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Estimation des vitesses à partir de la mesure des déplacements pour une équation des ondes

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Academic year: 2021

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HAL Id: hal-00473034

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Preprint submitted on 13 Apr 2010

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Estimation des vitesses à partir de la mesure des

déplacements pour une équation des ondes

Pierre Rouchon

To cite this version:

Pierre Rouchon. Estimation des vitesses à partir de la mesure des déplacements pour une équation

des ondes. 2010. �hal-00473034�

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Estimation des vitesses `a partir de la mesure des

d´eplacements pour une ´equation des ondes

Pierre Rouchon

7 avril 2010

Cette note a pour origine le s´eminaire donn´e par Mathias Fink le 2 avril au laboratoire Jacques-Louis Lions. Il y soulevait une question int´eressante: l’estimation du champ spatial des vitesses de propagation `a partir de la mesure en temps r´eel du champ des d´eplacements. Cette note sugg`ere que les observateurs asymptotiques non-lin´eaires avec r´eglage des gains reposant sur deux ´echelles de temps pourraient donner une r´eponse raisonnable `a cette question.

L’´

equation des ondes et le filtre estimant les vitesses

On suppose que le d´eplacement mesur´e u(t, r) ob´eit `a une equation des ondes dans le domaine Ω (dimension 2 ou 3) o`u r varie:

∂2u

∂t2 =∇ · (p∇u) dans Ω,

∂u

∂n = 0 sur ∂Ω.

On souhaite estimer le champ p(r) = c2(r) > 0 d´ependant uniquement de r. Il convient de mettre le syst`eme sous la forme de deux equations d’ordre un en temps:

∂u ∂t = v,

∂v

∂t =∇ · (p∇u).

On note alors ˆu, ˆv et ˆp les estim´ees de u, v et p. Elles ob´eissent aux ´equations suivantes o`u les mesures u(t, r) sont vues comme des termes sources:

∂ ˆu ∂t = ˆv− ku(ˆu− u) ∂ˆv ∂t =∇ · (ˆp∇ˆu) − kv(ˆu− u) ∂ ˆp ∂t = kp ∇ˆu · ∇(ˆu − u)

Les gains ku, kvet kpsont positifs et donn´es en fonction d’un petit param`etre 0 < �� 1 homog`ene

`a un temps: ku= ¯ ku � , kv = ¯ kv �2, kp= ¯ kv �2τ (∆¯u)2,

avec ¯ku, ¯kv > 0 constantes sans dimension, τ > 0 une constante de temps caract´eristique de la

convergence de ˆp et ∆¯u > 0 la taille caract´eristique du Laplacien de u. Nous allons voir que ce syst`eme dynamique instationnaire, dont les estim´ees ˆu, ˆv et ˆp sont solutions, est stable pour ce choix des gains ku, kv et kp, choix reposant sur deux ´echelles de temps: une convergence rapide

de ˆu et ˆv (´echelle de temps �); une convergence lente de ˆp (´echelle de temps τ ). La stabilit´e veut dire que ce syst`eme dynamique oublie sa condition initiale et donc fonctionne comme un filtre. La ∗Mines ParisTech, Centre Automatique et Syst`emes, Math´ematiques et Syst`emes, 60 Bd Saint-Michel, 75272

(3)

construction de ce filtre repose sur un mod`ele dynamique des donn´ees (ici l’´equation des ondes): c’est donc un observateur asymptotique1.

Un mod`

ele r´

eduit reposant sur l’oscillateur harmonique

Pour comprendre la structure de cet observateur non-lin´eaire et la fa¸con dont les gains ku, kv et

kp sont choisis, il est utile de consid´erer dans un premier temps un mod`ele r´eduit de dimension

finie. L’´equation des ondes devient alors un oscillateur harmonique de position u, de vitesse v et de pulsation √p:

d dtu = v,

d

dtv =−pu

On mesure en temps r´eel de la position u(t). On souhaite estimer p > 0. Les estim´ees ˆu, ˆv et ˆp ob´eissent `a la dynamique suivante:

d dtu = ˆˆ v− ku(ˆu− u), d dtv =ˆ −ˆpˆu − kv(ˆu− u), d dtp = kˆ pu(ˆˆ u− u)

o`u les gains ku, kv et kp sont donn´es en fonction d’un petit param`etre 0 < �� 1 par

ku= ¯ ku � , kv = ¯ kv �2, kp= ¯ kp �2

avec ¯ku, ¯kv> 0 gains constants et ¯kp> 0 gain pouvant d´ependre du temps. Des calculs ´el´ementaires

donnent la dynamique suivante pour les erreurs ˜u = ˆu− u, ˜w = �2v

− v) et ˜q = �2p − p) d dtu =˜ ˜ w− ¯ku˜u � , d dtw =˜ −(¯kv+ ˜q + �2p)˜u− u˜q � , d dtq = ¯˜ kp(˜u + u)˜u.

Les variables ˜u et ˜w sont des variables rapides. La variable ˜q est lente. (˜u, ˜w) se stabilisent rapidement et v´erifient `a des termes d’ordre un en � (syst`eme lent/rapide sous la forme standard de Tikhonov et approximation quasi-statique):

˜ u =¯ u˜q kv+ ˜q + �2p , v =˜ ¯ k¯uu˜q kv+ ˜q + �2p . La dynamique de ˜q est donc au premier ordre en ˜q et �:

d dtq˜≈ − ¯ kpu2 ¯ kv ˜ q.

Ainsi ˜q converge localement vers 0 et donc ˜p = ˆp− p converge aussi avec 0 quand t tends vers +∞. On peut mˆeme r´egler l’´echelle de temps de convergence τ > 0 posant ¯kp =

¯ kv

τ (u2u2) o`u ¯u > 0 est

une valeur caract´eristique de|u|. En effet on aura alors

d dtq˜≈ − u2 u2+ ¯u2 ˜ q τ.

Retour `

a l’´

equation des ondes

Reprenons la d´emarche pr´ec´edente pour l’´equation des ondes et l’observateur asymptotique r´egit par le syst`eme aux d´eriv´ees partielles (kp=

¯ kp �2): ∂ ˆu ∂t = ˆv− ¯ ku � (ˆu− u) ∂ˆv ∂t =∇ · (ˆp∇ˆu) − ¯ kv �2(ˆu− u) ∂ ˆp ∂t = ¯ kp �2 ∇ˆu · ∇(ˆu − u)

1Le filtre de Kalman ´etendu est un type particulier d’observateur asymptotique o`u les gains sont donn´es par une

´

equation diff´erentielle matricielle de Riccati. Les observateurs asymptotiques sont souvent utilis´es pour les syst`emes non-lin´eaires d´ecrits par des ´equations diff´erentielles ordinaires avec une forte structure (passivit´e, contraction, sym´etries, . . . ).

(4)

On pose donc ˜u = ˆu− u, ˜w = �(ˆv− v) et ˜q = �2p − p). On a alors ∂ ˜u ∂t = ˆ w−¯kuu˜ � ∂ ˜w ∂t =

∇·(˜q∇u)+∇·(˜q∇˜u)+�2∇·(p∇˜u)−¯kvu˜ �

∂ ˜q

∂t = ¯kp ∇(˜u + u) · ∇˜u

Ainsi ˜u et ˜w sont des variables rapides qui suivent de fa¸con quasi-statique la variable lente ˜q avec au premier ordre en ˜q et en � (´equations approximatives de la ”couche limite”)

˜

w = ¯kuu,˜ u =˜ ¯k1v∇ · (˜q∇u).

Ainsi la dynamique lente de ˜q s’´ecrit toujours au premier ordre en ˜q et �: ∂ ˜q ∂t ≈ ¯ kp ¯ kv ∇u · ∇ (∇ · (˜q∇u)) .

Suite `a une int´egration par partie o`u les termes de bord sont nuls, on obtient (¯kp ¯ kv suppos´e ind´ependant de r) d dt �� Ω ˜ q2 � =−2 � Ω ¯ kp ¯ kv (∇ · (˜q∇u)) 2 .

Ainsi la norme L2 de ˜q d´ecroˆıt vers 0. La norme L2 de ˜q est une fonction de Lyapounov pour la

dynamique lente de ˜q, cela pourvu de ¯kp soit positif. Il est assez tentant de choisir ¯kp de fa¸con `a

compenser (∆u)2, ¯ kp= ¯ kv τ (∆¯u)2,

avec τ > 0 une constante de temps caract´eristique de la convergence de ˜q et avec ∆¯u > 0 la taille caract´eristique du Laplacien de u. D’autres r´eglages de ¯kp sont possibles . . .

Pr´

e-filtrage spatial

Comme les donn´ees u(t, r) sont bruit´ees il peut ˆetre int´eressant d’effectuer un pr´e-filtrage spatial et de consid´erer la convolution de u avec une fonction φ positive, r´eguli`ere, `a support compact autour de l’origine et v´erifiant�φ = 1. On pose donc

um(t, r)≡ φ ∗ u(t,r)=

φ(r− r�)u(t, r�) dr�. Alors umest solution du syst`eme int´egro-diff´erentiel

∂um ∂t (t, r) = vm(t, r), ∂vm ∂t (t, r) = � Ω p(r�)∇φ(r−r�)· ∇u(t,r�)dr� ≡ ∇φ ∗ (p∇u)(t,r)

On note alors ˆum, ˆvm et ˆp les estim´ees de um, vm = φ∗ v et p. Elles ob´eissent aux ´equations

suivantes o`u les mesures brutes u(t, r) et pr´e-filtr´ees um(t, r) sont vues comme des termes sources:

∂ ˆum ∂t = ˆvm− ku(ˆum− um) ∂ˆvm ∂t =∇φ ∗ (ˆp∇u) − kv(ˆum− um) ∂ ˆp ∂t(t, r) =−kp � Ω � (ˆum− um)(t,r+r�)∇φ(r�)· ∇u(t,r)� dr�

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o`u ku= ¯ ku � , kv= ¯ kv �2, kp= ¯ kp �2,

avec ¯ku, ¯kv > 0 constantes sans dimension, 0 < �� 1 homog`ene `a un temps, ¯kp> 0 un gain que

l’on fixera plus loin. On pose ˜um= ˆum− um, ˜wm= �2(ˆvm− vm) et ˜q = �2(ˆp− p). On a

∂ ˜um ∂t = ˜ wm− ¯kuu˜m � ∂˜vm ∂t = ∇φ ∗ (˜q∇u) − ¯kvu˜m � ∂ ˜q ∂t(t, r) =−¯kp � Ω � ˜ um(t,r+r�)∇φ(r�)· ∇u(t,r)� dr�

Les quantit´es ˜umet ˜wmconvergent donc rapidement vers ¯k1v∇φ ∗ (˜q∇u) et ¯ kp ¯

kv∇φ ∗ (˜q∇u),

respec-tivement. Ainsi ˜q ´evolue lentement selon ∂ ˜q ∂t(t, r) =− ¯ kp ¯ kv � Ω � ∇φ ∗ (˜q∇u)(t,r+r�) ∇φ(r�)· ∇u(t,r) � dr�.

Un calcul direct montre la d´ecroissance de la norme L2 de ˜q (fonction de Lyapounov): d dt � 1 2 � Ω ˜ q2 � =−k¯p ¯ kv � Ω �� Ω ˜ q(t,r�)∇φ(r−r�)· ∇u(t,r�)dr� �2 dr≤ 0.

Un premier choix raisonnable pour ¯kp (qui peut d´ependre de t mais pas de r dans le calcul

pr´ec´edent) serait donc ¯ kp= ¯ kv�dr τ����∇φ(r−r�)· ∇u(t,r�)dr� �2 dr +���∇φ(r−r�)· ∇¯u(r�)dr� �2 dr�

o`u τ est une constante de temps et ¯u est un champs caract´eristique de u. D’autres choix sont ici possibles.

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