

k

=

Air (A)

Eau (W)

Sol (S)

Air (A)

Eau (W)

Sol (S)

Bishop et Blight reprennent la définition de Terzaghi en exprimant « la contrainte effective est une fonction de la contrainte totale et de la pression interstitielle de l’eau qui contrôle les effets mécaniques dus à une modification de l’état de contrainte auquel est soumis un élément de sol ». Les effets d’une telle modification peuvent se mesurer par le biais des variations de volume (indice des vides) ou de la résistance au cisaillement du sol. 23 ) (pression équation U totale Effective =

σ

σ

5.2 Les lois de conservations et de comportements

En se basant sur les lois de conservation et de comportements dans l’étude du milieu poreux, il est possible d’établir des équations permettant d’expliquer l’évolution des différentes grandeurs physiques qui sont dans le cadre de notre étude : les contraintes, les tassements, la teneur en eau, la concentration, etc.

Considérons un élément de sol représenté par le carré ABCD. Les forces agissant sur cet élément sont représentées sur la figure 13. L’équation d’équilibre est obtenue en faisant la somme des forces suivant l’axe Y est égale à zéro. À part les forces extérieures, notons la force de volume et celle due à la gravité de l’eau. L’unité de surface va être utilisée pour transformer les contraintes en forces à l’aide de la relation ci-dessous.

.

:

;

int

:

;

:

24

*

Aire

A

e

Contra

Force

F

Avec

équation

A

F

σ

σ

=

5.2.1 Les lois de conservation

La mécanique classique repose sur un petit nombre de principes que l`on doit prendre sur des axiomes (disons plutôt que ce sont des conventions qui permettent de définir des objectifs, au demeurant, des objets purement mathématiques) à partir desquels il sera possible de formuler des théorèmes. En ce qui concerne la théorie du mélange et la théorie du milieu poreux, les équations d`équilibre, tels que l`équilibre de masse, l`équilibre du mouvement, et le moment du mouvement, ainsi que l`équilibre d`énergie, doivent s`établir pour chaque constituant en tenant compte des interactions et des influences extérieures postulées par Terzaghi. En

d`autres termes, tout élément pouvant influencer, de près ou de loin, les constituants individuels aussi bien que les effets d`interaction entre ces constituants eux-mêmes doivent être considérés dans les lois de conservation.

Dans le cas d`une vitesse commune v et d`une accélération a, d`une accélération externe commune b, aussi bien qu`une énergie interne commune E, et d`une chaleur externe donnée r- la somme des lois des équations d`équilibre doit formellement devenir la loi de conservation appropriée à un corps entier.

5.2.1.1 Loi de la conservation de la masse

L’équation de la conservation de la masse peut être formulée pour chaque constituant. Pour ce faire, il nous faut la masse du constituant M qui est reliée à la masse volumique du constituant et du volume. La loi de conservation de la masse indique que la masse totale d’un volume matériel reste constante dans le temps, si l’on suit les particules qui composent ce volume dans leur mouvement.

Figure 11 : Loi de conservation de la masse

A B

C D

Suivant l’axe de référence figure 12 : La somme force est égale à zéro.

25

0

)

*

(

0

)

*

(

1

1

*

)

1

(

0

)

*

(

*

)

1

(

0

)

1

1

(

*

)

1

(

*

0

)

1

(

*

*

0

)

(

*

*

0

)

(

*

*

1

*

0

1

*

)

(

*

*

1

*

)

(

0

équation

e

z

e

z

e

e

e

e

e

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n

n

d

d

V

d

V

d

V

V

V

V

d

V

V

V

d

F

=

+

+

∂

∂

=

+

−

∂

∂

+

+

−

=

+

−

∂

∂

+

−

=

+

−

+

−

∂

∂

−

=

−

−

−

∂

∂

−

=

−

−

−

∂

∂

−

=

−

−

−

∂

∂

−

=

+

−

−

−

∂

∂

+

−

=

∑

γ

γ

σ

γ

γ

σ

γ

γ

z

σ

γ

γ

z

σ

γ

γ

z

z

σ

z

z

γ

z

γ

z

σ

γ

γ

z

z

σ

σ

γ

γ

z

z

σ

σ

Figure 12 : Loi de conservation de la masse

A B

C D

Suivant l’axe de référence figure 13 : La somme des forces est égale à zéro.

26

0

)

*

(

0

)

*

(

1

1

*

)

1

(

0

)

*

(

*

)

1

(

0

)

1

1

(

*

)

1

(

*

0

)

1

(

*

*

0

)

(

*

*

0

)

(

*

*

1

*

0

1

*

)

(

*

*

1

*

)

(

0

équation

e

z

e

z

e

e

e

e

e

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n

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d

d

V

d

V

d

V

V

V

V

d

V

V

V

d

F

=

+

−

∂

∂

=

+

−

∂

∂

+

+

=

+

+

∂

∂

+

−

=

+

+

+

+

∂

∂

−

=

−

+

+

∂

∂

−

=

−

+

+

∂

∂

−

=

−

+

+

∂

∂

−

=

+

−

+

+

∂

∂

+

−

=

∑

γ

γ

σ

γ

γ

σ

γ

γ

z

σ

γ

γ

z

σ

γ

γ

z

z

σ

z

z

γ

z

γ

z

σ

γ

γ

z

z

σ

σ

γ

γ

z

z

σ

σ

5.2.1.2 Loi de conservation de la quantité de mouvement

En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du système.

A B

C D

C’est une loi qui traduit la validité de la troisième loi de Newton sur les efforts intérieurs, le principe de conservation de la quantité de mouvement et du mouvement cinétique.

L’équilibre de l’équation de la quantité de mouvement indique que la dérivée matérielle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces externes.

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

γ

γ

δz

γ

δz

γ

z

δz

γ

δz

γ

z

γ

5.2.1.3 Loi sur la conservation de l’énergie

La première loi de la thermodynamique est la loi la plus importante pour décrire la loi de la conservation de l`énergie pour un corps matériel. Cette loi peut être appliquée dans le cadre d`un milieu poreux, lequel est constitué de plusieurs constituants. La loi de la conservation de l`énergie peut être appliquée pour chaque constituant. Elle stipule que la somme des dérivées matérielles de l`énergie interne et cinétique est égale au taux de travail mécanique et au taux de l`énergie calorifique fournis au système.

5.2.1.4 L’inégalité de l’entropie

L’économie de restrictions pour les équations consécutives a été souvent obtenue à partir de la deuxième loi de la thermodynamique (le principe d`entropie) en ce qui concerne les théories du mélange, et en particulier les théories du milieu poreux. Pour les évolutions des corps matériels, la température absolue peut-être déterminée à chaque instant. Pour un élément de volume v pour un corps matériel C, l`entropie peut être exprimée par rapport à une entropie spécifique à tout instant. Dans un milieu poreux, l`inégalité de l`entropie doit être respectée pour chacun des constituants du milieu. Parallèlement, le postulat d`une inégalité entropique commune pour tous les constituants est une condition nécessaire pour l`existence d`un mécanisme de dissipation dans le mélange.

5.2.2 Les lois de comportement

La réponse d’un corps à des charges extérieures dépend de sa constitution matérielle. La caractérisation de la nature physique du corps est donc essentielle dans l’étude de son comportement face aux influences extérieures. La plupart d’entre nous savent par exemple, que tous les solides (acier, aluminium, bois, etc.) se déforment sous l’effet de la chaleur et tous les liquides (eau, sang, huile) et tous les gaz (air, oxygène, vapeur d’eau) s’écoulent et prennent la forme des récipients qui les contiennent.

Tous ces termes de solide, liquide, gaz, plasma, etc., ne sont qu’une description grossière des milieux continus (ou corps). D’ailleurs, une caractérisation rigoureuse du milieu matériel montre qu’il n’y a pas de démarcation nette entre les termes. Cependant les notions intuitives concernant les solides ou les gaz peuvent nous aider à formuler des lois de comportement simples pour une classe limitée de milieux continus. En mécanique des milieux continus, la caractérisation matérielle est faite à partir des relations fonctionnelles entre les diverses variables décrivant le comportement des corps étudiés. Le choix de variables à utiliser et les restrictions à imposer sur les équations dites de comportement sont basés sur certains axiomes d’existence et sur des lois fondamentales de la mécanique et de la thermodynamique. La préférence d’une loi de comportement d’un milieu continu réside essentiellement à la détermination d’une expression du tenseur des contraintes permettant de diminuer le nombre des inconnus, de sorte que le système des équations scalaires des trois lois de conservation admet autant d’inconnus que d’équation. Le système doit être fermé. Ces lois de comportement se traduisent par des hypothèses qui trouvent une confirmation dans l’expérience. Il faut donc savoir les lois de comportements s’appliquant dans notre sujet de recherche.

En mécanique des fluides, il existe différentes façons de décrire ou de classifier les écoulements. Ils peuvent être permanents ou transitoires selon que les conditions varient ou non dans le temps. L’écoulement peut aussi être unidimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel. Un écoulement unidimensionnel est celui pour lequel tous les paramètres comme la pression, la vitesse, la température sont constants dans n’importe quelle direction perpendiculaire à l’écoulement; bien entendu, ces paramètres peuvent varier selon la direction de l’écoulement. Dans un écoulement bidimensionnel, les paramètres sont constants sur les plans parallèles alors que pour l’écoulement tridimensionnel, les paramètres varient suivant les trois directions orthogonales. Pour fins d’analyse géotechnique, on suppose généralement que les écoulements sont unidimensionnels ou bidimensionnels, ce qui couvre la plupart des cas pratiques.