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Traitement numérique des images (transparents)

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

M. Van Droogenbroe k

(2)

 Examen

 é rit

 à livre ouvert

 questions des années pré édentes disponibles à l'adresse

http://www.ulg.a .be/tele om

 projet obligatoire et dispensatoire de l'examen : à réaliser et à présenter la dernière

semaine de dé embre

 Notes de ours

 disponibles à l'AEES

 version HTML en ligne à l'adresse http://www.ulg.a .be/tele om

 Transparents

(3)

 Introdu tion et généralités

 Transformations unitaires

 Filtrage linéaire et dé onvolution

 Morphologie mathématique

 Filtrage non-linéaire

 Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours

 Texture  Rehaussement et restauration  Étude de la forme  Segmentation d'images  Codage d'images  Appli ations industrielles

(4)

 Éléments de per eption visuelle

 Les ouleurs : représentation, systèmes, luminan e, ...

 Eets visuels

 Notion de transparen e

 Stru ture d'é hantillonnage et trame

 Vidéo  Stru tures de données  Résolution  Appli ations industrielles  Segmentation  Re onnaissan e de ara tères

(5)
(6)

Figure 1: Coupe latérale simpliée de l'÷il.

Bleu

Rouge

Violet

Vert

Jaune

Orange

Jaune − Vert

Bleu − Vert

400

500

600

700

(7)

Z

λ

L(λ) dλ

(1)

Problème ar trop grand nombre de apteurs né essaires à la des ription de la ouleur

(8)

Z

λ

L(λ) dλ

(1)

Problème ar trop grand nombre de apteurs né essaires à la des ription de la ouleur

Solution : utiliser les espa es de ouleurs

X bB

aA

C

Figure 3: Expérien e d'égalisation d'une ouleur

X

au moyen de trois ouleurs primaires

(9)

Trois ouleurs mono hromatiques : rouge

R

(

700 [nm]

), vert

V

(

546, 1 [nm]

) et bleu

B

(

435, 8 [nm]

), 400 500 600 700

λ[nm]

r(λ)

b(λ)

0 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4

v(λ)

Figure 4: Courbes d'égalisation spe trale obtenues par égalisation des ouleurs au moyen

(10)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,5 -0,5 -0,5 -1,0 -1,5 r g X Y Z 480 490 500 530 550 1,0 W 510 520 540 600 580 B G R

(11)

R

B

G

0% 100%

(12)

X

Y

Z

 =

2, 769 1, 7518

1

4, 5907 0, 0601

1, 13

0

0, 0565 5, 5943

R

G

B

(2)

x =

X

X + Y + Z

(3)

y =

Y

X + Y + Z

(4)

z

=

Z

X + Y + Z

(5)

x + y + z

= 1

(6)

(13)

y

x

Figure 6: Diagramme hromatique (appro hé!) déni par les deux variables de

(14)

Vert Jaune Noir Blan Cyan Bleu Rouge Magenta

(15)
(16)
(17)

Variables plus physiques :

 teinte (hue en anglais)

 saturation

 intensité

(18)

 le système de ouleurs soustra tifs : Cyan, Magenta et Yellow (CMY)  les systèmes

Y IQ

,

Y U V

ou

Y C

b

C

r

En pratique Hexadé imal R G B 00 00 00 0 0 0 00 00 FF 0 0 255 00 FF 00 0 255 0 00 FF FF 0 255 255 FF 00 00 255 0 0 FF 00 FF 255 0 255 FF FF 00 255 255 0 FF FF FF 255 255 255

(19)

Utilisation d'une palette de ouleurs, appelée Color Look Up Table (CLUT ou LUT)

Figure 11: Palette de ouleurs utilisée par les logi iels de navigation ainsi que la

(20)
(21)
(22)

I + ∆I

I

∆I

I

∆I

I

I

I

+ ∆

I I

Intensité Intensité

(a)Sans fond

(b) Ave fond

Niveau du fond (

Io

)

I

I0

(23)
(24)

Soient



i(x, y)

la valeur de l'image au point

(x, y)



t(x, y)

la valeur de transparen e (typiquement 1 ou 8 bits)



o(x, y)

la valeur de l'image nale

Le prin ipe onsiste à appliquer la formule suivante :

o(x, y) =

t(x,y)

(25)

 Chaque point est appelé pixel (pour pi ture element).

 Il existe deux sortes de trame suivant la grille d'é hantillonnage adoptée.

Trame arrée Trame hexagonale

4- onnexité 8- onnexité 6- onnexité

(26)

2D. Il s'agit d'une matri e bidimensionnelle de valeurs. Ces valeurs (luminan e,

ou-leurs,

. . .

) sont par exemple issues de l'é hantillonnage d'une image xe.

3D. Cette fois, le jeu de valeurs est déni sur base d'une grille d'é hantillonnage

tri-dimensionnelle. On obtient ette type d'images par s anner par exemple. La plupart

des te hniques de traitement d'image bidimensionnelles se généralisent sans peine à des

images

3D

.

2D+t. Comme

t

représente le temps, les images

2D + t

désignent une animation, une séquen e vidéo ou les images d'un lm.

3D+t. Les images de type

3D +

t sont des images tridimensionnelles animées. Il s'agit par exemple d'images de synthèse

3D

animées.

(27)

On représente une image

2D + t

omme une su ession d'images numériques

2D

.

trame2 trame1

Figure 17: Des ription du format entrela é.

Niveau du blan Niveau du noir Retourligne =

12µs

Aller ligne=

52µs

0 30 100 (luminan e) InformationVidéo Informations de servi e

(28)

YC1C2 RGB R' G' B' YC1C2 RGB R' G' B' ou SECAM Y C1 C2 En odeur omposite omposite Gamma YC1C2 RGB R G B R' G' B' Y C1 C2 Corre teur (a) (b) Gamma YC1C2 RGB R G B R' G' B' Y C1 C2 Corre teur Caméra Caméra Dé odeur

(29)

Paramètres PAL NTSC SÉCAM

Fréquen e de trame

[Hz]

50 59,94 50

Nombre de lignes par trame 625 525 625

Fa teur de orre tion

gamma

γ

2,8 2,2 2,8

Porteuse audio

[M Hz]

QAM 4,5 FM

Porteuse ouleur

[M Hz]

4,43 3,57 4,25 (

+U

) - 4,4 (

−V

)

Te hnique de modulation

des signaux de ouleur

QAM QAM FM

Largeur de bande de la

lu-minan e

[M Hz]

5,0 ou 5,5 4,2 6.0

Largeur de bande des

hro-minan es

[M Hz]

(30)

5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 1/3 1/6 1 1/6 5/6 2/3 1/2 5/6 1/6 2/3 1/3 1/2 1/2 1/6 5/6 1 0 5/6 1/6 2/3 (a)Conversion 50Hzvers 60Hz

(31)

 Stru tures de données informatiques lassiques : matri es (ou tableaux), ve teurs, arbres,

listes, piles,

. . .

 Certaines stru tures de données ont été adaptées et enri hies pour le traitement d'images.

Il s'agit par exemple de la stru ture en arbre quaternaire, appelé quadtree.

00 01 02 03

1

200 201 202 203

21 22 23

3

1

201

202 203

21

22

02

00

01

200

23

3

03

(32)

4 0 Code : 00017222533135754666 7 5 3 1 2 6

(33)
(34)
(35)

Soient une image originale

f

de taille

N

× N

et

f

ˆ

l'image traitée.

Dénition 1. [Mean Square Error℄

MSE

=

1

N

2

N −1

X

j=0

N −1

X

k=0



f (j, k)

− ˆ

f (j, k)



2

(7)

Dénition 2. [Signal to noise ratio℄

SNR

=

P

N −1

j=0

P

N −1

k=0

(f (j, k))

2

P

N −1

j=0

P

N −1

k=0



f (j, k)

− ˆ

f (j, k)



2

(8)

Dénition 3. [Peak signal to noise ratio℄

PSNR

=

N

2

× 255

P

N −1

j=0

P

N −1

k=0



f (j, k)

− ˆ

f (j, k)



2

(9)

(36)
(37)
(38)

Plusieurs étapes :

 Déte tion d'une région d'intérêt (Region Of Interest (ROI))

 Déte tion des ontours

(39)

 Introdu tion et généralités

 Transformations unitaires

 Filtrage linéaire et dé onvolution

 Morphologie mathématique

 Filtrage non-linéaire

 Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours

 Texture  Rehaussement et restauration  Étude de la forme  Segmentation d'images  Codage d'images  Appli ations industrielles

(40)

 Bases théoriques du al ul matri iel

 Les transformées :

 La transformée de Fourier dis rète

 La transformée de Hadamard

 La transformée en osinus dis rète

 La transformée de Fourier

 É hantillonnage

(41)

Considérons l'image é hantillonnée

f

, représentée par une matri e de

M

× N

points ou pixels

f =

f (0, 0)

.

· · ·

f (0, N

− 1)

. . . . .

f (M

− 1, 0) · · · f (M − 1, N − 1)

(10)

Soient

P

et

Q

deux matri es de transformation de dimensions respe tives

M

×M

et

N

×N

:

F = P f Q

(11)

e qui peut également s'é rire

F (u, v) =

M −1

X

m=0

N −1

X

n=0

P (u, m) f (m, n) Q (n, v)

(12)

f = P

−1

F Q

−1

(13)

(42)

Un ve teur à

N

omposantes est al ulé omme une ombinaison linéaire de

N

ve teurs

de base. Les éléments de es ve teurs de base sont tous des puissan es de l'exponentielle

imaginaire

W = e

2πj/N

(14)

es ve teurs (lignes) valent



1, −

W

k

, −

W

2k

, . . . , −

W

(N −1)k



,

k = 0, 1, . . . N

− 1

(15)

On peut dénir la matri e de transformation

Φ

JJ

de dimension

J

× J

:

Φ

JJ

(k, l) =

1

J

exp



−j

J

kl



k, l = 0, 1, . . . , J

− 1

(16)

Dénition 4. La transformée de Fourier dis rète est dénie, étant données les deux

matri es de transformation

P = Φ

M M

et

Q = Φ

(43)

F (u, v) =

1

M N

M −1

X

m=0

N −1

X

n=0

f (m, n) exp

h

−2πj

mu

M

+

nv

N

i

ave

u = 0, 1, . . . , M

− 1

v = 0, 1, . . . , N

− 1

(17)

Matri e de transformation inverse

Φ

−1

JJ

Φ

−1

JJ

(k, l) = exp



j

J

kl



(18)

La transformée de Fourier dis rète inverse vaut

f (m, n) =

M −1

X

u=0

N −1

X

v=0

F (u, v) exp

h

2πj

mu

M

+

nv

N

i

(44)
(45)

Périodi ité

F (u,

−v) = F (u, N − v)

F (

−u, v) = F (M − u, v)

(20)

f (

−m, n) = f (M − m, n)

f (m,

−n) = f (m, N − n)

(21)

Plus généralement,

F (aM + u, bN + v) = F (u, v)

f (aM + m, bN + n) = f (m, n)

(22)

F(0,M-1)=F(0,-1)

F(0,0)

F(M-1,0)=F(-1,0) F(M-1,M-1)=F(-1,-1) F(0,0)

(46)

Figure 25: Visualisation du module du spe tre de l'image Lena avant et après entrage de

(47)

La matri e d'Hadamard du se ond ordre est

H

22

=



1

1

1

−1



(23)

La matri e de Hadamard d'ordre

2

k

peut être é rite sous la forme

H

2J2J

=



H

JJ

H

JJ

H

JJ

−H

JJ



(24)

L'inverse d'une matri e de Hadamard est donnée par

H

−1

JJ

=

1

J

H

JJ

(25)

Dénition 5. La transformée de Hadamard et son inverse sont alors dénies par

F = H

M M

f H

N N

f =

1

(48)

Soit la matri e de transformation

C

N N

(k, l)

dénie par

C

N N

(k, l) =

1

N

l = 0

q

2

N

cos

h

(2k+1)lπ

2N

i

sinon

(27)

Dénition 6. La transformée en osinus dis rète (DCT) et son inverse sont données par

F = C

N N

f C

T

N N

f = C

T

N N

F C

N N

(28)

Autre forme pour la transformée en osinus dis rète

F (u, v) =

2c (u) c (v)

N

N −1

X

m=0

N −1

X

n=0

f (m, n) cos



2m + 1

2N



cos



2n + 1

2N



(29)

(49)

Dénition 7. La transformée de Fourier d'une image

f (x, y)

est dénie par

F (u, v) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (x, y) e

−2πj(xu+yv)

dxdy

Transformée inverse

f (x, y) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

F (u, v) e

2πj(ux+vy)

dudv

(30)

Interprétation : dé omposition de l'image en omposantes fréquentielles dénie sur

[

−∞, +∞] × [−∞, +∞]

.

f (x, y)

et

F (u, v)

forment une paire de transformée de Fou-rier représentée par

f (x, y) ⇋

F (u, v)

En général,

F (u, v)

est une fon tion de

u

et de

v

à valeurs omplexes. Nous pouvons don

l'exprimer sous la forme

(50)

Cas parti ulier :

f (x, y)

est une fon tion à valeurs réelles

F (−u, −v) = F

(u, v)

(31)

Dès lors,

kF (−u, −v)k = kF (u, v)k

(32)

θ (

−u, −v) = −θ (u, v)

(33)

On peut en déduire deux propriétés importantes d'une image à valeurs réelles :

1. le spe tre fréquentiel de l'image est symétrique par rapport à l'origine du système d'axes

u

− v

. C'est-à-dire que la onnaissan e d'un demi-plan sut.

2. le spe tre de phase de l'image est anti-symétrique par rapport à l'origine du système

(51)

1. Séparabilité

En permutant l'ordre d'intégration

F (u, v) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (x, y) e

−2πjxu

dx



e

−2πjyv

dy

(34) 2. Linéarité

Soient

f

1

(x, y) ⇋

F

1

(u, v)

et

f

2

(x, y) ⇋

F

2

(u, v)

. Alors, pour toutes onstantes

c

1

et

c

2

,

c

1

f

1

(x, y) + c

2

f

2

(x, y) ⇋ c

1

F

1

(u, v) + c

2

F

2

(u, v)

(35) 3. Homothétie Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

, alors

f (ax, by) ⇋

1

|ab|

F

u

a

,

v

b



(36)

(52)

Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

, alors

f (x

− x

0

, y

− y

0

) ⇋

F (u, v) e

−2πj(x

0

u+y

0

v)

2. Translation fréquentielle Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

, alors

f (x, y) e

j2π(u

0

x+v

0

y)

F (u − u

0

, v

− v

0

)

(37) 3. Aires Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

, alors

F (0, 0) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (x, y) dxdy

(38)

(53)

Le produit de onvolution de deux fon tions

f (x, y)

et

g (x, y)

est déni par

(f

⊗ g) (x, y) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (α, β) g (x

− α, y − β) dαdβ

(39)

Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

et

g (x, y) ⇋

G (u, v)

, alors

(f

⊗ g) (x, y) ⇋ F (u, v) G (u, v)

(40)

La onvolution de deux images dans le domaine spatial est transformée dans le domaine

fréquentiel en la multipli ation de leur transformée de Fourier respe tive.

2. Multipli ation

Si

f (x, y) ⇋

F (u, v)

et

g (x, y) ⇋

G (u, v)

, alors

(54)

Considérons l'image

f (x, y)

dénie par

f (x, y) = ARect

a,b

(x, y)

(42) où

Rect

a,b

(x, y) =



1

|x| <

a

2

,

|y| <

2

b

0

ailleurs (43)

F (u, v) =

Z

+a/2

−a/2

dx

Z

+b/2

−b/2

dyAe

−2πj(xu+yv)

(44)

= Aab



sin (πau)

πau

 

sin (πbv)

πbv



(45)

(55)

x

y

f (x, y)

Figure 26: Illustration de la fon tion Re tangle.

u

v

kF(u, v)k

(56)

Considérons l'image

f (x, y)

dénie par

f (x, y) = ADisque

R

(x, y)

(46) où

Disque

R

(x, y) =



1

p

x

2

+ y

2

< R

0

ailleurs (47)

F (u, v) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (x, y) e

−2πj(xu+yv)

dxdy

(48)

=

Z

R

0

rdr

Z

0

Ae

−2πjr(u cos θ+v sin θ)

(49)

J

1

2πR

(57)

f (x, y)

x

y

Figure 28: Illustration de la fon tion Disque.

u

v

kF(u, v)k

(58)

Dénition 8. La fon tion delta ou impulsion de Dira bidimensionnelle, notée

δ (x, y)

, est dénie par

δ (x, y) = 0

∀ (x, y) 6= (0, 0)

(51) et

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

δ (x, y) dxdy = 1

(52) Propriétés

f (x, y)

⊗ δ (x, y) = f (x, y)

(53)

δ (x, y) ⇋ 1

(54)

(59)

La fon tion d'é hantillonnage idéale est dénie par

s (x, y) =

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

δ (x

− i∆x, y − j∆y)

(55)

x

y

S(x, y)

∆y

∆x

Figure 30: Représentation de la fon tion

s (x, y)

.

Dénition 9. Nous dénissons ainsi la fon tion é hantillonnée idéale

f

s

(x, y) =

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

(60)

Lien entre les transformées de Fourier de

f

s

(x, y)

et

f (x, y)

f

s

(x, y) =

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

f (x, y) δ (x

− i∆x, y − j∆y)

(57)

= f (x, y)

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

δ (x

− i∆x, y − j∆y)

(58)

= f (x, y) s (x, y)

(59)

f

s

(x, y) ⇋

F (u, v) ⊗ S (u, v)

(60)

S (u, v)

est la transformée de Fourier de la fon tion d'é hantillonnage idéale.

f

s

(x, y) ⇋

1

∆x∆y

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

F



u

i

∆x

, v

j

∆y



(61)

(61)

Repli de spe tre (aliasing) : théorème de Shannon

g (x, y) =

J

1



2πW

p

x

2

+ y

2



p

x

2

+ y

2

(62)

00000000000000000000

11111111111111111111

v

u

1

2∆x

W

1

2∆y

Figure 31: Transformée de Fourier de

g (x, y)

(

1/∆x = 2, 5W

et

1/∆y = 1, 5W

).

Théorème 1. [Théorème de Shannon℄. Pour éviter tout repli de spe tre, il faut

1

∆x

> 2u

max

1

(62)

Le but est de re onstruire, à partir de la fon tion é hantillonnée

f

s

(x, y)

, une

fon -tion

f

r

(x, y)

qui se rappro he le plus possible de

f (x, y)

. Idéalement, on devrait avoir

f

r

(x, y) = f (x, y)

.

En toute généralité, la réponse impulsionnelle du ltre de re onstru tion, également appelé

fon tion d'interpolation, sera noté

r (x, y)

. La fon tion re onstruite est alors obtenue par

f

r

(x, y) = f

s

(x, y)

⊗ r (x, y)

(64)

=

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

(63)

u

v

1

∆x

1

∆y

R (u, v) = ∆x∆yRect

1

∆x

,

∆y

1

(u, v)

(66)

f

r

(x, y) = f (x, y) =

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

f (i∆x, j∆y) sinc



x

− i∆x

∆x



sinc



y

− j∆y

∆y



(64)

u

v

1

∆x

1

∆y

W

(65)

f

r

(x, y) = W ∆x∆y

+∞

X

i=−∞

+∞

X

j=−∞

f (i∆x, j∆y)

J

1



2πW

q

(x

− i∆x)

2

+ (y

− j∆y)

2



q

(x

− i∆x)

2

+ (y

− j∆y)

2

(66)

Pour obtenir une re onstru tion exa te de

f (x, y)

, la fenêtre fréquentielle de ltrage doit

vérier les onditions suivantes :

1. elle doit être symétrique par rapport à l'origine an d'assurer que l'image re onstruite

soit réelle,

2. elle doit ontenir entièrement la réplique du spe tre de

f (x, y)

située à l'origine et

3. elle ne peut interse ter les autres répliques du spe tre de

f (x, y)

.

Autres interpolateurs B C D A (a) A X' X (b) B C D

(67)

bili- Introdu tion et généralités

 Transformations unitaires

 Filtrage linéaire et dé onvolution

 Morphologie mathématique

 Filtrage non-linéaire

 Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours

 Texture  Rehaussement et restauration  Étude de la forme  Segmentation d'images  Codage d'images  Appli ations industrielles

(68)

 Notion de ltre idéal

 Catégories de ltres idéaux

 Passage d'une image dans un système linéaire

 Filtres passe-bas

 Filtres passe-haut

 Filtres de Gabor

(69)

On dira d'un ltre qu'il est idéal s'il multiplie tous les oe ients transformés par

0

ou par

1

.

Dénition 10. [Filtre idéal℄ Un ltre est idéal si sa transmittan e est telle que

∀(u, v), H(u, v) = 0

ou

1

(68)

La notion de ltre idéal est intimement liée à elle d'idempoten e. L'idempoten e doit être

omprise i i telle que, pour toute image

f (x, y)

,

(70)

Dans le as d'un signal unidimensionnel Passe-bande Passe-haut Passe-bas 1

u

kH(u)k

(71)

 les ltres passe-bas

H (u, v) =



1

u

2

+ v

2

≤ R

0

0

u

2

+ v

2

> R

0

(70)

(a) Image originale (b) Image ltrée

Figure 34: Filtrage passe-bas d'une image.

 les ltres passe-haut

H (u, v) =



1

u

2

+ v

2

≥ R

0

0

u

2

+ v

2

< R

0

(71)

(72)

ltre passe-haut.

H (u, v) =



1

R

0

u

2

+ v

2

≤ R

1

0

sinon (72)

u

v

H(u, v)

(73)
(74)

Un ltre linéaire bidimensionnel est ara térisé par sa réponse impulsionnelle

h (x, y)

.

L'image de sortie

g (x, y)

résulte du produit de onvolution de la réponse impulsionnelle du

ltre par l'image d'entrée

f (x, y)

g (x, y) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

f (α, β) h (x

− α, y − β) dαdβ

(73)

qui est en ore noté

g (x, y) = (f

⊗ h) (x, y)

(74)

Par la propriété de onvolution de la transformée de Fourier, nous pouvons en ore é rire

(75)

Un exemple ommun de ltre passe-bas est le ltre passe-bas de Butterworth d'ordre

n

déni par la fon tion de transfert suivante

H (u, v) =

1

1 +

√

u

2

+v

2

R

0



2n

(75)

u

v

H(u, v)

(76)
(77)
(78)

H (u, v) =

1

1 +



R

0

u

2

+v

2



2n

(76)

(79)
(80)

Dénition

Les ltres de Gabor ou ltres gaussiens onstituent une lasse parti ulière des ltres

linéaires; e sont des ltres orientés. Ces ltres ont une réponse impulsionnelle de la forme :

h(x, y) = g(x

, y

)e

2πj(U x+V y)

(77)



(x

, y

) = (x cos φ + y sin φ

− x sin φ + y cos φ)

, 'est-à-dire les oordonnées

(x, y)

tournées d'un angle

φ

, et



g(x

, y

) =

1

2πσ

2

e

(−(x

/λ)

2

+y

′2

)/2σ

2

.

La transformée de Fourier orrespondante est :

H(u, v) = e

−2π

2

σ

2

[(u

−U

)

2

λ

2

+(v

−V

)

2

]

(78)

(u

, v

) = (u cos φ + v sin φ

− u sin φ + v cos φ)

(81)

x

y

f (x, y)

Figure 42: Représentation de la partie réelle d'un membre de la famille des fon tions de

Gabor

(a = b, x

0

= y

0

= 0, u

0

= 0, v

0

= 2)

.

u

v

F(u, v)

(82)
(83)

Figure 45: Une image originale et l'image ltré ave un ltre orienté à

135

o

(84)

Il y prin ipalement

4

moyens d'implémenter un ltre gaussien :

1. Convolution ave un nombre restreint du noyau gaussien. Il est d'usage de hoisir

N

0

=

ou

g

1D

[n] =

(

1

e

−(n

2

/2σ

2

)

|n| ≤ N

0

0

|n| > N

0

(79)

2. Convolution itérative ave un noyau uniforme

g

1D

[n]

≃ u[n] ⊗ u[n] ⊗ u[n]

(80)

ave

u[n] =



1

(2N

0

+1)

|n| ≤ N

0

0

|n| > N

0

(81)

C'est une appli ation de la loi des grands nombres onnues en statistique.

(85)

Modèle

Soit

y(n)

, le signal observé.

y(n)

s'obtient par `fenêtrage' ou `apodisation' de la fon tion

f (n)

à extrapoler :

y(n) = w(n)f (n)

n = 0, 1, . . . , N

− 1

(82) ave

w(n) =



1

pour

n

∈ D

w

0

si

n

6∈ D

w

(83)

Le problème d'extrapolation se ramène à la onvolution de la transformée de

f (n)

par elle

de

w(n)

(86)
(87)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

10

20

30

40

50

60

Spectre de depart Y(k)

Spectre ideal F(k)

0

50

100

150

200

250

300

0

20

40

60

80

100

120

Signal de depart y(n)

Signal ideal f(n)

Fréquen e Position

Amplitude de la transformée de Fourier

(88)

Le prin ipe est simple : par le hoix d'un opérateur

O

, on onstruit une suite de valeurs

. . . , f

i

(n), f

i+1

(n), . . .

obtenues par

f

i+1

(n) = O[f

i

(n)]

(85) Étude sto hastique :

f (0), . . . , f (N

− 1) ⇒ bΓ

f

(τ )

f

(ω)

Étude déterministe :

Γ

f f

(0)

, ...,

Γ

f f

(M

− 1) ⇒ bγ

f

(ω)

j

3

Signaux aléatoires Analyse spe trale Analyse déterministe Signaux déterministes :

f (0), . . . , f (N

− 1) ⇒ F(k)

Analyse orrélatoire

s

3

s

s

(89)

s

i+1

(n)

⊗ f

i

(n)

6

Appliquer

w(n)

6

f

i

(n)

Transformation

-

F

i

(k)

?

Adapter

S

i

(k)

?

S

i+1

(k)

F

i

(k)



Transformation

−1

(90)

0

10

20

30

40

50

60

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Fréquen e Itération

Figure 50: Évolution du spe tre d'un signal unidimensionnel durant le pro essus de

(91)
(92)

 Introdu tion et généralités

 Transformations unitaires

 Filtrage linéaire et dé onvolution

 Morphologie mathématique

 Filtrage non-linéaire

 Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours

 Texture  Rehaussement et restauration  Étude de la forme  Segmentation d'images  Codage d'images  Appli ations industrielles

(93)

 Rappels sur les notions d'ensembles

 Transformations morphologiques élémentaires

 Transformations de voisinage

 Géodésie et re onstru tion

(94)

Les ensembles seront notés par des majus ules

A, B, . . .

et les éléments qu'ils omprennent

par des minus ules

a, b, . . .

 Égalité d'ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :

X = Y

⇔ (x ∈ X ⇒

(95)

Les ensembles seront notés par des majus ules

A, B, . . .

et les éléments qu'ils omprennent

par des minus ules

a, b, . . .

 Égalité d'ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :

X = Y

⇔ (x ∈ X ⇒

x

∈ Y

et

x

∈ Y ⇒ x ∈ X

). L'ensemble vide sera noté

.  In lusion

X

est un sous-ensemble de

Y

(

X

in lus dans

Y

) si tous les éléments de

X

appartiennent

(96)

Les ensembles seront notés par des majus ules

A, B, . . .

et les éléments qu'ils omprennent

par des minus ules

a, b, . . .

 Égalité d'ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :

X = Y

⇔ (x ∈ X ⇒

x

∈ Y

et

x

∈ Y ⇒ x ∈ X

). L'ensemble vide sera noté

.  In lusion

X

est un sous-ensemble de

Y

(

X

in lus dans

Y

) si tous les éléments de

X

appartiennent

à

Y

:

X

⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )

.

 Interse tion

L'interse tion de deux ensembles

X

et

Y

est l'ensemble des éléments qui appartiennent

(97)

Les ensembles seront notés par des majus ules

A, B, . . .

et les éléments qu'ils omprennent

par des minus ules

a, b, . . .

 Égalité d'ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :

X = Y

⇔ (x ∈ X ⇒

x

∈ Y

et

x

∈ Y ⇒ x ∈ X

). L'ensemble vide sera noté

.  In lusion

X

est un sous-ensemble de

Y

(

X

in lus dans

Y

) si tous les éléments de

X

appartiennent

à

Y

:

X

⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )

.

 Interse tion

L'interse tion de deux ensembles

X

et

Y

est l'ensemble des éléments qui appartiennent

aux deux :

X

∩ Y = {x

tel que

x

∈ X

et

x

∈ Y }

.  Union

La réunion de deux ensembles est onstituée des éléments appartenant à l'un ou à l'autre,

(98)

Les ensembles seront notés par des majus ules

A, B, . . .

et les éléments qu'ils omprennent

par des minus ules

a, b, . . .

 Égalité d'ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils sont formés des mêmes éléments :

X = Y

⇔ (x ∈ X ⇒

x

∈ Y

et

x

∈ Y ⇒ x ∈ X

). L'ensemble vide sera noté

.  In lusion

X

est un sous-ensemble de

Y

(

X

in lus dans

Y

) si tous les éléments de

X

appartiennent

à

Y

:

X

⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )

.

 Interse tion

L'interse tion de deux ensembles

X

et

Y

est l'ensemble des éléments qui appartiennent

aux deux :

X

∩ Y = {x

tel que

x

∈ X

et

x

∈ Y }

.  Union

La réunion de deux ensembles est onstituée des éléments appartenant à l'un ou à l'autre,

'est-à-dire

X

∪ Y = {x

tel que

x

∈ X

ou

x

∈ Y }

.  Diéren e

Étant donnés

X

et

Y

, la diéren e de

X

par

Y

, notée

X

− Y

ou

X

\Y

est l'ensemble

(99)

Soit un sous-ensemble

X

d'un ensemble

E

servant de référentiel, le omplémentaire de

X

dans

E

est le sous-ensemble noté

X

c

, fourni par

X

c

=

{x

tel que

x

∈ E

et

x

6∈ X}

.

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

X

Xc

(100)

Soit un sous-ensemble

X

d'un ensemble

E

servant de référentiel, le omplémentaire de

X

dans

E

est le sous-ensemble noté

X

c

, fourni par

X

c

=

{x

tel que

x

∈ E

et

x

6∈ X}

.

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

X

Xc

Figure 51: Complémentaire d'un ensemble.

 Symétrique

(101)

Soit un sous-ensemble

X

d'un ensemble

E

servant de référentiel, le omplémentaire de

X

dans

E

est le sous-ensemble noté

X

c

, fourni par

X

c

=

{x

tel que

x

∈ E

et

x

6∈ X}

.

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

111111111

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

111111

X

Xc

Figure 51: Complémentaire d'un ensemble.

 Symétrique

Le symétrique

X

ˇ

de l'ensemble

X

est déni par

X =

ˇ

{−x|x ∈ X}

.

 Translaté

Le translaté de

X

par

b

vaut

{z ∈ E|z = x + b, x ∈ X}

.

X

Xb

(102)

Érosion

Dénition 11. Érosion morphologique

X

⊖ B = {z ∈ E|B

z

⊆ X}

(86)

On montre que la dénition suivante, de forme plus algébrique, fournit le même résultat

Dénition 12.

(103)

0000

0000

0000

1111

1111

1111

0

0

1

1

00

11

00

00

11

11

0

0

1

1

000

111

00

00

11

11

00

11

00

11

00

11

X

b1

b2

0

X

X

X

X−b2

X−b2

X−b1

X−b1

X ⊖ B

(104)

B

X

X

⊖ B

Figure 53: Érosion de

X

par un disque

B

. L'origine de l'élément stru turant est représentée

(105)

Dénition 13. En termes ensemblistes, la dilatation est l'union d'ensembles translatés :

X

⊕ B =

[

b∈B

X

b

=

[

x∈X

B

x

=

{x + b|x ∈ X, b ∈ B}

(88)

0000

0000

0000

0000

0000

0000

1111

1111

1111

1111

1111

1111

00

11

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

00

11

00

11

00

11

00

11

X

X

b1

b2

0

X

Xb2

Xb2

Xb1

Xb1

X ⊕ B

(106)

B

X

X

⊕ B

(107)

Dualité

Les opérations de dilatation et d'érosion sont deux opérations duales par rapport à la

omplémentation :

X

⊖ ˇ

B = (X

c

⊕ B)

c

(89)

X

⊖ B = (X

c

⊕ ˇ

B)

c

(90)

Les opérations d'érosion et de dilatation vérient les prin ipes des transformations

morpho-logiques idéales :

1. l'érosion et la dilatation sont invariantes en translation :

X

z

⊖B = (X ⊖B)

z

. De même,

X

z

⊕ B = (X ⊕ B)

z

;

2. l'érosion et la dilatation sont ompatibles ave les homothéties :

λX

⊖ λB = λ(X ⊖ B)

et

λX

⊕ λB = λ(X ⊕ B)

;

3. l'érosion et la dilatation vérient la ondition de onnaissan e lo ale pour

B

borné;

4. nous admettrons sans démonstration que l'érosion et la dilatation sont des

(108)

Les deux opérations morphologiques jouissent aussi de propriétés algébriques :

 l'érosion et la dilatation sont des opérations roissantes : si

X

⊆ Y,

alors

(X

⊖ B) ⊆

(Y

⊖ B)

et

(X

⊕ B) ⊆ (Y ⊕ B)

;

 si l'élément stru turant ontient l'origine, l'érosion est une opération anti-extensive alors

(109)

Dénition 14. L'opération obtenue par la su ession d'une érosion et d'une dilatation est

l'ouverture morphologique. Elle se note

X

◦ B = (X ⊖ B) ⊕ B

(91)

En général, l'ensemble traité dière de l'ensemble de départ : l'ensemble ouvert est plus

régulier et moins ri he en détails que l'ensemble initial. La transformation par ouverture

adou it don les ontours. L'ouverture joue le rle d'un ltrage que nous retrouverons d'une

(110)

Dénition 15. En inversant l'ordre des opérations utilisées pour dénir l'ouverture, nous

obtenons une nouvelle opération appelée fermeture; 'est la transformation

X

• B = (X ⊕ B) ⊖ B

(92)

Il s'agit bien de l'opération duale de l'ouverture pour la omplémentation, ar

(X

◦ B)

c

=

X

c

• ˇ

B

et

(X

• B)

c

= X

c

◦ ˇ

B

(111)

B

X

X

◦ B

X

• B

(112)

Par onstru tion, l'ouverture et la fermeture respe tent les quatre prin ipes de toute

trans-formation morphologique. Con ernant les propriétés algébriques, itons les propriétés

sui-vantes, qui sont toutes duales pour

X

◦ B

et

X

• B

:

 l'ouverture et la fermeture sont des transformations roissantes. Si

X

⊆ Y

, alors

(X

◦ B) ⊆ (Y ◦ B)

et

(X

• B) ⊆ (Y • B)

(93)

 l'ouverture est anti-extensive alors que la fermeture est extensive

X

◦ B ⊆ X, X ⊆ X • B

(94)

 l'ouverture et la fermeture sont des opérateurs idempotents (ou opérateurs de proje tion),

e qui revient à dire que

(113)

L'interprétation la plus ommode de l'opération d'ouverture est illustrée par la propriété

que voi i :

X

◦ B =

[

{B

z

|z ∈ E

et

B

z

⊆ X}

(96)

Ainsi, l'ouverture d'une gure par un élément stru turant

B

est l'ensemble des points

(114)

 La dilatation est ommutative et asso iative

X

⊕ B = B ⊕ X

(97)

(X

⊕ Y ) ⊕ C = X ⊕ (Y ⊕ C)

(98)

 La dilatation distribue l'union

(

[

j

X

j

)

⊕ B =

[

j

(X

j

⊕ B)

(99)

 L'érosion est distributive par rapport à l'interse tion

(

\

j

X

j

)

⊖ B =

\

j

(X

j

⊖ B)

(100)

(115)

z

∈ E

X

◦ B

z

= X

◦ B

(102)

(116)

X

X

Bord de

l'image

(117)

X

X

X

⊖ B

X

⊖ B

Hypothèse physique 1 Hypothèse physique 2 Une partie des points ajoutés à

X

B

Figure 58: Comparaison de l'érosion de

X

, omposé de deux losanges, pour les deux

(118)

Appelant

ν

x

la onguration de voisinage entrée en

x

, on dénit une transformation de

voisinage par la transformation qui attribue la valeur

1

( 'est la onstru tion de la fon tion

indi atri e) à haque point ayant une onguration semblable à un élément de la famille de

ongurations

ν

:

X

▽ ν(x) =



1

si

∃ν

i

∈ ν

tel que

ν

x

= ν

i

0

sinon (104)

(119)

Appelant

ν

x

la onguration de voisinage entrée en

x

, on dénit une transformation de

voisinage par la transformation qui attribue la valeur

1

( 'est la onstru tion de la fon tion

indi atri e) à haque point ayant une onguration semblable à un élément de la famille de

ongurations

ν

:

X

▽ ν(x) =



1

si

∃ν

i

∈ ν

tel que

ν

x

= ν

i

0

sinon (104)

Il existe aussi une transformation de voisinage appelée transformée par tout ou rien (Hit or

Miss transform en anglais) telle que

X

⇑ (B, C) = {x|B

x

⊆ X, C

x

⊆ X

c

}

(105)

(120)

L'amin issement d'un ensemble

X

onsiste à lui enlever des points qui orrespondent à une

onguration donnée.

Par dualité, l'épaississement d'un ensemble revient à lui ajouter des points orrespondant

à une onguration donnée. Si l'on note par

l'amin issement et par

l'épaississement,

on aura :

X

ν = X − (X ▽ ν)

(106)

X

⊙ ν = X ∪ (X ▽ ν)

(107)

Propriétés :

Comme l'érosion et la dilatation, l'amin issement et l'épaississement sont deux

transforma-tions duales vis-à-vis de la omplémentation

(X

ν)

c

= X

c

⊙ ν

c

(108)

Double in lusion

(121)

Dilatation géodésique

Une dilatation goédésique fait toujours intervenir deux images.

Dénition 16. La dilatation géodésique de taille

1

de l'ensemble

X

onditionnellement à

Y

,

notée

D

(1)

Y

(X)

, est dénie omme l'interse tion du dilaté de taille

1

et de

Y

:

∀X ⊆ Y, D

Y

(1)

(X) = (X

⊕ B) ∩ Y

(110)

(122)

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

(a) Ensemble à dilater (b) Masque géodésique

( ) Dilatation élémentaire (d) Dilatation géodésique

(123)

Dénition 17. La dilatation géodésique de taille

n

de l'ensemble

X

onditionnellement à

Y

, notée

D

(n)

Y

(X)

, est dénie omme une su ession du dilaté géodésique de taille 1

∀X ⊆ Y, D

Y

(n)

(X) = D

Y

(1)

(D

Y

(1)

(. . . D

Y

(1)

|

{z

}

n fois

(X)))

(111)

(124)

Dénition 18. La re onstru tion de

X

onditionnellement à

Y

est la dilatation géodésique

de

X

jusqu'à idempoten e. Soit

i

, la valeur à partir de laquelle l'idempoten e est a quise, la

re onstru tion de

X

est dénie par

R

Y

(X) = D

Y

(i)

(X)

ave

D

(i+1)

Y

(X) = D

(i)

Y

(X)

(112)

(a) Parti ules (b) Marquage de parti ules ( ) Parti ules re onstruites

(125)

Notion de fon tion

Soit

G

un ensemble de valeurs de niveaux de gris. Dans e qui suit, nous supposerons que

G

est un espa e omplété (

G = R ∪ {−∞, +∞}

ou

G = Z ∪ {−∞, +∞}

). Une image est représentée par une fon tion

f :

E → G

, qui à tout point du plan fait orrespondre une

valeur. En pratique, l'image n'est pas dénie sur la totalité du référentiel

E

mais sur un

support ompa t

D

.

Dénition 19. [Ordre partiel entre fon tions℄ Soient deux fon tions

f

et

g

. La fon tion

f

est inférieure à

g

,

(126)

Dénition 20. [Inmum et supremum℄ Soit une famille de fon tions

f

i

,

i

∈ I

. L'inmum

(respe tivement le supremum) de ette famille, noté

i∈I

f

i

(resp.

i∈I

f

i

) est la grande borne inférieure (resp. petite borne supérieure).

Dans le as d'une famille

I

nie, le supremum et l'inmum se ramènent au maximum et au

minimum respe tivement. Dans e as,

∀x ∈ E,



(f

∨ g)(x) = max(f(x), g(x))

(f

∧ g)(x) = min(f(x), g(x))

(114)

Dénition 21. La translation de la fon tion

f

par

b

est la fon tion

f

b

dénie par

(127)

Dénition 22. [Idempoten e℄ Une transformation

ψ

est idempotente si, quelle que soit la

fon tion traitée, une nouvelle appli ation de l'opérateur n'apporte au un hangement,

'est-à-dire si

∀f, ψ(ψ(f)) = ψ(f)

(116)

Dénition 23. [Extensivité℄ Un opérateur est extensif si la fon tion transformée est plus

grande que la fon tion de départ

∀f, f ≤ ψ(f)

(117)

Dénition 24. [Anti-extensivité℄ Une transformation de fon tions est anti-extensive si la

fon tion transformée est plus petite que la fon tion de départ

(128)

l'ordre établi entre fon tions

∀f, g, f ≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)

(119)

Par extension aussi, une transformation

ψ

1

est inférieure à un transformation

ψ

2

si, pour

toute fon tion

f

,

ψ

1

(f )

est inférieur à

ψ

2

(f )

:

(129)

Dénition 26. Si

f

et

g

sont deux fon tions, on peut dénir l'addition (ou dilatation)

f

⊕ g

et la soustra tion (ou érosion)

f

⊖ g

de la manière suivante : pour tout ouple

(x, g(x))

, on

prend pour

f

⊕ g

l'enveloppe supérieure des translatés du graphe de

f

par les

(x, g(x))

et pour

f

⊖ g

, l'enveloppe inférieure des translatés de

f

par les

(

−x, −g(x))

. Algébriquement,

f

⊕ g =

_

h∈E

(f (x

− h) + g(h))

(121)

f

⊖ g =

^

h∈E

(f (x + h)

− g(h))

(122)

(130)

En pratique. Soit

B

, le domaine de dénition de

g

, Dénition 27.

f

⊕ B =

_

b∈B

f

b

(x)

(123)

f

⊖ B =

^

b∈B

f

−b

(x)

(124)

(131)

f

f ⊕ B

f ⊖ B

B

(132)
(133)
(134)

L'ouverture morphologique

f

◦ B

et la fermeture morphologique

f

• B

résultent de la mise

en as ade de l'érosion et de la dilatation .

Dénition 28. [Ouverture et fermeture morphologiques℄

f

◦ B = (f ⊖ B) ⊕ B

(125)

f

• B = (f ⊕ B) ⊖ B

(126)

B

f

f ◦ B

(135)

B

f

f • B

(136)
(137)
(138)
(139)

L'érosion et la dilatation sont des opérations roissantes

f

≤ g ⇒



f

⊖ B ≤ g ⊖ B

f

⊕ B ≤ g ⊕ B

(127)

L'érosion distribue l'inmum et la dilatation distribue le supremum

(f

∧ g) ⊖ B = (f ⊖ B) ∧ (g ⊖ B)

(128)

(f

∨ g) ⊕ B = (f ⊕ B) ∨ (g ⊕ B)

(129)

L'ouverture et la fermeture sont deux opérations idempotentes

(f

◦ B) ◦ B = f ◦ B

(130)

(140)

tensive

f

◦ B ≤ f

(132)

(141)

Dénition 29. La re onstru tion de la fon tion

f

onditionnellement à la fon tion

g

est

la dilatation géodésique de

f

jusqu'à idempoten e. Soit

i

, la valeur à partir de laquelle

l'idempoten e est a quise, la re onstru tion de

f

est dénie par

R

g

(f ) = D

(i)

g

(f )

ave

D

(i+1)

(142)
(143)
(144)
(145)

 Introdu tion et généralités

 Transformations unitaires

 Filtrage linéaire et dé onvolution

 Morphologie mathématique

 Filtrage non-linéaire

 Déte tion de traits ara téristiques et déte tion de ontours

 Texture  Rehaussement et restauration  Étude de la forme  Segmentation d'images  Codage d'images  Appli ations industrielles

(146)

 Filtres de rang

 Filtre médian

 Filtres morphologiques

 Dénition algébrique

 Comment onstruire un ltre?

 Exemples de ltres

 Filtres alternés séquentiels

(147)

Soit

k

∈ N

la valeur d'un seuil.

Dénition 30. [Filtre de rang℄ L'opérateur ou ltre de rang

k

, noté

ρ

B,k

(f )(x)

, déni

sur l'élément stru turant

B

, est l'opérateur

ρ

B,k

(f )(x) =

_

{t ∈ G|

X

b∈B

[f (x + b)

≥ t] ≥ k}

(135)

L'interprétation la plus simple onsiste à dire que

ρ

B,k

(f )(x)

est la

k

-ième valeur de la

série obtenue en ordonnant toutes les valeurs

f (x + b)

par ordre dé roissant.

Les opérateurs de rang sont ordonnés entre eux. Soit

♯(B)

, le ardinal de l'élément

stru -turant

B

,

(148)

Si

n

est impair, le hoix

k =

1

(149)

(a) Image originale bruitée

f

(b) Ouverture par un arré

5

× 5

(150)

(a) Image originale

f

(b) Médian

3

× 3

( ) Médian

5

× 5

(151)

Le ltre médian n'est pas idempotent et sa répétition peut entraîner des phénomènes

d'os- illation (théoriquement sur une image de support inni).

... ... ... ... ... ...

(152)

Dénition 31. Par dénition, un ltre algébrique est une opération roissante et

idempo-tente :

ψ

est un ltre alg

´

ebrique

⇔ ∀f, g



f

≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)

ψ(ψ(f )) = ψ(f )

(137)

Dénition 32. Une ouverture algébrique est un opérateur qui possède les propriétés de

roissan e, d'idempoten e et d'anti-extensivité. Formellement,

∀f, g, f ≤ g ⇒ ψ(f) ≤ ψ(g)

(138)

∀f, ψ(ψ(f)) = ψ(f)

(139)

∀f, ψ(f) ≤ f

(140)

La fermeture algébrique se dénit en remplaçant la propriété d'anti-extensivité par elle

(153)
(154)

En ombinant les ltres déjà onnus!

X

B

C

Figure 75: La omposition de deux ouvertures n'est pas for ément une ouverture.

De nouveaux ltres peuvent être obtenus à partir des ouvertures, notées

α

i

et des fermetures,

notées

φ

i

, par les deux règles simples que voi i :

1. le supremum d'ouvertures est une ouverture :

(

W

i

α

i

)

est une ouverture; 2. l'inmum de deux fermetures est une fermeture :

(

V

Figure

Figure 4: Courbes d'égalisation spetrale obtenues par égalisation des ouleurs au mo yen
Figure 5: Pyramide des ouleurs obtenues au mo yen du tri-stimulus RGB.
Figure 6: Diagramme hromatique (approhé !) déni par les deux v ariables de hromi-
Figure 9: Diagramme hromatique xy et luminane maximale en haque point.
+7

Références

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