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Encadrement de n!

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Academic year: 2021

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(1)

Première S

Devoir de recherche

Samuel Rochetin

Jeudi 15 novembre 2012

Résumé

Le but de ce devoir est d’encadrer n!, ce qui est utile pour étudier des ordres de grandeur lorsque n est infiniment grand.

Problème. Soient n ∈ N et la fonction f : [0; n + 1] −→ R

x 7−→ −x (x − (n + 1)) .

1. Étudier f en précisant les valeurs de f (1) et f (n) dans le tableau de variations. 2. Montrer que ∀k ∈J1; nK, n ≤ f (k) ≤ n + 1 2 2 . 3. Montrer que (n!)2= f (1) × f (2) × · · · × f (n).

4. En déduire que pour tout entier n ∈ N, √nn≤ n! ≤ n + 1

2 n

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