ARTheque - STEF - ENS Cachan | Exemples de calculs de liaisons complètes par adhérence

Suite de l'article du même auteur paru dans le numéro précédent par

MICHEL 8ANGUET Professeur de construction L.T. 8aggio LILLE

EXEMPLES DE CALCULS DE LIAISONS COMPLETES

PAR ADHERENCE

7· ASSEMBLAGES PAR

COINCEMENT PLAN

1 •

D~FINITION

DE L'ASSEMBLAGE

erUDI~

(Voir Fig.

42)

avec:

R

=J

(S)

~

et R1=J ( 1) p1. dS1.

cos

1,0

S ·

s

cos

1,0

S = a.L

S1=-cosœ

d'où:

P1. S1

R=~

R1='--cos

1,0

cos

1,0

(1) fournit une relation entre p et P1, soit:

11 = 1 - f. tgœ

P1

>

P

P1

(2)

donne, après réduction

F=

p.S. [ tg

1,0

+

tg (a

+

1,0)]

8

III - EFFORT AXIAL TRANSMISSIBLE

Décoincement de la clavette:

même remarque que,pour F;

l'effort H doit passer par K'.

d'après l'isolement

Fig.

45

bis

R.cos

'1'

= R1. cos

(1,0 -

a) (1')

H = R. sin

1,0

+ Rpin

('l'-a) (2')

mêmes relations que (1) et (2) sauf

a changé en - a.

d'où -p- = 1 + f. tg a

P1

et H = p.s [ tg

'1'

+ tg

('1' -

a) ]

Stabilité de la clavette si H positif, d'où:

tg a

<

2. tg

'1'

soit

a

<

2'1'

(petits angles)

Hypothèse : les pressions de contact obtenues à la pose restent inchangées (p et p1j.

Isolons la clavette (Fig 46) :

Il • ASSEMBLAGE A LA POSE

~tablissement

de la liaison (Fig. 43)

Au contact clavette/moyeu:

~

:

----A'.;..,tn""

pression P1

~

1 - .

,M.

r'l"J""'~

(surface a.L)

-'-

_{p, ...}

---

~_~

cos a

1 .

Au contact clavette/arbre:

pression P

Hypothèse: étant donnée la flexibilité de la clavette, on peut supposer que la pressionpchOte fortement en dehors de la zone située immédiatement au droit du moyeu.

Conclusion: p et P1 réparties uniformément au droit

du moyeu.

Coincement de la clavette (Fig. 44)

Hypothèse: mëme coefficient de frottementfsur les deux faces de la clavette.

Attention: le choix des

répar-titions uniformes pour p et

P1 impose les résultantes

,==---..;.:::.,...,':T7"

L?

d'actions de contact; pour

que l'équilibre soit possible,

on ne peut pas alors choisir

â priori la position de F.

Face inclinée: la résultante

R1

passe par J, milieu de DE

Face parallèleâ l'arbre: la

résultante

R

passe par l,

milieu de BC.

d'où K, intersection de

R1

et

R :

l'effort F doit passer

par K.

(hypothèse restrictive sans inconvénient, le but est

d'effectuer une évaluation simple de la capacité.)

L'isolement statique de la clavette conduit au

dyna-mique, (.Fig 45).

~ ~

On obtient: .

.

if

~

R. cos

'1'

= R 1 . cos (a +

~)

(1)

.

Tf •

~

F=R.sin'P+R1·sin(a+'P) (2)

r

Ëquilibre sous l'action de 2 résultantes R èt R1

obliga-toirement égales et opposées. Bien que les résultantes

d'actions de contact R et R1

ne puissent plus être

appliquées enl et

J,

on supposera R en 1 etR 1 en J1

on admettra que les répartitions uniformes sont

conser-vées,

d'où:

Fi

= p.S Rl = Pl· S . (Sl =_S_)

cos

.if;

cos

ex.CQSi/3

cos a

....?ans le triangle IJJ1, ona

if;

=/3-'a

d'où

/3>

if; ,

.-doric glissement prépondérant sur la face inclinée:

(/3

atteint la limite IP

avant

if; )

Isolement du moyeu

:(voir

Fig 47)

(glissement sur la face inclinée de la

clavette)

Hypothèse : répartition slnusoidele des pressions de

contact entre l'arbre et le moyeu:

p' = Po. sin

0

dS' = D.L'.dO

2

Ëqulllbrestatique:

Proj/z'z = 0 Moments/x'x = 0

Moments /y'y = 0 vérifiés

Moments /z'z = 0 vérifié si Alim, R1 et R concourantes

(R' = résultante des actions de contact arbre/moyeu)

Ilreste Proj.y'y = 0

donne: R1. cos(tp-Cl)

=f

p',sin 8. dS' d'où

f>

1. S.

cos (

!,O-aL = Po.

EY'l

sin2 8. d8 =

cosa.coslP

2

0 D.L'.l. 1T(1 28) dO Po- - ...:-

f

-cos . 2 2 0 1T.. D.L' cos a . cos IP soit: Pl = - . - .- . . . Po 4 S cos (IP-a)

Proj/x'x =0 donne: Ali";' = Rl.sin (IP - a)

+f

p'.f.dS'

S.sin(lP-a) D , 1T •

Alim=P1· +Po.f·-·L.f smO.d8 =

cos a. cos IP 2 0 S. sin (IP - a) Pl. .

+

Po.f. D. L' cos a. costp cos

ex .

cos IP

avec

Pl =p. "

cos (IP -

ex)

d'où: Alim =p.f,S [ tg (IP -

ex)

+..±.]

tg IP 1T

Un calcul analogue donnerait en considérant le glisse-ment sur la face inférieure de la clav!tte :

A'iim

=

p.f.S (1+iT)

valeur un peu supérieure

â

Alim.

Dans tous les cas, on pourra adopter la

valeur

simple

A'iim = p.f.S (1 +.1)

1T

(l'erreur commise pour tqœ = 0,01 et tgtp= 0,1 est

dérisoire: 0,44%.)

IV - APPLICATION NUMI:RIQUE : mêmes dimensions que pour les assemblages précédents:

1/>50mm ; a = 16mm ; L = 50mm ; f = 0,1

Condition p

<

_{uee limite élastique à l'extension du}

matériau le moins résistant soit:

Uee = 300 N/mm2 _{d'oùAlim = 52000 N}

EffortFnécessaire= p.f. S [ 1 +tg (a + IP) ] = 50000 N

f

d'où le résultat simple approché:

1

Un assemblage par clavetage forcé transmet approxi· mativement un effort égal à celui de coincement.

Remarque:

le moment axial n'est pas calculé : effet d'obstacle.

V - REMARQUES TECHNOLOGIQUES

La clavette forcée désaxe toujours plus ou moins le . moyeu, ce qui interdit l'emploi de cette solution pour

des montages de précision ou de grandes

vitesses

de

rota-tion.

Clavettes

sans talon: mise en place et démontage par action sur arbre et moyeu,

Clavettes à talon : mise en place et démontage par action sur le talon.

8· ASSEMBLAGES PAR VIS DE PRESSION

1 - DI:FINITION DE L'ASSEMBLAGE

Pénétration cylindrique 1/>D = 50mm;

Portée L = 7·0 mm

(voir

Fig. 48)

Visàtéton:1/>16 pas =2mm

rayon moyen du filet r = 7,35mm rayon de contact téton sur

embasef1= 3,9

(6 -1,2 tg. 60°)

~= 1/2 angle au sommet du filet =

30° (cos

/3

= 0,866)

a = pente de l'hélice moyenne tqœ=...m!L

=.

0,0433

2.1T.r

f = coefficient de frottement entre filets fl = coefficient de frottement téton /embase

f2 =coefficien~de frottement arbre/moyeu

2·

EFFORT AXIAL TRANSMISSIBLE

1)Création d'un effort axial sur la vis

Effort axial P

Cs= moment du couple de serrage exercé sur la

vis

Cd = moment du couple de desserrage exercé sur la vis Cf = moment du couple résistant dû aux filets

(P.r. tg (IP' + a) ou C'f = P.r. tg (IP'-a) Ce = moment du couple résistant dû à l'embase

Progression contre la charge axiale (Fig 49) :

Rappelons que:

2

Cs= P. r. tg(

\{J'

+ a)+3"'P'

q.

f1

et

progression dans le sens de la charge

axiale (Fig 50)

2

Cd =P.r.tg

(\{J'-a)

+

3'

P.

r j .

f1

f

avec tg

\(J'

=

-cos

~

2)

Effort axial transmissible par l'arbre:

isolement de l'arbre (Fig. 51)

P

<

17 200 N et Alim = 4 000 N

(le calcul du moment axial transmissible n'est pas

envi-sagé : effet d'obstacle.)

Remarque : L'approximation grossière Alim = 2. P. f

n'est pas très éloignée de P. f. (1 + .

.!)

et pourra

avanta-geusement être retenue (cas de

p~essions

de contact

inflnlesl.Volr

Fig. 52.

q ~ p.ft

P

o'

Ai..

.:

r

".If.~ Hypothèse: contact arbre/moyeu répartition des pres-sions de contact: - radiale slnusoidele q=qo. sin 0 -Ionaitudtnsle uniforme.

9 - ASSEMBLAGES

PAR TAMPONS TANGENTS

1 - DI:FINITION DE L'ASSEMBLAGE:

(Voir Fig. 53)

Arbre

à

bloquer :

rjJ

= 2 R

Portée : L

Tampons:

rjJ

d = 2 r

Entraxe :

.::l

et jeu entre tampons = 2 j

d'où P = : . qo.D.L

4P

et qo:;:

D L

TT. •

2

-!:TUDE A LA POSE: isolons un tampon (voir Fig

54)

~

L'équilibre donne:

F

=

foq.

sin

O.

dS

=f, 1

qo. sin2 O.b. R. dO

0

0

( proj/y'y =

0)

avec

b==

2 [r2 - (6-R.cos8)2]1!2

Hypothèses:

. contact arbre/moyeu :

répartition des pressions de

contact

- radiale sinusoïdale p = Po. sin

a

- longitudinale uniforme

contact tampon/arbre :

répartition des pressions de

contact

- radiale sinusoïdale q = qo. sin

0

- longitudinale uniforme

. contact tampon/moyeu:

supposé sans frottement.

Equilibre statique:

Proj/z'z = 0

Moments /x'x = 0, Moments

tv'v

=0 vérifiés

Mornents/z'z

e'

0 vérifiés si 3 résultantes concourantes.

et Proj/y'y = 0

P=fq.sinO.dS

dS:;: D. L. d

"2

Proi/x'x> 0

Alim = P.f1 +fq.f2.dS = P.f1+qo.f2.

E...

L.loSinO.dO=

2

=+2

=P.f1 + qo. f2' D.L.

4

Alim = P (f1 + -

. f2)

TT 3)

Application numérique: f = f1 = f2 = 0',1

après calculs, on trouve:

Cs= 1,433 P (en mm et N)

Cd

=

0,79

P

(mm,

N)

Alim

==

0,2273 P

La capacité de l'assemblage est fonction de la résistance

de la vis en acier E 36

Gee

= 360 N/mm2

et

Teg==

200 N/mm2

Compression simple du téton:

P

<

Gee

TT(3,9)2

d'où

P

<

17 200 N et Cs

<

24,7

rn.N

Compression du noyau : concentration de contrainte

k=3,

d'où

P

<

17 200

N

Autres calculs: torsion ou compression-torsion donnent

des valeurs voisines, d'où:

sur calculatrice programmable:

...

, ~ ~

.

0

₁ . ,

posons 1.

=f.

0

[r2-(L:>.-R.cosO)2]1/2.sin20.dO

2 0

...-..-

f···.···_

~

.

11= 216',43mm

12 = 139,91mm

13=262,3.2mm

(11 et 13 peuvent être exprimées directement, néanmoins

calcul par intégration numérique.)

Clim = 7,7 FJ.R

L'effort

F admissible est :. limité par les pressions de

contact Po

>

qo

2. 1

1.

F

.

Po =

.

.;;;

ure

(limite de rupture à l'extension)

'Tr .R2. 1

₂

pour Po maxi = 500 N/mm2 on a

F

= 318 000 N

. limité par l'élément fileté

créant F

élémertt

if>

16; section de noyau 157mm2;

ure

= 600 N/mm2:

concentration de contrainte k = 3

d'où: Alim =.7,7 FJ

Isolons

l'arbre : proj/x'x

=

a

Jq.dS.cosO=Jp.sinœ.dS'

soit

_e

.

2.

~Ol

qo. sin

O.

cos 0.R.2. [r2 - (L:>. - R. cos

0)2

J1

/2 .dO

=

J;

Po. sin2 œ. L.R.d œ

=

'Tr/2. Po. L.R

après

~~.9.y.C?~i.9D

..

~~.~.I).p'~~.~,r)~.: ..

1 1

=

J::'

[r2 - ( L:>. - R. cos

0)2]1/2. sin 0. cosO .dO

d'où:

d'où:

Po=

d'où :

~.~.~~.~~~.~.

valeur à retenir, et finalement:

Clim=580 m.N

3· EFFORT OU MOMENT AXIAL TRANSMISSIBLE:

1) Effort axial Alim : isolement de l'arbre Proj/z'z=O

d'où

Alim =

J

q, f. dS +

J

p. f. dS'

Alim=

f::

qoJ.sinO.R.2.[r2-(L:>.-R.COSO)2

]1f2.dO

+f;:poJ.LR.sinœ;dœ

Alim=23 000 N

Commentaires: la méthode exposée apparaft longue et

de résolution pénible; d'où la recherche d'une autre

méthode plus directe. De plus, les difficultés d'usinage

des tampons (contact arbre) font qu'il sera bien

lmpro-bable d'avoir contact en tout point des flancs.

...

,

..

, ,

,4· RECHERCHE DIRECTE GRAPHIQUE:

Reprenons directement la liaison étudiée, dessinée

à

l'échelle 1. (voir Fig 55)

et Alim = 2. qo. f. R. 13 +2. Po. f. L.R

~11

+2.13

soit Alim = FJ(

'TT

12

)

2) Effort axial Clim : isolement de l'arbre

Moments /z'z = 0

Clim=

2. f::qo.sino J.R .2.R.[r2

-(L:>.~'

R.coSO)2]1 /2 .dO

+ f'Tr f. R2.L.po.sina.da

o

(

~ 1 1 + 2. 13 )

soit Clim = F. f. R. 'Tr

12

e'

Ai 35 B

3) Application numérique:

R

=

25mm ; r = 20mm; Ll= 35mm; j= 5mm;

f=O,1;

L=70mm.

d'où:

0

0

= Arc sin

*

= 11,53

0

Ll-r

et 81 = Arc cos -R-= 53,13°

Au contact tampon/arbre: arbre

if>

D = 2 R = 50 mm; si

les flancs des tampons sont usinés

à

un rayon

p

= R, on a

toutes leschances d'obtenir un contact ponctuel,

à

cause

des écarts sur l'entraxe. Les deux cas extrèmes sont

représentés Fig 56:

~~

1 1 8

----.

_-

_'t'~

_---:

_{~_}

₊

r.

'----@

(On ne peut dépasser 1,4 fois la limite de rupture sans détérioration du matériau.)

Nécessité de vérifier que la pression de contact maximale est acceptable:

. contact entre deux cylindres, d'après Hertz, on a : (On peut remarquer que ces valeurs ne sont pas très éloignées de celles obtenues précédemment dans des conditions idéales.)

A

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10 • CONCLUSIONS

On pourrait accepter des déformations permanentes du flanc des tampons, ce qui conduirait rapidement à un contact surfacique; si on veut diminuer la pression de contact.on peut.

. diminuer F1 et F2, mais risques d'imprécision au serrage,

. diminuer le rayon du flanc de tampon (p= 1,5 R

donnepmaxi = 1380 N/mmn

On s'est astreintàtoujours avoir le même diamètre de pénétration (cf> 50 mm), les mêmes coéfficients de frotte-ment, etc ... On peut donc comparer maintenant les capacités des types de liaisons étudiées. (Voir graphique Fig.57):

Le graphique fait apparaftre : . les performances maximales pour:

• assemblages frettés (éventuellement limitation due

àla capacité de la presse),

• assemblages par coincement conique (cône MORSE limitation dueàla capacité de la presse),

- assemblages par clavetage forcé (limitation due à la capacité de la presse);

et loin derrière (rapport de 4à1) :

• assemblages par tampons tangents, • assemblages par pincement,

• assemblages par vis de pression(Alim faible, mais on peut mùltiplier le nombre de vis; Exemple: outil de tour dans sa tourelle).

Model! de calcul qu'on peut retenir pour ces

dlffé-rents assemblages:

• Assemblages frettés: l'adhérence est issue de la défor-mation par contraction de l'enveloppe (frettage), doù la nécessité d'utiliser la loi (issue des formules de LAME) reliant la pression de contact au serrage. Il reste alors à

utiliser les expressions de Alim et Clim en fonction de la pression de contact p.

s

Pmaxi = 0,418 [ et F.E.{R2 - R d ]1/2 L RI, R2

avec R2 =2R, RI= R, E=2.10

s

MPa

Fmaxi = F32 = 62000 N, L = 29 mm (figure) d'où Pmaxi = 1700 N/mm2

r valeur trop élevée

2) Isolement de l'arbre:

actions

Fols

et F23 connues; F03 et Clim inconnus La détermination de F03 s'effectue directement sur les dynamiques précédents:

F13=B111 F23=11B2 d'où

F03 = B2B1 et FQ3=< 89 500N · Contact en A : freinage maximum de l'arbre, mais

risque de coincement; assurerex.

>

2 'P

pour éviter le coincement.

· Contact en B : freinage minimum de l'arbre.

Conclusion :pratiquement, on usine le flanc du tampon

à un rayon p plus grand que

R,

de façon àassurer un contact ponctuel correct en éliminant les risques de coin-cement.

Exemple: choix dep= 2

R

flanc du tampon 1 : cercle (01, 2 R)

flancd~tampon 2 : cercle (02 ,2 R)

choix de 01 et 02 tels que les points de contact 01 et 02 tampon/arbre soientàpeu près au milieu du flanc (on vérifie bien le non-coincement

au

= 35°> 2'P).

1) Isolement des tampons:

---+

· tampon 1 : données F 1, point 01, frottement 'P

(tg 'P= 0(1), d'où la direction~eF31 tangente au cercle (0, R. slne], (sens du moment C exercé).

· contact tampon 1/ moyeu 0 : avec frottement 'P :

(cas de l'adhérence, mouvement limite vers le haut), l'angle d'adhérence étant inconnu (limite'P),on suppose F01 normaleàla surface de contact.

On a 3 forces

Fi,

Fi1 F01 en équilibre d'où Il,puis le dynamique A1 11B1. r

· tampon 2 (idem) : dynamique A'2 12B'2 reporté en A212B2) .

Les résultats graphiques obtenus" (1mm = 1000 N) sont: avec F1 = F2 = 30 000 N

F31=46000N et F32=62 000 N

Somme des moments par rapportà0 : C = (F03

+

F13

+

F23). R.sin'P

R= 25 mm sin'P= 0,0993 d'où C = 490 m.N

Alim =

~=

19600 N

fit Assemblages par pincement : pour une évaluation simple, on pourra se limiter à Alim 3 et Clim 3 (contact rectiligne arbre/chapeaux, pression de contact infinie, cas d'un jeu radial important). Dans le cas d'un jeu radial réduit et pour une évaluation plus précise, on pourra rechercher Alim2 et Clim2 (répartition radiale sinusoï-dale) en multipliant par 1,27 Alim3 et Clim3 obtenus facilement, en fonction bien sûr, de l'effort total exercé par les bou Ions.

e Assemblages par coincement conique: étant donné l'effort de coincement F, on obtiendra facilement

1,_{e ort}ff

_{axra transmlsst}

. 1 • ibl A_{e lim "}

l+tga--- ;

f --tg ex _{pour le}

moment axial transmissible, on reprendra la relation établie au paragraphe 6.3- 3 (Numéro précédent du Bulletin).

Auxauteurs d'articles

Pour permettre au Comité de Rédaction de prévoir la composition de chaque numéro du bulletin sans erreur appréciable sur le nombre de pages au moment de la remise du manuscrit, il convient de faire dactylographier vos arti-cles en adoptant, si possible, une largeur de frappe corres-pondantà 55 «espaces signes» par ligne.

Il est important, surtout lorsque des .équatlons apparais-sent, de bien préciser leur mise en page.

Figures

Les figures à insérer dans le texte doivent être exécutées séparément suivant les deux recommandations générales suivantes:

- figures exécutées séparément à l'échelle 2 par rapport à

leur dimension dans le bulletin;

- figures réalisées à l'encre de chine, sur calque.

Largeur des figures

Si vous prévoyez d'insérer la figure dans le texte sur une colonne (demi-largeur de page), exécutez-là sur une largeur de 16 cm au maximum et donnez-lui la hauteur nécessaire.

CIl Assemblages par coincement plan: on retiendra

avan-tageusement que l'effort axial transmissible est très voisin de l'effort de coincement.

• Assemblages par vis de pression: pour une évaluation simple, on pourra considérer directement les résultantes d'actions de contact (pression infinie) et adopter le résultat: Alim:=2.P.f (P== effort axial sur la vis).

e Assemblages par tampons tangents : l'effort et le moment axial pourront rapidement être évalués par la méthode graphique développée au paragraphe 9.4.

Si vous prévoyez de l'insérer sur toute la largeur de la page, donnez-lui une largeur de 34 cm au maximum en lui donnant la hauteur nécessaire.

Tenez compte de la réduction de rapport 1/2 qui sera opérée, en particulier pour les inscriptions qui doivent rester lisibles et ne pas être démesurées.

Dessins

Il est possible d'insérer des dessins réduits. Dans ce cas, les dessins à fournir doivent encore être à l'échelle 2 par rapport à la dimension finale. Ils doivent donc être présen-tés dans un format de 34 x 50 maximum.

Pensez encore à la réduction de rapport 1/2 pour les ï'ns-criptlons,

D'avance merci, et que ces quelques recommandations ne viennent pas tarir l'imagination des futurs auteurs que nous attendons nombreux.