LA CONTEXTUALISATION ET
L'UTILISATION DES
MA THEMATIQUES DANS LA PENSEE
SCIENTIFIQDE.
CLAUDE JANVIER CIRADE Dép. De Mathématique et d'Informatique, Université du Quebecà Montréal
MOTS CLES Application, contextualisation, utilisation, raisonnement contextuel, modélisation, arithmétique, équation, support contextuel.
RESUME: Plusieurs recherches montrent que l'arithmétique de l'École n'est pas celle couramment utilisée par tout un groupe d'utilisateurs tels les marchands, les consommateurs, les charpentiers..Les méthodes de calcul et les stratégies de résolution de problèmes dépendent souvent du contexte de l'utilisation. Existe-t-il une mathématique et non pas seulement une arithmétique contextuelle? Telle est la question qu'aborde l'article. La notion d'application est remise en question. L'analyse de quelques "raisonnements avec équations" montre qu'il existe une contextualisation possible des mathématiques utilisées en science. L'article étudie donc cette notion de contextualisation de la pensée mathématique.
SUMMARY: Recent research has shown that school's arithmetic is not currently used as such by the "man in the street": merchant, consumers, building contractors, lotery ticket salesmen...Counting methods and problem solving strategies depend of the particular context in which the user works. In addition to this contextualized arithmetic, do contextualized mathematics exist? To answer this question, the notion of application is examined and challenged. The analysis of "reasonings based on equations" suggests that mathematics reasoning processes used in science are very often contextualized. This central issue of the article is tackled with the help of a few examples.
1. INTRODUCTION: Une préoccupation ancienne.
Je m'intéresse depuis plus de dix ans au problème de l'intégration de l'enseignement des mathématiques et des sciences au niveau du premier cycle du secondaire. C'est un thème, vous en conviendrez, qui fut
à
la mode il y a quelq ues années, et qui le reste. Une précision cependant. Je n'entend pas ici un enseignement mieux articulé, mieux coordonné grâceà
des programmes mieux structurés ou encore grâceà
une meileure concertation entre les enseignants de mathématiques et de sciences. Par intégré, j'entend un enseignement où les objets mathématiques et scientifiques ne seraient pas distingués. J'ai tenté en 1976 de faire une thèse de didactique sur le sujet.Elle a finalement porté sur les représentations graphiques (plus précisément les diagrammes cartésiens) utilisées en sciences. C'était un premier pas dans la bonne direction. Il me fait donc plaisir de venir exposer différentes idées sur la notion de contextualisation dans l'enseignement des mathématiques, thème qui saura s'éclairer au cours de la conférence.L'élément cristallisant des réflexions que je vous livre et qui mijotaient d'une manière diffuse depuis des années fut la découverte d'une orientation de recherche ayant menéà des résultats concernant l'utilisation de l'arithmétique. Je citerai les travaux de Lave, Carraher, Schliemann tous réalisés après 1980 (voir la bibliographie). Ces recherches étudient sur le terrain l'arithmétique de certains utilisateurs: les jeunes vendeurs au marché issus de milieux populaires, les magasiniers dans les entrepôts, les vendeurs de billets de loto, les consommateurs au surpermarché. ete ..On cherche dans ces travaux à découvrir jusqu'à quel point l'arithmétique est utilisée, comment elle est utilisée. et avec quel taux de réussite.
Les résultats de ces recherches convergent. Premièrement, les sujets observés doivent effectuer de nombreux calculs arithmétiques. Et de plus, ces calculs sont effectués en pratique sans erreur. Dans le cas des consommateurs au supermarché, des erreurs se sont présentées dans 2% seulement des calculs effectués en vue d'acheter un article alors qu'un test arithmétique portant sur les quatre opérations a donné un résultat moyen de 59%. On peut àjuste titre arguer que les problèmes ne sont pas les mêmes. Par contre, dans la recherche portant sur les capacités arithmétiques des jeunes vendeurs itinérants de Recife, Carraher, Carraher & Schliemann (1985) un test reprenant les calculs qu'ils avaient réussi pratiquement
à
100% une semaine auparavant a été raté de manière statistiquement significative.Cependant, et c'est l'originalité des conclusions qui ont attiré mon attention, autant les algorithmes utilisés que les stratégies de résolution de problèmes diffèrent de ceux habituellement introduits en classe.
D'abord, c'est le "sans papier ni crayon" qui prime. En effet, on compte mentalement. Ceci implique des méthodes primitives de calcul. De plus, on doit prendre les moyens pour obtenir la réponse correcte. pour la réponse correcte autrement c'est la faillite, le renvoi ..JI
y
a donc une priorité pour la méthode qui nous assure le succès, ou avec laquelle on se sent en confiance. En général ces méthodes apparaîtront comme primitives. La multiplication deviendra en général une addition répétée. Par exemple,10 fois 35 sera effectué mentalement comme (3 +3 +3) fois 35 plus 1 fois 35. Dans les problèmes de règle de trois, les sujets de ces études recourent rarement au principe qui les ramènent à la valeur pour l'unité. Prenons un problème simple. Si 3 pommes valent 6 francs combien valent 9 pommes? Dans ce cas, les enfants ne calculent pas la valeur d'une pomme mais diront que l'on a trois fois plus de pommes, donc que l'on payera trois fois plus cher. Ce sont des procédures déjà bien décrites par Vergnaux, Freudenthal et bien d'autres. Evidemment, il existe des combinaisons de nombres qui rende cette démarche plus difficile, mais de toute façon, pour des opérations équivalentes, il a été démontré que les élèves retournent moins fréquemment
à
la valeur de l'unité.Ce qui m'apparaît aussi très important, c'est d'abord que le calcul est contextualisé. On calcule sur des quantités ou des grandeurs plutôt que sur des nombres. Par exemple, 12 melons à 5 francs devient 10,20,30,40,50,60 francs; comme si les melons deux à deux facilitaient le calcul.
Ces recherches révèlent donc l'existence d'une arithmétique contextuelle dont les objets sont des quantités ou des grandeurs plutôt que des nombres.
Le
contexte semble fournir un support au raisonnement en ce sens qu'il détermine le problème, le fait évoluer, donne un sens aux entités arithmétiques considérées de même qu'aux opérations à effectuer.2. Et les mathématiques contextuelles.
Si le commun des mortels utilise
à
sa manière ou encore mieux d'une manière contextualisée l'arithmétique, en est-il de même du scientifique qui utilise efficacement les mathématiques (par exemple, dans le cas de la solution d'équations ou lorsqu'il utilise les notions de fonction, de dérivée, d'intégrale ... )Quand je me suis posé cette question pour la première fois, il m'est revenu à l'esprit les prouesses de trigonométrie et de nombres complexes que réalisaient mon professeur d'électronique de l'époque. J'avais la conviction qu'il appliquait des mathématiques dans ces études de circuits. Mais, ou bien ce n'était pas les mêmes mathématiques ou bien il ne les appliquait pas comme je savais le faire. Dans le même cours, nous devions monter en équipe un récepteur M. F. qui syntonise une fréquence précise. Mon co-équipier nommé Garry fit le plus gros du travail car il manipulait avec aisance une espèce d'arithmétique électronique qui lui permit de réaliser le montage mais non pas de réussir son examen de fin d'année. Quant à moi, je sus tout juste mémoriser les bonnes formules pour le passer sans grand brio. J'estime que c'est la notion d'application qui doit être remise en question. D'abord qu'entend-on par application des mathématiques en sciences? Appliquer les mathématiques revient
à
résoudre des équations après les avoir plus ou moins laborieusement posées. Il est facile de constater qu'il existe une tradition épistémologique que la quasi-totalité des scientifiques entretiennent, tradition qui assigne un rôle aux mathématiques par rapport aux sciences en général. Selon cette manière de voir, les concepts mathématiques sont d'abord appris dans la classe demathématiques pour être ensuite appliqués dans les classes de sciences. (On a vu apparaître le mot appliquer). En pratique le tout se déroule selon un scénario bien rodé. Les problèmes donnant lieu àdes solutions mathématiques se trouventàla fin des chapîtres. La lecture du problème permet de poser les équations qui restent ensuite àrésoudre. Ce qu'il faut ici souligner c'est qu'en général le travail de modélisation ou de mathématisation par lequel on associe une équation ou une famille d'équations
à
un phénomène relève de la présentation du professeur. Cette analyse du "phénomène à décrire" qui permet d'associer des relations mathématiquesà
certains éléments situationnels n'est pas reprise par les étudiants.Donc, en résolvant des équations on applique les mathématiques considérées comme un système de relations abstraites, comme une série de méthodes indépendantes du phénomène considéré. Il est à remarquer que cette position est relativement contemporaine. On n'a qu'à penser à Laplace, Gauss, Newton et bien d'autres. A l'heure actuelle, le concept mathématique a un statut en soi par rapport à d'autres concepts mathématiques et n'a donc pas de "teneur" contextuel. C'est l'application, qui viendra après, qui lui ajoutera cette "richesse" contextuelle. C'est en quelque sorte l'organisation inter-conceptuelle des notions mathématiques qui détermine les concepts mathématiques. Qu'on pense, par exemple,
à
la notion de variable, qui est devenue une particularisation de la notion de produit cartésien. Les applicateurs, les utilisateurs font donc usage, pour ainsi dire, de ces notions abstraites que le professeur de mathématiques leur lègue. Il arrive par les temps qui courent qu'il y ait des querelles de factions, le scientifique alléguant que le mathématicien n'a pas préparé le bon objet. On sait présentement qu'il existe pour les étudiants et, ce d:ms la plupart des pays, les fonctions du cours de mathématique et les fontions du cours de physique. Ceci est aussi vrai tantôt pour les v'ecteurs, tantôt pour les fonctions logarithmiques.Le temps qui m'est alloué me force
à
limiter l'analyse de la mathématique contextuelleà
deux cas.Solution d'un circuit électrique. Figure 1
Un type de problème (facile) que l'on retrouvè
à
la fin du chapître en physique sur le courant électrique consisteà
demander la valeur de la résistance du résisteur (comme on dit maintenant) R3 si le courant traversant le circuit est de 3 ampères et que la résistance interne de la batterie (dont la F.é.m. est de 120 volts est négligeable). D'abord selon la pratiq ue habituelle des cours de physique, l'étudiant chercheraà
bien poser ses équations.Il faut être très peu inspiré pour écrire dans un premier temps: V= VI +V2. Ensuite on pourra poser: V= R • i et V= R 1 • i +R2 • i . Pour obtenir la dernière équation, les raisonnements sont nombreux.L'essentiel est d'arriver à substituer les valeurs dans l'équation pour obtenir:120= 3 •10+3R2 Et en résolvant:
120 - 30= 3R2 90/3 = 30= R2
Ce qu'il faut remarquer c'est surtout le fait que l'on a manipulé des équations en recourant relativement peu à l'organisation "schématique"du circuit.
Je pense que la majorité des professeurs de physique ne songe pas
à
recourirà
des équations pour "résoudre" un tel circuit simple. La mise en équation se fait sur le diagramme même. Lecontexte ici, c'est le schéma. Les équations utilisées ci-dessus trouvent leur équivalent dans une espèce de combinaison d'éléments graphiques. Pour le technicien de notre laboratoire. une résistance totale lui est venue à l'esprit. En effet, à 3 ampères et une différences de potentiel de 120 volts on associe rapidement un résistance de 40 W pour le circuit. Obtenir 30 W (40-10) devient alors un jeu d'enfant.Chaque solution "sans équation" devrait être examinée pour voir comment implicitement les relations essentielles entre le potentiel, la résistance et le courant sont utilisées de concert avec le diagramme du circuit. Il me semble que l'utilisation des mathématiques dans ce cas est guidé par un contexte et des grandeurs qui ont un sens et qui dirigent la solution des équations exprimées d'une manière implicite. Dans des cas plus complexes, on peut s'imaginer que les équations seraient partiellement écrites et que toujours le diagramme agirait comme support et dirigerait la solution du système d'équations. Ceci cependant n'est qu'une hypothèse que que les "raisonnements" mathématiques de mon professeur d'électronique me permettent de poser et qui reste de toute manière à vérifier.
3.
La
croissance exponentielle.
Le problème suivant est bien connu pour en avoir fait bêtement trébucher plusieurs: Un étang de nénuphars a une aire de256m2 :
Les nénuphars qui la couvrent doublent leur superficie chaque jour. Si l'étang est couvert au 7è jour, quand était-il àdemi couvert?
Ce problème s'il est posé pendant les leçons de mathématiques où la fonction exponentielle est introduite, donnera lieu chez les étudiants a une mise en équation dont les grandes étapes visent
à
trouver une fonction du type p(x)= k2x. Les étudiants aboutirontà
une équation exponentielle du type 2x = 64 que certains résoudront avec les logarithmes!!!Encore ici, on constate très bien qu'on observe une forme de braquage sur l'équation qui évacue le contexte. Ce dernier n'est plus présent pour supporter le raisonnement. Par ailleurs, lorsqu'on se représente à l'esprit (et ceci n'est qu'une méthode particulière) une série de taches qui couvre
à
chaque coup deux fois plus d'aire d'un étang imaginaire, cette image mentale ainsi évoquée nous aideà
associer doubler et être à moitié couvert.Dans le cas du problème des nénuphars. on constate que la solution rapide et sans équation du problème s'est effectuée en remontant
à
la relation qui définit fondamentalement la situation envisagée. Il semble donc qu'il faille remonterà
larelation fondamentale pour y découvrir ce qui rattache la mathématique au contexte. Remise en question de la notion d'application.
Dans les deux exemples traités précédemment, on se trouve très tôt dans le domaine abstrait des mathématiques comme l'illustre la figure 2.a et on peut alors en utilisant ces méthodes aboutir à des conclusions. Ce qu'il faut principalement remarquer c'est que le travail mathématique se fait essentiellement sur les équations, sans recours aux réalités sous-jacentes ayant permis l'établissement des équations. Les deux exemples présentés jusqu'ici (et d'autres) nous font voir que la contextualisation d'une équation vise à rapprocher les opérations effectuées sur celle-ci du support concret défini par le contexte: diagramme, description verbale, image mentale, opération gestuelle. En d'autres mots, une mathématique contextualisée rapproche les deux côtés du diagramme de la figure 2.a pour donner la figure 2.b. Le problème n'est jamais exclusivement résolu en se situant dans la région de droite, en n'utilisant que les processus mathématiques sans référence au contexte.
figure 2.a figure 2.b
Dans les applications, travail dans La contextualisation rapproche le domaine mathématique. les deux côtés du diagramme.
Les deux exemples proposés jusqu'ici et les autres qu'il nous a été donné d'étudier, nous porte
à
croire que la mathématique contextuelle se trouve précisément dans l'intersection des deux domaines des figures 2.a et 2.b bien que ces diagrammes aient un caractère plu tôt illustratif. Il apparaît en effet que c'est là que l'on trouve les mesures, les nombres contextualisés qui sont les objets de la mathématique contextuelle.4. CONCLUSIONS
A partir de l'arithmétique contextuelle, nous sommes donc partis en quête de la mathématique contextuelle. Au fait que le calcul arithmétique se fasse "sans papier ni crayon", on a associé le fait d'une importance moins grande de l'équation. Nous avons constaté que le contexte vu comme diagrammes, objets palpables ou images mentales supportaient le raisonnement mathématique sur des équations implicitement posées. Nous avons constaté que la mathématique contextuelle se signalait par le caractère primitif de ses procédures. Par ailleurs, d'autres exemples auraient pu nous montrer que le "rattachement" au contexte ne sous-entend pas toujours des raisonnemenl'l primitifs. En d'autres mots, un support contextuel se réalise quelquefois par l'intermédiaire d'une procédure mathématique plus complexe.
En pratique, quelles sont les conséquences pour notre enseignement? D'abord, elle s'apprend essentiellement dans une situation de résolution de problèmes et on peut retenir que ni le cadre actuel de l'enseignement des mathématiques ni celui de
l'enseignement des sciences ne sont appropriés à son développement. Je crois que les mathématiques contextudles (bien que peu en ait été dit dans la conférence) resituent le numériq ue par rapport
à
la pensée scientifiq ue et rapprochent les élèves des relations fondamentales quantitatives utilisées en science.Tout débat sur le thème de la rencontre "Communication, Education et Culture scientifique" doit remettre en question les a priori épistémologiques du rôle des mathématiques dans la pensée scientifique. J'espère que ces quelques réflexions personnelles auront contribué à circonscrire les facteurs à la source même des questions que nous sommes conviés à examiner ensemble.
BIBLIOGRAPHIE
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