M. Van Droogenbroe k
Examen
é rit
à livre ouvert
questions des années pré édentes disponibles à l'adresse
http://www.ulg.a .be/tele om
projet obligatoire et dispensatoire de l'examen : à réaliser et à présenter la dernière
semaine de dé embre
Notes de ours
disponibles à l'AEES
version HTML en ligne à l'adresse http://www.ulg.a .be/tele om
Transparents
Introdu tion et généralités
Transformations unitaires
Filtrage linéaire et dé onvolution
Morphologie mathématique
Filtrage non-linéaire
Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours
Texture Rehaussement et restauration Étude de la forme Segmentation d'images Codage d'images Appli ations industrielles
Éléments de per eption visuelle
Les ouleurs : représentation, systèmes, luminan e, ...
Eets visuels
Notion de transparen e
Stru ture d'é hantillonnage et trame
Vidéo Stru tures de données Résolution Appli ations industrielles Segmentation Re onnaissan e de ara tères
Figure 1: Coupe latérale simpliée de l'÷il.
Bleu
Rouge
Violet
Vert
Jaune
Orange
Jaune − Vert
Bleu − Vert
400
500
600
700
Z
λ
L(λ) dλ
(1)Problème ar trop grand nombre de apteurs né essaires à la des ription de la ouleur
Z
λ
L(λ) dλ
(1)Problème ar trop grand nombre de apteurs né essaires à la des ription de la ouleur
Solution : utiliser les espa es de ouleurs
X bB
aA
C
Figure 3: Expérien e d'égalisation d'une ouleur
X
au moyen de trois ouleurs primairesTrois ouleurs mono hromatiques : rouge
R
(700 [nm]
), vertV
(546, 1 [nm]
) et bleuB
(435, 8 [nm]
), 400 500 600 700λ[nm]
r(λ)
b(λ)
0 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4v(λ)
Figure 4: Courbes d'égalisation spe trale obtenues par égalisation des ouleurs au moyen
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,5 -0,5 -0,5 -1,0 -1,5 r g X Y Z 480 490 500 530 550 1,0 W 510 520 540 600 580 B G R
R
B
G
0% 100%
X
Y
Z
=
2, 769 1, 7518
1
4, 5907 0, 0601
1, 13
0
0, 0565 5, 5943
R
G
B
(2)x =
X
X + Y + Z
(3)y =
Y
X + Y + Z
(4)z
=
Z
X + Y + Z
(5)x + y + z
= 1
(6)y
x
Figure 6: Diagramme hromatique (appro hé!) déni par les deux variables de
Vert Jaune Noir Blan Cyan Bleu Rouge Magenta
Variables plus physiques :
teinte (hue en anglais)
saturation
intensité
le système de ouleurs soustra tifs : Cyan, Magenta et Yellow (CMY) les systèmes
Y IQ
,Y U V
ouY C
b
C
r
En pratique Hexadé imal R G B 00 00 00 0 0 0 00 00 FF 0 0 255 00 FF 00 0 255 0 00 FF FF 0 255 255 FF 00 00 255 0 0 FF 00 FF 255 0 255 FF FF 00 255 255 0 FF FF FF 255 255 255Utilisation d'une palette de ouleurs, appelée Color Look Up Table (CLUT ou LUT)
Figure 11: Palette de ouleurs utilisée par les logi iels de navigation ainsi que la
I + ∆I
I
∆I
I
∆I
I
I
I
+ ∆
I I
Intensité Intensité(a)Sans fond
(b) Ave fond
Niveau du fond (
Io
)I
I0
Soient
i(x, y)
la valeur de l'image au point(x, y)
t(x, y)
la valeur de transparen e (typiquement 1 ou 8 bits)
o(x, y)
la valeur de l'image naleLe prin ipe onsiste à appliquer la formule suivante :
o(x, y) =
t(x,y)
Chaque point est appelé pixel (pour pi ture element).
Il existe deux sortes de trame suivant la grille d'é hantillonnage adoptée.
Trame arrée Trame hexagonale
4- onnexité 8- onnexité 6- onnexité
2D. Il s'agit d'une matri e bidimensionnelle de valeurs. Ces valeurs (luminan e,
ou-leurs,
. . .
) sont par exemple issues de l'é hantillonnage d'une image xe.3D. Cette fois, le jeu de valeurs est déni sur base d'une grille d'é hantillonnage
tri-dimensionnelle. On obtient ette type d'images par s anner par exemple. La plupart
des te hniques de traitement d'image bidimensionnelles se généralisent sans peine à des
images
3D
.2D+t. Comme
t
représente le temps, les images2D + t
désignent une animation, une séquen e vidéo ou les images d'un lm.3D+t. Les images de type
3D +
t sont des images tridimensionnelles animées. Il s'agit par exemple d'images de synthèse3D
animées.On représente une image
2D + t
omme une su ession d'images numériques2D
.trame2 trame1
Figure 17: Des ription du format entrela é.
Niveau du blan Niveau du noir Retourligne =
12µs
Aller ligne=52µs
0 30 100 (luminan e) InformationVidéo Informations de servi eYC1C2 RGB R' G' B' YC1C2 RGB R' G' B' ou SECAM Y C1 C2 En odeur omposite omposite Gamma YC1C2 RGB R G B R' G' B' Y C1 C2 Corre teur (a) (b) Gamma YC1C2 RGB R G B R' G' B' Y C1 C2 Corre teur Caméra Caméra Dé odeur
Paramètres PAL NTSC SÉCAM
Fréquen e de trame
[Hz]
50 59,94 50Nombre de lignes par trame 625 525 625
Fa teur de orre tion
gamma
γ
2,8 2,2 2,8
Porteuse audio
[M Hz]
QAM 4,5 FMPorteuse ouleur
[M Hz]
4,43 3,57 4,25 (+U
) - 4,4 (−V
)Te hnique de modulation
des signaux de ouleur
QAM QAM FM
Largeur de bande de la
lu-minan e
[M Hz]
5,0 ou 5,5 4,2 6.0
Largeur de bande des
hro-minan es
[M Hz]
5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 1/3 1/6 1 1/6 5/6 2/3 1/2 5/6 1/6 2/3 1/3 1/2 1/2 1/6 5/6 1 0 5/6 1/6 2/3 (a)Conversion 50Hzvers 60Hz
Stru tures de données informatiques lassiques : matri es (ou tableaux), ve teurs, arbres,
listes, piles,
. . .
Certaines stru tures de données ont été adaptées et enri hies pour le traitement d'images.
Il s'agit par exemple de la stru ture en arbre quaternaire, appelé quadtree.
00 01 02 03
1
200 201 202 203
21 22 23
3
1
201
202 203
21
22
02
00
01
200
23
3
03
4 0 Code : 00017222533135754666 7 5 3 1 2 6
Soient une image originale
f
de tailleN
× N
etf
ˆ
l'image traitée.Dénition 1. [Mean Square Error℄
MSE
=
1
N
2
N −1
X
j=0
N −1
X
k=0
f (j, k)
− ˆ
f (j, k)
2
(7)Dénition 2. [Signal to noise ratio℄
SNR
=
P
N −1
j=0
P
N −1
k=0
(f (j, k))
2
P
N −1
j=0
P
N −1
k=0
f (j, k)
− ˆ
f (j, k)
2
(8)Dénition 3. [Peak signal to noise ratio℄
PSNR
=
N
2
× 255
P
N −1
j=0
P
N −1
k=0
f (j, k)
− ˆ
f (j, k)
2
(9)Plusieurs étapes :
Déte tion d'une région d'intérêt (Region Of Interest (ROI))
Déte tion des ontours
Introdu tion et généralités
Transformations unitaires
Filtrage linéaire et dé onvolution
Morphologie mathématique
Filtrage non-linéaire
Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours
Texture Rehaussement et restauration Étude de la forme Segmentation d'images Codage d'images Appli ations industrielles
Bases théoriques du al ul matri iel
Les transformées :
La transformée de Fourier dis rète
La transformée de Hadamard
La transformée en osinus dis rète
La transformée de Fourier
É hantillonnage
Considérons l'image é hantillonnée
f
, représentée par une matri e deM
× N
points ou pixelsf =
f (0, 0)
.· · ·
f (0, N
− 1)
. . . . .f (M
− 1, 0) · · · f (M − 1, N − 1)
(10)Soient
P
etQ
deux matri es de transformation de dimensions respe tivesM
×M
etN
×N
:F = P f Q
(11)e qui peut également s'é rire
F (u, v) =
M −1
X
m=0
N −1
X
n=0
P (u, m) f (m, n) Q (n, v)
(12)f = P
−1
F Q
−1
(13)Un ve teur à
N
omposantes est al ulé omme une ombinaison linéaire deN
ve teursde base. Les éléments de es ve teurs de base sont tous des puissan es de l'exponentielle
imaginaire
W = e
2πj/N
(14)es ve teurs (lignes) valent
1, −
W
→
k
, −
W
→
2k
, . . . , −
W
→
(N −1)k
,
k = 0, 1, . . . N
− 1
(15)On peut dénir la matri e de transformation
Φ
JJ
de dimensionJ
× J
:Φ
JJ
(k, l) =
1
J
exp
−j
2π
J
kl
k, l = 0, 1, . . . , J
− 1
(16)Dénition 4. La transformée de Fourier dis rète est dénie, étant données les deux
matri es de transformation
P = Φ
M M
etQ = Φ
F (u, v) =
1
M N
M −1
X
m=0
N −1
X
n=0
f (m, n) exp
h
−2πj
mu
M
+
nv
N
i
aveu = 0, 1, . . . , M
− 1
v = 0, 1, . . . , N
− 1
(17)Matri e de transformation inverse
Φ
−1
JJ
Φ
−1
JJ
(k, l) = exp
j
2π
J
kl
(18)La transformée de Fourier dis rète inverse vaut
f (m, n) =
M −1
X
u=0
N −1
X
v=0
F (u, v) exp
h
2πj
mu
M
+
nv
N
i
Périodi ité
F (u,
−v) = F (u, N − v)
F (
−u, v) = F (M − u, v)
(20)f (
−m, n) = f (M − m, n)
f (m,
−n) = f (m, N − n)
(21)Plus généralement,
F (aM + u, bN + v) = F (u, v)
f (aM + m, bN + n) = f (m, n)
(22)F(0,M-1)=F(0,-1)
F(0,0)
F(M-1,0)=F(-1,0) F(M-1,M-1)=F(-1,-1) F(0,0)
Figure 25: Visualisation du module du spe tre de l'image Lena avant et après entrage de
La matri e d'Hadamard du se ond ordre est
H
22
=
1
1
1
−1
(23)La matri e de Hadamard d'ordre
2
k
peut être é rite sous la forme
H
2J2J
=
H
JJ
H
JJ
H
JJ
−H
JJ
(24)L'inverse d'une matri e de Hadamard est donnée par
H
−1
JJ
=
1
J
H
JJ
(25)Dénition 5. La transformée de Hadamard et son inverse sont alors dénies par
F = H
M M
f H
N N
f =
1
Soit la matri e de transformation
C
N N
(k, l)
dénie parC
N N
(k, l) =
1
√
N
l = 0
q
2
N
cos
h
(2k+1)lπ
2N
i
sinon
(27)Dénition 6. La transformée en osinus dis rète (DCT) et son inverse sont données par
F = C
N N
f C
T
N N
f = C
T
N N
F C
N N
(28)Autre forme pour la transformée en osinus dis rète
F (u, v) =
2c (u) c (v)
N
N −1
X
m=0
N −1
X
n=0
f (m, n) cos
2m + 1
2N
uπ
cos
2n + 1
2N
vπ
(29)Dénition 7. La transformée de Fourier d'une image
f (x, y)
est dénie parF (u, v) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (x, y) e
−2πj(xu+yv)
dxdy
Transformée inversef (x, y) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
F (u, v) e
2πj(ux+vy)
dudv
(30)Interprétation : dé omposition de l'image en omposantes fréquentielles dénie sur
[
−∞, +∞] × [−∞, +∞]
.f (x, y)
etF (u, v)
forment une paire de transformée de Fou-rier représentée parf (x, y) ⇋
F (u, v)
En général,
F (u, v)
est une fon tion deu
et dev
à valeurs omplexes. Nous pouvons donl'exprimer sous la forme
Cas parti ulier :
f (x, y)
est une fon tion à valeurs réellesF (−u, −v) = F
∗
(u, v)
(31)Dès lors,
kF (−u, −v)k = kF (u, v)k
(32)θ (
−u, −v) = −θ (u, v)
(33)On peut en déduire deux propriétés importantes d'une image à valeurs réelles :
1. le spe tre fréquentiel de l'image est symétrique par rapport à l'origine du système d'axes
u
− v
. C'est-à-dire que la onnaissan e d'un demi-plan sut.2. le spe tre de phase de l'image est anti-symétrique par rapport à l'origine du système
1. Séparabilité
En permutant l'ordre d'intégration
F (u, v) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (x, y) e
−2πjxu
dx
e
−2πjyv
dy
(34) 2. LinéaritéSoient
f
1
(x, y) ⇋
F
1
(u, v)
etf
2
(x, y) ⇋
F
2
(u, v)
. Alors, pour toutes onstantesc
1
et
c
2
,c
1
f
1
(x, y) + c
2
f
2
(x, y) ⇋ c
1
F
1
(u, v) + c
2
F
2
(u, v)
(35) 3. Homothétie Sif (x, y) ⇋
F (u, v)
, alorsf (ax, by) ⇋
1
|ab|
F
u
a
,
v
b
(36)Si
f (x, y) ⇋
F (u, v)
, alorsf (x
− x
0
, y
− y
0
) ⇋
F (u, v) e
−2πj(x
0
u+y
0
v)
2. Translation fréquentielle Sif (x, y) ⇋
F (u, v)
, alorsf (x, y) e
j2π(u
0
x+v
0
y)
⇋
F (u − u
0
, v
− v
0
)
(37) 3. Aires Sif (x, y) ⇋
F (u, v)
, alorsF (0, 0) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (x, y) dxdy
(38)Le produit de onvolution de deux fon tions
f (x, y)
etg (x, y)
est déni par(f
⊗ g) (x, y) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (α, β) g (x
− α, y − β) dαdβ
(39)Si
f (x, y) ⇋
F (u, v)
etg (x, y) ⇋
G (u, v)
, alors(f
⊗ g) (x, y) ⇋ F (u, v) G (u, v)
(40)La onvolution de deux images dans le domaine spatial est transformée dans le domaine
fréquentiel en la multipli ation de leur transformée de Fourier respe tive.
2. Multipli ation
Si
f (x, y) ⇋
F (u, v)
etg (x, y) ⇋
G (u, v)
, alorsConsidérons l'image
f (x, y)
dénie parf (x, y) = ARect
a,b
(x, y)
(42) oùRect
a,b
(x, y) =
1
|x| <
a
2
,
|y| <
2
b
0
ailleurs (43)F (u, v) =
Z
+a/2
−a/2
dx
Z
+b/2
−b/2
dyAe
−2πj(xu+yv)
(44)= Aab
sin (πau)
πau
sin (πbv)
πbv
(45)x
y
f (x, y)
Figure 26: Illustration de la fon tion Re tangle.
u
v
kF(u, v)k
Considérons l'image
f (x, y)
dénie parf (x, y) = ADisque
R
(x, y)
(46) oùDisque
R
(x, y) =
1
p
x
2
+ y
2
< R
0
ailleurs (47)F (u, v) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (x, y) e
−2πj(xu+yv)
dxdy
(48)=
Z
R
0
rdr
Z
2π
0
Ae
−2πjr(u cos θ+v sin θ)
dθ
(49)J
1
2πR
√
f (x, y)
x
y
Figure 28: Illustration de la fon tion Disque.
u
v
kF(u, v)k
Dénition 8. La fon tion delta ou impulsion de Dira bidimensionnelle, notée
δ (x, y)
, est dénie parδ (x, y) = 0
∀ (x, y) 6= (0, 0)
(51) etZ
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
δ (x, y) dxdy = 1
(52) Propriétésf (x, y)
⊗ δ (x, y) = f (x, y)
(53)δ (x, y) ⇋ 1
(54)La fon tion d'é hantillonnage idéale est dénie par
s (x, y) =
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
δ (x
− i∆x, y − j∆y)
(55)x
y
S(x, y)
∆y
∆x
Figure 30: Représentation de la fon tion
s (x, y)
.Dénition 9. Nous dénissons ainsi la fon tion é hantillonnée idéale
f
s
(x, y) =
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
Lien entre les transformées de Fourier de
f
s
(x, y)
etf (x, y)
f
s
(x, y) =
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
f (x, y) δ (x
− i∆x, y − j∆y)
(57)= f (x, y)
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
δ (x
− i∆x, y − j∆y)
(58)= f (x, y) s (x, y)
(59)f
s
(x, y) ⇋
F (u, v) ⊗ S (u, v)
(60)où
S (u, v)
est la transformée de Fourier de la fon tion d'é hantillonnage idéale.f
s
(x, y) ⇋
1
∆x∆y
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
F
u
−
i
∆x
, v
−
j
∆y
(61)Repli de spe tre (aliasing) : théorème de Shannon
g (x, y) =
J
1
2πW
p
x
2
+ y
2
p
x
2
+ y
2
(62)00000000000000000000
11111111111111111111
v
u
1
2∆x
W
1
2∆y
Figure 31: Transformée de Fourier de
g (x, y)
(1/∆x = 2, 5W
et1/∆y = 1, 5W
).Théorème 1. [Théorème de Shannon℄. Pour éviter tout repli de spe tre, il faut
1
∆x
> 2u
max
1
Le but est de re onstruire, à partir de la fon tion é hantillonnée
f
s
(x, y)
, unefon -tion
f
r
(x, y)
qui se rappro he le plus possible def (x, y)
. Idéalement, on devrait avoirf
r
(x, y) = f (x, y)
.En toute généralité, la réponse impulsionnelle du ltre de re onstru tion, également appelé
fon tion d'interpolation, sera noté
r (x, y)
. La fon tion re onstruite est alors obtenue parf
r
(x, y) = f
s
(x, y)
⊗ r (x, y)
(64)=
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
u
v
1
∆x
1
∆y
R (u, v) = ∆x∆yRect
1
∆x
,
∆y
1
(u, v)
(66)f
r
(x, y) = f (x, y) =
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
f (i∆x, j∆y) sinc
x
− i∆x
∆x
sinc
y
− j∆y
∆y
u
v
1
∆x
1
∆y
W
f
r
(x, y) = W ∆x∆y
+∞
X
i=−∞
+∞
X
j=−∞
f (i∆x, j∆y)
J
1
2πW
q
(x
− i∆x)
2
+ (y
− j∆y)
2
q
(x
− i∆x)
2
+ (y
− j∆y)
2
Pour obtenir une re onstru tion exa te de
f (x, y)
, la fenêtre fréquentielle de ltrage doitvérier les onditions suivantes :
1. elle doit être symétrique par rapport à l'origine an d'assurer que l'image re onstruite
soit réelle,
2. elle doit ontenir entièrement la réplique du spe tre de
f (x, y)
située à l'origine et3. elle ne peut interse ter les autres répliques du spe tre de
f (x, y)
.Autres interpolateurs B C D A (a) A X' X (b) B C D
bili- Introdu tion et généralités
Transformations unitaires
Filtrage linéaire et dé onvolution
Morphologie mathématique
Filtrage non-linéaire
Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours
Texture Rehaussement et restauration Étude de la forme Segmentation d'images Codage d'images Appli ations industrielles
Notion de ltre idéal
Catégories de ltres idéaux
Passage d'une image dans un système linéaire
Filtres passe-bas
Filtres passe-haut
Filtres de Gabor
On dira d'un ltre qu'il est idéal s'il multiplie tous les oe ients transformés par
0
ou par1
.Dénition 10. [Filtre idéal℄ Un ltre est idéal si sa transmittan e est telle que
∀(u, v), H(u, v) = 0
ou1
(68)La notion de ltre idéal est intimement liée à elle d'idempoten e. L'idempoten e doit être
omprise i i telle que, pour toute image
f (x, y)
,Dans le as d'un signal unidimensionnel Passe-bande Passe-haut Passe-bas 1
u
kH(u)k
les ltres passe-bas
H (u, v) =
1
√
u
2
+ v
2
≤ R
0
0
√
u
2
+ v
2
> R
0
(70)(a) Image originale (b) Image ltrée
Figure 34: Filtrage passe-bas d'une image.
les ltres passe-haut
H (u, v) =
1
√
u
2
+ v
2
≥ R
0
0
√
u
2
+ v
2
< R
0
(71)ltre passe-haut.
H (u, v) =
1
R
0
≤
√
u
2
+ v
2
≤ R
1
0
sinon (72)u
v
H(u, v)
Un ltre linéaire bidimensionnel est ara térisé par sa réponse impulsionnelle
h (x, y)
.L'image de sortie
g (x, y)
résulte du produit de onvolution de la réponse impulsionnelle dultre par l'image d'entrée
f (x, y)
g (x, y) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f (α, β) h (x
− α, y − β) dαdβ
(73)qui est en ore noté
g (x, y) = (f
⊗ h) (x, y)
(74)Par la propriété de onvolution de la transformée de Fourier, nous pouvons en ore é rire
Un exemple ommun de ltre passe-bas est le ltre passe-bas de Butterworth d'ordre
n
déni par la fon tion de transfert suivanteH (u, v) =
1
1 +
√
u
2
+v
2
R
0
2n
(75)u
v
H(u, v)
H (u, v) =
1
1 +
R
0
√
u
2
+v
2
2n
(76)Dénition
Les ltres de Gabor ou ltres gaussiens onstituent une lasse parti ulière des ltres
linéaires; e sont des ltres orientés. Ces ltres ont une réponse impulsionnelle de la forme :
h(x, y) = g(x
′
, y
′
)e
2πj(U x+V y)
(77)
(x
′
, y
′
) = (x cos φ + y sin φ
− x sin φ + y cos φ)
, 'est-à-dire les oordonnées
(x, y)
tournées d'un angle
φ
, et
g(x
′
, y
′
) =
1
2πσ
2
e
(−(x
′
/λ)
2
+y
′2
)/2σ
2
.
La transformée de Fourier orrespondante est :
H(u, v) = e
−2π
2
σ
2
[(u
′
−U
′
)
2
λ
2
+(v
′
−V
′
)
2
]
(78)(u
′
, v
′
) = (u cos φ + v sin φ
− u sin φ + v cos φ)
x
y
f (x, y)
Figure 42: Représentation de la partie réelle d'un membre de la famille des fon tions de
Gabor
(a = b, x
0
= y
0
= 0, u
0
= 0, v
0
= 2)
.u
v
F(u, v)
Figure 45: Une image originale et l'image ltré ave un ltre orienté à
135
o
Il y prin ipalement
4
moyens d'implémenter un ltre gaussien :1. Convolution ave un nombre restreint du noyau gaussien. Il est d'usage de hoisir
N
0
=
3σ
ou5σ
g
1D
[n] =
(
1
√
2σ
e
−(n
2
/2σ
2
)
|n| ≤ N
0
0
|n| > N
0
(79)2. Convolution itérative ave un noyau uniforme
g
1D
[n]
≃ u[n] ⊗ u[n] ⊗ u[n]
(80)ave
u[n] =
1
(2N
0
+1)
|n| ≤ N
0
0
|n| > N
0
(81)C'est une appli ation de la loi des grands nombres onnues en statistique.
Modèle
Soit
y(n)
, le signal observé.y(n)
s'obtient par `fenêtrage' ou `apodisation' de la fon tionf (n)
à extrapoler :y(n) = w(n)f (n)
n = 0, 1, . . . , N
− 1
(82) avew(n) =
1
pourn
∈ D
w
0
sin
6∈ D
w
(83)Le problème d'extrapolation se ramène à la onvolution de la transformée de
f (n)
par ellede
w(n)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
10
20
30
40
50
60
Spectre de depart Y(k)
Spectre ideal F(k)
0
50
100
150
200
250
300
0
20
40
60
80
100
120
Signal de depart y(n)
Signal ideal f(n)
Fréquen e Position
Amplitude de la transformée de Fourier
Le prin ipe est simple : par le hoix d'un opérateur
O
, on onstruit une suite de valeurs. . . , f
i
(n), f
i+1
(n), . . .
obtenues parf
i+1
(n) = O[f
i
(n)]
(85) Étude sto hastique :f (0), . . . , f (N
− 1) ⇒ bΓ
f
(τ )
bγ
f
(ω)
Étude déterministe :Γ
f f
(0)
, ...,Γ
f f
(M
− 1) ⇒ bγ
f
(ω)
j
3
Signaux aléatoires Analyse spe trale Analyse déterministe Signaux déterministes :f (0), . . . , f (N
− 1) ⇒ F(k)
Analyse orrélatoires
3
s
s
s
i+1
(n)
⊗ f
i
(n)
6
Appliquerw(n)
6
f
i
(n)
Transformation-
F
i
(k)
?
AdapterS
i
(k)
?
S
i+1
(k)
F
i
(k)
Transformation−1
0
10
20
30
40
50
60
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Fréquen e ItérationFigure 50: Évolution du spe tre d'un signal unidimensionnel durant le pro essus de
Introdu tion et généralités
Transformations unitaires
Filtrage linéaire et dé onvolution
Morphologie mathématique
Filtrage non-linéaire
Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours
Texture Rehaussement et restauration Étude de la forme Segmentation d'images Codage d'images Appli ations industrielles
Rappels sur les notions d'ensembles
Transformations morphologiques élémentaires
Transformations de voisinage
Géodésie et re onstru tion
Les ensembles seront notés par des majus ules
A, B, . . .
et les éléments qu'ils omprennentpar des minus ules
a, b, . . .
Égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :
X = Y
⇔ (x ∈ X ⇒
Les ensembles seront notés par des majus ules
A, B, . . .
et les éléments qu'ils omprennentpar des minus ules
a, b, . . .
Égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :
X = Y
⇔ (x ∈ X ⇒
x
∈ Y
etx
∈ Y ⇒ x ∈ X
). L'ensemble vide sera noté∅
. In lusionX
est un sous-ensemble deY
(X
in lus dansY
) si tous les éléments deX
appartiennentLes ensembles seront notés par des majus ules
A, B, . . .
et les éléments qu'ils omprennentpar des minus ules
a, b, . . .
Égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :
X = Y
⇔ (x ∈ X ⇒
x
∈ Y
etx
∈ Y ⇒ x ∈ X
). L'ensemble vide sera noté∅
. In lusionX
est un sous-ensemble deY
(X
in lus dansY
) si tous les éléments deX
appartiennentà
Y
:X
⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )
.Interse tion
L'interse tion de deux ensembles
X
etY
est l'ensemble des éléments qui appartiennentLes ensembles seront notés par des majus ules
A, B, . . .
et les éléments qu'ils omprennentpar des minus ules
a, b, . . .
Égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :
X = Y
⇔ (x ∈ X ⇒
x
∈ Y
etx
∈ Y ⇒ x ∈ X
). L'ensemble vide sera noté∅
. In lusionX
est un sous-ensemble deY
(X
in lus dansY
) si tous les éléments deX
appartiennentà
Y
:X
⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )
.Interse tion
L'interse tion de deux ensembles
X
etY
est l'ensemble des éléments qui appartiennentaux deux :
X
∩ Y = {x
tel quex
∈ X
etx
∈ Y }
. UnionLa réunion de deux ensembles est onstituée des éléments appartenant à l'un ou à l'autre,
Les ensembles seront notés par des majus ules
A, B, . . .
et les éléments qu'ils omprennentpar des minus ules
a, b, . . .
Égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :
X = Y
⇔ (x ∈ X ⇒
x
∈ Y
etx
∈ Y ⇒ x ∈ X
). L'ensemble vide sera noté∅
. In lusionX
est un sous-ensemble deY
(X
in lus dansY
) si tous les éléments deX
appartiennentà
Y
:X
⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )
.Interse tion
L'interse tion de deux ensembles
X
etY
est l'ensemble des éléments qui appartiennentaux deux :
X
∩ Y = {x
tel quex
∈ X
etx
∈ Y }
. UnionLa réunion de deux ensembles est onstituée des éléments appartenant à l'un ou à l'autre,
'est-à-dire
X
∪ Y = {x
tel quex
∈ X
oux
∈ Y }
. Diéren eÉtant donnés
X
etY
, la diéren e deX
parY
, notéeX
− Y
ouX
\Y
est l'ensembleSoit un sous-ensemble
X
d'un ensembleE
servant de référentiel, le omplémentaire deX
dans
E
est le sous-ensemble notéX
c
, fourni parX
c
=
{x
tel quex
∈ E
etx
6∈ X}
.000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
X
Xc
Soit un sous-ensemble
X
d'un ensembleE
servant de référentiel, le omplémentaire deX
dans
E
est le sous-ensemble notéX
c
, fourni parX
c
=
{x
tel quex
∈ E
etx
6∈ X}
.000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
X
Xc
Figure 51: Complémentaire d'un ensemble.
Symétrique
Soit un sous-ensemble
X
d'un ensembleE
servant de référentiel, le omplémentaire deX
dans
E
est le sous-ensemble notéX
c
, fourni parX
c
=
{x
tel quex
∈ E
etx
6∈ X}
.000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
111111
X
Xc
Figure 51: Complémentaire d'un ensemble.
Symétrique
Le symétrique
X
ˇ
de l'ensembleX
est déni parX =
ˇ
{−x|x ∈ X}
.Translaté
Le translaté de
X
parb
vaut{z ∈ E|z = x + b, x ∈ X}
.X
Xb
Érosion
Dénition 11. Érosion morphologique
X
⊖ B = {z ∈ E|B
z
⊆ X}
(86)On montre que la dénition suivante, de forme plus algébrique, fournit le même résultat
Dénition 12.
0000
0000
0000
1111
1111
1111
0
0
1
1
00
11
00
00
11
11
0
0
1
1
000
111
00
00
11
11
00
11
00
11
00
11
X
b1
b2
0
X
X
X
X−b2
X−b2
X−b1
X−b1
X ⊖ B
B
X
X
⊖ B
Figure 53: Érosion de
X
par un disqueB
. L'origine de l'élément stru turant est représentéeDénition 13. En termes ensemblistes, la dilatation est l'union d'ensembles translatés :
X
⊕ B =
[
b∈B
X
b
=
[
x∈X
B
x
=
{x + b|x ∈ X, b ∈ B}
(88)0000
0000
0000
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
1111
1111
00
11
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
00
11
00
11
00
11
00
11
X
X
b1
b2
0
X
Xb2
Xb2
Xb1
Xb1
X ⊕ B
B
X
X
⊕ B
Dualité
Les opérations de dilatation et d'érosion sont deux opérations duales par rapport à la
omplémentation :
X
⊖ ˇ
B = (X
c
⊕ B)
c
(89)X
⊖ B = (X
c
⊕ ˇ
B)
c
(90)Les opérations d'érosion et de dilatation vérient les prin ipes des transformations
morpho-logiques idéales :
1. l'érosion et la dilatation sont invariantes en translation :
X
z
⊖B = (X ⊖B)
z
. De même,X
z
⊕ B = (X ⊕ B)
z
;2. l'érosion et la dilatation sont ompatibles ave les homothéties :
λX
⊖ λB = λ(X ⊖ B)
et
λX
⊕ λB = λ(X ⊕ B)
;3. l'érosion et la dilatation vérient la ondition de onnaissan e lo ale pour
B
borné;4. nous admettrons sans démonstration que l'érosion et la dilatation sont des
Les deux opérations morphologiques jouissent aussi de propriétés algébriques :
l'érosion et la dilatation sont des opérations roissantes : si
X
⊆ Y,
alors(X
⊖ B) ⊆
(Y
⊖ B)
et(X
⊕ B) ⊆ (Y ⊕ B)
;si l'élément stru turant ontient l'origine, l'érosion est une opération anti-extensive alors
Dénition 14. L'opération obtenue par la su ession d'une érosion et d'une dilatation est
l'ouverture morphologique. Elle se note
X
◦ B = (X ⊖ B) ⊕ B
(91)En général, l'ensemble traité dière de l'ensemble de départ : l'ensemble ouvert est plus
régulier et moins ri he en détails que l'ensemble initial. La transformation par ouverture
adou it don les ontours. L'ouverture joue le rle d'un ltrage que nous retrouverons d'une
Dénition 15. En inversant l'ordre des opérations utilisées pour dénir l'ouverture, nous
obtenons une nouvelle opération appelée fermeture; 'est la transformation
X
• B = (X ⊕ B) ⊖ B
(92)Il s'agit bien de l'opération duale de l'ouverture pour la omplémentation, ar
(X
◦ B)
c
=
X
c
• ˇ
B
et(X
• B)
c
= X
c
◦ ˇ
B
B
X
X
◦ B
X
• B
Par onstru tion, l'ouverture et la fermeture respe tent les quatre prin ipes de toute
trans-formation morphologique. Con ernant les propriétés algébriques, itons les propriétés
sui-vantes, qui sont toutes duales pour
X
◦ B
etX
• B
:l'ouverture et la fermeture sont des transformations roissantes. Si
X
⊆ Y
, alors(X
◦ B) ⊆ (Y ◦ B)
et(X
• B) ⊆ (Y • B)
(93)l'ouverture est anti-extensive alors que la fermeture est extensive
X
◦ B ⊆ X, X ⊆ X • B
(94)l'ouverture et la fermeture sont des opérateurs idempotents (ou opérateurs de proje tion),
e qui revient à dire que
L'interprétation la plus ommode de l'opération d'ouverture est illustrée par la propriété
que voi i :
X
◦ B =
[
{B
z
|z ∈ E
etB
z
⊆ X}
(96)Ainsi, l'ouverture d'une gure par un élément stru turant
B
est l'ensemble des pointsLa dilatation est ommutative et asso iative
X
⊕ B = B ⊕ X
(97)(X
⊕ Y ) ⊕ C = X ⊕ (Y ⊕ C)
(98)La dilatation distribue l'union
(
[
j
X
j
)
⊕ B =
[
j
(X
j
⊕ B)
(99)L'érosion est distributive par rapport à l'interse tion
(
\
j
X
j
)
⊖ B =
\
j
(X
j
⊖ B)
(100)z
∈ E
X
◦ B
z
= X
◦ B
(102)X
X
Bord del'image
X
X
X
⊖ B
X
⊖ B
Hypothèse physique 1 Hypothèse physique 2 Une partie des points ajoutés à
X
B
Figure 58: Comparaison de l'érosion de
X
, omposé de deux losanges, pour les deuxAppelant
ν
x
la onguration de voisinage entrée enx
, on dénit une transformation devoisinage par la transformation qui attribue la valeur
1
( 'est la onstru tion de la fon tionindi atri e) à haque point ayant une onguration semblable à un élément de la famille de
ongurations
ν
:X
▽ ν(x) =
1
si∃ν
i
∈ ν
tel queν
x
= ν
i
0
sinon (104)Appelant
ν
x
la onguration de voisinage entrée enx
, on dénit une transformation devoisinage par la transformation qui attribue la valeur
1
( 'est la onstru tion de la fon tionindi atri e) à haque point ayant une onguration semblable à un élément de la famille de
ongurations
ν
:X
▽ ν(x) =
1
si∃ν
i
∈ ν
tel queν
x
= ν
i
0
sinon (104)Il existe aussi une transformation de voisinage appelée transformée par tout ou rien (Hit or
Miss transform en anglais) telle que
X
⇑ (B, C) = {x|B
x
⊆ X, C
x
⊆ X
c
}
(105)L'amin issement d'un ensemble
X
onsiste à lui enlever des points qui orrespondent à uneonguration donnée.
Par dualité, l'épaississement d'un ensemble revient à lui ajouter des points orrespondant
à une onguration donnée. Si l'on note par
l'amin issement et par
⊙
l'épaississement,on aura :
X
ν = X − (X ▽ ν)
(106)X
⊙ ν = X ∪ (X ▽ ν)
(107)Propriétés :
Comme l'érosion et la dilatation, l'amin issement et l'épaississement sont deux
transforma-tions duales vis-à-vis de la omplémentation
(X
ν)
c
= X
c
⊙ ν
c
(108)Double in lusion
Dilatation géodésique
Une dilatation goédésique fait toujours intervenir deux images.
Dénition 16. La dilatation géodésique de taille
1
de l'ensembleX
onditionnellement àY
,notée
D
(1)
Y
(X)
, est dénie omme l'interse tion du dilaté de taille1
et deY
:∀X ⊆ Y, D
Y
(1)
(X) = (X
⊕ B) ∩ Y
(110)0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
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1
1
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0
1
1
0
0
1
1
(a) Ensemble à dilater (b) Masque géodésique
( ) Dilatation élémentaire (d) Dilatation géodésique
Dénition 17. La dilatation géodésique de taille
n
de l'ensembleX
onditionnellement àY
, notéeD
(n)
Y
(X)
, est dénie omme une su ession du dilaté géodésique de taille 1∀X ⊆ Y, D
Y
(n)
(X) = D
Y
(1)
(D
Y
(1)
(. . . D
Y
(1)
|
{z
}
n fois
(X)))
(111)Dénition 18. La re onstru tion de
X
onditionnellement àY
est la dilatation géodésiquede
X
jusqu'à idempoten e. Soiti
, la valeur à partir de laquelle l'idempoten e est a quise, lare onstru tion de
X
est dénie parR
Y
(X) = D
Y
(i)
(X)
aveD
(i+1)
Y
(X) = D
(i)
Y
(X)
(112)(a) Parti ules (b) Marquage de parti ules ( ) Parti ules re onstruites
Notion de fon tion
Soit
G
un ensemble de valeurs de niveaux de gris. Dans e qui suit, nous supposerons queG
est un espa e omplété (G = R ∪ {−∞, +∞}
ouG = Z ∪ {−∞, +∞}
). Une image est représentée par une fon tionf :
E → G
, qui à tout point du plan fait orrespondre unevaleur. En pratique, l'image n'est pas dénie sur la totalité du référentiel
E
mais sur unsupport ompa t
D
.Dénition 19. [Ordre partiel entre fon tions℄ Soient deux fon tions
f
etg
. La fon tionf
est inférieure àg
,Dénition 20. [Inmum et supremum℄ Soit une famille de fon tions
f
i
,i
∈ I
. L'inmum(respe tivement le supremum) de ette famille, noté
∧
i∈I
f
i
(resp.∨
i∈I
f
i
) est la grande borne inférieure (resp. petite borne supérieure).Dans le as d'une famille
I
nie, le supremum et l'inmum se ramènent au maximum et auminimum respe tivement. Dans e as,
∀x ∈ E,
(f
∨ g)(x) = max(f(x), g(x))
(f
∧ g)(x) = min(f(x), g(x))
(114)Dénition 21. La translation de la fon tion
f
parb
est la fon tionf
b
dénie parDénition 22. [Idempoten e℄ Une transformation
ψ
est idempotente si, quelle que soit lafon tion traitée, une nouvelle appli ation de l'opérateur n'apporte au un hangement,
'est-à-dire si
∀f, ψ(ψ(f)) = ψ(f)
(116)Dénition 23. [Extensivité℄ Un opérateur est extensif si la fon tion transformée est plus
grande que la fon tion de départ
∀f, f ≤ ψ(f)
(117)Dénition 24. [Anti-extensivité℄ Une transformation de fon tions est anti-extensive si la
fon tion transformée est plus petite que la fon tion de départ
l'ordre établi entre fon tions
∀f, g, f ≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)
(119)Par extension aussi, une transformation
ψ
1
est inférieure à un transformationψ
2
si, pourtoute fon tion
f
,ψ
1
(f )
est inférieur àψ
2
(f )
:Dénition 26. Si
f
etg
sont deux fon tions, on peut dénir l'addition (ou dilatation)f
⊕ g
et la soustra tion (ou érosion)
f
⊖ g
de la manière suivante : pour tout ouple(x, g(x))
, onprend pour
f
⊕ g
l'enveloppe supérieure des translatés du graphe def
par les(x, g(x))
et pourf
⊖ g
, l'enveloppe inférieure des translatés def
par les(
−x, −g(x))
. Algébriquement,f
⊕ g =
_
h∈E
(f (x
− h) + g(h))
(121)f
⊖ g =
^
h∈E
(f (x + h)
− g(h))
(122)En pratique. Soit
B
, le domaine de dénition deg
, Dénition 27.f
⊕ B =
_
b∈B
f
b
(x)
(123)f
⊖ B =
^
b∈B
f
−b
(x)
(124)f
f ⊕ B
f ⊖ B
B
L'ouverture morphologique
f
◦ B
et la fermeture morphologiquef
• B
résultent de la miseen as ade de l'érosion et de la dilatation .
Dénition 28. [Ouverture et fermeture morphologiques℄
f
◦ B = (f ⊖ B) ⊕ B
(125)f
• B = (f ⊕ B) ⊖ B
(126)B
f
f ◦ B
B
f
f • B
L'érosion et la dilatation sont des opérations roissantes
f
≤ g ⇒
f
⊖ B ≤ g ⊖ B
f
⊕ B ≤ g ⊕ B
(127)L'érosion distribue l'inmum et la dilatation distribue le supremum
(f
∧ g) ⊖ B = (f ⊖ B) ∧ (g ⊖ B)
(128)(f
∨ g) ⊕ B = (f ⊕ B) ∨ (g ⊕ B)
(129)L'ouverture et la fermeture sont deux opérations idempotentes
(f
◦ B) ◦ B = f ◦ B
(130)tensive
f
◦ B ≤ f
(132)Dénition 29. La re onstru tion de la fon tion
f
onditionnellement à la fon tiong
estla dilatation géodésique de
f
jusqu'à idempoten e. Soiti
, la valeur à partir de laquellel'idempoten e est a quise, la re onstru tion de
f
est dénie parR
g
(f ) = D
(i)
g
(f )
aveD
(i+1)
Introdu tion et généralités
Transformations unitaires
Filtrage linéaire et dé onvolution
Morphologie mathématique
Filtrage non-linéaire
Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours
Texture Rehaussement et restauration Étude de la forme Segmentation d'images Codage d'images Appli ations industrielles
Filtres de rang
Filtre médian
Filtres morphologiques
Dénition algébrique
Comment onstruire un ltre?
Exemples de ltres
Filtres alternés séquentiels
Soit
k
∈ N
la valeur d'un seuil.Dénition 30. [Filtre de rang℄ L'opérateur ou ltre de rang
k
, notéρ
B,k
(f )(x)
, dénisur l'élément stru turant
B
, est l'opérateurρ
B,k
(f )(x) =
_
{t ∈ G|
X
b∈B
[f (x + b)
≥ t] ≥ k}
(135)L'interprétation la plus simple onsiste à dire que
ρ
B,k
(f )(x)
est lak
-ième valeur de lasérie obtenue en ordonnant toutes les valeurs
f (x + b)
par ordre dé roissant.Les opérateurs de rang sont ordonnés entre eux. Soit
♯(B)
, le ardinal de l'élémentstru -turant
B
,Si
n
est impair, le hoixk =
1
(a) Image originale bruitée
f
(b) Ouverture par un arré5
× 5
(a) Image originale
f
(b) Médian3
× 3
( ) Médian5
× 5
Le ltre médian n'est pas idempotent et sa répétition peut entraîner des phénomènes
d'os- illation (théoriquement sur une image de support inni).
... ... ... ... ... ...
Dénition 31. Par dénition, un ltre algébrique est une opération roissante et
idempo-tente :
ψ
est un ltre alg´
ebrique⇔ ∀f, g
f
≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)
ψ(ψ(f )) = ψ(f )
(137)Dénition 32. Une ouverture algébrique est un opérateur qui possède les propriétés de
roissan e, d'idempoten e et d'anti-extensivité. Formellement,
∀f, g, f ≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)
(138)∀f, ψ(ψ(f)) = ψ(f)
(139)∀f, ψ(f) ≤ f
(140)La fermeture algébrique se dénit en remplaçant la propriété d'anti-extensivité par elle
En ombinant les ltres déjà onnus!
X
B
C
Figure 75: La omposition de deux ouvertures n'est pas for ément une ouverture.
De nouveaux ltres peuvent être obtenus à partir des ouvertures, notées
α
i
et des fermetures,notées
φ
i
, par les deux règles simples que voi i :1. le supremum d'ouvertures est une ouverture :