Chapitre 11,12,13,14 - Calcul différentiel, Extremums, Equations différentielles, formes différentielles

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Texte intégral

(1)Les Mathématiques pour l’Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 14 février 2002.

(2) Table des matières 1. 2. 3. Calcul différentiel 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Applications à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Applications de plusieurs variables et dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Dérivées secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Généralisations à la dérivée n-ième . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Zoologie du calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Fonction continue partout dérivable nulle part . . . . . . . . . 1.5.3 Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue 1.5.4 Variétés de Rn , théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . .. 5 6 7 7 10 11 13 13 16 17 18 18 19 20 21 21 21 23 24 26. Extrema 2.1 Cadre et définitions . . . . . . . . 2.2 Résultats liés à la compacité . . . 2.3 Résultats de calcul différentiel . . 2.3.1 Résultats au premier ordre 2.3.2 Résultats du second ordre 2.4 La convexité . . . . . . . . . . . . 2.5 Pour aller plus loin . . . . . . . .. . . . . . . .. 28 28 28 29 29 29 30 30. Equations différentielles 3.1 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Equations différentielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Avec des hypothèses sympathiques sur f . . . . . . . . . . .. 31 31 32 32. 1. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 2 3 3.

(3) www.L es-M athematiques.net. 3.3 3.4. 4. 3.2.2 Sans hypothèse sympathique sur f . . . . . . . . . . . . . . . Equation différentielle d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zoologie des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . 3.4.2 Equations différentielles autonomes . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Equations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Equation de Ricatti (polynôme à coefficients dépendant de t de degré 2 en x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8 Equation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formes différentielles 4.1 Généralités, rappels sur les applications multilinéaires . . 4.1.1 Définition d’une forme différentielle . . . . . . . 4.1.2 Propriétés des applications multilinéaires . . . . 4.1.3 Application de tout ça aux formes différentielles. 2. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 35 36 37 37 42 43 45 45 45 46 46 47 47 47 48 49.

(4) Chapitre 1. Calcul différentiel Il est recommandé de bien maîtriser la partie?? avant d’étudier cette partie, et notamment les espaces de Banach.. 3.

(5) 1.1. Introduction. 1.1.1. Généralités. Définition 1 Soient E et F des espaces vectoriels normés et U un ouvert de E. Soit une application f : U → F , on dit que f est différentiable (ou dérivable) en x ∈ U s’il existe une application linéaire continue φ de E dans F telle que limh→0. f (x + h) − f (x) − φ(h) =0 khk. On appelle φ la différentielle ou dérivée de f en x, on la note Df (x). f est dite différentiable si elle est différentiable en tout point de U .. Proposition 2 • Si f est dérivable en x, alors f est continue en x. • La dérivée de f est unique et Df (x)(h) = limt→0. f (x + t.h) − f (x) t. • La notion de dérivée ne dépend que des topologies et pas des normes (du moment qu’elles définissent la même topologie) ; si deux normes sont équivalentes, alors une fonction différentiable pour l’une est différentiable pour l’autre, et la différentielle est la même. • D(λf + µg)(x) = λDf (x) + µDg(x) • Si E = K corps associé aux espaces vectoriels E et F , alors la différentia(x) bilité équivaut à l’existence de la limite pour t → 0 de f (x+t)−f . On note t alors cette limite f 0 (x), et Df (x)(t) = t.f 0 (x). • L’application qui à une application différentiable en x0 associe sa différentielle en X0 est une application linéaire de l’espace vectoriel des applications de E dans F différentiables en x0 dans l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F . • Une application linéaire continue f est différentiable en tout point x0 et Df (x0 )(h) = f (h).. Démonstration : Un peu laborieux mais rien de bien difficile, en notant (x, h) = f (x + h) − f (x) − Df (x)(h), pour h suffisamment petit pour que x + h appartienne à U .u t. 4.

(6) Définition 3 Soient E et F des espaces vectoriels normés et U ouvert de E. f de U dans F est de classe C 1 si elle est différentiable et si l’application qui à x associe la différentielle de f en x est continue (voir ?? pour un rappel de la topologie usuelle sur L(E, F )) .. Proposition 4 • Si f est constante sa dérivée est nulle partout, f est C 1 . • Si φ de E dans F est linéaire continue, alors φ est C 1 avec Dφ(x) = φ, pour tout x. • Si f de E1 × E2 × ... × En dans F est multilinéaire continue, alors f est C 1 , et on a Df (x1 , ..., xn )(h1 , ..., hn ) =. n X. f (x1 , x2 , ..., xi−1 , hi , xi+1 , ..., xn ). i=1. Démonstration : pas dur, tout ça !u t Théorème 5 (Différentielle de fonctions composées) Soit E,F et G des espaces vectoriels normés , et U et V des ouverts de E et F respectivement. Si f de U dans V est différentiable en x et g de V dans G est différentiable en f (x), alors la composée g ◦ f est différentiable en x et a pour différentielle D(g ◦ f )(x) = Dg(f (x)) ◦ Df (x) Si g et f sont C 1 alors g ◦ f est C 1 .. Démonstration : on écrit comme pour d’autres preuves f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + (h) k h k, et de même g((f (x) + k), et on calcule... Pour voir que la composée est C 1 , il suffit de voir que la différentielle est la composée de 3 fonctions continues.u t Définition 6 (Isomorphisme d’espaces normés) Un isomorphisme de l’espace vectoriel normé E sur l’espace vectoriel normé F est une application φ : E → F linéaire continue et bijective d’inverse continue. On note Isom(E, F ) le sous-ensemble de L(E, F ) formé des isomorphismes de E dans F .. Théorème 7 Soient E et F des espaces de Banach. Le sous-ensemble Isom(E, F ) est ouvert dans L(E, F ). L’application inv : Isom(E, F ) → Isom(F, E) qui à u associe u−1 est C 1 avec Dinv(u)(v) = −u−1 .v.u−1 . Démonstration : Soit u0 un isomorphisme de E vers F ; alors u0 + v = u0 .(Id + 5.

(7) −1 −1 u−1 , on a k u−1 0 .v). Si k v k<k u0 k 0 .v k v k< 1, et donc la série +∞ X. i (−u−1 0 .v). i=0. est convergente dans L(E, F ) et donne un inverse à (Id + u−1 .v). P+∞ 0 −1 n −1 −1 −1 Donc pour k v k<k u0 k , l’inverse de u0 + v est i=0 (−u0 .v) .u0 . P+∞ −1 −1 −1 i −1 On a alors (u0 + v)−1 = u−1 0 − u0 .v.u0 + i=2 (−u0 .v) .u0 ; or la quantité −1 i (−u−1 0 .v) .u0 kvk. tend vers 0 quand v tend vers 0. L’application Dinv est continue comme composée de fonctions continues, comme on s’en convaincra aisément.u t Proposition 8 (Liens entre différentiabilité Banach sur R et sur C) Un Cespace vectoriel peut aussi être considéré comme un R-espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant E et F en tant que C-espaces vectoriels par E et F en tant que R-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour C est différentiable pour R ; par contre la réciproque n’est pas garantie dans le cas général ; il faut que la différentielle sur R soit définie et que la différentielle sur R soit linéaire et continue en tant qu’application entre C-espaces vectoriels (c’est à dire appartienne à LC (E, F )). Démonstration : Sans grande difficulté, et laissée au lecteur.u t. 1.1.2. Applications à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels normés. Proposition 9 Soit f une application de E dans F1 × F2 , avec E, F1 et F2 des espaces vectoriels normés , et soient f1 et f2 ses composantes. Alors f est différentiable en x si et seulement si f1 et f2 sont différentiables en x, et Df (x)(h) = (Df1 (x)(h), Df2 (x)(h)). En outre, f est C 1 si et seulement si f1 et f2 sont C 1 . Démonstration : Il suffit de voir que les projections canoniques de F sur F1 et F2 sont C 1 car linéaires et continues, et que l’injection canonique de F1 dans F ou de F2 dans F sont linéaires continues, donc elles aussi C 1 .u t Corollaire 10 (Formule de Leibnitz) Si f1 : U → F1 et f2 : U → F2 sont différentiables en x et B : F1 × F2 → G et B de F1 × F2 dans G est bilinéaire continue, alors B(f1 , f2 ) : x 7→ B(f1 (x), f2 (x)) est différentiable en x et DB(f1 , f2 )(x)(h) = B(f1 (x), Df2 (x)(h)) + B(Df1 (x)(h), f2 (x)) En outre si f1 et f2 sont C1 alors B(f1 , f2 ) est C 1 .. 6.

(8) 1.1.3. Applications de plusieurs variables et dérivées partielles. Proposition 11 (Définition des dérivées partielles) Soit U un ouvert du produit E1 × E2 de deux espaces vectoriels normés , soit f : U → F , avec F espace vectoriel normé , et f différentiable en a = (a1 , a2 ). Alors les deux applications partielles x1 7→ f (x1 , a2 ) et x2 7→ f (a1 , x2 ) sont différentiables respectivement en a1 et a2 . On note les deux différentielles obtenues respecδf δf et δx , et on les appelles tivement D1 f (a1 , a2 ) et D2 f (a1 , a2 ), ou bien δx 1 2 respectivement première dérivée partielle et deuxième dérivée partielle. On a alors Df (a1 , a2 )(h1 , h2 ) = D1 f (a1 , a2 )(h1 ) + D2 f (a1 , a2 )(h2 ) On peut généraliser de même à un produit fini d’espaces vectoriels normés ; si f est différentiable en (a1 , a2 , ..., an ), alors pour tout i dans [1, n] x 7→ f (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., an ) est différentiable en ai , sa différentielle en ai δf est noté δx (a), et i Df (a1 , ..., an )(h1 , ..., hn ) =. n X δf (a)(hi ) δx i i=1. Démonstration : Facile !u t Il n’y a pas de réciproque dans le cas général ! Même si toutes les dérivées partielles sont définies la différentielle n’est pas nécéssairement définie. Par contre si les différentielles partielles sont continues alors on peut conclure que f est différentiable et même C 1 (voir partie 1.2.3).. Théorème 12 Soit E un espace de Banach , U un ouvert de E et F1 , ..., Fn des espaces de Banach . Soit f de U dans F1 × ... × Fn . On note pi (x1 , ..., xn ) = xi . Alors f est différentiable en x si et seulement si chacune des application fi de E dans Fi y 7→ pi (f (x)) est différentiable en x et on a alors Df (x)(h) = (Df1 (x)(h1 ), Df2 (x)(h2 ), ..., Dfn (x)(hn )). Démonstration : • Le sens "seulement si" est clair ; une composée d’applications différentiables est différentiable. • Le sens "si" et l’égalité annoncée s’obtiennent simplement en considérant f=. n X i=1. 7. ui ◦ fi.

(9) avec ui (x) = (0, ..., 0, x, 0, , , 0).u t Définition 13 Eventuellement on peut avoir U ouvert de Rn et F = Rm ; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle ; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme :   δf δf1 δf1 1 ... δx δx2 δxn   δf21 δf δf  δx1 δx22 ... δxn2   . .. ..  ..  .  .  . . .  δfm δx1. δfm δx2. .... δfm δxn. Si n = m, la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant, appelé jacobien de f .. 1.2 Le théorème des accroissements finis 1.2.1. Résultats principaux. Définition 14 Soient a et b dans R, avec a < b, et F un espace vectoriel normé . Une application f de [a, b] dans F est dite dérivable à droite en x (x) appartenant à [a, b[ si la limite à droite limh→0,h>0 f (x+h)−f existe ; on h l’appelle alors dérivée à droite de f en x.. Théorème 15 (Théorème des accroissements finis) Soient a et b dans R avec a < b, et F un espace vectoriel normé . On suppose que les deux fonctions f : [a, b] → F et g : [a, b] → R sont continues sur [a, b] et dérivables à droite sur [a, b] \ D avec D au plus dénombrable. Si, pour tout t ∈ [a, b] \ D on a k fd0 (t) k≤ gd0 (t), alors k f (b) − f (a) k≤ g(b) − g(a). Démonstration : • On note D = {d1 , d2 , d3 , ...} avec di < di+1 • On se donne  > 0. • On considère E l’ensemble des x tels que X 1 kf (x) − f (a)k > g(x) − g(a) + .(x − a) + . 2i. (1.1). di <x. • E est ouvert • Soit x0 la borne inf de E • x0 > a, car pour x assez petit, l’inégalité 1.1 est fausse • x0 6∈ E, car E est ouvert ; donc kf (x0 ) − f (a)k ≤ g(x) − g(a) + .(x − a) + .. X 1 2i. di <x. • x0 6= b, car E est ouvert et n’est donc pas réduit à un singleton 8. (1.2).

(10) • On va maintenant distinguer deux cas, selon que c appartienne à D ou non. - Si x0 ∈ D, alors x0 = di0 pour un certain i0 . Alors par continuité pour x > x0 suffisamment proche de x0 , on a kf (x) − f (x0 )k ≤ g(x) − g(a) + .(x − c) + .2−i0 (par continuité). Or pour x > x0 on a X  X ≥ .2−i0 +  2−i i 2 di <x. (1.3). (1.4). di <x0. . En sommant 1.2, 1.4 et 1.3, on obtient que x ne vérifie par 1.1 pour x assez proche de x0 suffisamment proche de x0 ; ce qui est contradictoire avec E ouvert. - Si x0 6∈ D, par hypothèse kfd0 (x0 )k ≤ gd0 (x0 ). Donc pour x suffisamment proche de x0 et x > x0 on a 1 1 kf (x) − f (x0 )k ≤ g(x) − g(x0 ) +  x − x0 x − x0 et donc kf (x) − f (x0 )k ≤ g(x) − g(x0 ) + .(x − x0 ) en additionnant avec 1.2 on obtient alors que x 6∈ E pour x suffisamment proche de x0 et x > x0 ; ce qui est contradictoire puisque E est ouvert. • On a alors montré que E est vide, et donc il suffit de faire tendre  vers 0 pour avoir le résultat désiré.u t Corollaire 16 On a le même résultat en remplaçant les dérivées à droite par les dérivées à gauche. Démonstration : Facile, en remplaçant x par −x !u t Corollaire 17 Une fonction continue de R dans un espace vectoriel normé dont la dérivée existe et est nulle sauf sur un ensemble au plus dénombrable est constante. Démonstration : Facile !u t on utilise le théorème des accroissements finis pour les théorèmes 39, 28, 35, ??, ??, ??. On l’utilise aussi pour montrer qu’une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne, ou bien qu’une fonction C 1 est localement lipschitzienne → applications aux équations différentielles. Proposition 18 Une fonction f continue de R dans R dont la dérivée existe et est positive sauf sur un ensemble au plus dénombrable est croissante. Démonstration : L’astuce réside dans le fait que la fonction f dont il est question ici doit jouer le rôle de la fonction g du théorème des accroissements finis ! On utilise. 9.

(11) pour f une fonction nulle, donc de dérivée nulle ; on considère une fonction g de dérivée positive, et le tour est joué !u t Corollaire 19 Inégalité des accroissements finis f définie de l’ouvert U de l’espace vectoriel normé E et à valeurs dans l’espace vectoriel normé F . Si f est dérivable et si le segment [x, y] est inclus dans U , alors k f (y) − f (x) k≤k y − x k .supz∈[x,y] k Df (z) k. Démonstration : Si le sup est infini il n’y a rien à prouver. Sinon on considère la fonction θ qui à un réel t compris entre 0 et 1 associe ky−xk.(supz∈[x,y] kDf (z)k).t ; θ est dérivable, en tout point, de dérivée constante égale à ky − xk.(supz∈[x,y] kDf (z)k), que l’on va noter C. L’application φ qui à t ∈ [0, 1] associe f ((1 − t).x + t.y) est dérivable en tout point de [0, 1], de dérivée Df ((1 − t).x + t.y)(y − x). La norme de cette dérivée est majorée par θ0 , donc par C. On peut donc majorer kφ(1) − φ(0)k par θ(1) − θ(0).u t Corollaire 20 Une application définie sur un ouvert U de l’espace vectoriel normé E à valeurs dans l’espace vectoriel normé F dérivable et de dérivée nulle est localement constante. Si U est connexe, f est constante. Trois corollaires (pour le deuxième il faut un peu y réfléchir, pour le troisième c’est une conséquence du second) : Corollaire 21 En définissant la distance entre deux points d’un ouvert connexe comme la longueur inf d’une ligne brisée entre ces deux points (voir la partie topologie pour vérifier qu’un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que toute paire de points dans un tel ensemble peut être reliée par une ligne brisée), et en supposant que f est une application de cet ouvert dans un espace vectoriel normé différentiable telle que pour tout x kf 0 (x)k ≤ k, alors kf (b) − f (a)k est inférieur ou égal à k fois la distance de a à b.. Définition 22 Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques telle que pour tout x il existe un voisinage de x sur lequel la restriction de f est lipschitzienne.. Corollaire 23 Une application de classe C 1 est localement lipschitzienne.. 10.

(12) 1.2.2. Applications : interversion de limite et de dérivation. Définition 24 (Convergence uniforme, rappel) Une suite d’applications fn de X dans Y avec X et Y espaces métriques converge uniformément vers f application de X dans Y si limn→+∞ supx∈X d(fn (x), f (x)) = 0. Proposition 25 Si les fn sont continues et convergent uniformément vers f alors f est continue. Démonstration : d(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), fn (x)) + d(fn (x), fn (y)) + d(fn (y) − f (y) Etant donné  l suffit alors de prendre n assez grand et x et y assez proches pour que f (x) − f (y) ≤ .u t Ce résultat servira par exemple pour le théorème ??, ou le théorème 47. Théorème 26 On suppose E et F des espaces vectoriels normés , U ouvert de E, fn une suite d’applications de U dans F différentiables, fn convergeant simplement vers f , les Dfn convergeant uniformément vers une certaine application g de U dans L(E, F ), alors : • f est différentiable et Df = g • Pour tout C convexe et borné inclus dans U la convergence de fn |C vers f|C est uniforme • Si les fn sont C 1 alors f est C 1 . Démonstration : laborieuse, mais pas vraiment difficile ; il suffit d’écrire n = supx∈U kDfn (x) − g(x)k, avec n tendant vers 0 lorsque n tend vers l’infini, et de montrer que supy∈C kf (y) − fn (y)k ≤ kf (x) − fn (x)k + n .D avec D le diamètre de C pour voir la deuxième propriété ; la première propriété se montre facilement à partir de là, et la troisième est un corollaire de la proposition 25.u t. 11.

(13) Corollaire 27 On suppose U connexe ouvert de E et fn de U dans F dérivable ; E et F sont des espaces vectoriels normés , et F est complet (donc F est un Banach). On suppose qu’il existe x0 tel que fn (x0 ) converge, et que pour tout x il existe Vx voisinage de x tel que la suite des Dfn |Vx soit de Cauchy pour la métrique d définie par d(f, g) = supz∈Vx kf (z) − g(z)k (c’est à dire que la suite des Dfn converge normalement sur un certain voisinage de tout point) Alors il existe f de U dans F tel que : • f est dérivable en tout point • la suite des fn converge vers f (simplement) • tout x possède un voisinage Vx tel que les convergences de fn et Dfn restreints à Vx soient uniformes. • Si les fn sont C 1 , f l’est aussi. Démonstration : On définit l’ensemble A des z tels que fn (z) converge. Etant donné x on considère un voisinage Vx de x convexe et vérifiant l’hypothèse sur le critère de Cauchy (on peut toujours imposer Vx convexe en le restreignant à une boule). On définit alors αn,m = supz∈Vx kDfn (z) − Dfm (z)k ; par hypothèse, αn,m tend vers 0 quand n et m tendent vers l’infini. Si Vx ∩ A 6= ∅, alors soit x0 dans Vx ∩ A. Par convexité de Vx , on peut écrire pour tout y dans Vx : k[fm (y) − fn (y)] − [fm (x) − fn (x)]k ≤ αn,m .ky − x0 k or fn (x0 ) est une suite de Cauchy (comme toute suite convergente dans un métrique), donc fn (y) est une suite de Cauchy, et donc converge. Donc si Vx ∩ A 6= ∅, Vx ⊂ A. Donc soit Vx ⊂ A, soit Vx ⊂ Ac , donc A et Ac sont ouverts. A étant non vide et U étant connexe, A = U . On a donc montré la deuxième assertion. L(E, F ) est complet pour la norme uniforme puisque F l’est ; donc la suite des dérivées sur Vx converge uniformément. En appliquant le théorème précédent, on voit que f est dérivable de dérivée la limite des dérivées ; en supposant Vx borné on a alors fn |Vn → f|Vx uniformément, toujours par le théorème précédent.u t. 1.2.3. Applications : dérivées partielles et dérivées. Proposition 28 E1 , E2 , ... , En et F des espaces vectoriels normés ; U un δf ouvert de E = Πi Ei , f une application de U dans F ; alors si les δx existent i sur un voisinage de x et sont continues en x, alors f est différentiable en x. Démonstration : • Il est suffisant de montrer que kf (x1 , ..., xn ) − f (a1 , ..., an ) −. n X δf (a).(xi − a)k = o(kx − ak) δxi i=1. 12.

(14) pour tout (a1 , ..., an ) de U . Pn • Pour cela on décompose f (x1 , ..., xn ) − f (a1 , ..., an ) − i=1 en f (x1 , ..., xn ) − f (a1 , x2 , ..., xn ) −. δf δxi (a).(xi. − a). δf (a).(x1 − a1 ) δx1. +f (a1 , x2 , ..., xn ) − f (a1 , a2 , x3 , ..., xn ) −. δf (a).(x2 − a2 ) δx2. +... +f (a1 , a2 , ..., ai , xi+1 , ..., xn )−f (a1 , ..., ai+1 , xi+2 , ..., xn )−. δf (a).(xi+1 −ai+1 ) δxi+1. +... +f (a1 , a2 , ..., an−1 , xn ) − f (a1 , ..., an ) −. δf (a).(xn − an ) δxn. • Il suffit ensuite de montrer que pour xi tendant vers ai , f (a1 , a2 , ..., ai−1 , xi , ..., xn )− δf f (a1 , ..., ai , xi+1 , ..., xn ) − δx (a).(xi − ai ) est un o(xi − ai ). (ensuite il suffira de i sommer) • Le fait ci-dessus provient des accroissements finis ET de la continuité de la i-ième dérivée partielle (en effet une application directe des accroissements finis donnent un o(xi − ai ) pour f (a1 , ..., ai−1 , xi , ..., xn )−f (a1 , ..., ai , xi+1 , ..., xn )−. δf (a1 , ..., ai , xi+1 , ..., xn ).(xi −ai ) δxi. (la différentielle n’est pas prise là où il faudrait qu’elle le soit) u t Théorème 29 E1 , E2 , ... , En et F des espaces vectoriels normés ; U un ouvert de E = ΠEi , alors f application de U dans F est C 1 si et seulement si δf de f existent et sont continues sur U . les dérivées partielles δx i Démonstration : Il est clair que si f est C 1 , alors les dérivées partielles existent et sont continues. La réciproque, utilisant la proposition précédente, ne présente pas de difficulté majeure.u t On pourra par exemple trouver une application dans la partie??.. 13.

(15) 1.3. Théorème d’inversion locale et fonctions implicites. 1.3.1. Théorème d’inversion globale. Définition 30 On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne dont le coefficient de Lipschitz est < 1.. Théorème 31 (Théorème de Banach du point fixe) Soit X un espace métrique complet et h une contraction de X dans X. Alors : • h admet un unique point fixe x0 1 • ∀x d(x, x0 ) ≤ 1−Lip(h) d(x, h(x)) Démonstration : Unicité : • Supposons x1 et x2 deux points fixes. • d(x1 , x2 ) = d(h(x1 ), h(x2 )) ≤ Lip(h).d(x1 , x2 ) ; donc x1 = x2 Existence : • Considérons x quelconque dans X, on va travailler sur la suite des hn (x). • Supposons n ≤ m, alors d(hm (x), hn (x)) ≤. n−1 X. d(hi (x), hi+1 (x)). i=m. ≤. +∞ X. Lip(h)i .d(x, h(x)) ≤. i=m. Lip(h)m .d(x, h(x)) 1 − Lip(h). On en déduit facilement les deux résultats annoncés.u t Il faut que f soit une contraction, c’est à dire une application lischitzienne de constante de Lipschitz < 1 ; avec un rapport 1 cela ne marche pas, ni même avec d(f (x), f (y)) < d(x, y). Par exemple, x 7→ x + e−x définit une application de R+ dans R+ , R+ est bien complet, et on a bien d(f (x), f (y)) < d(x, y), et pourtant f n’admet pas de point fixe. théorème d’inversion locale 35, théorème de Cauchy-Lipschitz 72, la résolution de l’équation de Volterra (voir [6]). D’autres théorèmes de points fixes existent : par exemple le théorème du point fixe de Brouwer ?? (avec pour application le corollaire ??), le théorème de Kakutani , le théorème de Schauder , et même pour ceux qui connaissent un peu la calculabilité un théorème de point fixe que l’on trouvera dans le livre "Théorie de la récursion pour la métamathématique", de R. Smullyan (Masson, 1995), avec pour application le théorème de Rice et ses multiples conséquences (attention, il faut connaître un peu le. 14.

(16) domaine pour pouvoir se lancer dans ce genre d’originalités...). Lemme 32 Soient U et V des ouverts des espaces normés E et F . On se donne h de U dans V , h bijective, dérivable en x0 . Alors h−1 est dérivable en h(x0 ) si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : • Dh(x0 ) est un isomorphisme de E sur F • Il existe K ≥ 0 et un voisinage W de h(x0 ) dans F tels que ∀y ∈ W kh−1 (y) − x0 k ≤ Kky − h(x0 )k. Démonstration : Tout d’abord montrons que ces deux conditions sont nécéssaires. Pour cela on suppose qu’effectivement h−1 est dérivable en h(x0 ), et on procède comme suit : • On dérive les deux expressions h−1 ◦ h = IdE et h◦h. −1. = IdE. et on montre bien que Dh(x0 ) est un isomorphisme. • Par définition de la dérivée, la quantité ci-dessous tend vers 0 pour y → h(x0 ) : kh−1 (y) − h−1 (h(x0 )) − D(h−1 )(h(x0 ))(y − h(x0 ))k ky − h(x0 )k Donc pour y dans un certain W cette quantité est plus petite que 1, et donc pour y ∈ W on a kh−1 (y) − h−1 (h(x0 ))k ≤ Kky − h(x0 )k avec K = 1 + kD(h−1 )(h(x0 )). Il reste à prouver la réciproque, c’est à dire que les conditions sont suffisantes. • Par définition, on a h(x) − h(x0 ) = Dh(x0 )(x − x0 ) + kx − x0 k(x) avec (x) tendant vers 0 pour x → x0 . En composant avec Dh(x0 )−1 (dont les hypothèses garantissent l’existence), on obtient x − x0 = Dh(x0 )−1 (h(x) − h(x0 )) − kx − x0 k.(Dh(x0 )−1 ((x))) avec y = h(x) (tout y de V peut s’écrire ainsi) et y0 = h(x0 ), on obtient alors h−1 (y)−h−1 (y0 )−Dh(x0 )−1 (y−y0 ) = −Dh(x0 )−1 .(h−1 (y)).kh−1 (y)−h−1 (y0 )k On sait par hypothèse que pour y assez proche de y0 on a kh−1 (y) − h−1 (y0 )k ≤ K.ky − y0 k, donc Dh(x0 )−1 .(h−1 (y)).kh−1 (y) − h−1 (y0 )k ≤ K.kDh(x0 )−1 k.k(h−1 (y))k ky − y0 k 15.

(17) or h−1 (y) tend vers x0 quand y → y0 donc cette quantité tend vers 0 ; ce qui permet de conclure.u t Théorème 33 (Théorème d’inversion globale) Soit A une application linéaire continue de E dans F , avec E un espace de Banach et F un espace normé, telle que A−1 existe et est continue (A est un homéomorphisme linéaire). Soit φ une application lipschitzienne de E dans F telle que Lip(φ) < −1 kA−1 k . Alors : • h = A + φ est inversible −1 k • h−1 est lipschitzienne, avec Lip(h−1 ) ≤ [1−kAkA −1 k.Lip(φ)] • Si h est C 1 sur U ouvert de E, et si ∀x ∈ U Dh(x) ∈ Isom(E, F ), alors h−1 est C 1 sur l’ouvert h(U ), et pour tout x ∈ U la différentielle de h−1 est donnée par D(h−1 )(h(x)) = (Dh(x))−1. Démonstration : Raisonnement en plusieurs étapes : • Etant donné y dans F , et on considère l’équation h(x) = y équivalente à x = A−1 .y − A−1 (φ(x)) L’application x 7→ A−1 (φ(x)) est Lipschitzienne de rapport < 1, et donc l’application x 7→ A−1 (Y ) − A−1 (φ(x)) aussi. Donc par le théorème du point fixe de Banach, cette équation a une solution unique x. h est donc inversible. • Avec y = h(x) et y 0 = h(x0 ), on peut écrire x = A−1 (y) − A−1 (φ(x)) x0 = A−1 (y 0 ) − A−1 (φ(x0 )) et en déduire kx − x0 k ≤ kA−1 k.ky − y 0 k + kA−1 k.Lip(φ).kx − x0 k en utilisant l’hypothèse sur Lip(φ), on a alors kx − x0 k ≤. kA−1 k ky − y 0 k 1 − kA−1 k.Lip(φ). D’où le résultat sur la constante de Lipschitz de h−1 . • Supposons maintenant h C 1 sur U ouvert de E. h(U ) est un ouvert puisque h est un homéomorphisme. Par le lemme précédent, h−1 est dérivable sur U . En dérivant h−1 ◦ h = IdE et h ◦ h−1 = IdE 16.

(18) on obtient que D(h−1 )(h(x)) = (Dh(x))−1 . En écrivant D(h−1 )(y) = Dh(h−1 (y))−1 et en rappelant que Inv : Isom(E, F ) → Isom(F, E), h 7→ h−1 est continue on constate qu’en outre D(h−1 ) est continue.. 1.3.2. Théorème d’inversion locale. Définition 34 (Difféomorphisme C 1 ) Une application h de U dans V avec U ouvert d’un espace vectoriel normé et V ouvert d’un espace vectoriel normé est un difféomorphisme C 1 si h est bijective et de classe C 1 et de réciproque de classe C 1 . Plus généralement, avec k ≥ 1, une application h de U dans V avec U ouvert d’un espace vectoriel normé et V ouvert d’un espace vectoriel normé est un difféomorphisme C k si h est bijective et de classe C k et de réciproque de classe C k . Une application bijective et C 1 n’est pas un difféomorphisme C 1 ; il faut aussi que la réciproque soit C 1 !. Théorème 35 (Théorème d’inversion locale) Soit h de U dans F une application C 1 , avec U ouvert de E, et E et F des espaces de Banach. Si la différentielle Dh(x0 ) est bijective de E dans F pour un certain x0 de U , alors il existe U0 voisinage de x0 dans E et un voisinage ouvert V0 de f (x0 ) dans F tels que h induit un difféomorphisme C 1 de U0 dans V0 . On a alors D(h−1 )(h(x)) = (Dh(x))−1 pour tout x dans U0 . Voir le théorème 37 et le corollaire 36. Le théorème d’inversion locale permettra aussi de montrer l’équivalence des différentes définitions des variétés de Rn , voir définition 50. Démonstration : On pourra se référer par exemple à [13]. Dans le cas de la dimension finie, le fait que la différentielle soit bijective implique que les dimensions des espaces soient les mêmes, et que le jacobien (défini puisque les dimensions sont les mêmes) est non nul.. Corollaire 36 Soit f une application C 1 d’un ouvert U d’un espace de Banach E dans un espace de Banach F ; si f injective et si sa différentielle f 0 (x) est un isomorphisme en tout x ∈ U , alors f est un C 1 -difféomorphisme de U sur f (U ), qui est alors un ouvert de F . Modulo le résultat selon lequel l’application qui à f dans Isom(E, F ) associe. 17.

(19) f −1 est C ∞ (que l’on trouvera par exemple dans [3]), on montre que si f est un C 1 difféomorphisme de classe C n , alors f est un C n difféomorphisme.. 1.3.3. Théorème des fonctions implicites. Théorème 37 f application C 1 de U un ouvert de E1 × E2 dans F , avec E1 , E2 et F des Banach. Si f est différentiable par rapport à la deuxième variable en (a, b) et si cette différentielle est un isomorphisme alors il existe φ C 1 définie sur un ouvert U1 de E1 contenant a1 et à valeurs dans un ouvert U2 de E2 contenant a2 telle que pour tout (y1 , y2 ) dans U1 × U2 on ait f (y1 , y2 ) = f (a, b) ⇐⇒ y2 = φ(y1 ) et pour tout x dans U1 on a Dφ(x) = −[D2 f (x, φ(x))]−1 ◦ D1 f (x, φ(x)). FLEMMARD Démonstration : • On va chercher à utiliser le théorème d’inversion locale. Pour cela il faut construire une application différentiable C 1 , de différentielle bijective. • On définit l’application µ de U dans E1 ×E2 dans E1 ×G, définie par µ(y1 , y2 ) = (y1 , f (y1 , y2 )). • Dµ(a, b)(h, k) = (h, D1 f (a, b).h + D2 f (a, b).k) • Dµ(a, b) est bijective (facile), µ est C 1 • On applique le théorème d’inversion locale à µ en (a, b). • La fonction réciproque associe clairement à un couple (q, r) un couple (q, φ(q, r)), et en fixant r on en déduit ce que l’on veut...u t La figure 1.1 illustre ce théorème.. 18.

(20) y. y. x. x. F IG . 1.1 – Illustration du théorème des fonctions implicites dans le cas d’une fonction de R2 dans R. La courbe est une courbe de niveau. A gauche la différentielle par rapport à y n’est pas un isomorphisme ; on comprend intuitivement qu’on ne peut pas donner y en fonction de x sur un voisinage. A droite c’est un isomorphisme ; donc on peut.. 1.4 Dérivées d’ordre supérieur 1.4.1. Généralités. Définition 38 Etant donnée une application f d’un ouvert U d’un espace de Banach E dans un espace de Banach F , on dit que f est de classe C n (on dit aussi n fois continûment différentiable) si f est différentiable et si sa différentielle est de classe C n−1 . L’application est dite C ∞ si elle est C n pour tout n ; on dit alors qu’elle est indéfiniment différentiable. On note alors f (1) (a) l’application Df (a)(x), et par récurrence f (n) (a) l’application Df (n−1) (a). Etant donnée une application f d’un ouvert U d’un espace de Banach E dans un espace de Banach F , on dit que f est n fois différentiable en x appartenant à U si et seulement si f est de classe C n−1 sur un voisinage de x et si la n-ième différentielle de f sur ce voisinage est différentiable en a. Etant donnée f application d’un ouvert U d’un espace de Banach E dans un espace de Banach F , on note. δ2 f δxi δxj. l’application. 19. δf δ δx. j. δxi. ..

(21) 1.4.2. Dérivées secondes. Théorème 39 Soit f une application de U , ouvert d’un espace de Banach , dans F , espace de Banach . Si f est deux fois différentiable en x0 , alors f 00 (a)(h)(k) = f 00 (a)(k)(h). Via l’identification du théorème ?? f 00 (a) est une forme bilinéaire symétrique. Démonstration : • Il s’agit donc de montrer que f 00 (a)(h)(k) = f 00 (a)(k)(h). • On introduit la fonction µ(h, k) = f (a + h + k) − f (a + h) − f (a + k) + f (a) • µ(h, k) = µ(k, h) clairement • On montre maintenant que µ(h, k) approxime f 00 (a)(h)(k) (on pourra plus loin en déduire le résultat souhaité, car f 00 (a)(h)(k) approximera alors f 00 (a)(k)(h)) • kµ(h, k) − f 00 (a)(h)(k)k ≤ kµ(h, k) − f 0 (a + k)(h) + f 0 (a)(h)k + kf 0 (a + k)(h) − f 0 (a)(h) − (f 00 (a).k).hk • Le second terme est petit par la définition de la différentielle f 00 (a), le premier est petit par définition de la différentielle de f 0 (a), et par utilisation des accroissements finis. 2 2 • On arrive ainsi à montrer que µ(h, k) − f 00 (a)(k)(h) est un o(khk + kkk ) ; par 2 2 00 symétrie on a aussi le fait que µ(h, k) − f (a)(k)(h) est un o(khk + kkk ) ; on en 2 2 déduit kf 00 (a)(k)(h) − f 00 (a)(h)(k)k = o(khk + kkk ). 2 2 • kf 00 (a)(λ.k)(λ.h) − f 00 (a)(λ.h)(λ.k)k ≤ .(kλ.hk + kλ.kk ) pour tout , pour λ suffisamment petit 2 2 • λ2 kf 00 (a)(k)(h) − f 00 (a)(h)(k)k ≤ .λ2 (khk + kkk ) pour tout  et pour λ assez petit 2 2 • kf 00 (a)(k)(h) − f 00 (a)(h)(k)k ≤ (khk + kkk ) pour tout  ! • f 00 (a)(k)(h) = f 00 (a)(h)(k) = 0 d’où le résultat.u t Théorème 40 Soit f deux fois différentiables en a ∈ U , avec f définie de U ouvert de E = E1 × E2 ... × En (des espaces de Banach ) dans F (un espace de Banach ). Alors (f 00 (a)(h1 , ..., hn ))(k1 , ..., kn ) =. X i,j. (. δ2 f (a).hi ).kj δxi δxj. Démonstration : On utilise simplement deux fois la proposition 11, à f et f 0 .u t Corollaire 41 Soit f deux fois différentiables en a ∈ U , avec f définie de U ouvert de E = E1 × E2 ... × En (des espaces de Banach ) dans F (un espace de Banach ). Alors δ2 f δ2 f (a)(h)(k) = (a)(k)(h) δxi δxj δxj δxi. Démonstration : Il s’agit simplement du théorème 39 après quelques manipulations...u t. 20.

(22) Corollaire 42 (Théorème de Schwartz) Soit f application de Rn dans F (F 2 2 f f espace de Banach ) deux fois différentiables en x, alors δxδi δx (x) = δxdj δx j i Démonstration : Il s’agit d’une reformulation dans le cas de Ei = R du corollaire précédent !u t Proposition 43 (Existence de la dérivée seconde) Soi f une application de U ouvert de E = E1 × E2 ... × En (des espaces de Banach ) dans F (un δf espace de Banach ). Alors si les δx existent et sont continues sur un voisinage i 2. f de x, et si les δxδi δx existent sur un voisinage de x et sont continues en x, alors j f est deux fois différentiable en x.. Démonstration : Il suffit d’appliquer deux fois la proposition 28.u t. 1.4.3. Généralisations à la dérivée n-ième. On pourra réviser la partie ??.. Théorème 44 (Généralisation du théorème 39) Si f est une application de E dans F avec E et F des espaces de Banach n fois différentiable en x, alors f (n) (x) appartient à Ln (E; F ) et est une application n-linéaire symétrique. Démonstration : On procède par récurrence. Pour n = 1, c’est clair. Pour n = 2, c’est le théorème 39. Supposons maintenant le résultat prouvé jusqu’au rang n − 1, et montrons le pour le rang n, avec n ≥ 3. • Il suffit de montrer que si l’on permute deux variables consécutives parmi les hi on ne change pas la valeur f (n) (x)(h1 , ..., hn ). • f (n−1) est symétrique, donc on peut permuter sans rien changer hi et hi+1 pour i > 1 • Pour i = 1 il suffit de rappeler que f (n) = (f (n−2) )00 et d’utiliser 39.u t. 21.

(23) 1.5. Zoologie du calcul différentiel. 1.5.1. Fonctions convexes. Définition 45 Une fonction f définie sur un convexe U d’un espace vectoriel à valeurs dans R est dite convexe (resp. strictement convexe) si ∀(u, v, t) ∈ U 2 × [0, 1]f (tu + (1 − t)v) ≤ tf (u) + (1 − t)f (v) (resp.)∀(u, v, t) ∈ U 2 ×]0, 1[u 6= v ⇒ f (tu + (1 − t)v) < tf (u) + (1 − t)f (v). Dans la suite de cette section, on suppose que U est un convexe d’un espace vectoriel , et que f est une application de Ω dans R, avec Ω ouvert contenant U . Les liens entre dérivabilité et convexité sont les suivants : Théorème 46 f C 1 est convexe (resp. strictement convexe) sur U si et seulement si ∀(u, v) ∈ U 2 f (v) ≥ f (u) + f 0 (u)(v − u) (resp.)∀(u, v) ∈ U 2 u 6= v ⇒ f (v) > f (u) + f 0 (u)(v − u) f C 2 est convexe si et seulement si ∀(u, v) ∈ U 2 f 0 (u)(v − u, v − u) ≥ 0 Si ∀(u, v) ∈ U 2 u 6= v ⇒ f 00 (u)(v − u, v − u) > 0. On pourra voir 2.4 pour les applications de la convexité à la recherche d’extréma, ?? pour les applications de l’inégalité de Jensen, le lemme ?? (et par suite l’inégalité de Hölder), l’inégalité de Minkovski.. 1.5.2. Fonction continue partout dérivable nulle part. Cet exemple, élaboré par Van der Waerden, est extrait du livre [20]. Théorème 47 Soit T la fonction définie sur R par T (x) = min(x − E(x), E(x) + 1 − x) (c’est à dire que T (x) est la distance de x à l’entier le plus proche de x). n P∞ x) La fonction f définie sur R par f (x) = n=0 T (10 est continue partout 10n dérivable nulle part.. Démonstration : • Bonne définition, continuité de f : facile, f est limite uniforme d’une suite de fonctions continues (voir proposition 25). • La non dérivabilité, c’est plus dur.. 22.

(24) - T , et donc f , est périodique, de période 1. - On se limite donc à montrer la non-dérivabilité sur [0, 1[ - On note les développements décimaux en excluant les développements illimités ne comportant que des 9 1 - Soit donc x ∈ [0, 1[, on montre la non-dérivabilité de f en x. - Soit xn la n-ième décimale de x. - définissons hm = −10−m si xm = 4 ou xm = 9, hm = 10−m sinon. - Calculons maintenant f (x + hm ) − f (x) hm = 10m. ∞ X n (T (10n (x + 0m 10−m )) − T (10n x)) 10n n=1. - Raisonnons un petit peu maintenant, sur un cas particulier pour mieux visualiser (x = 0.33333333...) : 10n x 0, 333333 . . . 3, 33333 . . . 33, 3333 . . . .. .. n 0 1 2 .. .. m 333 . . . 3, 33 . . . m + 1 3333 . . . 3, 33 . . . .. .. . .. 10n (x + hm ) 0, 33 . . . 333433 . . . 3, 33 . . . 334333 . . . 33, 3 . . . 343333 . . . .. . 333 . . . 4, 333 . . . 333 . . . 43, 333 . . . .. .. T (10n (x + hm )) − T (10n x) ×10m−n 0, 000 . . . 001 1 0, 000 . . . 01 1 0, 000 . . . 1 1 .. .. . . 1 1 0 0 .. .. . .. Il faut bien noter que dans le cas général le chiffre de la dernière colonne peut être 1 ou −1 ; quoi qu’il en soit f (x+hhmm)−f (x) est un entier de parité variant avec m et ne peut donc pas converger.u t On en profite pour montrer ce dont est capable Maple. Le dessin se trouve en figure 1.2. Exemple Maple > T := x → min(x − floor(x), floor(x) + 1 − x) T := x → min(x − floor(x), floor(x) + 1 − x) > g := x− > sum(T (2n ∗ x)/2n , n = 0..17); g := x →. 1 Au. 17 X T(2n x) 2n n=0. profit de l’équivalent obtenu en remplaçant ...243999999999... par ...2449999999999..... 23.

(25) 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. -1. -0.8. -0.6. -0.4. -0.2. 0.2. 0.4. x. 0.6. 0.8. 1. F IG . 1.2 – Tracé d’une courbe continue dérivable nulle part, établie par Van der Waerden. 1.5.3. Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue. Définition 48 Soit f une application d’un ouvert U d’un espace vectoriel normé E dans un espace vectoriel normé F , alors f est dite différentiable en x ∈ U suivant la direction e ∈ E si l’application g : R → F t 7→ f (x + tu) est différentiable en 0. La différentielle de g en 0 est alors appelée différentielle de f en x suivant u.. Proposition 49 Il existe une application f différentiable dans toutes les directions en x et qui n’est pas continue en x. 5. Démonstration : Le livre [20] propose la fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ (y−xx2 )2 +x8 , avec f (0, 0) = 0. On constate la non continuité de f en regardant la limite de x 7→ f (x, x2 ) en 0. La différentiabilité suivant toutes les directions est vite vue (distinguer différents cas, suivant u = (a, b), cas a et b non nuls, cas a nul, ou cas b nul). On peut aussi regarder la fonction définie par ses coordonnées polaires par f (r cos(θ), r sin(θ)) = e−. (θ−r)2 r4. Avec f (0, 0) = 0, on a bien une fonction différentiable dans toutes les directions (avec des différentielles nulles !), et on constate sans le moindre calcul que f (xcos(x), xsin(x)) est constant égal à 1 pour x 6= 0.u t. 24.

(26) 1.5.4. Variétés de Rn , théorème de Jordan. Définition 50 - Proposition[Variété de Rn ] Soit M une partie de Rn , x un point de M . Soit p un entier > 0 et k un entier > 0. M est par définition une variété de dimension p et de classe C k au voisinage de x si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) Il existe V voisinage ouvert de x tel qu’il existe un C k difféomorphisme de V sur W ⊂ Rn tel que g(x) = 0 et g(M ∩ V ) = W ∩ P , avec P l’ensemble des (y1 , ..., yn ) tels que yp+1 = 0, yp+2 = 0, ... , yn = 0. (ii) Après une permutation pertinente des coordonnées (x1 , ..., xn ), il existe V voisinage ouvert de x et φ application C k de Rp dans Rn−p tel que pour tout y dans V y ∈ M ⇐⇒ φ(y1 , ..., yp ) = (yp+1 , ..., yn ) (iii) Il existe un voisinage V ouvert de x, Ω un voisinage ouvert de 0 dans Rp , f une application C k de Ω dans Rn , tels que f induise un homéomorphisme de Ω sur M ∩ V , f (0) = x et f 0 (0) de rang p a . (iv) Il existe un voisinage V ouvert de x, Ω un voisinage ouvert de 0 dans Rp , f une application C k de Ω dans Rn , tels que f induise un homéomorphisme de Ω sur M ∩ V , f (0) = x et f 0 (y) de rang p pour tout y dans Ω b . a Il b Il. s’agit d’un élément de L(Rp , Rn ). s’agit d’un élément de L(Rp , Rn ).. Démonstration : On notera pendant cette preuve x|I , avec I = {i1 , ..., im } et i1 < i2 < · · · < im un sous-ensemble de [1, n] et x un élément de Rn , (xi1 , . . . , xim ). • L’équivalence entre (iii) et (iv) est claire ; bien sûr (iv) implique (iii), et réciproquement en supposant (iii) par continuité de la différentielle et continuité du déterminant d’une matrice extraite, on peut trouver un voisinage de 0 dans lequel la différentielle a le même rang. Il suffit alors de se restreindre à ce voisinage. • Voyons maintenant que (iii) implique (ii). Supposons (iii). La matrice de la différentielle de f en 0 est de rang p ; modulo une bonne permutation des coordonnées, on peut donc supposer que la matrice extraite de la différentielle pour les indices en ligne et en colonne inférieurs ou égaux à p est inversible. En se restreignant aux p première coordonnées, f est alors C k , de différentielle en 0 de rang plein. On peut donc appliquer le théorème d’inversion locale 35, et f ainsi restreint est donc un C k difféomorphisme au voisinage de 0. En prenant φ la composée de f et de l’inverse de la restriction de f aux p-premières coordonnées, on obtient une fonction satisfaisant (ii). • Voyons maintenant (ii) implique (iii). Supposons (ii) vérifiée. Définissons alors f (y) = (y + x|[1,p] , φ(y + x|[1,p] )2 . f convient... • Montrons maintenant que (iii) implique (i). Supposons (iii) vérifiée. Définissons alors g(y) = (y|[1,p] − x|[1,p] , y|[p+1,n] − φ(y|[1,p] )... g convient pour (i). 2 Je. "recolle" ainsi un élément de Rp et un élément de Rn−p pour obtenir un élément de Rn. 25.

(27) • Il ne reste plus qu’à vérifier que (i) implique (iii). Supposons donc (i) vérifiée. Alors soit f (y) = g −1 (y|[1,p] , 0, . . . , 0). La différentielle de g est injective, donc la restriction à Rp est injective aussi. Donc f vérifie bien (iii).u t Théorème 51 (Théorème de Jordan) Toute hypersurface M (i.e. variété de dimension n − 1) de Rn C ∞ • est le noyau d’une application C ∞ dont la différentielle ne s’annule pas sur M. • est orientable (c’est à dire qu’il existe un champ de vecteur ne s’annulant pas, continu, défini sur M , à valeurs dans Rn ) • partage le plan en deux domainesa (l’un borné l’autre non) dont elle est la frontière commune. a Rappelons. qu’un domaine est un ouvert connexe.. Démonstration : Ce théorème, long et loin d’être trivial, nécéssitera différents lemmes. Cette preuve est largement inspiré de la note "Le théorème de Jordan pour les hypersurfaces C ∞ ", de D. Leborgne, paru dans la Revue de Maths Spé numéro 104, 1993-1994, lui-même inspiré de l’article "Orientability of smooth hypersurfaces and the Jordan Brouwer separation theorem", Expo. Math. 5 (1987), p 283-286. Lemme 52 Soit X un espace topologique connexe, et f et g continues de X dans R. Si f et g sont localement égales ou opposées, et si l’intérieur de f −1 (0) est réduit à l’ensemble vide, alors f et g sont égales ou opposées. Démonstration : • Définissons : Egales = {x/f (x) = g(x)} Oppos = {x/f (x) = −g(x)} Et notons Ω l’intérieur de Egales. • Supposons tout d’abord Ω non vide, et montrons que Ω = X. Si on a un tel résultat, alors on saura que soit Egales est d’intérieur vide, soit il est égal à tout l’espace. Si Egales est égal à tout l’espace, alors on a bien le résultat souhaité. Si Egales est d’intérieur vide, alors l’ensemble des x tels que f (x) = g(x) 6= 0 (inclus dans l’intérieur d’Egales) est vide, et donc Oppos = X, d’où le résultat souhaité. Donc montrer que si Ω 6= ∅ alors Ω = X est suffisant pour le résultat souhaité. • Donc, on suppose Ω vide. • Soit x appartenant à la frontière de Ω. • Par hypothèse, il existe U ouvert contenant x sur lequel f et g sont égales ou opposées, puisque f et g sont localement égales ou opposées. • L’intersection de U et Ω est non vide (puisque x est sur la frontière de Ω), et contient un point sur lequel f et g sont non nulles, puisque f −1 (x) est d’intérieur vide. Donc f et g sont égales sur U (rappelons que Ω est inclus dans Egales). • On en déduit que x appartient à Egales.. 26.

(28) • On a donc montré que la frontière de Ω est incluse dans Ω. • Ω est donc fermé et ouvert. • Ω est donc égal à X, puisque X est connexe. D’où le résultat.u t Nous avons encore besoin d’un lemme de topologie : Lemme 53 Soit (Ωi )i∈I une famille d’ouverts recouvrant Rn , et pour i dans I, fi application C ∞ de Ωi dans R, telle que l’intérieur de fi−1 (0) soit d’intérieur vide. Supposons que lorsque Ωi et Ωj s’intersectent, alors fi et fj soient égales ou opposées localement sur Ωi ∩ Ωj . Alors il existe une unique fonction f , au signe près, dont la restriction pour tout i à Ωi soit fi .. Bien voir que l’on n’a pas supposé que les Ωi soient connexes. Démonstration : • On considère la famille (Bj )j∈J des boules B telles qu’il existe un certain i tel que B ⊂ Ωi . On définit fj0 la restriction de Ωi à Bj , lorsque Bj est inclus dans Ωi . • Supposons qu’on ait construit une fonction f localement égale ou opposé à fj0 sur Bj pour tout j dans J. • Alors f , pour tout j dans J, est égale à 0j fj0 sur Bj , avec 0j ∈ {−1, 1}, par connexité de Bj et application du lemme précédent 52. • Alors f , pour tout i dans I, est égale à i fi sur Ωi , avec i ∈ {−1, 1}. En effet, donnons-nous x et y dans Ωi , avec fi (x) et fi (y) tous deux non nuls, et montrons que nécéssairement f et fi égales (resp. opposées) en x implique f et fi égales (resp. opposées) en y. - le segment [x, y] est recouvert par un nombre fini de boules Bj - chacune des intersections de ces boules est connexe, et chaque boule est connexe. - on peut donc appliquer sur chacun de ces connexes le lemme 52, d’où le résultat. • Il reste donc simplement à construire une fonction f convenable sur les Bj . • On montre tout d’abord le résultat en dimension 1, sur un segment fermé. Cela se fait en recouvrant le segment en question par un nombre fini de boules ouvertes Bj , en définissant f sur cette réunion finie de proche en proche. Le fait que l’on soit en dimension 1 rend cela facile ; il suffit de choisir des ouverts consécutifs, non inclus les uns dans les autres. Par le lemme 52, on a une solution et une seule, au signe près. • On procède maintenant par récurrence sur la dimension i, pour montrer l’existence et l’unicité au signe près d’une telle fonction sur un pavé [−m, m]i . • Pour cela on considère ce pavé comme le produit [−m, m] × [−m, m]i−1 . • On définit une fonction ft pour t dans [−m, m], définie sur [−m, m]i−1 , en utilisant l’hypothèse de récurrence, ft égale à FLEMMARD ça marche pas parce qu’on n’est pas sur que l’intersection d’un ensemble d’intérieur vide avec un ensemble de dimension inférieure est d’intersection vide. •. 1.5.5. Espaces vectoriels normés de dimension finie.  Propriétés topologiques La boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si l’espace est de dimension finie (théorème de Riesz ??). 27.

(29) Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (voir théorème ??). En particulier, les espaces vectoriels normés réels de dimension finie sont tous isomorphes à Rn pour un certain n, tous les espaces vectoriels normés complexes de dimension finie sont isomorphes à Cn pour un certain n. Les compacts d’un espace vectoriel de dimension finie sont donc exactement les fermés bornés. Cela implique notamment que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel normé est fermé (qu’il s’agisse d’un espace vectoriel normé de dimension finie ou non).  Propriétés géométriques Définition 54 Une partie A d’un espace vectoriel normé est dite équilibrée si elle contient ax pour tout a de module 1 et tout x de A.. Théorème 55 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors, soit B ⊂ E, B est la boule unité pour une certaine norme si et seulement si B est convexe équilibré compact ayant 0 comme point intérieur. La norme correspondante est alors unique. Démonstration : Cette preuve, utilisant la notion de jauge, est détaillée dans [22, p236].u t Définition 56 On définit ici la notion de séparation au sens large (resp. strict) : On dit qu’un hyperplan H sépare au sens large deux parties A et B (resp. sépare au sens strict) si A et B sont inclus dans l’un et l’autre des demi-espaces fermés (resp. ouverts) délimités par H.. Théorème 57 (Forme géométrique de Hahn-Banach en dim. finie) Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors : • Soit A ouvert convexe non vide, L sous-espace vectoriel de E de dimension finie n’intersectant pas A. Alors il existe un hyperplan H tel que L ⊂ H et A ∩ H = ∅. • Soient A et B des convexes non vides et disjoints de E. Alors - Si A est ouvert, il existe un hyperplan séparant A et B au sens large. - Si A et B sont ouverts, il existe un hyperplan séparant A et B au sens strict. - Si A est compact et B fermé, il existe un hyperplan séparant A et B au sens strict. - Si A et B sont fermés, alors il existe un hyperplan séparant A et B. Démonstration : Voir [19, p347] pour une preuve complète ; les points sont à démontrer dans cet ordre pour simplifier la preuve.u t. 28.

(30) Chapitre 2. Extrema Une référence claire et complète est [7]. En outre on y trouve des algorithmes justifiés rigoureusement.. 2.1. Cadre et définitions. Pour ce chapître, on travaillera sur une application f continue d’un ouvert U d’un espace de Banach E dans R. Définition 58 On dit que f admet un minimum relatif ou minimum local en x ∈ U si il existe un voisinage V de x tel que pour tout v dans V f (x) ≤ f (v). On dit que f admet un minimum relatif strict ou minimum local strict en x ∈ U si il existe un voisinage V de x tel que pour tout v 6= x dans V f (x) < f (v). On dit que f admet un minimum global en x ∈ U si pour tout v dans U f (x) ≤ f (v). On dit que f admet un minimum global strict en x ∈ U si pour tout v 6= x dans U f (x) < f (v). On définit de même les notions de maximum relatif, maximum relatif strict, maximum global, maximum global strict, en remplaçant les ≤ par des ≥ et les < par des >.. 2.2. Résultats liés à la compacité Proposition 59 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et f C 0 de E dans R telle que limkxk→∞ f (x) = ∞ Alors f est minorée et atteint son minimum.. Démonstration : On se donne A > 0 tel que kxk > A implique f (x) > f (0). On considère alors K = B(0, A). K est fermé car on est en dimension finie (les compacts. 29.

(31) d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les fermés bornés). f atteint donc sa borne inf (voir corollaire ??).u t Corollaire 60 (Quelques applications) • La distance d’un point à un fermé non vide est minorée et le minimum est atteint. • Aussi les trois applications suivantes, empruntées à [15] : - étant donnée une application f C 0 de [0, 1] dans R, il existe un polynôme P minimisant kf − P k∞ parmi les polynômes de degré ≤ n. - le théorème de D’Alembert-Gauss, stipulant que tout polynôme à coefficients complexes et de degré ≥ 1 admet une racine, en considérant z 7→ |P (z)| (corollaire : tout polynôme à coefficients dans C est scindé dans C[X]). Voir le corollaire ?? sur la trigonalisation de matrices complexes, ou la partie ?? sur les suites récurrentes linéaires.. 2.3. Résultats de calcul différentiel. 2.3.1. Résultats au premier ordre. Théorème 61 (Condition nécéssaire du premier ordre) Si x est un minimum relatif de f et si f est différentiable en x, alors la différentielle de f en x est nulle.. Démonstration : df (x)(h) ≥ 0 car df (x)(h) ≤ 0 car. f (x+th)−f (x) t f (x+th)−f (x) t. ≥ 0 si t ≥ 0 ≤ 0 si t ≤ 0u t. Pas de réciproque ; par exemple x 7→ x3 de R dans R a une différentielle nulle en 0 et n’a ni maximum ni minimum en zéro. Définition 62 Si df (x) = 0, on dit que x est un point critique. Pour aller plus loin on peut s’intéresser aux extréma liés ; voir pour cela [7].. 2.3.2. Résultats du second ordre. Théorème 63 (Condition nécéssaire du second ordre) Soit f deux fois différentiable en x. Alors si f admet un minimum local en x, f 00 (x) est positive.. Démonstration : Supposons f 00 (x) non positive ; alors il existe v tel que f 00 (x)(v, v) soit < 0. On se donne un voisinage V de x sur lequel f ≤ f (x) et sur lequel la formule de TaylorYoung ?? donne 30.

(32) 1 f (x + t.v) ≤ f (x) + f 00 (x)(tv, tv) 4 (rappelons que par le résultat précédent f 0 (x) est nul) on peut toujours choisir un tel voisinage V car 1 f (x + t.v) = f (x) + f 00 (x)(tv, tv) + o(t2 ) 2 pour t assez petit et donc f (x+tv)−f (x) est alors négatif pour ces valeurs de t (à part pour t = 0).u t Théorème 64 (Condition suffisante du second ordre) Supposons E de dimension finie. Soit f deux fois différentiables en x, f 0 (x) = 0, et f 00 (x) définie positive. Alors f admet un minimum relatif strict en x.. Démonstration : On considère simplement un minimum de f 00 (x)(u, u) pour kuk = 1 et la conclusion vient rapidement.u t On peut se passer d’hypothèse de dimension finie à condition d’imposer 2 que f 00 (x) vérifie ∃α > 0/f 00 (x)(u, u) > αkuk .. 2.4. La convexité. Pour une introduction à la convexité, voir la partie 1.5.1. Les résultats liés à la convexité sont très intuitifs, et se justifient rigoureusement sans trop de difficulté : on pourra consulter [7] pour moultes développements. Théorème 65 Un minimum local d’une fonction convexe définie sur une partie convexe est en fait un minimum global. Une fonction strictement convexe définie sur une partie convexe admet au plus un minimum et si un tel minimum existe il est strict.. 2.5 Pour aller plus loin On trouvera dans [7] des études des cas particuliers des formes quadratiques, et une justification rigoureuse de la méthode de Newton.. 31.

(33) Chapitre 3. Equations différentielles Une référence appréciable pour sa clarté et son souci d’illustration et d’utilisation pratique des résultats (notamment informatique) est le livre "Analyse numérique et équations différentielles" de J.-P. Demailly ([9]). Je traite ici exclusivement le cas de la dimension finie, largement suffisant pour la plupart des problèmes ; pour une analyse plus générale, on pourra consulter [3].. 3.1. Lemmes préliminaires Lemme 66 (Lemme de Gronwall) Soit φ une fonction C 0 de l’intervalle [a, b] dans R+ . Soit c ∈ [a, b], soient A, B des réels positifs. Supposons que pour tout t dans [a, b], on ait

(34) Z t

(35)

(36)

(37) φ(t) ≤ A + B

(38)

(39) φ(u).du

(40)

(41) c. Alors pour tout t dans [a, b]. φ(t) ≤ A eB|t−c|. Démonstration : Rt Pour t ≥ c, on définit F (t) = A + B C φ(s).ds. F est C 1 . Calculons la dérivée de t 7→ e−Bt .F (t) ; cette dérivée est e−Bt (−B F (t) + Bφ(t)) donc est ≤ 0 sur [c, b]. Le résultat en découle immédiatement pour t ≥ c. Rc Pour le cas restant, t ≤ c, on définit F (t) = A+B t φ(u)du ; F est C 1 . Calculons la dérivée de t 7→ eBt .F (t) ; cette dérivée est eBt (B F (t) − Bφ(t)) donc est ≥ 0 sur [a, c]. Le résultat en découle immédiatement pour t ≤ c.u t. 32.

(42) Equations différentielles d’ordre 1. 3.2. Définition 67 On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme dx = f (t, x) dt avec E un R-espace vectoriel de dimension finie m, U une partie (non nécessairement ouverte ! ) de R × E, et f une application de U dans E, avec f continue. On appelle solution de cette équation une application φ dérivable de I dans E avec I un connexe de R (i.e. un intervalle) telle que {(t, φ(t))/t ∈ I} ⊂ U et φ0 (t) = f (t, φ(t)) pour tout t dans I.. Proposition 68 Une solution d’une équation différentielle est nécessairement C 1. Démonstration : L’équation exprime notamment le fait que la dérivée de sa solution est C 0 .u t Remarque (forme intégrale) : φ : I → E est une solution de δx δt = f (t, x) de donnée initiale φ(c) = x0 si et seulement si pour tout t dans I, φ(t) = φ(c) + Rt f (u, φ(u))du. c. 3.2.1. Avec des hypothèses sympathiques sur f. Définition 69 Une fonction de deux variables (x, y) ∈ X × Y 7→ f (x, y) est dite localement lipschitzienne en y si pour tout (x, y) il existe un scalaire k et V un voisinage de (x, y) dans X × Y tel que pour tous x0 , y1 , y2 tel que (x0 , y1 ) ∈ V et (x0 , y2 ) ∈ V on ait kf (x0 , y1 ) − f (x0 , y2 )k ≤ k.ky1 − y2 k. Lemme 70 (Unicité) Si f est localement lipschitzienne en x, alors si φ1 et φ2 sont deux solutions sur un même intervalle ayant même valeur en un certain t, alors φ1 = φ2 . Démonstration : Donnons nous φ1 et φ2 deux solutions, égales en t. Pour simplifier le raisonnement on va supposer qu’il existe t00 > t tel que φ1 (t00 ) 6= φ2 (t00 ). En cas contraire, on raisonnerait de même en considérant t00 < t vérifiant cette propriété. Soit t0 l’inf de ces t00 . Par continuité, φ2 (t0 ) = φ1 (t0 ). Soit V l’intersection de [t0 , ∞[ et d’un voisinage de t0 tel que {(t, φ1 (t))/t ∈ V } et {(t, φ2 (t))/t ∈ V restent dans un voisinage de (t0 , φ0 (t0 )) sur lequel f est Clipschitzienne en y.. 33.

(43) Pour v dans V , on a φ0i (v) = f (v, φi (v)), et donc φ1 (v) − φ2 (v) =. Z. t. f (u, φ1 (u)) − f (u, φ2 (u))du. 0. |φ1 (v) − φ2 (v)| ≤ C. Z. v. |φ1 (u) − φ2 (u)|du. 0. Donc par le lemme de Gronwall on conclut que φ1 et φ2 sont égales sur V , ce qui est contradictoire avec la définition de t0 . u t. Lemme 71 (Existence) On se donne une fonction f C 0 de [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) × B(λ0 , c) dans Rn , la boule B(x0 , b) étant une boule de Rn , et la boule B(λ0 , c) étant une boule compacte ou un seul point d’un espace métrique. On suppose qu’il existe C tel que kf (t, x1 , λ) − f (t, x2 , λ)k ≤ Ckx1 − x2 k, et on se donne M tel que |f (t, x)| est borné par M sur [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) × B(λ0 , c) (un tel M existe nécessairement par continuité de f sur [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) × B(λ0 , c) qui est compact). Alors il existe une fonction φ(., λ) telle que δφ(t,λ) = f (t, φ(t, λ), λ), définie δt sur [t0 − T, t0 + T ] × B(λ0 , c), avec T le min de a et b/M , et telle que pour tout λ φ(t0 , λ) = x0 ; en outre cette fonction est continue par rappport à t et λ.                                               

(44) 

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